Уравнение на равнината, видове уравнение на равнината. Уравнения на равнината: общи, през три точки, нормална равнина в пространството

ЛЕКЦИЯ 6-7. Елементи на аналитичната геометрия.

Повърхнини и техните уравнения.

Пример 1

Сфера

Пример 2

F(x,y,z)=0(*),

Това - уравнение на повърхността

Примери:

x 2 + y 2 - z 2 \u003d 0 (конус)

Самолет.

Уравнение на равнина, минаваща през дадена точка перпендикулярно на даден вектор.

Помислете за самолет в космоса. Нека M 0 (x 0, y 0, z 0) е дадена точка от равнината Р и е вектор, перпендикулярен на равнината ( нормален вектор самолети).

(1) е векторното уравнение на равнината.

В координатна форма:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Получихме уравнението на равнина, минаваща през дадена точка.

Общо уравнение на равнината.

Нека отворим скобите в (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 - By 0 - Cz 0) = 0 или

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

Полученото уравнение на равнината линейно, т.е. Уравнение от 1-ва степен по отношение на координатите x, y, z. Следователно самолетът повърхност от първи ред .

Изявление: Всяко уравнение, което е линейно по x, y, z, определя равнина.

Всеки самолет може да бъде дадено от уравнение (3), което се нарича общото уравнение на равнината.

Частни случаи на общото уравнение.

а) D=0: Ax + By + Cz = 0. координатите на точката O(0, 0, 0) удовлетворяват това уравнение, тогава равнината, дадена от него, минава през началото.

б) С=0: Ax + By + D = 0. В този случай нормалният вектор на равнината , така че самолетът дадено от уравнениетоуспоредна на оста OZ.

c) C=D=0: Ax + By = 0. Равнината е успоредна на оста OZ (защото C=0) и минава през началото (защото D=0). Така че минава през оста OZ.

d) B=C=0: Ax + D = 0 или . Вектор , т.е. И . Следователно равнината е успоредна на осите OY и OZ, т.е. е успоредна на равнината YOZ и минава през точката .

Обмислете сами случаите: B=0, B=D=0, A=0, A=D=0, A=C=0, A=B=0/

Уравнение на равнина, минаваща през дадени три точки.

защото и четирите точки принадлежат на равнината, тогава тези вектори са компланарни, т.е. техен смесен продукте равно на нула:

Получихме уравнението на равнина, минаваща през три точки във векторна форма.

В координатна форма:

(7)

Ако отворим детерминантата, получаваме уравнението на равнината във формата:

Ax + By + Cz + D = 0.

Пример. Напишете уравнението на равнината, минаваща през точките M 1 (1, -1,0);

М 2 (-2,3,1) и М 3 (0,0,1).

, (x - 1) 3 - (y + 1)(-2) + z 1 = 0;

3x + 2y + z - 1 = 0.

Уравнение на равнина в отсечки

Нека се даде общо уравнениеравнини Ax + By + Cz + D = 0 и D ≠ 0, т.е. равнината не минава през началната точка. Разделете двете части на -D: и обозначават: ; ; . Тогава

има уравнение на равнина в сегменти .

където a, b, c са стойностите на сегментите, отрязани от равнината на координатните оси.

Пример 1Напишете уравнението на равнината, минаваща през точките A(3, 0, 0);

B(0, 2, 0) и C(0, 0, -3).

а=3; b=2; c=-3 или 2x + 3y - 2z - 6 = 0.

Пример 2Намерете стойностите на сегментите, които отрязват равнината

4x – y – 3z – 12 = 0 върху координатните оси.

4x-y-3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Нормално уравнение на равнината.

Нека е дадена някаква равнина Q. От началото начертаваме перпендикуляр OP към равнината. Нека са дадени |OP|=р и вектор :. Нека вземем текущата точка M(x, y, z) на равнината и изчислим скаларното произведение на векторите и : .

Ако проектираме точката M на направлението , тогава ще стигнем до точката P. T.o., ще получим уравнението

(9).

Задаване на линия в пространството.

Линията L в пространството може да се определи като пресечната точка на две повърхности. Нека точката M(x, y, z), лежаща на правата L, принадлежи както на повърхността P1, така и на повърхността P2. Тогава координатите на тази точка трябва да удовлетворяват уравненията на двете повърхности. Следователно под уравнението на правата L в пространството разберете набора от две уравнения, всяко от които е уравнение на съответната повърхност:

Правата L принадлежи към онези и само онези точки, чиито координати удовлетворяват и двете уравнения в (*). По-късно ще разгледаме други начини за дефиниране на линии в пространството.

Един куп самолети.

Самолетен пакете множеството от всички равнини, минаващи през дадена права - оста на гредата.

За да дефинирате сноп от равнини, достатъчно е да посочите неговата ос. Нека уравнението на тази права е дадено общ изглед:

Напишете уравнение на лъчаозначава да се състави уравнение, от което може да се получи, при допълнително условие, уравнението на всяка равнина на лъча, с изключение на b.m. един. Умножаваме уравнението II по l и го добавяме към уравнението I:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) или

(A 1 + lA 2)x + (B 1 + lB 2)y + (C 1 + lC 2)z + (D 1 + lD 2) = 0 (2).

l - параметър - число, което може да приеме действителни стойности. За всяка избрана стойност на l уравненията (1) и (2) са линейни, т.е. това са уравненията на някаква равнина.

1. Нека покажемче тази равнина минава през оста на лъча L. Вземете произволна точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0) L. Следователно M 0 R 1 и M 0 R 2 . означава:

Следователно равнината, описана от уравнение (1) или (2), принадлежи на гредата.

2. Можете също да докажете обратното.: всяка равнина, минаваща през правата L, се описва с уравнение (1) с подходящ избор на параметъра l.

Пример 1. Съставете уравнение за равнина, минаваща през пресечната линия на равнините x + y + 5z - 1 = 0 и 2x + 3y - z + 2 = 0 и през точката M (3, 2, 1).

Записваме уравнението на лъча: x + y + 5z - 1 + l (2x + 3y - z + 2) = 0. За да намерим l, вземаме предвид, че М Р:

Всяка повърхност в пространството може да се разглежда като геометрично място на точки с някакво свойство, общо за всички точки.

Пример 1

Сфера - набор от точки, еднакво отдалечени от дадена точка C (център). С(x 0, y 0, z 0). По дефиниция |CM|=R или или . Това уравнение е валидно за всички точки на сферата и само за тях. Ако x 0 =0, y 0 =0, z 0 =0, тогава .

По подобен начин може да се формулира уравнение за всяка повърхност, ако е избрана координатна система.

Пример 2 x=0 е уравнението на равнината YOZ.

Изразявайки геометричната дефиниция на повърхността по отношение на координатите на текущата й точка и събирайки всички членове в една част, получаваме равенство на формата

F(x,y,z)=0(*),

Това - уравнение на повърхността , ако координатите на всички точки на повърхността отговарят на това равенство, но координатите на точките, които не лежат на повърхността, не.

Така всяка повърхност в избраната координатна система има собствено уравнение. Но не всяко уравнение от вида (*) отговаря на повърхност по смисъла на определението.

Примери:

2x - y + z - 3 = 0 (равнина)

x 2 + y 2 - z 2 \u003d 0 (конус)

x 2 + y 2 +3 = 0 - координатите на никоя точка не удовлетворяват.

x 2 + y 2 + z 2 =0 е единствената точка (0,0,0).

x 2 \u003d 3y 2 \u003d 0 - права линия (ос OZ).

Графичен метод. Координатна равнина (x;y)

Уравненията с параметър създават сериозни логически затруднения. Всяко такова уравнение е по същество стенограма за семейство от уравнения. Ясно е, че е невъзможно да се запише всяко уравнение от безкрайно семейство, но въпреки това всяко от тях трябва да бъде решено. Най-лесният начин да направите това е да представите графично зависимостта на променлива от параметър.

В равнината функцията дефинира семейство от криви в зависимост от параметър. Ще се интересуваме каква трансформация на равнината може да се използва за преминаване към други криви на семейството (виж , , , , , , ).

Паралелен трансфер

Пример. За всяка стойност на параметъра определете броя на решенията на уравнението.

Решение. Нека изградим графика на функцията.

Обмисли. Тази права е успоредна на оста x.

Отговор. Ако, тогава няма решения;

ако, тогава 3 решения;

ако, тогава 2 решения;

ако, 4 решения.

Завъртете

Веднага трябва да се отбележи, че изборът на семейство криви не е еднакъв (за разлика от самите проблеми), или по-скоро е един и същ: във всички проблеми - прави линии. Освен това центърът на въртене принадлежи на линията.

Пример. За какви стойности на параметъра уравнението има уникално решение?

Решение. Нека разгледаме функцията и. Графиката на втората функция е полуокръжност с център в точка с координати и радиус =1 (фиг. 2).

Дъга AB.

Всички лъчи, преминаващи между OA и OB, се пресичат в една точка, а OB и OM се пресичат в една точка (тангента). Ъгловите коефициенти OA и OB са съответно равни. Наклонът на тангентата е равен на. Лесно се открива извън системата

По този начин директните семейства имат само една обща точка с дъга.

Отговор. .

Пример. За кое уравнение то има решение?

Решение. Нека разгледаме функция. Изследвайки го за монотонност, откриваме, че той нараства на интервала и намалява на. Точка - е максималната точка.

Функцията е семейство от прави, минаващи през точка. Нека се обърнем към Фигура 2. Графиката на функцията е дъгата AB. Правите, които ще бъдат между правите OA и OB, удовлетворяват условието на задачата. Коефициентът на наклона на правата OA е число, а OB е .

Отговор. Когато уравнението има 1 решение;

за други стойности на параметъра няма решения.

Хомотетия. Компресия до права линия

Пример. Намерете всички стойности на параметъра, за всяка от които уравнението има точно 8 решения.

Решение. Ние имаме. Нека разгледаме функция. Първият от тях дефинира семейство от полуокръжности с център в точка с координати, второто семейство от прави линии, успоредни на оста x.

Броят на корените ще съответства на числото 8, когато радиусът на полукръга е по-голям и по-малък, т.е. Имайте предвид, че има.

Отговор. или.

Графичен метод. Координатна равнина (x;a)

Като цяло уравненията, съдържащи параметър, не са снабдени с ясна, методично проектирана система за решение. Тези или други стойности на параметъра трябва да се търсят чрез докосване, чрез изброяване, решаване на голям брой междинни уравнения. Такъв подход не винаги гарантира успех при намирането на всички стойности на параметъра, за които уравнението няма решения, има едно, две или повече решения. Често някои от стойностите на параметрите се губят или се появяват допълнителни стойности. За да се направят последните, трябва да се извърши специално проучване, което може да бъде доста трудно.

Помислете за метод, който опростява работата по решаване на уравнения с параметър. Методът е следният

1. От уравнение с променлива хи параметър аизразете параметъра като функция от х: .

2. В координатна равнина хО аизградете графика на функцията.

3. Разгледайте линиите и изберете тези интервали от оста O а, на които тези линии удовлетворяват следните условия: а) не пресича графиката на функцията, б) пресича графиката на функцията в една точка, в) в две точки, г) в три точки и т.н.

4. Ако задачата е да се намерят стойностите х, тогава изразяваме хпрез аза всеки от намерените интервали на стойността аотделно.

Гледката на параметъра като равна променлива се отразява в графичните методи. По този начин има координатна равнина. Изглежда, че такъв незначителен детайл като отхвърлянето на традиционното обозначение на координатната равнина с букви хИ гопределя един от най-добри практикирешаване на задачи с параметри.

Описаният метод е много ясен. Освен това в него намират приложение почти всички основни понятия от курса на алгебрата и началото на анализа. Включен е целият набор от знания, свързани с изучаването на функцията: прилагане на производната за определяне на точките на екстремум, намиране на границата на функцията, асимптоти и др.. и т.н. (вижте , , ).

Пример. При какви стойности на параметъра има ли уравнението два корена?

Решение. Преминаваме към еквивалентната система

Графиката показва, че когато уравнението има 2 корена.

Отговор. Когато уравнението има два корена.

Пример. Намерете множеството от всички числа, за всяко от които уравнението има само два различни корена.

Решение. Нека пренапишем това уравнение в следната форма:

Сега е важно да не пропускате това и - предоставени са само корените на оригиналното уравнение. Нека обърнем внимание на факта, че е по-удобно да се изгради графика върху координатната равнина. На фигура 5 желаната графика е обединението на плътни линии. Тук отговорът се "чете" от вертикални линии.

Отговор. На, или, или.

В този урок ще разгледаме как да използваме детерминантата за съставяне уравнение на равнината. Ако не знаете какво е детерминанта, преминете към първата част на урока - „ Матрици и детерминанти». В противен случай рискувате да не разберете нищо от днешния материал.

Уравнение на равнина с три точки

Защо изобщо се нуждаем от уравнението на равнината? Просто е: знаейки го, можем лесно да изчисляваме ъгли, разстояния и други глупости в задача C2. Като цяло това уравнение е незаменимо. Затова формулираме проблема:

Задача. В пространството има три точки, които не лежат на една права линия. Техните координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Необходимо е да се напише уравнението на равнината, минаваща през тези три точки. И уравнението трябва да изглежда така:

Ax + By + Cz + D = 0

където числата A, B, C и D са коефициентите, които всъщност искате да намерите.

Е, как да получа уравнението на равнината, ако са известни само координатите на точките? Най-лесният начин е да замените координатите в уравнението Ax + By + Cz + D = 0. Получавате система от три уравнения, която лесно се решава.

Много студенти намират това решение за изключително досадно и ненадеждно. Миналогодишният изпит по математика показа, че вероятността от изчислителна грешка е наистина голяма.

Ето защо най-напредналите учители започнаха да търсят по-прости и по-елегантни решения. И го намериха! Вярно е, че получената техника е по-вероятно да бъде свързана с висшата математика. Лично аз трябваше да се ровя из целия федерален списък с учебници, за да се уверя, че имаме право да използваме тази техника без никаква обосновка и доказателства.

Уравнение на равнината чрез детерминанта

Стига дрънкане, да се заемем с работата. Като начало, теорема за това как са свързани матричната детерминанта и уравнението на равнината.

Теорема. Нека са дадени координатите на три точки, през които трябва да се прекара равнината: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Тогава уравнението на тази равнина може да бъде написано по отношение на детерминантата:

Например, нека се опитаме да намерим двойка равнини, които действително се срещат в задачи C2. Вижте колко бързо се брои всичко:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Съставяме детерминантата и я приравняваме към нула:

Отваряне на определителя:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Както можете да видите, когато изчислявах числото d, промених малко уравнението, така че променливите x, y и z да са в правилната последователност. Това е всичко! Уравнението на самолета е готово!

Задача. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Незабавно заменете координатите на точките в детерминанта:

Отново разширяване на детерминантата:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

И така, отново се получава уравнението на равнината! Отново, на последната стъпка, трябваше да променя знаците в него, за да получа по-„красива“ формула. Не е необходимо да правите това в това решение, но все пак се препоръчва - за да се опрости по-нататъшното решение на проблема.

Както можете да видите, сега е много по-лесно да напишете уравнението на равнината. Заместваме точките в матрицата, изчисляваме детерминантата - и това е всичко, уравнението е готово.

Това може да е краят на урока. Много ученици обаче постоянно забравят какво има вътре в детерминантата. Например кой ред съдържа x 2 или x 3 и кой ред само x . За да се справим най-накрая с това, нека проследим откъде идва всяко число.

Откъде идва формулата с определителя?

И така, нека разберем откъде идва такова грубо уравнение с детерминанта. Това ще ви помогне да го запомните и да го приложите успешно.

Всички равнини, които се срещат в задача C2, се определят от три точки. Тези точки винаги са отбелязани на чертежа или дори са посочени директно в текста на проблема. Във всеки случай, за да съставим уравнението, трябва да напишем техните координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Помислете за още една точка от нашата равнина с произволни координати:

T = (x, y, z)

Взимаме всяка точка от първите три (например точка M ) и начертаваме вектори от нея към всяка от останалите три точки. Получаваме три вектора:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Сега нека съставим квадратна матрица от тези вектори и да приравним нейния детерминант на нула. Координатите на векторите ще станат редовете на матрицата - и ще получим същата детерминанта, която е посочена в теоремата:

Тази формула означава, че обемът на кутията, изградена върху векторите MN , MK и MT е равен на нула. Следователно и трите вектора лежат в една и съща равнина. По-специално, произволна точка T = (x, y, z) е точно това, което търсихме.

Замяна на точки и редове от детерминантата

Детерминантите имат някои прекрасни свойства, които го правят още по-лесно решение на задача C2. Например, за нас няма значение от коя точка да начертаем вектори. Следователно следните детерминанти дават същото уравнение на равнината като горното:

Можете също така да размените редовете на определителя. Уравнението ще остане непроменено. Например, много хора обичат да пишат линия с координатите на точката T = (x; y; z) в самия връх. Моля, ако Ви е удобно:

Някои обърква, че един от редовете съдържа променливи x, y и z, които не изчезват при заместване на точки. Но те не трябва да изчезват! Чрез заместване на числата в определителя трябва да получите следната конструкция:

След това детерминантата се разширява по схемата, дадена в началото на урока, и се получава стандартното уравнение на равнината:

Ax + By + Cz + D = 0

Разгледайте един пример. Той е последният в днешния урок. Съзнателно ще разменя редовете, за да съм сигурен, че отговорът ще бъде същото уравнение на равнината.

Задача. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

И така, ние разглеждаме 4 точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Първо, нека направим стандартна детерминанта и да я приравним към нула:

Отваряне на определителя:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Това е всичко, получихме отговора: x + y + z − 2 = 0 .

Сега нека пренаредим няколко реда в определителя и да видим какво ще се случи. Например, нека напишем ред с променливи x, y, z не отдолу, а отгоре:

Нека отново разширим получения детерминант:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Получихме абсолютно същото уравнение на равнината: x + y + z − 2 = 0. Така че, то наистина не зависи от реда на редовете. Остава да напиша отговора.

И така, видяхме, че уравнението на равнината не зависи от последователността на правите. Възможно е да се направят подобни изчисления и да се докаже, че уравнението на равнината не зависи от точката, чиито координати изваждаме от другите точки.

В проблема, разгледан по-горе, използвахме точката B 1 = (1, 0, 1), но беше напълно възможно да вземем C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). Като цяло всяка точка с известни координати, лежаща на желаната равнина.

Всички уравнения на равнината, които се обсъждат в следващите параграфи, могат да бъдат получени от общото уравнение на равнината, а също и редуцирани до общото уравнение на равнината. Така, когато се говори за уравнение на равнина, се има предвид общото уравнение на равнина, освен ако не е посочено друго.

Уравнение на равнина в отсечки.

Вижте уравнението на равнината , където a , b и c са ненулеви реални числа, се извиква уравнение на равнина в сегменти.

Това име не е случайно. Абсолютните стойности на числата a, b и c са равни на дължините на сегментите, които равнината отрязва съответно на координатните оси Ox, Oy и Oz, като се брои от началото. Знакът на числата a, b и c показва в каква посока (положителна или отрицателна) трябва да бъдат положени сегментите върху координатните оси.

Например, нека построим равнина в правоъгълната координатна система Oxyz, определена от уравнението на равнината в сегментите . За да направим това, маркираме точка, която е на 5 единици от началото в отрицателната посока на абсцисната ос, 4 единици в отрицателната посока на оста y и 4 единици в положителната посока на оста на приложението. Остава да свържете тези точки с прави линии. Равнината на получения триъгълник е равнината, съответстваща на уравнението на равнината в сегменти от формата .

За повече информация вижте статията уравнение на равнина в сегменти, тя показва редуцирането на уравнението на равнина в сегменти до общо уравнение на равнина, където ще намерите и подробни решения на типични примери и задачи.

Нормално уравнение на равнината.

Уравнението на равнината с общ изглед се нарича нормално уравнение на равнината, Ако е равно на едно, т.е. , И .

Често можете да видите, че нормалното уравнение на равнината е написано като . Тук са насочващите косинуси на нормалния вектор на дадена равнина с единица дължина, т.е. p е неотрицателно число, равно на разстоянието от началото до равнината.

Нормалното уравнение на равнина в правоъгълната координатна система Oxyz определя равнина, която е на разстояние p от началото в положителната посока на нормалния вектор на тази равнина . Ако p=0, тогава равнината минава през началото.

Нека дадем пример за уравнение на нормална равнина.

Нека равнината е дадена в правоъгълна координатна система Oxyz от общото уравнение на равнината от формата . Това общо уравнение на равнината е нормалното уравнение на равнината. Всъщност и нормалният вектор на тази равнина има дължина равна на едно, защото .

Уравнението на равнината в неговата нормална форма ви позволява да намерите разстоянието от точка до равнина.

Препоръчваме ви да се занимавате с този тип уравнение на равнина по-подробно, да видите подробни решения на типични примери и задачи и също да научите как да приведете общото уравнение на равнината в нормална форма. Можете да направите това, като се позовавате на статията.

Библиография.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на средното училище.
Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

Да разгледаме правоъгълна координатна система Oxyz в пространството.

уравнение на повърхносттае такова уравнение F(x,y,z)=0, което е изпълнено от координатите на всяка точка, лежаща на повърхността, и не е удовлетворено от координатите на точки, които не лежат на повърхността.

Например една сфера е геометричното място на точки, еднакво отдалечени от някаква точка, наречена център на сферата. Така че всички точки, удовлетворяващи уравнението
лежат върху сфера с център в точка O(0.0.0) и радиус R (фиг.1).

Координатите на всяка точка, която не лежи на дадената сфера, не удовлетворяват това уравнение.

Линия в пространствотоможе да се разглежда като линията на пресичане на две повърхности. Така че на фигура 1 пресечната точка на сферата с равнината Oxy е окръжност с център в точка O и радиус R.

Най-простата повърхност е самолет, най-простата линия в пространството е прав.

2. Самолет в пространството.

2.1. Уравнение на равнина спрямо точка и нормален вектор.

В координатната система Oxyz разгледайте равнината (фиг.2). Неговата позиция се определя чрез задаване на вектора перпендикулярна на тази равнина и фиксирана точка
лежи в тази равнина. вектор
перпендикулярна на равнината
Наречен нормален вектор(нормален вектор). Да разгледаме произволна точка M(x,y,z) от равнината . вектор
апартамент
ще бъде перпендикулярен на нормалния вектор Използване на условието за векторна ортогоналност
получаваме уравнението: където

Уравнението ( 2.2.1 )

се нарича уравнение на равнина спрямо точка и нормален вектор.

Ако в уравнение (2.1.1) отворим скобите и пренаредим членовете, тогава получаваме уравнението или Ax + By + Cz + D = 0, където

D=
.

2.2. Общо уравнение на равнината.

Уравнението Ax + By + Cz + D = 0 ( 2.2.1 )

се нарича общо уравнение на равнината, където
е нормален вектор.

Нека разгледаме частни случаи на това уравнение.

1).D = 0. Уравнението има вида: Ax + By + Cz = 0. Такава равнина минава през началото. Нейният нормален вектор

2). C \u003d 0: Ax + By + D \u003d 0
равнината е успоредна на оста oz (фиг.3).

3). B = 0: Ax + Cz + D = 0
равнината е успоредна на оста oy (фиг.4).

4). A = 0: Чрез + Cz + D = 0

равнината е успоредна на оста на вола (фиг.5).

5). C=D=0: Ax+By=0
равнината минава през оста oz (фиг.6).

6).B = D = 0: Ax + Cz = 0
равнината минава през оста oy (фиг. 7).

7). A = D = 0: Чрез + Cz = 0
равнината минава през оста на вола (фиг. 8).

8).A = B = 0: Cz + D = 0

||унция
равнината е успоредна на равнината Oxy (фиг. 9).

9). B=C=0: Ax+D=0

||вол
самолет

П успоредна на равнината Oyz (фиг. 10).

10).A = C = 0: Чрез + D = 0

||ой
равнината е успоредна на равнината Oxz (фиг.11).

Пример 1Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка
перпендикулярен на вектора
Намерете пресечните точки на тази равнина с координатните оси.

Решение.По формула (2.1.1) имаме

2x - y + 3z + 3 = 0.

За да намерим пресечната точка на тази равнина с оста ox, заместваме y = 0, z = 0 в полученото уравнение.Имаме 2x + 3 = 0; x \u003d - 1,5.

Точката на пресичане на желаната равнина с оста на вола има координатите:

Намерете пресечната точка на равнината с оста y. За това приемаме x = 0; z = 0. Имаме

– y + 3 = 0 y = 3. И така,

За да намерим пресечната точка с оста oz, приемаме x = 0; y=0
3z + 3 = 0
z = – 1. И така,

Отговор: 2x – y + 3z + 3 = 0,
,
,
.

Пример 2Разгледайте равнините, дадени от уравненията:

а). 3x – y + 2z = 0

б). 2x + z - 1 = 0

V). – y + 5 = 0

Решение.А). Даден самолетминава през началото (D = 0) и има нормален вектор

б). В уравнението
коефициент B = 0. Следователно,
Равнината е успоредна на оста y.

V). В уравнението - y + 5 = 0, коефициентите A = 0, C = 0. Така че

Равнината е успоредна на равнината oxz.

Ж). Уравнението x = 0 определя равнината oyz, тъй като при B = 0, C = 0 равнината е успоредна на равнината oyz, а от условието D = 0 следва, че равнината минава през началото.

Пример 3Напишете уравнение за равнината, минаваща през точката A(2,3,1) и перпендикулярна на вектора
където B(1.0, –1), C(–2.2.0).

Решение.Нека намерим вектора

вектор
е нормален вектор на желаната равнина, минаващ през точката A(2,3,1). По формула (2.1.1) имаме:

– 3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0
– 3x + 2y + z – 1 = 0 3x - 2y - z + 1 = 0.

Отговор: 3x - 2y - z + 1 = 0.

2.3. Уравнение на равнина, минаваща през три точки.

Три точки, които не лежат на една и съща права линия, определят една равнина (виж Фиг. 12). Нека точките не лежат на една права линия. За да напишете уравнението на равнината, трябва да знаете една точка от равнината и нормалния вектор. Точките, лежащи на равнината, са известни:
Можете да вземете всякакви. За да намерим нормален вектор, използваме дефиницията на векторното произведение на векторите. Позволявам
Тогава, следователно,
Познаване на координатите на точката
и нормален вектор намираме уравнението на равнината по формула (2.1.1).

По друг начин може да се получи уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки, като се използва условието за копланарност на трите вектора. Всъщност векторите
където M(x,y,z) е произволна точка от желаната равнина, са копланарни (виж Фиг.13). Следователно тяхното смесено произведение е 0:

Прилагайки формулата на смесения продукт в координатна форма, получаваме:

(2.3.1)

Пример 1Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките

Решение.По формула (2.3.1) имаме

Разширявайки детерминантата, получаваме:

Получената равнина е успоредна на оста oy. Нейният нормален вектор

Отговор: x + z - 4 = 0.

2.4. Ъгъл между две прави.

Две равнини, пресичащи се, образуват четири двустенни ъгъла, равни по двойки (виж фиг. 14). Един от двустенните ъгли равен на ъгъламежду нормалните вектори на тези равнини.

Нека се дадат самолетите:

Техните нормални вектори имат координати:

От векторната алгебра е известно, че
или

(2.4.1)

Пример:Намерете ъгъла между равнините:

Решение:Намерете координатите на нормалните вектори: По формула (2.4.1) имаме:

Един от двустенните ъгли, получени при пресичането на тези равнини, е равен на
Можете също да намерите втория ъгъл:

Отговор:

2.5. Условие за успоредност на две равнини.

Нека са дадени две равнини:

Ако тези равнини са успоредни, тогава техните нормални вектори

колинеарни (виж фиг. 15).

Ако векторите са колинеарни, тогава съответните им координати са пропорционални:

(2.5.1 )

Обратното също е вярно: ако нормалните вектори на равнините са колинеарни, тогава равнините са успоредни.

Пример 1Кои от следните равнини са успоредни:

Решение:А). Нека напишем координатите на нормалните вектори.

Нека проверим тяхната колинеарност:

Оттук следва, че

б). Нека напишем координатите

Нека проверим колинеарността:

Вектори
не колинеарни, равнини
не са успоредни.

Пример 2Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка

M(2, 3, –2) успоредна на равнината

Решение:Желаната равнина е успоредна на дадената равнина. Следователно нормалният вектор на равнината може да се приеме като нормален вектор на желаната равнина.
Прилагайки уравнение (2.1.1), получаваме:

Отговор:
.

Пример 3Определете за кои a и b равнините са успоредни:

Решение:Изписваме координатите на нормалните вектори:

Тъй като равнините са успоредни, векторите
колинеарен По условие (2.5.1)
Следователно b = – 2; а = 3.

Отговор:а = 3; b = -2.

2.6. Условието за перпендикулярност на две равнини.

Ако самолетът
са перпендикулярни, тогава нормалните им вектори
също са перпендикулярни (виж Фиг. 16). От това следва, че тяхното скаларно произведение е равно на нула, т.е.
или по координати:

Това е условието две равнини да са перпендикулярни. Обратното твърдение също е вярно, т.е. ако условието (2.6.1) е изпълнено, тогава векторите
следователно,