Изчислете острия ъгъл между две прави. Най-прости задачи с права на равнина

Определение.Ако са дадени две прави y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , тогава острия ъгъл между тези линии ще се дефинира като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2 . Две прави са перпендикулярни, ако k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.Правите Ax + Vy + C \u003d 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 са успоредни, когато коефициентите A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB са пропорционални. Ако също С 1 = λС, то линиите съвпадат. Координатите на пресечната точка на две прави се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнение на права линия, преминаваща през дадена точка

Перпендикулярно на тази линия

Определение.Линията, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата y \u003d kx + b, е представена от уравнението:

Разстояние от точка до линия

Теорема.Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогава разстоянието до правата Ax + Vy + C \u003d 0 се определя като

.

Доказателство.Нека точката M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, пуснат от точката M към дадената права. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

(1)

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярна на дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Пример. Определете ъгъла между правите: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Пример. Покажете, че правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 са перпендикулярни.

Решение. Намираме: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, следователно линиите са перпендикулярни.

Пример. Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението за височината, изтеглена от върха C.

Решение. Намираме уравнението на страната AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Желаното уравнение за височина е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = . Тогава y = . защото височината минава през точка С, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение: откъдето b = 17. Общо: .

Отговор: 3x + 2y - 34 = 0.

Уравнение на права, минаваща през дадена точка в тази посока. Уравнение на права, минаваща през две дадени точки. Ъгъл между две прави. Условие за успоредност и перпендикулярност на две прави. Определяне на пресечната точка на две прави

1. Уравнение на права, минаваща през дадена точка А(х 1 , г 1) в дадена посока, определена от наклона к,

г - г 1 = к(х - х 1). (1)

Това уравнение дефинира молив от прави, минаващи през точка А(х 1 , г 1), който се нарича център на лъча.

2. Уравнение на права линия, минаваща през две точки: А(х 1 , г 1) и б(х 2 , г 2) се записва така:

Наклонът на права линия, минаваща през две дадени точки, се определя по формулата

3. Ъгъл между прави АИ бе ъгълът, на който трябва да се завърти първата права линия Аоколо точката на пресичане на тези линии обратно на часовниковата стрелка, докато съвпадне с втората линия б. Ако две линии са дадени чрез уравнения на наклона

г = к 1 х + б 1 ,

г = к 2 х + б 2 , (4)

тогава ъгълът между тях се определя по формулата

Трябва да се отбележи, че в числителя на дробта наклонът на първата права линия се изважда от наклона на втората права линия.

Ако уравненията на права линия са дадени в общ изглед

А 1 х + б 1 г + ° С 1 = 0,

А 2 х + б 2 г + ° С 2 = 0, (6)

ъгълът между тях се определя по формулата

4. Условия за успоредност на две прави:

а) Ако линиите са дадени с уравнения (4) с наклон, тогава необходимите и достатъчно условиетехният паралелизъм се състои в равенството на техните ъглови коефициенти:

к 1 = к 2 . (8)

б) За случая, когато линиите са дадени с уравнения в общ вид (6), необходимото и достатъчно условие за тяхната паралелност е коефициентите при съответните текущи координати в техните уравнения да са пропорционални, т.е.

5. Условия за перпендикулярност на две линии:

а) В случай, че линиите са дадени с уравнения (4) с наклон, необходимото и достатъчно условие за тяхната перпендикулярност е техните наклони да са реципрочни по големина и противоположни по знак, т.е.

Това условие може да бъде записано и във формуляра

к 1 к 2 = -1. (11)

б) Ако уравненията на прави линии са дадени в общ вид (6), то условието за тяхната перпендикулярност (необходима и достатъчна) е да е изпълнено равенството

А 1 А 2 + б 1 б 2 = 0. (12)

6. Координатите на пресечната точка на две прави се намират чрез решаване на системата от уравнения (6). Прави (6) се пресичат тогава и само ако

1. Напишете уравненията на правите, минаващи през точка M, едната от които е успоредна, а другата е перпендикулярна на дадената права l.

О-о-о-о-о-о ... е, тенекиен е, сякаш си прочете изречението =) Но тогава релаксът ще помогне, особено след като днес купих подходящи аксесоари. Затова нека да продължим към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще запазя весело настроение.

Взаимно разположение на две прави линии

Случаят, когато залата пее в хор. Две линии могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Помощ за манекени : моля, запомнете математическия знак на кръстовището, той ще се появява много често. Записът означава, че правата се пресича с правата в точката.

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има такова число "ламбда", че равенствата

Нека разгледаме прави линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по -1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалите с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти при променливите са пропорционални: , Но.

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Въпреки това е ясно, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти на променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на "ламбда", че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще съставим система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , следователно, системата е непоследователна(няма решения). Следователно коефициентите при променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

В практически задачи може да се използва току-що разгледаната схема за решение. Между другото, той е много подобен на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в урока. Концепцията за линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа. Но има по-цивилизован пакет:

Пример 1

Разберете относителната позиция на линиите:

Решениевъз основа на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .

, така че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък с указатели на кръстопътя:

Останалите прескачат камъка и го следват, право към Кашчей Безсмъртния =)

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат един и същ вектор на посоката, което означава, че са или успоредни, или еднакви. Тук детерминантата не е необходима.

Очевидно коефициентите на неизвестните са пропорционални, докато .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадат.

Коефициентът на пропорционалност "ламбда" е лесно да се види директно от съотношението на векторите на колинеарна посока. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение (всяко число обикновено го удовлетворява).

Така линиите съвпадат.

Отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате разглеждания проблем устно буквално за секунди. В тази връзка не виждам причина да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да поставите друга важна тухла в геометричната основа:

Как да начертаем права, успоредна на дадена?

Заради невежеството на това най-простата задачанаказва сурово Славея Разбойника.

Пример 2

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Означете непознатия ред с буквата . Какво казва условието за това? Правата минава през точката. И ако правите са успоредни, тогава е очевидно, че насочващият вектор на правата "ce" също е подходящ за построяване на правата "de".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор:

Геометрията на примера изглежда проста:

Аналитичната проверка се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е правилно опростено, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

Аналитичната проверка в повечето случаи се извършва лесно устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще разберат колко успоредни са линиите без никакъв чертеж.

Примерите за самостоятелно решаване днес ще бъдат креативни. Защото все още трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете, е любител на всякакви гатанки.

Пример 3

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Има рационален и не много рационален начин за решаване. Повечето късо изрязване- в края на урока.

Поработихме малко с успоредни прави и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че помислете за проблем, който ви е добре познат от училищна програма:

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав се пресичат в точката , тогава нейните координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Ето за вас геометричен смисълсистеми от две линейни уравнения с две неизвестниса две пресичащи се (най-често) прави в равнина.

Пример 4

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичният начин е просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на права линия, те трябва да пасват и там, и там. С други думи, координатите на точка са решението на системата . Всъщност обмислихме графичен начин за решаване системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават така, въпросът е, че ще отнеме време, за да се направи правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да бъде някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно да се търси пресечната точка аналитичен метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения. За да развиете съответните умения, посетете урока Как се решава система от уравнения?

Отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример за „направи си сам“. Удобно е проблемът да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) Напишете уравнението на права линия.
2) Напишете уравнението на права линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.

Цялостно решениеи отговорът в края на урока:

Чифт обувки все още не е износен, тъй като стигнахме до втория раздел на урока:

Перпендикулярни линии. Разстоянието от точка до права.
Ъгъл между линиите

Да започнем с една типична и много важна задача. В първата част научихме как да изградим права линия, успоредна на дадената, а сега колибата на пилешките крака ще се обърне на 90 градуса:

Как да начертаем права, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за перпендикулярна права, минаваща през точка.

Решение: По предположение е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата линия. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Съставяме уравнението на права линия от точка и насочващ вектор:

Отговор:

Нека разгънем геометричната скица:

Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверка на решението:

1) Извлечете векторите на посоката от уравненията и с помощта точково произведение на векторизаключаваме, че правите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Проверката отново е лесна за вербална.

Пример 7

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример за „направи си сам“. В задачата има няколко действия, така че е удобно да подредите решението точка по точка.

Е наш забавно пътуванепродължава:

Разстояние от точка до линия

Пред нас е права ивица от реката и нашата задача е да я достигнем по най-краткия път. Няма препятствия, а най-оптималният маршрут ще бъде движението по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрията традиционно се обозначава с гръцката буква "ro", например: - разстоянието от точката "em" до правата линия "de".

Разстояние от точка до линия се изразява с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, от което се нуждаете, е внимателно да замените числата във формулата и да направите изчисленията:

Отговор:

Нека изпълним чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако направите рисунка върху карирана хартия в мащаб 1 единица. \u003d 1 cm (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Помислете за друга задача според същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точката, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам да извършите действията сами, но ще очертая алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на права.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на сегментанамирам .

Няма да е излишно да проверите дали разстоянието също е равно на 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но в кулата микрокалкулаторът помага много, позволявайки ви да броите обикновени дроби. Съветвал съм много пъти и ще препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример за независимо решение. Малък съвет: има безкрайно много начини за решаване. Разбор в края на урока, но по-добре се опитайте да познаете сами, мисля, че успяхте да разпръснете изобретателността си добре.

Ъгъл между две прави

Какъвто и да е ъгълът, тогава джамът:


В геометрията ъгълът между две прави се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащите се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентиранипурпурен ъгъл.

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, посоката на "превъртане" на ъгъла е фундаментално важна. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например, ако .

Защо казах това? Изглежда, че можете да се справите с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че във формулите, по които ще намираме ъглите, лесно може да се получи отрицателен резултат и това не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа за отрицателен ъгъл е задължително да посочите ориентацията му (по часовниковата стрелка) със стрелка.

Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

РешениеИ Метод първи

Помислете за две прави линии, дадени от уравнения в общ вид:

Ако прав не перпендикулярно, Че ориентиранъгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Нека обърнем специално внимание на знаменателя - това е точно скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата изчезва и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще бъдат перпендикулярни. Ето защо е направена уговорка за неперпендикулярността на линиите във формулировката.

Въз основа на гореизложеното решението е удобно формализирано в две стъпки:

1) Изчислете скаларното произведение на насочващи вектори на прави линии:
така че линиите не са перпендикулярни.

2) Намираме ъгъла между линиите по формулата:

Като се използва обратна функциялесно намиране на самия ъгъл. В този случай използваме нечетността на аркутангенса (виж Фиг. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

В отговора посочваме точната стойност, както и приблизителната стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, значи минус, всичко е наред. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в условието на задачата първото число е права линия и "усукването" на ъгъла започва именно от нея.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените правите линии, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .

Нека в пространството са дадени прави лИ м. През някаква точка А от пространството прекарваме прави л 1 || лИ м 1 || м(фиг. 138).

Обърнете внимание, че точката A може да бъде избрана произволно, по-специално тя може да лежи на една от дадените линии. Ако прав лИ мпресичат, тогава A може да се приеме за пресечна точка на тези прави ( л 1 = лИ м 1 = m).

Ъгъл между неуспоредни прави лИ ме стойността на най-малкия от съседните ъгли, образувани от пресичащи се прави линии л 1 И м 1 (л 1 || л, м 1 || м). Ъгълът между успоредните прави се приема за нула.

Ъгъл между линиите лИ мозначено с \(\widehat((l;m)) \). От определението следва, че ако се измерва в градуси, тогава 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90° и ако е в радиани, тогава 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Задача.Даден е кубът ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (фиг. 139).

Намерете ъгъла между правите AB и DC 1 .

Пресичане на права AB и DC 1. Тъй като правата DC е успоредна на правата AB, ъгълът между правите AB и DC 1, според определението, е равен на \(\widehat(C_(1)DC)\).

Следователно \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Директен лИ мНаречен перпендикулярен, ако \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Например в куб

Изчисляване на ъгъла между линиите.

Задачата за изчисляване на ъгъла между две прави линии в пространството се решава по същия начин, както в равнината. Означаваме с φ ъгъла между правите л 1 И л 2 , а през ψ - ъгълът между насочващите вектори А И b тези прави линии.

Тогава ако

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (фиг. 206.6), тогава φ = 180° - ψ. Очевидно е, че и в двата случая е вярно равенството cos φ = |cos ψ|. Съгласно формулата (косинусът на ъгъла между ненулевите вектори a и b е равен на скаларното произведение на тези вектори, разделено на произведението на техните дължини) имаме

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

следователно,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Нека линиите да бъдат дадени сами канонични уравнения

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; И \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Тогава ъгълът φ между линиите се определя с помощта на формулата

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Ако една от линиите (или и двете) е дадена от неканонични уравнения, тогава за да изчислите ъгъла, трябва да намерите координатите на векторите на посоката на тези линии и след това да използвате формула (1).

Задача 1.Изчислете ъгъла между линиите

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;и\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Насочващите вектори на прави линии имат координати:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

По формула (1) намираме

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Следователно ъгълът между тези прави е 60°.

Задача 2.Изчислете ъгъла между линиите

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) и \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\край (случаи) $$

Зад водещия вектор А вземете първия ред векторен продуктнормални вектори н 1 = (3; 0; -12) и н 2 = (1; 1; -3) равнини, определящи тази права. По формулата \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) получаваме

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

По същия начин намираме вектора на посоката на втората права линия:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Но формула (1) изчислява косинуса на желания ъгъл:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Следователно ъгълът между тези прави е 90°.

Задача 3.В триъгълната пирамида MAVS ръбовете MA, MB и MC са взаимно перпендикулярни (фиг. 207);

техните дължини са съответно равни на 4, 3, 6. Точка D е средата [MA]. Намерете ъгъла φ между правите CA и DB.

Нека SA и DB са посочващите вектори на правите SA и DB.

Нека вземем точката M като начало на координатите. По условието на задачата имаме A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Следователно \(\стрелка надясно(CA)\) = (4; - 6;0), \(\стрелка надясно(DB)\)= (-2; 0; 3). Използваме формула (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Според таблицата на косинусите откриваме, че ъгълът между правите CA и DB е приблизително 72 °.

Ъгъл φ общи уравнения A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, се изчислява по формулата:

Ъгъл φ между две прави линии канонични уравнения(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 и (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, се изчислява по формулата:

Разстояние от точка до линия

Всяка равнина в пространството може да бъде представена като линейно уравнениеНаречен общо уравнениесамолет

Особени случаи.

o Ако в уравнение (8), тогава равнината минава през началото.

o С (,) равнината е успоредна съответно на оста (ос, ос).

o Когато (,) равнината е успоредна на равнината (равнина, равнина).

Решение: използвайте (7)

Отговор: общото уравнение на равнината.

Пример.

Равнината в правоъгълната координатна система Oxyz се дава от общото уравнение на равнината . Запишете координатите на всички нормални вектори в тази равнина.

Знаем, че коефициентите за променливите x, y и z в общото уравнение на равнината са съответните координати на нормалния вектор на тази равнина. Следователно нормалният вектор на дадената равнина има координати. Наборът от всички нормални вектори може да бъде даден като.

Напишете уравнението на равнина, ако в правоъгълна координатна система Oxyz в пространството тя минава през точка , А е нормалният вектор на тази равнина.

Представяме две решения на този проблем.

От състоянието, което имаме. Заменяме тези данни в общото уравнение на равнината, минаваща през точката:

Напишете общото уравнение за равнина, успоредна на координатната равнина Oyz и минаваща през точката .

Равнина, която е успоредна на координатната равнина Oyz, може да бъде дадена чрез общо непълно уравнение на равнината от формата . Тъй като точката принадлежи на равнината по условие, тогава координатите на тази точка трябва да удовлетворяват уравнението на равнината, тоест равенството трябва да е вярно. От тук намираме. Така желаното уравнение има формата.

Решение. Векторното произведение, по дефиниция 10.26, е ортогонално на векторите p и q. Следователно тя е ортогонална на желаната равнина и векторът може да се приеме за неин нормален вектор. Намерете координатите на вектора n:

това е . Използвайки формула (11.1), получаваме

Отваряйки скобите в това уравнение, стигаме до крайния отговор.

Отговор: .

Нека пренапишем нормалния вектор във формата и да намерим неговата дължина:

Според горното:

Отговор:

Паралелните равнини имат еднакъв нормален вектор. 1) От уравнението намираме нормалния вектор на равнината:.

2) Съставяме уравнението на равнината според точката и нормалния вектор:

Отговор:

Векторно уравнение на равнина в пространството

Параметрично уравнение на равнина в пространството

Уравнение на равнина, минаваща през дадена точка перпендикулярно на даден вектор

Нека в триизмерното пространство е дадена правоъгълна декартова координатна система. Нека формулираме следния проблем:

Напишете уравнение за равнина, минаваща през дадена точка М(х 0, г 0, z 0) перпендикулярен на дадения вектор n = ( А, б, ° С} .

Решение. Позволявам П(х, г, z) е произволна точка в пространството. Точка Ппринадлежи на равнината тогава и само ако векторът MP = {х − х 0, г − г 0, z − z 0) ортогонален на вектор н = {А, б, ° С) (Фиг. 1).

След като написа условието за ортогоналност за тези вектори (n, MP) = 0 в координатна форма, получаваме:

А(х − х 0) + б(г − г 0) + ° С(z − z 0) = 0

Уравнение на равнина с три точки

Във векторна форма

В координати

Взаимно разположение на равнините в пространството

– общи уравнениядва самолета. Тогава:

1) ако , тогава равнините съвпадат;

2) ако , тогава равнините са успоредни;

3) ако или , тогава равнините се пресичат и системата от уравнения

(6)

са уравненията на пресечната линия на дадените равнини.

Решение: Съставяме каноничните уравнения на правата по формулата: Отговор:

Взимаме получените уравнения и мислено „защипваме“, например лявото парче: . Сега приравняваме това парче на произволен номер(запомнете, че вече имаше нула), например до едно: . Тъй като , тогава другите две "парчета" също трябва да бъдат равни на едно. По същество трябва да разрешите системата:

Напишете параметрични уравнения за следните редове:

Решение: Правите са дадени чрез канонични уравнения и на първия етап трябва да се намери някаква точка, принадлежаща на правата и нейния насочващ вектор.

а) От уравненията премахнете точката и вектора на посоката: . Можете да изберете друга точка (как да направите това е описано по-горе), но е по-добре да вземете най-очевидната. Между другото, за да избегнете грешки, винаги замествайте координатите му в уравненията.

Нека съставим параметричните уравнения на тази права линия:

Удобството на параметричните уравнения е, че с тяхна помощ е много лесно да се намерят други точки от линията. Например, нека намерим точка, чиито координати, да речем, съответстват на стойността на параметъра:

Така: b) Разгледайте каноничните уравнения . Изборът на точка тук е лесен, но коварен: (внимавайте да не объркате координатите!!!). Как да извадя водещ вектор? Можете да спорите на какво е успоредна тази права линия или можете да използвате прост формален трик: има „y“ и „z“ в пропорция, така че записваме вектора на посоката и поставяме нула в оставащото пространство: .

Съставяме параметричните уравнения на правата:

в) Нека пренапишем уравненията във формата , тоест "Z" може да бъде всичко. И ако има, тогава нека, например, . Следователно точката принадлежи на тази права. За да намерим вектора на посоката, използваме следната формална техника: в началните уравнения има "x" и "y", а във вектора на посоката на тези места записваме нули: . На останалото място поставяме мерна единица: . Вместо едно, всяко число, освен нула, ще свърши работа.

Записваме параметричните уравнения на правата линия:

Ще бъда кратък. Ъгъл между две прави равен на ъгъламежду техните насочващи вектори. По този начин, ако успеете да намерите координатите на насочващите вектори a \u003d (x 1; y 1; z 1) и b \u003d (x 2; y 2; z 2), можете да намерите ъгъла. По-точно, косинусът на ъгъла по формулата:

Нека да видим как работи тази формула на конкретни примери:

Задача. Точките E и F са отбелязани в куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - средите съответно на ръбовете A 1 B 1 и B 1 C 1. Намерете ъгъла между правите AE и BF.

Тъй като ръбът на куба не е посочен, задаваме AB = 1. Въвеждаме стандартна координатна система: началото е в точка A, а осите x, y, z са насочени съответно по AB, AD и AA 1 . Единичният сегмент е равен на AB = 1. Сега нека намерим координатите на насочващите вектори за нашите линии.

Намерете координатите на вектора AE. За да направим това, имаме нужда от точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Тъй като точката E е средата на отсечката A 1 B 1 , нейните координати са равни на средноаритметичната стойност на координатите на краищата. Обърнете внимание, че началото на вектора AE съвпада с началото, така че AE = (0,5; 0; 1).

Сега нека се заемем с вектора BF. По подобен начин анализираме точките B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), тъй като F - средата на сегмента B 1 C 1 . Ние имаме:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

И така, векторите на посоката са готови. Косинусът на ъгъла между линиите е косинусът на ъгъла между насочващите вектори, така че имаме:

Задача. В правилна тристенна призма ABCA 1 B 1 C 1 , всички ръбове на която са равни на 1, са отбелязани точките D и E - средите на ръбовете съответно A 1 B 1 и B 1 C 1. Намерете ъгъла между правите AD и BE.

Въвеждаме стандартна координатна система: началото е в точка A, оста x е насочена по AB, z - по AA 1 . Насочваме оста y така, че равнината OXY да съвпада с равнината ABC. Единичният сегмент е равен на AB = 1. Намерете координатите на насочващите вектори за желаните прави.

Първо, нека намерим координатите на вектора AD. Разгледайте точките: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), тъй като D - средата на сегмента A 1 B 1 . Тъй като началото на вектора AD съвпада с началото, получаваме AD = (0,5; 0; 1).

Сега нека намерим координатите на вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) е лесна за изчисляване. С точка E - средата на сегмента C 1 B 1 - малко по-трудно. Ние имаме:

Остава да намерим косинуса на ъгъла:

Задача. В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, всички ръбове на която са равни на 1, са отбелязани точките K и L - средите на ръбовете A 1 B 1 и B 1 C 1, съответно. Намерете ъгъла между правите AK и BL.

Въвеждаме стандартна координатна система за призма: поставяме началото на координатите в центъра на долната основа, насочваме оста x по FC, оста y през средните точки на сегменти AB и DE и оста z вертикално нагоре. Единичният сегмент отново е равен на AB = 1. Нека напишем координатите на точките, които ни интересуват:

Точките K и L са средите съответно на отсечките A 1 B 1 и B 1 C 1, така че техните координати се намират чрез средноаритметичното. Познавайки точките, намираме координатите на насочващите вектори AK и BL:

Сега нека намерим косинуса на ъгъла:

Задача. В дясно четириъгълна пирамида SABCD, всички ръбове на който са равни на 1, отбелязани са точките E и F - средите съответно на страните SB и SC. Намерете ъгъла между правите AE и BF.

Въвеждаме стандартна координатна система: началото е в точка А, осите x и y са насочени съответно по AB и AD, а оста z е насочена вертикално нагоре. Единичният сегмент е равен на AB = 1.

Точките E и F са средите съответно на отсечките SB и SC, така че техните координати се намират като средноаритметично на краищата. Записваме координатите на точките, които ни интересуват:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Познавайки точките, намираме координатите на насочващите вектори AE и BF:

Координатите на вектора AE съвпадат с координатите на точка E, тъй като точка A е началото. Остава да намерим косинуса на ъгъла: