Равни ли са страните на успоредник? Какво е успоредник
За да се определи дали дадена фигура е успоредник, има редица признаци. Помислете за трите основни характеристики на успоредник.
1 характеристика на успоредник
Ако две страни на четириъгълник са равни и успоредни, тогава четириъгълникът е успоредник.
Доказателство:
Да разгледаме четириъгълника ABCD. Нека страните AB и CD са успоредни в него. И нека AB=CD. Нека начертаем диагонал BD в него. Той ще раздели дадения четириъгълник на две равен триъгълник: ABD и CBD.
Тези триъгълници са равни по две страни и ъгъл между тях (BD - обща страна, AB = CD по условие, ъгъл1 = ъгъл2 като кръстосани ъгли при секуща BD на успоредни прави AB и CD.), и следователно ъгъл3 = ъгъл4.
И тези ъгли ще бъдат кръстосани в пресечната точка на правите BC и AD със секущата BD. От това следва, че BC и AD са успоредни една на друга. Имаме, че в четириъгълника ABCD противоположните страни са по двойки успоредни и следователно четириъгълник ABCD е успоредник.
2 знак за успоредник
Ако противоположните страни на четириъгълник са равни по две, тогава четириъгълникът е успоредник.
Доказателство:
Да разгледаме четириъгълника ABCD. Нека начертаем диагонал BD в него. Той ще раздели дадения четириъгълник на два равни триъгълника: ABD и CBD.
Тези два триъгълника ще бъдат равни един на друг от три страни (BD е общата страна, AB = CD и BC = AD по условие). От това можем да заключим, че ъгъл1 = ъгъл2. От това следва, че AB е успореден на CD. И тъй като AB \u003d CD и AB е успореден на CD, тогава по първия знак на успоредник четириъгълникът ABCD ще бъде успоредник.
3 знак на успоредник
Ако в четириъгълник диагоналите се пресичат и пресечната точка е разполовена, то този четириъгълник ще бъде успоредник.
Да разгледаме четириъгълника ABCD. Нека начертаем в нея два диагонала AC и BD, които ще се пресичат в точка O и ще разполовят тази точка.
Триъгълниците AOB и COD ще бъдат равни един на друг, според първия признак за равенство на триъгълниците. (AO = OC, BO = OD по конвенция, ъгъл AOB = ъгъл COD като вертикални ъгли.) Следователно AB = CD и ъгъл1 = ъгъл 2. От равенството на ъгли 1 и 2 имаме, че AB е успореден на CD. Тогава имаме, че в четириъгълника ABCD страните AB са равни на CD и са успоредни и по първия критерий на успоредник, четириъгълникът ABCD ще бъде успоредник.
Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са по двойки успоредни. Това определение вече е достатъчно, тъй като останалите свойства на успоредник следват от него и се доказват под формата на теореми.
Основните свойства на успоредника са:
- успоредникът е изпъкнал четириъгълник;
- паралелограмът има противоположни страни, равни по двойки;
- паралелограмът има противоположни ъгли, които са равни по двойки;
- диагоналите на успоредник се делят наполовина от пресечната точка.
Успоредник - изпъкнал четириъгълник
Нека първо докажем теоремата, че успоредникът е изпъкнал четириъгълник. Многоъгълникът е изпъкнал, когато която и страна от него да е удължена до права линия, всички останали страни на многоъгълника ще бъдат от същата страна на тази права линия.
Нека е даден успоредник ABCD, в който AB е противоположната страна на CD, а BC е противоположната страна на AD. Тогава от определението за успоредник следва, че AB || CD, BC || AD.
При успоредни сегментиНе общи точки, те не се пресичат. Това означава, че CD лежи от едната страна на AB. Тъй като отсечката BC свързва точка B от отсечката AB с точка C от отсечката CD, а отсечката AD свързва други точки AB и CD, отсечките BC и AD също лежат от една и съща страна на правата AB, където лежи CD. Така и трите страни - CD, BC, AD - лежат на една и съща страна на AB.
По същия начин се доказва, че по отношение на другите страни на успоредника другите три страни лежат на една и съща страна.
Противоположните страни и ъгли са равни
Едно от свойствата на успоредника е това в успоредник противоположните страни и срещуположните ъгли са равни. Например, ако е даден успоредник ABCD, тогава той има AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Тази теорема се доказва по следния начин.
Успоредникът е четириъгълник. Така че има два диагонала. Тъй като паралелограмът е изпъкнал четириъгълник, всеки от тях го разделя на два триъгълника. Разгледайте в успоредника ABCD триъгълници ABCи ADC, получени чрез начертаване на диагонала AC.
Тези триъгълници имат една обща страна - AC. Ъгъл BCA равен на ъгъла CAD като вертикала с BC и AD паралел. Ъглите BAC и ACD също са равни, както и вертикалните ъгли, когато AB и CD са успоредни. Следователно ∆ABC = ∆ADC върху два ъгъла и страната между тях.
В тези триъгълници страната AB съответства на страната CD, а страната BC съответства на AD. Следователно AB = CD и BC = AD.
Ъгъл B съответства на ъгъл D, т.е. ∠B = ∠D. Ъгъл A на успоредник е сборът от два ъгъла - ∠BAC и ∠CAD. Ъгълът C, който е равен, се състои от ∠BCA и ∠ACD. Тъй като двойките ъгли са равни един на друг, тогава ∠A = ∠C.
Така се доказва, че в успоредник противоположните страни и ъглите са равни.
Диагоналите се нарязват наполовина
Тъй като успоредникът е изпъкнал четириъгълник, той има два диагонала и те се пресичат. Нека е даден успоредник ABCD, неговите диагонали AC и BD се пресичат в точка E. Да разгледаме образуваните от тях триъгълници ABE и CDE.
Тези триъгълници имат страни AB и CD, равни на противоположните страни на успоредник. Ъгълът ABE е равен на ъгъла CDE, тъй като те лежат на успоредни прави AB и CD. По същата причина ∠BAE = ∠DCE. Следователно ∆ABE = ∆CDE върху два ъгъла и страната между тях.
Можете също така да забележите, че ъглите AEB и CED са вертикални и следователно също са равни един на друг.
Тъй като триъгълниците ABE и CDE са равни един на друг, то и всичките им съответстващи елементи са равни. Страната AE на първия триъгълник съответства на страната CE на втория, така че AE = CE. По същия начин BE = DE. Всяка двойка равни отсечки образува диагонала на успоредника. Така се доказва, че диагоналите на успоредник се делят наполовина от пресечната точка.
При решаване на задачи по тази тема, в допълнение към основни свойства успоредники съответните формули, можете да запомните и приложите следното:
- Ъглополовящата на вътрешния ъгъл на успоредник отрязва равнобедрен триъгълник от него
- Симетрали на вътрешни ъгли, съседни на една от страните на успоредник, са взаимно перпендикулярни
- Симетрали, идващи от противоположни вътрешни ъгли на успоредник, успоредни един на друг или лежащи на една права линия
- Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на сбора от квадратите на страните му
- Площта на успоредник е половината от произведението на диагоналите по синуса на ъгъла между тях.
Нека разгледаме задачите, при решаването на които се използват тези свойства.
Задача 1.
Симетралата на ъгъл C на успоредник ABCD пресича страната AD в точка M и продължението на страната AB отвъд точка A в точка E. Намерете периметъра на успоредника, ако AE = 4, DM = 3.
Решение.
1. Триъгълник CMD равнобедрен. (Свойство 1). Следователно CD = MD = 3 cm.
2. Триъгълник EAM е равнобедрен.
Следователно AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Периметър ABCD = 20 cm.
Отговор. 20 см
Задача 2.
В изпъкнал четириъгълник ABCD са начертани диагонали. Известно е, че лицата на триъгълниците ABD, ACD, BCD са равни. Докажете, че дадения четириъгълник е успоредник.
Решение.
1. Нека BE е височината на триъгълник ABD, CF е височината на триъгълник ACD. Тъй като според условието на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа AD, то височините на тези триъгълници са равни. BE = CF.
2. BE, CF са перпендикулярни на AD. Точките B и C са разположени от една и съща страна на правата AD. BE = CF. Следователно линията BC || AD. (*)
3. Нека AL е надморската височина на триъгълник ACD, BK е надморската височина на триъгълник BCD. Тъй като според условието на задачата лицата на триъгълниците са равни и имат обща основа CD, то и височините на тези триъгълници са равни. AL = BK.
4. AL и BK са перпендикулярни на CD. Точките B и A са разположени от една и съща страна на правата CD. AL = BK. Следователно правата AB || CD (**)
5. Условията (*), (**) означават, че ABCD е успоредник.
Отговор. Доказано. ABCD е успоредник.
Задача 3.
Върху страните BC и CD на успоредника ABCD са отбелязани съответно точките M и H, така че отсечките BM и HD се пресичат в точка O;<ВМD = 95 о,
Решение.
1. В триъгълника DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. В правоъгълен триъгълник DHC Тогава<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Но CD = AB. Тогава AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Отговор: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Задача 4. Един от диагоналите на успоредник с дължина 4√6 сключва ъгъл 60° с основата, а вторият диагонал сключва ъгъл 45° със същата основа. Намерете втория диагонал. Решение.
1. AO = 2√6. 2. Приложете синусовата теорема към триъгълника AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Отговор: 12.
Задача 5. За успоредник със страни 5√2 и 7√2 по-малкият ъгъл между диагоналите е равен на по-малкия ъгъл на успоредника. Намерете сумата от дължините на диагоналите. Решение.
Нека d 1, d 2 са диагоналите на успоредника, а ъгълът между диагоналите и по-малкия ъгъл на успоредника е φ. 1. Нека преброим две различни S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Получаваме равенството 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или 2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Използвайки съотношението между страните и диагоналите на успоредника, записваме равенството (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Да направим система: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Умножете второто уравнение на системата по 2 и го добавете към първото. Получаваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Следователно Id 1 + d 2 I = 24. Тъй като d 1, d 2 са дължините на диагоналите на успоредника, тогава d 1 + d 2 = 24. Отговор: 24.
Задача 6. Страните на успоредника са 4 и 6. Острият ъгъл между диагоналите е 45o. Намерете площта на успоредника. Решение.
1. От триъгълника AOB, използвайки косинусовата теорема, записваме връзката между страната на успоредника и диагоналите. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. По същия начин записваме релацията за триъгълника AOD. Отчитаме това<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Получаваме уравнението d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Имаме система Като извадим първото от второто уравнение, получаваме 2d 1 d 2 √2 = 80 или d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 = 10. Забележка:В тази и в предишната задача не е необходимо да се решава системата напълно, като се предвиди, че в тази задача се нуждаем от произведението на диагоналите, за да изчислим площта. Отговор: 10. Задача 7. Площта на успоредника е 96, а страните му са 8 и 15. Намерете квадрата на по-малкия диагонал. Решение.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Нека направим заместване във формулата. Получаваме 96 = 8 15 sin VAD. Следователно sin VAD = 4/5. 2. Намерете cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25. Според условието на задачата намираме дължината на по-малкия диагонал. Диагоналът BD ще бъде по-малък, ако ъгъл BAD е остър. Тогава cos BAD = 3/5. 3. От триъгълника ABD, използвайки косинусовата теорема, намираме квадрата на диагонала BD. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Отговор: 145.
Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решите геометрична задача? сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна. Концепцията за успоредник Определение 1 Успореднике четириъгълник, в който срещуположните страни са успоредни една на друга (фиг. 1). Снимка 1. Паралелограмът има две основни свойства. Нека ги разгледаме без доказателства. Свойство 1:
Противоположните страни и ъгли на успоредника са съответно равни помежду си. Свойство 2:
Диагоналите, начертани в успоредник, се разполовяват от тяхната пресечна точка. Разгледайте три характеристики на успоредник и ги представете под формата на теореми. Теорема 1 Ако две страни на четириъгълник са равни една на друга и също са успоредни, тогава този четириъгълник ще бъде успоредник. Доказателство. Нека ни е даден четириъгълник $ABCD$. В който $AB||CD$ и $AB=CD$ Нека начертаем в него диагонал $AC$ (фиг. 2). Фигура 2. Да разгледаме успоредни прави $AB$ и $CD$ и техния секанс $AC$. Тогава \[\ъгъл CAB=\ъгъл DCA\] като напречни ъгли. Според $I$ критерия за равенство на триъгълниците, тъй като $AC$ е тяхната обща страна и $AB=CD$ по предположение. Средства \[\ъгъл DAC=\ъгъл ACB\] Разгледайте правите $AD$ и $CB$ и техния секанс $AC$; чрез последното равенство на кръстосаните ъгли получаваме, че $AD||CB$.) Следователно, по дефиницията на $1$, този четириъгълник е успоредник. Теоремата е доказана. Теорема 2 Ако противоположните страни на четириъгълник са равни, тогава той е успоредник. Доказателство. Нека ни е даден четириъгълник $ABCD$. В които $AD=BC$ и $AB=CD$. Нека начертаем в него диагонал $AC$ (фиг. 3). Фигура 3 Тъй като $AD=BC$, $AB=CD$ и $AC$ е обща страна, тогава чрез теста за равенство на триъгълник $III$, \[\триъгълник DAC=\триъгълник ACB\] \[\ъгъл DAC=\ъгъл ACB\] Да разгледаме правите $AD$ и $CB$ и техния секанс $AC$, чрез последното равенство на напречните ъгли получаваме, че $AD||CB$. Следователно, по дефиницията на $1$, този четириъгълник е успоредник. \[\ъгъл DCA=\ъгъл CAB\] Да разгледаме правите $AB$ и $CD$ и техния секанс $AC$, при последното равенство на напречните ъгли получаваме, че $AB||CD$. Следователно по Дефиниция 1 този четириъгълник е успоредник. Теоремата е доказана. Теорема 3 Ако диагоналите, начертани в четириъгълник, се разделят на две равни части от тяхната пресечна точка, то този четириъгълник е успоредник. Доказателство. Нека ни е даден четириъгълник $ABCD$. Нека начертаем диагоналите $AC$ и $BD$ в него. Нека се пресичат в точката $O$ (фиг. 4). Фигура 4 Тъй като по условието $BO=OD,\ AO=OC$ и ъглите $\angle COB=\angle DOA$ са вертикални, тогава чрез теста за равенство на триъгълници $I$, \[\триъгълник BOC=\триъгълник AOD\] \[\ъгъл DBC=\ъгъл BDA\] Да разгледаме правите $BC$ и $AD$ и техния секанс $BD$, при последното равенство на кръстосаните ъгли получаваме, че $BC||AD$. Също така $BC=AD$. Следователно, съгласно теорема $1$, този четириъгълник е успоредник. Доказателство Нека първо начертаем диагонала AC. Получават се два триъгълника: ABC и ADC. Тъй като ABCD е успоредник, вярно е следното: AD || BC \Дясна стрелка \ъгъл 1 = \ъгъл 2като лежи напречно. AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4като лежи напречно. Следователно \триъгълник ABC = \триъгълник ADC (по втория признак: и AC е общ). И следователно \триъгълник ABC = \триъгълник ADC , тогава AB = CD и AD = BC . Доказано! 2. Срещуположните ъгли са еднакви. Доказателство Според доказателството свойства 1Ние знаем това \ъгъл 1 = \ъгъл 2, \ъгъл 3 = \ъгъл 4. Така че сумата от противоположните ъгли е: \ъгъл 1 + \ъгъл 3 = \ъгъл 2 + \ъгъл 4. Като се има предвид, че \триъгълник ABC = \триъгълник ADC получаваме \ъгъл A = \ъгъл C , \ъгъл B = \ъгъл D . Доказано! 3. Диагоналите се разполовяват от пресечната точка. Доказателство Нека начертаем друг диагонал. от собственост 1знаем, че срещуположните страни са еднакви: AB = CD . Още веднъж отбелязваме равните ъгли, разположени на кръст. Така може да се види, че \триъгълник AOB = \триъгълник COD по втория знак за равенство на триъгълниците (два ъгъла и страна между тях). Тоест BO = OD (срещу \ъгъл 2 и \ъгъл 1 ) и AO = OC (срещу \ъгъл 3 и \ъгъл 4 съответно). Доказано! Ако във вашата задача присъства само един знак, тогава фигурата е успоредник и можете да използвате всички свойства на тази фигура. За по-добро запаметяване имайте предвид, че знакът за успоредник ще отговори на следния въпрос − "как да разбера?". Тоест как да разберете, че дадена фигура е успоредник. 1. Успоредникът е четириъгълник, чиито две страни са равни и успоредни. AB=CD; AB || CD \Rightarrow ABCD е успоредник. Доказателство Нека разгледаме по-подробно. Защо AD || пр. н. е.? \триъгълник ABC = \триъгълник ADC по собственост 1: AB = CD, AC е общ и \ъгъл 1 = \ъгъл 2 като напречен с AB и CD успоредни и секущи AC. Но ако \триъгълник ABC = \триъгълник ADC , тогава \ъгъл 3 = \ъгъл 4 (те лежат съответно срещу AB и CD). И следователно AD || BC (\ъгъл 3 и \ъгъл 4 - лежащи напречно също са равни). Първият знак е правилен. 2. Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са равни. AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD е успоредник. Доказателство Нека разгледаме тази функция. Нека начертаем отново диагонала AC. от собственост 1\триъгълник ABC = \триъгълник ACD . Следва, че: \ъгъл 1 = \ъгъл 2 \дясна стрелка AD || пр.н.еИ \ъгъл 3 = \ъгъл 4 \дясна стрелка AB || CD, тоест ABCD е успоредник. Вторият знак е правилен. 3. Успоредник е четириъгълник, чиито срещуположни ъгли са равни. \ъгъл A = \ъгъл C , \ъгъл B = \ъгъл D \дясна стрелка ABCD- успоредник. Доказателство 2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(защото ABCD е четириъгълник и \ъгъл A = \ъгъл C , \ъгъл B = \ъгъл D по конвенция). Така че \alpha + \beta = 180^(\circ) . Но \alpha и \beta са вътрешно едностранни при секанс AB. И фактът, че \alpha + \beta = 180^(\circ) също означава, че AD || пр.н.е. В същото време \alpha и \beta са вътрешни едностранни със секанс AD . И това означава AB || CD. Третият знак е правилен. 4. Успоредникът е четириъгълник, чиито диагонали са разполовени от пресечната точка. AO=OC; BO = OD \Дясна стрелка успоредник. Доказателство BO=OD; AO = OC , \ъгъл 1 = \ъгъл 2 като вертикала \Стрелка надясно \триъгълник AOB = \триъгълник COD, \Дясна стрелка \ъгъл 3 = \ъгъл 4и \Rightarrow AB || CD. По подобен начин BO = OD; AO=OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8и \Rightarrow AD || пр.н.е. Четвъртият знак е правилен.
(
(Тъй като в правоъгълен триъгълник катетът, който лежи срещу ъгъл от 30 o, е равен на половината от хипотенузата).
начини от своята област.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
Характеристики на успоредник
Характеристики на успоредник
