Функционален диференциал. Инвариантност на формата на диференциал Инвариантност на диференциала на сложна функция

Формулата за диференциалната функция има формата

където е диференциалът на независимата променлива.

Нека сега ни е дадена сложна (диференцируема) функция , където,. След това използвайки формулата за производна на сложна функция намираме

защото .

така че , т.е. Диференциалната формула има една и съща форма за независимата променлива и за междинния аргумент, който е диференцируема функция на.

Тази собственост обикновено се нарича собственост инвариантност на формула или форма на диференциал. Имайте предвид, че производната няма това свойство.

Връзка между непрекъснатост и диференцируемост.

Теорема (необходимо условие за диференцируемостта на функция).Ако една функция е диференцируема в точка, тогава тя е непрекъсната в тази точка.

Доказателство.Нека функцията y=f(х) диференцируеми в точката X 0 . В този момент даваме увеличение на аргумента  X. Функцията ще бъде увеличена  при. Нека го намерим.

следователно y=f(х) непрекъснато в точка X 0 .

Последица.Ако X 0 е точката на прекъсване на функцията, тогава функцията в нея не е диференцируема.

Обратното на теоремата не е вярно. Непрекъснатостта не предполага диференцируемост.

Диференциал. Геометрично значение. Приложение на диференциала към приближени изчисления.

Определение

Функционален диференциалсе нарича линейна относителна част от нарастването на функцията. Означава се какили. Така:

Коментирайте

Диференциалът на функция съставлява по-голямата част от нейното увеличение.

Коментирайте

Наред с понятието диференциал на функцията се въвежда понятието диференциал на аргумента. По определение аргумент диференциале нарастването на аргумента:

Коментирайте

Формулата за диференциала на функция може да бъде написана като:

От тук разбираме това

И така, това означава, че производната може да бъде представена като обикновена дроб - отношението на диференциалите на функция и аргумент.

Геометрично значение на диференциала

Диференциалът на функция в дадена точка е равен на нарастването на ординатата на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка, съответстваща на нарастването на аргумента.

Основни правила за диференциране. Производна на константа, производна на сума.

Нека функциите имат производни в точка. Тогава

1. Константамогат да бъдат извадени от производния знак.

5. Диференциална константаравен на нула.

2. Производна на сбор/разлика.

Производната на сбора/разликата на две функции е равна на сбора/разликата на производните на всяка функция.

Основни правила за диференциране. Производно на продукта.

3. Производно на продукта.

Основни правила за диференциране. Производна на сложно и обратна функция.

5. Производна сложна функция .

Производната на сложна функция е равна на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент, умножена по производната на междинния аргумент по отношение на главния аргумент.

И те имат производни по точки, съответно. Тогава

Теорема

(Относно производната на обратната функция)

Ако една функция е непрекъсната и строго монотонна в някаква околност на точка и диференцируема в тази точка, тогава обратната функция има производна в точката и .

Формули за диференциране. Производна на експоненциална функция.

Видяхме, че диференциалът на функция може да бъде написан като:
(1),

Ако има независима променлива. Нека сега има сложна функция от , т.е.
,
и следователно
. Ако производните на функциите
И
съществуват, тогава
, като производна на сложна функция. Диференциал
или Но
и следователно можем да пишем
, т.е. отново получи израза за
както в (1).

Заключение:формула (1) е правилна, както в случая, когато има независима променлива, такъв е и случаят, когато има функция на независимата променлива . В първия случай под
се разбира като диференциал на независимата променлива
, във втория – диференциала на функцията (в случая
, най-общо казано). Това свойство за запазване на формата (1) се нарича инвариантност на диференциалната форма.

Инвариантността на диференциалната форма осигурява големи предимства при изчисляване на диференциали на сложни функции.

например: трябва да се изчисли
. Независимо дали променливата е зависима или независима , можем да го запишем. Ако - функция, например
, тогава ще намерим
и, използвайки инвариантността на формата на диференциала, имаме право да пишем.

§18. Производни от по-високи разряди.

Нека функцията y =  (x) е диференцируема на определен интервал X (т.е. има крайна производна y 1 =  1 (x) във всяка точка от този интервал). Тогава  1 (x) е в самото X функция на x. Може да се окаже, че в някои точки или изобщо самият x 1 (x) има производна, т.е. има производна на производната (y 1) 1 =( 1 (x) 1. В този случай тя се нарича втора производна или производна от втори ред. Означава се със символите y 11, 11 (x), d 2 y/ dx 2. Ако е необходимо, подчертайте, че производната е в t.x 0, след което напишете

y 11 /x=x 0 или  11 (x 0) или d 2 y/ dx 2 /x=x 0

производната на 1 се нарича производна от първи ред или първа производна.

И така, производната от втори ред е производната на производната от първи ред на функция.

По същия начин производната (където съществува) на производна от втори ред се нарича производна от трети ред или трета производна.

Обозначете (y 11) 1 = y 111 = 111 (x)= d 3 y/ dx 3 = d 3  (x) / dx 3

Най-общо, производната от n-ти ред на функция y = (x) се нарича производна на производната от (n-1) ред на тази функция. (ако ги има разбира се).

Определете

Прочетете: n-та производна на y, от (x); d n y от d x в n-та.

Четвърти, пети и т.н. Неудобно е да се посочи редът с черти, затова напишете числото в скоби, вместо  v (x) напишете  (5) (x).

В скоби, за да не се бърка n-ти ред на производната и n-та степен на функцията.

Производни от по-висок порядък от първия се наричат ​​производни от по-високи порядъци.

От самата дефиниция следва, че за да намерите n-тата производна, трябва да намерите последователно всички предишни от 1-во до (n-1)-то.

Примери: 1) y=x 5; y 1 = 5x 4; y 11 = 20x 3;

y 111 = 60x 2; y (4) =120x; y (5) =120; y (6) =0,...

2) y=e x; y 1 = e x; y 11 =e x;…;

3) y=sinх; y 1 = cosх; y 11 = -sinх; y 111 = -cosх; y (4) = sinх;…

Имайте предвид, че втората производна има определено механично значение.

Ако първата производна на пътя по отношение на времето е скоростта на праволинейно неравномерно движение

V=ds/dt, където S=f(t) е уравнението на движението, тогава V 1 =dV/dt= d 2 S/dt 2 е скоростта на промяна на скоростта, т.е. ускорение на движението:

a= f 11 (t)= dV/dt= d 2 S/dt 2 .

И така, втората производна на пътя по отношение на времето е ускорението на движението на точката - това е механичното значение на втората производна.

В някои случаи е възможно да се напише израз за производна от произволен ред, заобикаляйки междинните.

Примери:

y=e x; (y) (n) = (e x) (n) = e x;

y=a x; y 1 = a x lna; y 11 =a x (lna) 2; y (n) = a x (lna) n;

y=x α; y 1 = αx α-1; y 11 =
; y (n) = α(α-1)… (α-n+1)x α-n, с =n имаме

y (n) = (x n) (n) = n! Всички производни от по-висок порядък са равни на нула.

y=sinx; y 1 = cosх; y 11 = -sinх; y 111 = -cosх; y (4) = sinx;... и т.н.. Защото

y 1 = sin(x+ /2); y 11 = sin(x+2 /2); y 111 = sin(x+3 /2); и т.н., тогава y (n) = (sinx) (n) = sin (x + n /2).

Лесно се установява чрез последователно диференциране и общи формули:

1) (СU) (n) = С(U) (n) ;

2) (U±V) (n) = U (n) ± V (n)

Формулата за n-тата производна на произведението на две функции (U·V) (n) се оказва по-сложна. Нарича се формула на Лайбниц.

Нека да го вземем

y 111 = U 111 V+ U 11 V 1 +2U 11 V 1 +2U 1 V 11 + U 1 V 11 + UV 111 = U 111 V+3U 11 V 1 +3 U 1 V 11 + UV 111;

По същия начин получаваме

y (4) = U (4) V+4 U 111 V 1 +6 U 11 V 11 +4 U 1 V 111 + UV (4) и т.н.

Лесно е да се види, че десните части на всички тези формули приличат на разлагането на степените на бинома U + V, (U + V) 2, (U + V) 3 и т.н. Само вместо степени U и V има производни на съответните разряди. Сходството ще бъде особено пълно, ако в получените формули вместо U и V напишем U (0) и V (0), т.е. 0-ти производни на функциите U и V (самите функции).

Разширявайки този закон за случая на всяко n, получаваме общата формула

y (n) = (UV) (n) = U (n) V+ n/1! U (n-1) V 1 + n(n-1)/2! U (n-2) V (2) + n(n-1)(n-2)/3! U (n-3) V (3) +…+ n(n-1)…(n-к+1)/К! U (k) V (n-k) +…+ UV (n) - формула на Лайбниц.

Пример: намери (e x x) (n)

(e x) (n) =e x, x 1 =1, x 11 =0 и x (n) =0, следователно (e x x) (n) = (e x) (n) x+ n/1 ! (e x) (n-1) x 1 = e x x+ ne x = e x (x+ n).

Ако диференцируема функция на независими променливи и нейната пълен диференциал dz е равно. Нека сега приемем, че в точката ((,?/) функциите »?) и r)) имат непрекъснати частни производни по отношение на (и по отношение на rf, и в съответната точка (x, y) има съществуват непрекъснати частични производни и в резултат на това функцията g = f(x, y) е диференцируема в тази точка При тези условия функцията има производни в точката 17) Диференциал на сложна функция Инвариантност на формата на диференциал Неявно. функции Допирателна равнина и нормала към повърхността Допирателна равнина на повърхността Геометрично значение на общия диференциал Нормално към повърхността Както може да се види от формули (2), u и u са непрекъснати в точката ((,*?). Следователно, функцията в точката е диференцируема, приемаме според общата диференциална формула за функция на независими променливи £ и m], имаме Замествайки от дясната страна на равенството (3) u и използвайки техните изрази от формули (2), получаваме или тъй като по условие функциите в точката ((,17) имат непрекъснати частни производни, тогава те са диференцируеми в тази точка и От отношения (4) и (5) получаваме, че Сравнение на формули ( 1) и (6 ) показва, че общият диференциал на функцията z = /(z, y) се изразява с формула от една и съща форма както в случая, когато аргументите x и y на функцията /(z, y) са независими променливи, така и в случай, че тези аргументи от своя страна са функции на някои променливи. По този начин общият диференциал на функция от няколко променливи има свойството на инвариантност на формата. Коментирайте. От инвариантността на формата на общия диференциал следва: ако xlnx и y са диференцируеми функции на произволен краен брой променливи, тогава формулата остава валидна, където е функция на две променливи, дефинирани в някаква област G на равнината xOy. Ако за всяка стойност x от определен интервал (xo ​​- 0, xo + ^o) има точно една стойност y, която заедно с x удовлетворява уравнение (1), то това определя функцията y = y(x), за която равенството се записва еднакво по x в посочения интервал. В този случай се казва, че уравнение (1) дефинира y като имплицитна функция на x. С други думи, функция, определена от уравнение, което не е разрешено по отношение на y, се нарича неявна функция,” тя става изрична, ако зависимостта на y от x е дадена директно. Примери: 1. Уравнението определя стойността на y цялата OcW рх като еднозначна функция на x: 2. Чрез уравнението величината y се определя като еднозначна функция на x. Нека илюстрираме това твърдение с двойка стойности x = 0, y = 0. Нека разгледаме * параметър и разгледаме функциите. Въпросът дали за избрания xo има съответстваща уникална стойност на O е такъв, че двойката (удовлетворява уравнение (2) се свежда до пресичане на кривите x ay и една точка. Нека построим техните графики върху xOy равнина (фиг. 11) . Крива » = x + c sin y, където x се счита за параметър, се оказва паралелен трансферпо оста Ox и r = g sin y. Геометрично очевидно е, че за всяко x кривите x = y и z = t+c $1у имат уникална пресечна точка, чийто ред е функция на x, определена неявно от уравнение (2). Тази зависимост не се изразява чрез елементарни функции. 3. За всяко реално x, уравнението не определя реалната функция на аргумента x. В същия смисъл можем да говорим за неявни функции на няколко променливи. Следващата теорема дава достатъчни условияуникална разрешимост на уравнението = 0 (1) по отношение на y в някаква околност на дадена точка (®o>Yo). Теорема 8 (съществуването на неявна функция). Нека са изпълнени следните условия: 1) функцията y) е дефинирана и непрекъсната в определен правоъгълник с център в точка в точка; числото e има околност на тази околност има уникална ^ непрекъсната функция y = f(x) (фиг. 12), което приема стойността), удовлетворява уравнението \y - yol и превръща уравнение (1) в идентичност: Тази функция е непрекъснато диференцируема в околността на точката Xq и Ние изведете формула (3) за неявната производна функция, считайки съществуването на тази производна за доказано. Нека y = f(x) е неявната диференцируема функция, дефинирана от уравнение (1). Тогава в интервала) има идентичност Диференциал на сложна функция Инвариантност на формата на диференциал Неявни функции Допирателна равнина и нормала към повърхност Допирателна равнина на повърхност Геометрично значение на пълен диференциал Нормално към повърхност поради това в това интервал Съгласно правилото за диференциране на сложна функция, имаме Уникален в смисъл, че всяка точка (x, y), лежаща на кривата, принадлежаща към околността на точката (xo, y0)” има координати, свързани с уравнението Следователно, с y = f(x) получаваме това и, следователно, Пример. Намерете j* от функцията y = y(x), дефинирана от уравнението В този случай От тук, по силата на формула (3) Забележка. Теоремата ще предостави условия за съществуването на една единствена имплицитна функция, чиято графика минава през дадена точка(хо, горе). достатъчно, но не е необходимо. В интерес на истината, разгледайте уравнението Тук има непрекъснати частни производни, равни на нула в точка 0(0,0). Това уравнение обаче има уникално решение, равно на нула при Задача. Нека е дадено уравнение - еднозначна функция, която удовлетворява уравнение (D). 1) Колко еднозначни функции (2") удовлетворяват уравнението (!")? 2) Колко еднозначни непрекъснати функции удовлетворяват уравнението (!")? 3) Колко еднозначни диференцируеми функции удовлетворяват уравнението (!")? 4) Колко еднозначни непрекъснати функции отговарят на "уравнение (1"), дори ако са достатъчно малки? Теорема за съществуване, подобна на теорема 8, е валидна и в случай на имплицитна функция z - z(x, y) на две променливи, дефинирана от уравнението Теорема 9. Нека са изпълнени следните условия d) функцията & е дефинирана и непрекъсната в област D в област D съществуват и непрекъснати частични производни. Тогава за всяко достатъчно малко e > 0 съществува околност Γ2 на точката (®o»Yo)/, в която има уникална непрекъсната функция z - /(x, y), приемайки стойност при x = x0, y = y0, удовлетворявайки условието и обръщайки уравнение (4) в идентичността: В този случай функцията в областта Q има непрекъснати частични производни и GG Нека намерим изрази за тези производни. Нека уравнението дефинира z като еднозначна и диференцируема функция z = /(x, y) на независими променливи xnu. Ако заместим функцията f(x, y) в това уравнение вместо z, получаваме идентичността. Следователно, общите частни производни по отношение на x и y на функцията y, z), където z = /(z, y ), също трябва да е равно на нула. Чрез диференциране намираме къде Тези формули дават изрази за частните производни на неявната функция на две независими променливи. Пример. Намерете частните производни на функцията x(r,y), дадена от уравнение 4. От това имаме §11. Допирателна равнина и нормала към повърхността 11.1. Предварителна информация Нека имаме повърхност S, дадено от уравнението Определено*. Точка M(x, y, z) от повърхнина (1) се нарича обикновена точка от тази повърхнина, ако в точка M всичките три производни съществуват и са непрекъснати и поне една от тях е различна от нула. Ако в точка Mu, z) от повърхността (1) и трите производни са равни на нула или поне една от тези производни не съществува, тогава точка М се нарича особена точка на повърхността. Пример. Да разгледаме кръгъл конус (фиг. 13). Тук единствената специална фина точка е началото на координатите 0(0,0,0): в тази точка частните производни едновременно изчезват. ориз. 13 Да разгледаме пространствена крива L, дефинирана от параметрични уравнения. Нека функциите имат непрекъснати производни в интервала. Нека изключим от разглеждането сингулярните точки на кривата, в които Нека е обикновена точка на кривата L, определена от стойността на параметъра to. След това е допирателният вектор към кривата в точката. Допирателна равнина на повърхнина Нека повърхнината 5 е дадена от уравнението. Вземете обикновена точка P на повърхнината S и начертайте през нея крива L, лежаща на повърхнината и зададена от параметричните уравнения. "/(0" C(0) имат непрекъснати производни , никъде на (a)p), които едновременно се равняват на нула. По дефиниция допирателната на кривата L в точка P се нарича допирателна към повърхността 5 в тази точка. 2) се заместват в уравнение (1), тогава тъй като кривата L лежи на повърхността S, уравнение (1) се превръща в идентичност по отношение на t: Диференциране на тази идентичност по отношение на t, като се използва правилото за диференциране на комплекс. функция, получаваме Изразът от лявата страна на (3) е скаларното произведение на два вектора: В точка P векторът z е насочен допирателно към кривата L в тази точка (фиг. 14). , зависи само от координатите на тази точка и вида на функцията ^"(x, y, z) и не зависи от вида на кривата, минаваща през точката P. Тъй като P - обикновена точка на повърхността 5, тогава дължината на вектора n е различна от нула, че скаларното произведение означава, че векторът r, допирателен до кривата P в тази точка, е перпендикулярен на вектора n (фиг. 14). Тези аргументи остават валидни за всяка крива, минаваща през точка P и лежаща на повърхността S. Следователно всяка допирателна линия към повърхността 5 в точка P е перпендикулярна на вектора n и следователно всички тези линии лежат в една и съща равнина, също перпендикулярна на вектора n . Равнината, в която са разположени всички допирателни линии към повърхност 5, минаващи през дадена обикновена точка P G 5, се нарича допирателна равнина на повърхността в точка P (фиг. 15).

Правилото за диференциране на сложна функция ще ни доведе до едно забележително и важно свойство на диференциала.

Нека функциите са такива, че от тях може да се състави сложна функция: . Ако съществуват производни, тогава - по правило V - има и производна

Заменяйки обаче неговата производна с израз (7) и отбелязвайки, че има диференциал на x като функция на t, накрая получаваме:

т.е., нека се върнем към предишната форма на диференциала!

Така виждаме, че формата на диференциала може да се запази, дори ако старата независима променлива се замени с нова. Винаги сме свободни да запишем диференциала y във формата (5), независимо дали x е независима променлива или не; единствената разлика е, че ако t е избрано като независима променлива, тогава това означава не произволно нарастване, а диференциал на x като функция от Това свойство се нарича инвариантност на формата на диференциала.

Тъй като формула (5) пряко дава формула (6), която изразява производната чрез диференциали, последната формула остава валидна независимо от каква независима променлива (разбира се, една и съща и в двата случая) се изчисляват споменатите диференциали.

Нека, например, така

Нека сега поставим Тогава ще имаме също: Лесно е да се провери дали формулата

дава само друг израз за производната, изчислена по-горе.

Това обстоятелство е особено удобно за използване в случаите, когато зависимостта на y от x не е посочена директно, а вместо това е посочена зависимостта на двете променливи x и y от някаква трета спомагателна променлива (наречена параметър):

Ако приемем, че и двете от тези функции имат производни и че за първата от тях има обратна функция, която има производна, лесно е да се види, че тогава y също се оказва функция на x:

за което също има производна. Изчисляването на тази производна може да се извърши съгласно горното правило:

без възстановяване на пряката зависимост на y от x.

Например, ако производната може да се определи, както е направено по-горе, без изобщо да се използва зависимостта.

Ако разглеждаме x и y като правоъгълни координати на точка в равнината, тогава уравнения (8) приписват всяка стойност на параметъра t на определена точка, която с промяна на t описва крива в равнината. Уравнения (8) се наричат ​​параметрични уравнения на тази крива.

В случай на параметрична дефиниция на крива, формула (10) ви позволява директно да зададете наклона на тангентата с помощта на уравнения (8), без да пристъпвате към определяне на кривата с помощта на уравнение (9); точно,

Коментирайте. Способността да се изрази производната чрез диференциали, взети по отношение на всяка променлива, по-специално води до факта, че формулите

изразявайки в нотация на Лайбниц правилата за диференциране на обратна функция и сложна функция, стават прости алгебрични идентичности (тъй като всички диференциали тук могат да бъдат взети по отношение на една и съща променлива). Не бива обаче да мислим, че това дава ново заключение на гореспоменатите формули: първо, тук не беше доказано съществуването на леви производни, основното е, че по същество използвахме инвариантността на формата на диференциала , което само по себе си е следствие от правило V.

Функционален диференциал

Функцията се извиква диференцируеми в точката, ограничаващ за множеството д, ако нарастването му е Δ f(х 0), съответстващ на нарастването на аргумента х, могат да бъдат представени във формата

Δ f(х 0) = А(х 0)(х - х 0) + ω (х - х 0), (1)

Къде ω (х - х 0) = О(х - х 0) при х → х 0 .

Дисплеят се извиква диференциалфункции fв точката х 0 и стойността А(х 0)ч - диференциална стойноств този момент.

За диференциалната стойност на функцията fприето обозначение dfили df(х 0), ако трябва да знаете в кой момент е изчислен. по този начин

df(х 0) = А(х 0)ч.

Разделяне на (1) на х - х 0 и прицелване хдо х 0, получаваме А(х 0) = е"(х 0). Следователно имаме

df(х 0) = е"(х 0)ч. (2)

Сравнявайки (1) и (2), виждаме, че стойността на диференциала df(х 0) (при е"(х 0) ≠ 0) е основната част от увеличението на функцията fв точката х 0, линеен и хомогенен в същото време спрямо нарастването ч = х - х 0 .

Критерий за диференцируемост на функция

За да може функцията fбеше диференцируем в дадена точка х 0, е необходимо и достатъчно той да има крайна производна в тази точка.

Инвариантност на формата на първия диференциал

Ако хтогава е независимата променлива dx = х - х 0 (фиксирано увеличение). В този случай имаме

df(х 0) = е"(х 0)dx. (3)

Ако х = φ (t) тогава е диференцируема функция dx = φ" (t 0)дт. следователно