Триъгълниците са равни на два ъгли и страни. Трети признак за равенството на триъгълниците
Международна научна и практическа конференция "Първи стъпки към науката"
"Нови" признаци на равенство на триъгълниците
Математика
9б клас MBou "Брянск град
лицеум номер 2 "
ЛИДЕР: Учител по математика
Брянск 2013.
1. Въведение
2. Създаване на директория на основните задачи за изграждане с циркулация и владетел
3. Сравнение на изследваните характеристики на равенството на триъгълниците и задачите за изграждане на триъгълници. Въвеждане на нов метод за доказване на признаци на равенство на триъгълниците
4. Доказателство за нови признаци на равенство на триъгълниците
5. Обобщение на получените резултати
6. използването на нови признаци на равенство на триъгълниците при решаване на проблеми
7. Заключение
I.Въведение
"Ако две страни и ъгъл между тях са един триъгълник ... ..". Научих като таблично умножение, признаци на равенство на триъгълниците. Стотици пъти цитирахме и ги прилагахме при решаване на проблеми. Изглежда, че може да е по-лесно? Ние знаем всичко за това!
Въпреки това все още имаше въпроси, отговорите, на които те не ни дават мир. Методът на наслагване, използван за доказване на първия знак за равенство, ни се струваше донякъде изкуствен. Затова никога не сме го използвали в решаването на задачи? Защо толкова малко признаци на равенството на триъгълниците? В 8-ми клас построени триъгълници във всичките две страни и ъгъл между тях. Злополука? Но по математика няма случайни съвпадения.
Може би намирането на връзка между решаването на проблеми при изграждането на триъгълници и признаци на равенство, ние получаваме нов метод Доказателство за PRT. "Въоръжени" те ще могат да докажат други признаци на равенството на триъгълниците. Ние сме уверени, че те са много повече от 3!
За да се уверите, че отговорите на тези въпроси са притеснени не само от нас, ние проведохме социологическо проучване сред учениците на учениците и ликума (вж. Приложение 3).
Нашите предположения бяха потвърдени. Повечето ученици знаят само 3 признака на равенството на триъгълниците. Методът за налагане не е много популярен. Задачите на строителството също не изглеждат интересна тема в геометрията. Етап от изследването, много от тях обикновено се считат за излишни.
По този начин, предназначение Нашето проучване беше констатацията на по-разбираем метод за доказване на признаци на равенство на триъгълниците и новите признаци на равенството на триъгълниците.
Беше изключително важно да се добави списък на най-простите задачи за строителството, проучени в седмия клас, други елементарни сгради, които сме преминали в течение на осмия и девети клас. Общо 12 основни конструкции (виж допълнение 1). В хода на по-нататъшните изследвания ще се позовем многократно към този списък.
Трябва да се отбележи, че всички задачи, които сме решили според алгоритъма: Дано - за изграждане на анализ - доказване - научни изследвания. За прости задачи и задачи е известно, че решението е известно, намалихме анализа.
Най-голямо внимание бе отделено на последния етап - проучване, което ни даде възможност да намерим нов метод за доказване.
Чертежите бяха решени да се представят в програмата за боя, така че стана необходимо да се научат да работят предварително.
II. Създаване на каталог на основните задачи за изграждане с циркулация и владетел
Повечето от нашата работа е да решават проблеми за изграждане на триъгълници, така че на първия етап на работа сме събрали списък на прости сгради. Това даде възможност да се правят проблеми със задачите по-кратки и красиви.
Всички задачи, които сме решили според плана: Дано - изграждане - сграда - докажете - доказателство - проучване. Специално значение бе отделено на учебния етап.
Основните конструкции бяха решени в различни раздели на геометрия 7 и 8 клас. Събрахме ги в една директория.
1) изграждане на сегмент, равен на това;
2) изграждане на ъгъл, равен на това;
3) конструиране на ъглови бисектор;
4) изграждане на средата на сегмента;
5) изграждане на перпендикуляра чрез точката, която лежи / не лежи на този ред;
6) изграждането на права линия успоредно на това;
7) изграждането на трети ъгъл, по две известни;
8) Изграждане на допирателна към обиколката, през точката не лежи върху този кръг;
9) разделяне на сегмента в определена връзка;
10) разделяне на сегмента в определен период на сегменти;
11) разделяне на сегмента на n равни сегменти.
Подробното решение на тези задачи е представено в допълнение 1.
III. Сравнение на изследваните признаци на равенството на триъгълниците и задачите за изграждане на триъгълници. Полагане на нов метод за доказване на признаци на равенство на триъгълниците.
За да търсите нов метод на доказване на PRT, сравнихме състоянието на първата PRT с условието на една от задачите за изграждане. Те бяха еднакви и предложихме това не случайно и решението на строителната задача ще ни накара да намерим нов метод за доказване.
Изграждане на триъгълник на две страни и ъгъл между тях
https://pandia.ru/text/78/103/images/image003_23.jpg "Width \u003d" 667 "Height \u003d" 82 ID \u003d "\u003e
Заключение: от уникалността на строителството, всички триъгълници, в които две страни и ъгъл между тях са съответно равни на посочените елементи са равни.
Изграждане на триъгълник отстрани и два коригиращи ъгли
https://pandia.ru/text/78/103/images/image007_16.jpg "Ширина \u003d" 629 "Височина \u003d" 497 "\u003e
PRT, доказва се в решаването на този проблем, звучи така: "Ако две страни и медиана, прекарани на третия, един триъгълник, съответно, са равни на две страни и медиана, изразходвана на третия, друг триъгълник, тогава тези триъгълници са равни . "
Но не всички задачи бяха решени толкова прости. Например, задачата за изграждане на две страни и на ъгъла в непосредствена близост до една от страните, новият знак за равенство не дава. Въпреки това ни струва малко промяна, а е полудна друга PRT. Решението на тази задача беше особено важно за нас, защото състоянието му измислихме със себе си.
https://pandia.ru/text/78/103/images/image010_3.png "Ширина \u003d" 630 "Височина \u003d" 340 ID \u003d "\u003e
След решаването на тази задача се обърнахме към интернет ресурсите и научихме, че това твърдение понякога се нарича 4 знак за равенството на триъгълниците. Неговото доказателство е дадено от професор на Московския държавен университет, на площадката "Математика в училище", създателят на който е факултет педагогическо образование MSU, наречено. Това доказателство е основно различно от предложеното. Пълно доказателство ще намерите http: // www. Училище. ***** ///.
V. Обобщение на получените резултати
Така че открихме нов метод на доказване на PRT. Ако в три елемента триъгълникът е конструиран единственият, съответното равенство на тези елементи в два триъгълника означава, че триъгълниците са равни.
Този метод позволи да се създадат нови признаци на равенството на триъгълниците:
4 TRT. От две страни и ъгъл, противопоставяйки се на повече от тях.
5 TRT. Отстрани, противоположен ъгъл и височина, проведени от върха на този ъгъл.
6 TRT. Под два ъгъла и височина, проведена от върха на третата.
7 TRT. На два ъгъла и периметър (два решения).
8 Pret. На две партии и средни, прекарани на третата.
9 TRT. От трима медии.
10 pт. За два ъглови и страни в непосредствена близост до един от тях.
Подробно доказателство за всеки от тях е представено в допълнение 3.
VI. Прилагане на нови признаци на равенство на триъгълниците при решаване на проблеми
Може би някой не е напълно убеден в важността на нашите изследвания. Разбира се, всяко изследване е важно само по себе си, защото това е проучване на проблема, намирането на отговори на въпроси ... но нашата работа има по-категоричен практическа стойностотколкото просто интерес. В крайна сметка, набор от геометрични задачи изисква познаване на признаци на равенство на триъгълниците, и колкото повече знаци, толкова по-разнообразен решението.
Учебникът "Геометрия 7-9" Атанасян осигурява задача за увеличаване на броя на сложността 000 *
Представяме своето решение по два начина.
1 метод. "Удвояване на медиаците"
Доказателство:
Md \u003d am, doc
M1D1 \u003d A1M1, D1preamed A1M1
2) AM \u003d MD и BM \u003d MC \u003d\u003e ABCD-паралелограма (въз основа на)
3) A1M1 \u003d M1D1 и B1M1 \u003d M1C1 \u003d\u003e A1B1C1D1-паралелограми (на базата)
4) DVS \u003d DA1B1C1, защото: AV \u003d A1B1 (при условие)
AD \u003d 2AM \u003d 2A1M1 \u003d A1D1
B1D1 \u003d A1C1 \u003d A1C1 \u003d B1D1 (чрез свойството на паралелезарията)
5) От равенството на DAVD и DA1B1D1, равенството на ъгъла трябва да бъде равно на ъгъла \u003d 180 ° C \u003d 180 ° C1D1D1 \u003d 180 ° C1O1D1D1 \u003d 180 ° C
6) Разгледайте DVS и DA1B1C1:
AV \u003d A1B1; AC \u003d A1C1, чрез условие; \u003d ÐA1, според доказаната \u003d\u003e da1b1c1 \u003d da1b1c1 от двете страни и ъгъла между тях.
2 метод. С приложение 7.
Доказателство:
При условие AV \u003d A1V1; AC \u003d A1C1; Am \u003d A1M1. Следователно, DAVS \u003d DA1B1C1 от двете страни и медиана, прекарани на третия (7).
Очевидно 2 път е много по-къса.
VII. Заключение
Нека обобщете: Открихме метода на доказване на PRT, различен от метода на приложение, доказали "нови" признаци на равенството на триъгълниците и решават задачите с използването на тези знаци.
Ние също така се уверихме, че в най-простия, на пръв поглед темата може да скрие много тайни. И задачите за изграждане на триъгълници, които изглеждаха скучни и ненужни за нас, станаха много по-интересни и няма повече съмнения за тяхната значимост.
Намерихме "инструмент", с който е лесно да се търсят нови признаци на равенство на триъгълниците. Сега, ако е необходимо, можем да проверим дали набор от три елемента е знак за равенството на триъгълниците или не. И несъмнено процесът на търсене на първия метод на доказване постъпленията първо доставиха голямо удоволствие и впоследствие отварянето на нови признаци на равенството на триъгълниците. По пътя усвоихме програмата за боя.
Не можем да твърдим, че са първите, които правят този проблем. И най-вероятно този метод на доказване на PRT ни е известен. Може би пропуснахме нещо в метода "нашия" не всички гладко. Ето защо, ние искаме да представим работата си с широк кръг от читатели. Тяхното мнение е много важно за нас. За това проучването поставихме на уебсайта "Виртуален музей на Лицем № 2" (http: // www. ***** /) и обвърза кореспонденция с професор. Свързахме се с него, за да прегледаме работата си.
Учениците и учителите могат да се възползват от резултатите от нашите изследвания при подготовката за уроци и изпити. Например, за да използвате разширен списък на основните задачи за изграждане, открийте нов метод на доказване, за независимо доказване на признаци на равенство на триъгълниците, както и да се възползват от вече доказаните знаци. Много е важно да стане възможно да се намали времето за решаване на проблеми върху геометрията в контрола и изпитите.
Библиография
1. и други. Геометрия: Урок за 7-9 класа общи образователни институции. 8-ми ed.-M.: Просвещение, Москва урок АД, 2010.
2. "Всеки матсхланкер трябва да знае това." 5-то издание, стереотип. - m.: Mcnmo, 2008-56.
3. "Четвъртият знак за равенството на триъгълниците", "математика в училище" http: // www. Училище. ***** ///.
4. Сайт "Музей на виртуални лицеума № 2" (http: // www. ***** /)
Приложение 1.
Най-простите задачи за изграждане
Основни конструкции с циркулация и владетел
Проучване:
Изграждане на единствената чрез уникалността на всяка конструкция.
Забележка:PQ.- личен перпендикулярен на сегмента AV
Допълнение 2.
Задачи за изграждане на триъгълници
4. Изградете триъгълник по два ъглови и страни в непосредствена близост до един от тези ъгли.
5. Изградете триъгълник отстрани, противоположен ъгъл и височина, провеждани от този ъгъл
(Ще реша задачата на метода на геометрични места на точки)
6. Изградете триъгълник на два ъгъла и височина, проведена от третата.
(Ще реша задачата на метода на приликата)
7. Изграждане на триъгълник на две страни и ъгъл, в непосредствена близост до една от тези партии
От далечни времена до този ден търсенето на признаци на равенство на цифрите се счита за основна задача, която е в основата на графиката на геометрията; Стотици теореми се доказват с помощта на признаци на равенство. Способността да се докаже равенството и сходството на цифрите е важна задача във всички сфери на строителство.
Във връзка с
Прилагане на умения за обучение
Да предположим, че имаме фигура, начертана на лист хартия. В същото време имаме владетел и транспорт, с който можем да измерим дължините на сегментите и ъглите между тях. Как да се прехвърлят към втория лист хартия с форма на едни и същи размери или да увеличите скалата два пъти.
Знаем, че триъгълникът е фигура, състояща се от три сегмента, наречена оформяне на ъглите. Така има шест параметъра - три страни и три ъгли, които определят тази фигура.
Въпреки това, измерване на величината на трите страни и ъгли, прехвърлете тази форма на друга повърхност, ще бъде трудна задача. Освен това има смисъл да зададете въпрос: и дали ще има знание за параметрите на две страни и един ъгъл, или само три страни.
Измерване на дължината на двете страни и между тях, след това отложи този ъгъл на нов лист хартия, така че можем напълно да пресъздадем триъгълника. Нека да разберем как да направим това, да научите как да докажем знаците, които могат да се считат за същото, и ние ще определим как минималният брой параметри е достатъчен, за да се получи увереност, че триъгълниците са едни и същи.
Важно! Цифрите се наричат \u200b\u200bсъщото, ако сегментите, които ги образуват, и ъглите са равни един на друг. Такива са следните фигури, в които страните и ъглите са пропорционални. По този начин равенството е подобие със съотношението на пропорционалността 1.
Какви са признаците на равенството на триъгълниците, нека ги определят:
- първият знак за равенство: два триъгълника могат да се считат за същото, ако те са равни на двете си партита, както и ъгъла между тях.
- вторият знак за равенството на триъгълниците: два триъгълника ще бъде същата, ако е същият два ъгъл, както и съответната страна между тях.
- трети признак за равенството на триъгълниците : Триъгълниците могат да се считат за същото, когато всичките им партита имат еднаква дължина.
Как да докажете, че триъгълниците са равни. Ние даваме доказателство за равенството на триъгълниците.
Доказателство 1 знак
Дълго време, сред първите математици, тази функция се счита за аксиома, но се оказа, че може да се окаже геометрично да се докаже, разчитайки на по-основни аксиоми.
Помислете за два триъгълника - км и К 1 m 1 n 1. СМ.Мастта има същата дължина като k 1 m1 и kN \u003d k1N1. И ъгълът mkn. равен на ъглите Kmn и m 1 k 1 n 1.
Ако разгледаме km и k 1 m 1, kN и k 1N 1 като два лъча, които излизат от една точка, може да се каже, че между тези двойки на лъчите е същите ъгли (това се дава от състоянието на теоремата ). Пост паралелен трансфер Лъчи K 1 m 1 и K1N1 от точка K 1 до точка K. Поради този трансфер, лъчите K 1 m1 и K1N1 напълно съвпадат. Ние ще отложим на лъча K 1 m 1 сегмент дължина на cm, произхождаща от точката K. Тъй като чрез полученото от условията сегмент и ще бъде равен на сегмента K 1 m 1, че точките m и m 1 съвпадат. По същия начин, с сегменти KN и K1N1. Така, превозваща K 1 m 1N 1, така че точките k 1 и k съвпадат, а двете страни са насложени, ние получаваме пълно съвпадение и самите фигури.
Важно! Има доказателства за равенството на триъгълниците по две страни и ъгъл с помощта на алгебрични и тригонометрични идентичности с цифрови стойности на страните и ъглите. Въпреки това, исторически и математически, теоремата е формулирана много преди алгебра и по-рано от тригонометрията. Да докаже тази функция на теоремата, за да използва нещо различно от основните аксиоми, неправилно.
Знак за доказателство 2
Доказваме втория знак за равенство върху двата ъгъла и страната, въз основа на първата.
Знак за доказателство 2
Помислете за KMN и PRS. K е равен на p, n е S. Side KN има същата дължина като PS. Необходимо е да се докаже, че KMN и PRS са едни и същи.
Отразяват точката m по отношение на лъча kN. Получената точка ще се нарича L. в този случай, дължината на частта на km \u003d cl. NKL е PRS. Knl е RSP.
Тъй като сумата на ъглите е 180 градуса, KLN е равна на PRS, което означава PRS и KLN - същото (подобно) от двете страни и ъгъла, според първия знак.
Но тъй като KNL е равен на кмн, тогава KMN и PRS са две идентични фигури.
Доказателство 3 знак
Как да се установи, че триъгълниците са равни. Това директно следва от доказателството на втората функция.
Дължина kn \u003d ps. Тъй като k \u003d p, n \u003d s, kl \u003d km, с kn \u003d ks, mn \u003d ml, тогава:
Това означава, че и двете цифри са подобни един на друг. Но тъй като техните партии са еднакви, тогава те също са равни.
От признаците на равенство и сходството предполага много последствия. Един от тях е, че за да се определят двата триъгълника са равни или не, е необходимо да се познават техните свойства, независимо дали са еднакви:
- трите страни;
- двете страни и ъгъл между тях;
- и двата ъгъла и страна между тях.
Използване на знак за равенство на триъгълниците за решаване на проблеми
Последствията от първия знак
В хода на доказателството можете да стигнете до редица интересни и полезни последствия.
- . Фактът, че точката на пресичане на диагоналите паралелограма ги разделя на две идентични части, е следствие от признаци на равенство и е доста податлив на доказателства. Факторите на допълнителен триъгълник (с огледално строителство, както и в доказателствата, които извършихме) са партиите на главната (страна на паралелара).
- Ако има два правоъгълни триъгълника, които имат идентични остри ъгли, тогава те са като. Ако в същото време предният CATT е равен на втория капак, тогава те са равни. Лесно е да се разбере това - всички правоъгълни триъгълници имат прав ъгъл. Следователно признаците на равенство са по-прости за тях.
- Два триъгълника с прави ъгли, в които две категории имат еднаква дължина, могат да се считат за същото. Това се дължи на факта, че винаги има 90 градуса между две категории. Ето защо, на първата база (от двете страни и ъгъла между тях), всички триъгълници с директни ъгли и идентични категории са равни.
- Ако има два правоъгълни триъгълника и имат една катат и хипотенуза равна, тогава триъгълниците са едни и същи.
Доказваме тази проста теорема.
Има два правоъгълни триъгълника. Една ръка А, В, С, където С е хипотенуза; A, B - Kartets. Във втората ръка n, m, l, където l е хипотенуза; M, n - kartets.
Според теоремата Pythagore, един от катетите е равен на:
;
.
Така, ако n \u003d a, l \u003d c (равнопоставеност на катетри и хипотензи), съответно, вторият лодки ще бъде равен. Цифрите, съответно, ще бъдат равни на третата основа (за три страни).
Отбелязваме друга важна последица. Ако има два равни триъгълника, и те са подобни на подобие съотношение k, т.е. двойката отношения на всичките им партита са равни на k, тогава съотношението на техните площи е равно на K2.
Първия знак за равенството на триъгълниците. Видео урок за геометрия клас 7
Геометрия 7 Първи признаци на равенство на триъгълниците
Изход
Смятаме, че темата ще помогне на всеки ученик по-добре да разбере основните геометрични концепции и да увеличи уменията си в най-интересния свят на математиката.
Признаци на равенство на триъгълниците
Равен се нарича триъгълници, в които съответните страни са равни.
Теорема (първият знак за равенството на триъгълниците).
Ако между тях са затворени две страни и ъгъл, един триъгълник е съответно равен на две страни и ъгълът, сключен между тях, друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.
Теорема (вторият знак за равенството на триъгълниците).
Ако страната и два ъгъл в непосредствена близост до нея, един триъгълник, съответно, са равни настрани и два триъгълни ъгли в непосредствена близост до нея, тогава такива триъгълници са равни.
Теорема (трети знак за равенството на триъгълниците).
Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.
Признаци на сходство на триъгълниците
Такива триъгълници се наричат, в които ъглите са равни и подобни партии са пропорционални на:, 
къде - съотношението на подобието.
Подписвам като триъгълници. Ако два ъгъл на един триъгълник са съответно два ъгъла на другия, тогава тези триъгълници са сходни.
II знак като триъгълници. Ако трите страни на един триъгълник са пропорционални на трите страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са сходни.
III знак като триъгълници. Ако две страни на един триъгълник са пропорционални на двете страни на друг триъгълник, и ъглите, сключени между тези страни, са равни, тогава такива триъгълници са сходни.
Podgorny Maxim.
Материал изследователска работа Може да се използва за кръгове на геометрията в 7 клас
Изтегли:
Визуализация:
МБУ към град Ростов-он-Дон "Дворецът на творчеството на децата и младежите"
Дон академия на науките на младите изследователи. Ю. А. Жданова
Математика
Тема: "Нестандартни теореми за равенството на триъгълниците"
Podgorny maxim, 7 cl.,
Mbou sosh номер 3,
Лидер:
Oleinikova Lyudmila Aleksandrovna,
математически учител,
Mbou sosh номер 3,
salsk, регион Ростов
rostov-on-don
2017 година
Въведение ................................................. ..................................... 3.
Главна част
Признаци на равенството на триъгълниците .............................................. ....... 4.
Нестандартни признаци на равенство на триъгълниците .............................. .7
Заключение ................................................... ............................. 10.
Списък на препратките ................................................. ........................ 11.
приложение
Въведение
Съответствие:
Триъгълникът е една от основните фигури в планината. Чух много от учениците от гимназията, че когато се подготвя за изпита, те често трябва да докажат равенството на триъгълниците. И се оказва недостатъчно познаване на основните признаци. Исках да знам дали е възможно да се докаже равенството на триъгълниците според други параметри. В учебника на геометрията, според която учениците от нашето училище (авторите на Л.А.Танасиан, v.f. Бузов и др. Геометрия 7-9) Има само 3 признака на равенството на триъгълниците. Видях образователни и методически комплекти други автори. Но се предлагат само три известни теореми.
Хипотеза:
Може би дали да се формулира, с изключение на три известни, други признаци на равенството на триъгълниците?
За да сте сигурни, че отговорът на този въпрос не се тревожи не само, аз проведох социологическо проучване сред учениците в клас 7-11, виж допълнение 1).
Моите предположения бяха потвърдени. По-голямата част от учениците знаят само три признака на равенството на триъгълниците.
Така целта на изследването ми е констатацията на нови признаци на равенство на триъгълниците.
Задачи:
Θbuck литературата по темата в проучването.
Необходимо е да се използва броят на признаците на равенството на триъгълниците.
Θconscenize Вашите съученици и ученици от нашето училище съществуването на други признаци на равенството на триъгълниците и възможността за техните доказателства.
Обект на изследване:
Проучване на признаци на равенство на триъгълниците.
Предмет на проучване. Триъгълник, като една от основните фигури в планината.
Изследователски метод: Теоретично (проучване, анализ и синтез), търсене на системи, практични (доказателство теореми).
Исторически справочник
Триъгълникът е една от централните форми на цялата геометрия.
При решаване на задачи се използват най-различни свойства.
Свойствата на триъгълника са широко използвани на практика: в архитектурата; При разработване на сграда, при планиране на бъдещи апартаменти; в промишлеността, в проектирането на различни детайли, при производството на строителни материали, по време на изграждането на морски и въздухоплавателни средства; в навигация за изграждане на правилния и най-точен маршрут; В астрологията и астрономията триъгълникът е много значима фигура; Триъгълниците правят надеждни проекти за високоволтови електропроводи и железопътни мостове.
В допълнение, много други области, в които се прилагат различни свойства на триъгълника: стартиране на играта към билярд, е необходимо да се организират топки под формата на триъгълник, за да се използва специално устройство; Поставянето на ключове в боулинга също е под формата на равностранен триъгълник; За съставянето на красиви паркети се използват триъгълници; Устройството на Pascal триъгълник: всеки брой е равен на сумата от двете числа, разположени над него (за да се циркулира три числа триъгълник). Всичко е елементарно, но колко чудеса са осветени! Триъгълникът на Pascal се прехвърля на цветен език.
Темата на триъгълника може да продължи безкрайно.
Какви са триъгълниците не в света!
Има и преносими значения на тази цифра: например, правилото "Златен триъгълник" се основава на психологията на купувача - намиране на стоките, от които се нуждаете, купувачът се втурва към касата. Задачата на продавачите е да го накара да се задържа в магазина по-дълго, като постави стоките, от които се нуждаете в върховете на въображаемия триъгълник, т.е. да "наранявате" купувача. От него повече площад Триъгълник, толкова по-успешен можете да се обадите на оформлението на магазина. В магазина за хранителни стоки тези стоки са гастрономия, млечни продукти, хляб. Задната крайна стена на търговската зала е второто място по важност и е там, че е по-целесъобразно всички стоки-анкери - именно да принудят купувача да премине целия периметър на магазина.
Широко разпространен Бермудски триъгълник - Това е зоната в Атлантическия океан, която се твърди, че е загадъчното изчезване на морските и въздухоплавателните средства. Районът е ограничен до линии от Флорида до Бермудските острови, в рамките на Пуерто Рико и обратно във Флорида през Бахамите.
Ето защо, изследването на триъгълника и всичките му свойства е много подходяща тема.
Целта на тази работа е да се разкажат за признаците на равенството на триъгълниците, което е едно от най-важните им свойства.
Признаците на равенство на триъгълниците са теореми, въз основа на които можете да докажете товатриъгълници равен.
В геометрията се използват три признака на равенството на триъгълниците.
Тази тема е практически проучена, тъй като днес има три признака на равенството на триъгълниците, доказани от съответните теореми.
В дълбока античност, заедно с астрономията, науката се появи - тригонометрия. Думата "тригонометрия" е произведена от гръцкия "триъгълник" и "мярка". Буквална стойност - "наука за измервателните триъгълници".
С помощта на опънати въжета от 3, 4 и 5 единици египетските свещеници получиха директни ъгли при издирване на храмове и др.
Арт изобразени обекти в равнина от древни времена привлича човешкото внимание към себе си, хора, рисувани върху скали, стени, съдове и други домакински теми, различни орнаменти, растения, животни. Хората се стремят да гарантират, че изображението правилно е показано естествената форма на субекта.
Доктрината за сходството на цифрите, основана на теорията на отношенията и пропорциите, е създадена в Древна Гърция В 5-4 век до нашата ера и все още се развива. Например, много детски играчки, подобни на темите на света за възрастни, обувки и облекло на един лейдове, се произвеждат в различни размери. Тези примери могат да продължат. В крайна сметка всички хора са подобни един на друг и според Библията, създадоха своя Бог в своя образ и подобие.
Признаците на равенството на триъгълниците имат най-важното значение на геометрията, тъй като доказателствата за множество теореми са намалени до доказателството за равенството на някои триъгълници. Доказателството за признаци на равенство на триъгълниците е участвало в неподвижни питагорейци. Според eclary, Евден Родос се приписва на Falez Miletsky доказателство за равенството на два триъгълника, с еднаква страна и два ъгъла в непосредствена близост (втория знак за равенството на триъгълниците).
Тази теорема фаза използваше разстоянието от брега до морски кораби. Как се използваха фасите, точно не са известни.
Признаци на равенството на триъгълниците.
Да започнем с определението. ABC и A1B1C1 триъгълниците се наричат \u200b\u200bравни, ако могат да бъдат комбинирани с налагане.
Триъгълникът се състои от шест елемента: три ъгли и три страни.
В същото време възниква въпросът: "Какво трябва да се вземат най-малкият брой елементи на триъгълника, за да се установи равенството на два триъгълника?"
Няма да можем да установим равенството на два триъгълника на един елемент, защото той е неизвестен: "Ще бъдат ли равните на другите елементи?"
Също така е невъзможно да се установи равенството на два триъгълника, като се използват два елемента поради липса на информация за установяване на равенство.
Възможно е да се установи равенството на два триъгълника, като се използват три елемента. Но възниква въпросът: "Какво точно трябва да се наричат \u200b\u200bтри елемента, за да се установи равенството на триъгълниците?"
Когато изучавате този въпрос, видях училищните учебници на геометрията на различни автори, както и речници и справочници. В учебниците за седмия клас се предлагат само три признака на равенството на триъгълниците.
Θ1 знак : Ако двете страни и ъгълът между тях са един триъгълник, съответно, са равни на две страни и ъгъла между тях на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни. Фиг. 1
Доказателства. Помислете за триъгълнициABC и 1 B 1C 1 , (Фиг. 1), от което AV \u003d a1 B 1, AC \u003d A 1 C1 ∠ A \u003d ∠ a 1 . Доказваме, че δabc \u003d δa1 B 1 C 1.
Тъй като ∠a \u003d ∠a 1 , след това ABC триъгълник може да се приложи към триъгълника a1 в 1 s 1 така че връх А е съвместим с горната част на1 и страните на AB и AU ще бъдат поставени върху лъчите и1 в 1 и 1 С1. Тъй като AV \u003d A 1 B1, AS \u003d A 1 C1 тогава страната AV е съвместима със страната a1 в 1. и страната на AC - с партито a1 c 1. Шпакловка По-специално, точките в и в1, C и C 1 . Следователно страните на слънцето и в1 c 1. . Така, триъгълниците ABC и a1 в 1 s 1 Напълно монитори, това означава, че те са равни.
Но как в древния Египет прилага първия знак за равенството на триъгълниците (от две страни и ъгъла между тях), Създателят също се счита за Фалес Милцки, за да се измери височината на пирамидата: Представете си, че стоим пред огромна пирамида, как да измерваме височината си? В края на краищата, не прикрепяте измервателните уреди! И тук, първият знак за равенството на триъгълниците идва на спасяването на Фалец Миловски: той изчака сянката му точно съвпада с растежа си, приложи теорема, се оказа, че височината на пирамидата е равна на неговата сянка ( Фиг. 2).
Фиг. 2.
Θ2 Знак: Ако страната и два ъгъл в непосредствена близост до нея, един триъгълник, съответно, са равни настрани и два триъгълни ъгли в непосредствена близост до нея, тогава такива триъгълници са равни.
Доказателство: ако в △ ABC и △ a1 в 1 s 1 Следното ab \u003d ще се появи равенство1 в 1, ∠bac \u003d ∠B 1 A 1 C1, ∠avs \u003d ∠ 1 в 1 s 1 . Обърнете се един друг триъгълници a1 в 1 s 1 и ABC, така че равните партии съвпадат1 в 1. И ъглите, които са в непосредствена близост до тях. Както в предишния пример, който вече е преразгледан, ако е необходимо, триъгълник a1 в 1 s 1 Можете да "обърнете и прикрепете назад". Следователно триъгълниците съвпадат, те могат да се считат за равни.
Θ3 знак : Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни. Доказателство: Позволявам за △ ABC и △ a1 B 1 C 1 Справедливо равенство А.1 в 1 \u003d ab, b 1 c 1 \u003d слънце, c 1 a 1 \u003d SA. Преместете триъгълника А.1 в 1 s 1 по такъв начин, че партията е1 в 1. съвпада със страната на AV и върховете b1 и B, 1 и съвпада. Вземете кръг с центъра в A и AC радиуса, а вторият кръг с центъра B и BC радиус. Тези кръгове ще се пресичат в две симетрични разговори на AB точки: точка C и точка c2 . Така че, С1 след прехвърлянето на триъгълника A1B1C1 трябва да съвпада или с точки С, или от С2. Всеки случай, това ще означава равенство △ ABC \u003d △ a1 B 1 C 1 Тъй като триъгълниците △ ABC \u003d △ ABC2 Равен (в края на краищата, тези триъгълници са симетрични по отношение на AB.
Този имот е триъгълна твърдост - се използва широко на практика. За да закрепите публикацията във вертикално положение, тя е поставена на архивирането; Същият принцип се използва при инсталирането на скобата.
Триъгълник твърдостта се използва широко на практика по време на изграждането на железни конструкции.
От третия знак за равенството на триъгълниците следва, че триъгълникът е твърда фигура. Защото: можете да си представите две релси, които имат два края с нокът. Такъв дизайн не е твърд, но преместването или разпространяването на свободните краища на реките можем да променим ъгъла между тях. Сега приемаме друга релса и изстъргваме краищата си със свободните краища на първите две плочи. Полученият дизайн е триъгълник - той ще бъде вече твърд. Тя не може да бъде изместена или натиска две страни, т.е. невъзможно е да се промени всеки ъгъл. Всъщност, ако се управлява, ще получим нов триъгълник, а не равен на оригинала. Но това е невъзможно, тъй като новият триъгълник трябва да бъде равен на третия
В директорията за елементарна математика M. YA. Печеливша, намерих друг знак.
Θ4 Знак: Ако две страни и ъгъл, лежащи срещу повечето от тях, са един триъгълник, съответно, са равни на две страни и ъгъл, лежащ срещу повечето от тях на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.
Ще докажа тази функция.
Дано. : ΔABC, ΔA1B1C1, ab \u003d A1B1, AC \u003d A1C1,∠ b \u003d ∠ b1
Докажете: Δabc \u003d A1B1C1.
Поставете триъгълниците, както на фигура 1. Свържете B и B1, след това Δavv1
Равно, смисъл∠ 1= ∠ 2. ∠ 3= ∠ 4 като останки от равни ъгли.
Получаваме δввв1- е председател, следователно слънцето \u003d B1C1. Δavs \u003d ΔA1В1С1 в три партии.
също курс за училище Разглеждат се 4 признака на равенство на правоъгълните триъгълници:
Θ1. . Ако катетите на едно правоъгълен триъгълник Съответно, равен на другите категории, тогава такива триъгълници са равни.
Θ2. . Ако се търкалят и в непосредствена близост до него, остър ъгъл на един правоъгълен триъгълник е съответно равен на катето и остър ъгъл на другия, тогава такива триъгълници са равни.
Θ3. . Ако хипотенузата и остър ъгъл на един правоъгълен триъгълник са съответно равни на хипотенузата и остър ъгъл на другия, тогава такива триъгълници са равни.
Θ4. . Ако хипотенузата и ролките от един правоъгълен триъгълник са съответно равни на хипотенузата и другото хранене, тогава такива триъгълници са равни.
Реших теоретичната база върху признаците на равенството на триъгълниците, като се разшири до страните и ъглите, използвани в класическите признаци на равенството на триъгълниците, други компоненти: бисектор, медиат и височина.
Нестандартни признаци на подметките на триъгълниците.
1) От две страни и височина, проведени в един от тях.
Дадено: AB \u003d A1B1, BC \u003d B1C1, AK \u003d A1K1,
Докажете: ΔABC \u003d ΔA1B1C1.
Доказателство: ΔABK \u003d ΔA1B1K1 върху хипотенуза и катета, тогава∠ b \u003d ∠ B1 и получете ΔABC \u003d ΔA1B1C1 на първия знак.
2) от две страни и медиана, изразходвани за един от тях
Дадено е: AB \u003d A1B1, BC \u003d B1C1, AK \u003d A1K1, AK и A1K1 - медиани.
Докажете: ΔABC \u003d ΔA1B1C1.
Доказателство: ΔABK \u003d ΔA1B1K1 за три страни, след това∠ b \u003d ∠ B1 и ΔABC \u003d ΔA1B1C1 на първата база.
3) От две страни и височина, проведени от третия ъгъл.
Danched: ∠ b \u003d ∠ B1, ∠ c \u003d ∠ C1, AK \u003d A1K1.
Докажете: ΔABC \u003d ΔA1B1C1.
Доказателство: ΔABK \u003d ΔA1B1K1 върху петна и остър ъгъл, това означава bk \u003d b1k1,
ΔAack \u003d ΔA1C1K1 върху Кастоя и остър ъгъл, това означава kc \u003d K1c1 и следователно bc \u003d B1C1 и ΔABC \u003d ΔA1B1C1 на втората основа.
4) отстрани и две височини, провеждани от ъглите в непосредствена близост до тази страна.
Дава се: AC \u003d A1C1, cm \u003d C1M1, AK \u003d A1K1.
Докажете: Δcc \u003d ΔA1B1C1.
Доставка: ΔAmc \u003d ΔA1M1C1 върху пемет и хипотенуза, това означава∠ A \u003d ∠ A1, и ΔAKC \u003d ΔA1K1C1 върху петна и хипотенуза, тогава∠ c \u003d ∠ c1.
Така че, ΔABC \u003d ΔA1B1C1 на втора основа.
5) От две страни и височина третата страна изразходва.
Дадено: AV \u003d A1B1, SUN \u003d B1C1, VK \u003d B1K1.
Докажете: ΔABC \u003d ΔA1B1C1.
Доказателство: ΔABK \u003d ΔA1B1K1 върху хипотенузе и петна, това означава AK \u003d A1K1,
ΔBKC \u003d ΔB1K1C1 върху каста и хипотенуза, това означава kc \u003d k1c1.
Така, ΔABC \u003d ΔA1B1C1 в три страни.
6) Отстрани един от ъглите, които летят до тази страна и бисектор на този ъгъл.
Дадено: AC \u003d A1C1, AK \u003d A1K1,∠ A ∠ A1.
Докажете: ΔABC \u003d ΔA1B1C1.
Доказателство: Δcax \u003d Δk1a1С1 на първата база, след това∠ c \u003d ∠ c1,
ΔABC \u003d ΔA1B1C1 на втора основа.
7) На две височини и ъгъла, от който се съхранява една от височините.
Danched: cm \u003d c1m1, ak \u003d A1K1, ∠ A ∠ А1.
Докажете: ΔABC \u003d ΔA1B1C1.
Достатъчно доказателство: ΔAmc \u003d ΔA1M1C1 върху Кастоя и остър ъгъл, Δcax \u003d Δk1a1С1 върху катета и хипотенуза, Δabc \u003d ΔA1B1C1 на втората основа.
Заключение.
В хода на проучването разбрах, че в допълнение към трите основни признака на равенството на триъгълниците, е възможно да се определи много други. Формулирах и доказвам равенството на триъгълниците върху медиана, височина, триъгълник, в комбинация със страните и ъглите на триъгълника, придържайки се към наличието на три елемента. Сега мога да кажа на учениците нашето училище, че има и други признаци на равенство на триъгълниците. Това ще позволи завършването на училището да приложи резултатите от моите изследвания при подготовката за Oge и EGE и е лесно да се решат геометрични задачи за използването на тези функции.
Резултата от моите изследвания: Доказани са няколко признака на равенството на триъгълниците, които не са изследвани в училищния курс на геометрията.
Библиография
- Печеливша M.YA. Наръчник за елементарна математика.
- Геометрия. 7-9 Класове: Проучвания. За общо образование. Институции / L.SATANASYAN, v.f. Butzov, S.B. Kadomtsev et al. - 19 години. - m.: Просвещение, 2009.
- Погорелов A.V. Геометрия: проучвания. За 7-9 С1. Общо образование. Институции. - 3-то издание. - m.: Просветление, 2002.
- . Енциклопедия "Аванта" в математиката, Москва, 2004
- 2. "Уикипедия" - свободна енциклопедия.
- 3. Глазник Г.И. "История на математиката в училище", Москва, Просвещение, 1982
- 4. Гузева ТМ. Признаци на сходство на триъгълниците.- Москва, първата от септември, приложението "математика", 1999, №28
- 5. Погорелов А.в. "Геометрия 7-9 класа",Москва, просветление, 2003
Приложение 1.
1. Как мислите колко признаци на равенството на триъгълниците?
А) 3 б) повече от три в) по-малко от три
2. Искате ли да знаете нови признаци на равенство на триъгълниците?
А) да б) не
