Как определить перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямых в пространстве

Перпендикулярные прямые фигурируют чуть ли не в каждой геометрической задаче. Иногда перпендикулярность прямых известна из условия, а в других случаях перпендикулярность прямых приходится доказывать. Для доказательства перпендикулярности двух прямых достаточно показать, используя любые геометрические методы, что угол между прямыми равен девяноста градусам.

А как ответить на вопрос «перпендикулярны ли прямые», если известны уравнения, задающие эти прямые на плоскости или в трехмерном пространстве?

Для этого следует воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых . Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

a и b необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен направляющему вектору прямой b .

Доказательство этого условия перпендикулярности прямых основано на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярных прямых.

Добавим конкретики.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданыуравнения прямой на плоскости некоторого вида, определяющие прямые a и b . Обозначим направляющие векторы прямых а и b как и соответственно. По уравнениям прямых a и b можно определить координаты направляющих векторов этих прямых – получаем и . Тогда, для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие перпендикулярности векторов и , то есть, чтобы скалярное произведение векторов и равнялось нулю: .

Итак, a и b в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости имеет вид , где и - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Это условие удобно использовать, когда легко находятся координаты направляющих векторов прямых, а также когда прямым a и b соответствуют канонические уравнения прямой на плоскости или параметрические уравнения прямой на плоскости.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки . Перпендикулярны ли прямые АВ и АС ?

Решение.

Векторы и являются направляющими векторами прямых АВ и АС . Обратившись к статье координаты вектора по координатам точек его начала и конца, вычисляем . Векторы и перпендикулярны, так как . Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых АВ и АС . Следовательно, прямые АВ и АС перпендикулярны.

Ответ:

да, прямые перпендикулярны.

Пример.

Являются ли прямые и перпендикулярными?

Решение.

Направляющий вектор прямой , а - направляющий вектор прямой . Вычислим скалярное произведение векторов и : . Оно отлично от нуля, следовательно, направляющие векторы прямых не перпендикулярны. То есть, не выполняется условие перпендикулярности прямых, поэтому, исходные прямые не перпендикулярны.

Ответ:

нет, прямые не перпендикулярны.

Аналогично, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве имеет вид , где и - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Пример.

Перпендикулярны ли прямые, заданные в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями и ?

Решение.

Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве, являются соответствующими координатами направляющего вектора прямой. А координатами направляющего вектора прямой, которая задана параметрическими уравнениями прямой в пространстве, являются коэффициенты при параметре. Таким образом, и - направляющие векторы заданных прямых. Выясним, перпендикулярны ли они: . Так как скалярное произведение равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Значит, выполняется условие перпендикулярности заданных прямых.

Ответ:

прямые перпендикулярны.

Для проверки перпендикулярности двух прямых на плоскости существуют другие необходимые и достаточные условия перпендикулярности.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору прямой b .

Озвученное условие перпендикулярности прямых удобно использовать, если по заданным уравнениям прямых легко находятся координаты нормальных векторов прямых. Этому утверждению отвечает общее уравнение прямой вида , уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом .

Пример.

Убедитесь, что прямые и перпендикулярны.

Решение.

По заданным уравнениям прямых легко найти координаты нормальных векторов этих прямых. – нормальный вектор прямой . Перепишем уравнение в виде , откуда видны координаты нормального вектора этой прямой: .

Векторы и перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю: . Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности заданных прямых, то есть, они действительно перпендикулярны.

В частности, если прямую a на плоскости определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямую b – вида , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и соответственно, а условие перпендикулярности этих прямых сводится к следующему соотношению между угловыми коэффициентами .

Пример.

Перпендикулярны ли прямые и ?

Решение.

Угловой коэффициент прямой равен , а угловой коэффициент прямой равен . Произведение угловых коэффициентов равно минус единице , следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ:

заданные прямые перпендикулярны.

Можно озвучить еще одно условие перпендикулярности прямых на плоскости.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор второй прямой были коллинеарны.

Этим условием, очевидно, удобно пользоваться, когда легко находятся координаты направляющего вектора одной прямой и координаты нормального вектора второй прямой, то есть, когда одна прямая задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями прямой на плоскости, а вторая – или общим уравнением прямой, или уравнением прямой в отрезках, или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример.

Являются ли прямые и перпендикулярными?

Решение.

Очевидно, - нормальный вектор прямой , а - направляющий вектор прямой . Векторы и не коллинеарны, так как для них не выполняется условие коллинеарности двух векторов(не существует такого действительного числа t , при котором ). Следовательно, заданные прямые не перпендикулярны.

Ответ:

прямые не перпендикулярны.

21. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Покажем как это делается.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M 1 , не лежащая на прямой a . Проведем через точку M 1 прямую b , перпендикулярную прямой a . Обозначим точку пересечения прямых a и b как H 1 . Отрезок M 1 H 1 называется перпендикуляром , проведенным из точки M 1 к прямой a .

Определение.

Расстоянием от точки M 1 до прямой a называют расстояние между точками M 1 и H 1 .

Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.

Определение.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.

Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.

Возьмем на прямой a точку Q , не совпадающую с точкой M 1 . Отрезок M 1 Q называютнаклонной , проведенной из точки M 1 к прямой a . Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M 1 к прямой a , меньше любой наклонной, проведенной из точки M 1 к прямой a . Это действительно так: треугольник M 1 QH 1 прямоугольный с гипотенузой M 1 Q , а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .

22. Плоскость в пространстве R3. Уравнение плоскости.

Плоскость в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением, которое называется общим уравнением плоскости.

Определение. Вектор перпендикулярен плоскости и называется ее нормальным вектором.

Если в прямоугольной системе координат известны координаты трех точек , не лежащих на одной прямой, то уравнение плоскости записывается в виде: .

Вычислив данный определитель, получим общее уравнение плоскости.

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки .

Решение:

Уравнение плоскости: .

23. Исследование общего уравнения плоскости.

О п р е д е л е н и е 2. Всякий вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Если известна фиксированная точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0), лежащая в данной плоскости, и вектор , перпендикулярный данной плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через точкуM 0 (x 0 , y 0 , z 0), перпендикулярно вектору , имеет вид

A (x-x 0)+ B (y-y 0) + C (z-z 0)= 0. (3.22)

Покажем, что уравнение (3.22) является общим уравнением плоскости (3.21). Для этого раскроем скобки и соберем в скобки свободный член:

.Ax + By+ Cz + (-Ax 0 - By -Cz 0)= 0

ОбозначивD = -Ax 0 - By -Cz 0 , получим уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору , если A (4, -3, 1), B (1, 2, 3).

Решение. Найдем нормальный вектор плоскости :

Для нахождения уравнения плоскости используем уравнение (3.22):

Ответ: -3x + 5y + 2z + 25 = 0.

Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (-1, 2, -1), перпендикулярно оси OZ .

Решение. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять любой вектор, лежащий на оси OZ, например, , тогда уравнение плоскости

Ответ: z + 1 = 0.

24. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости определяется через расстояние от точки до точки, одна из которых заданная точка, а другая – проекция заданной точки на заданную плоскость.

Пусть в трехмерном пространстве задана точка М 1 и плоскость . Проведем через точку М 1 прямую a , перпендикулярную к плоскости . Обозначим точку пересечения прямой a и плоскости как H 1 . Отрезок M 1 H 1 называют перпендикуляром , опущенным из точки М 1 на плоскость , а точку H 1 – основанием перпендикуляра .

Определение.

– это расстояние от данной точки до основания перпендикуляра, проведенного из заданной точки к заданной плоскости.

Чаще встречается определение расстояние от точки до плоскости в следующем виде.

Определение.

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости.

Следует отметить, что расстояние от точки М 1 до плоскости , определенное таким образом, является наименьшим из расстояний от заданной точки М 1 до любой точки плоскости . Действительно, пусть точка H 2 лежит в плоскости и отлична от точки H 1 . Очевидно, треугольник М 2 H 1 H 2 является прямоугольным, в нем М 1 H 1 – катет, а M 1 H 2 – гипотенуза, следовательно, . Кстати, отрезок M 1 H 2 называется наклонной , проведенной из точки М 1 к плоскости . Итак, перпендикуляр, опущенный из заданной точки на заданную плоскость, всегда меньше наклонной, проведенной из этой же точки к заданной плоскости.

Если прямая проходит через две заданные точки , то ее уравнение записывают в виде: .

Определение. Вектор называется направляющим вектором прямой, если он параллелен или принадлежит ей.

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .

Решение: Используем общую формулу прямой, проходящей через две заданные точки: - каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и . Вектор - направляющий вектор прямой.

26. Взаимное расположение прямых в пространстве R3.

Перейдем к вариантам взаимного расположения двух прямых в пространстве.

Во-первых, две прямые могут совпадать, то есть, иметь бесконечно много общих точек (по крайней мере две общие точки).

Во-вторых, две прямые в пространстве могут пересекаться, то есть, иметь одну общую точку. В этом случае эти две прямые лежат в некоторой плоскости трехмерного пространства. Если две прямые в пространстве пересекаются, то мы приходим к понятию угла между пересекающимися прямыми.

В-третьих, две прямые в пространстве могут быть параллельными. В этом случае они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Рекомендуем к изучению статью параллельные прямые, параллельность прямых.

После того как мы дали определение параллельных прямых в пространстве, следует сказать онаправляющих векторах прямой линии в силу их важности. Любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, которая параллельна данной, будем называть направляющим вектором прямой. Направляющий вектор прямой очень часто используется при решении задач, связанных с прямой линией в пространстве.

Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми.

Особое практическое значение имеет случай, когда угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен девяноста градусам. Такие прямые называют перпендикулярными (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых).

27. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве R3.

Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости икоординаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Теорема доказана.

Прямая (отрезок прямой) обозначается двумя большими буквами латинского алфавита или одной маленькой буквой. Точка обозначается только большой латинской буквой.

Прямые могут не пересекаться, пересекаться или совпадать. Пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку, непересекающиеся прямые - ни одной общей точки, у совпадающих прямых все точки общие.

Определение. Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными. Перпендикулярность прямых (или их отрезков) обозначают знаком перпендикулярности «⊥».

Например:

Ваш AB и CD (рис. 1) пересекаются в точке О и ∠АОС = ∠ВОС = ∠АОD = ∠BOD = 90°, то AB ⊥ CD .

Если AB ⊥ CD (рис. 2) и пересекаются в точке В , то ∠АBC = ∠ABD = 90°

Свойства перпендикулярных прямых

1. Через точку А (рис. 3) можно провести только одну перпендикулярную прямую АВ к прямой СD; остальные прямые, проходящие через точку А и пересекающие СD , называются наклонными прямыми (рис. 3, прямые АЕ и АF ).

2. Из точки A можно опустить перпендикуляр на прямую CD ; длина перпендикуляра (длина отрезка АВ ), проведенного из точки А на прямую CD ,- это самое короткое расстояние от A до CD (рис. 3).

Перпендикулярностью называют соотношение между разнообразными объектами в евклидовом пространстве - прямыми, плоскостями, векторами, подпространствами и так далее. В настоящем материале мы более внимательно рассмотрим перпендикулярные прямые и характерные черты, к ним относящиеся. Две прямые могут быть названы перпендикулярными (или взаимоперпендикулярными), если все четыре угла, которые образованы их пересечением, составляют строго по девяносто градусов.

Существуют определенные свойства перпендикулярных прямых, реализованных на плоскости:

Построение перпендикулярных прямых

Перпендикулярные прямые строятся на плоскости с помощью угольника. Любой чертежник должен иметь в виду, что важной особенностью каждого угольника является то, что он обязательно имеет прямой угол. Чтобы создать две перпендикулярные прямые, нам необходимо совместить одну из двух сторон прямого угла нашего

чертежного угольника с данной прямой и провести вторую прямую вдоль второй стороны этого прямого угла. Таким образом будут созданы две перпендикулярные прямые.

Трехмерное пространство

Интересен тот факт, что перпендикулярные прямые могут быть реализованы и в В этом случае такими будут называться две прямые, если они параллельны соответственно каким-либо двух иным прямым, лежащим в той же плоскости и тоже перпендикулярным в ней. Кроме того, если на плоскости перпендикулярными могут быть лишь две прямые, то в трехмерном пространстве - уже три. Более того, в количество перпендикулярных линий (или же плоскостей) может быть еще больше увеличено.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Перпендикулярные прямые образуют собой целый пласт фигур, построений и вычислений в геометрии. Без понимания перпендикулярных прямых не получится решать такие фигуры, как прямоугольный треугольник, прямоугольник, квадрат или прямоугольная трапеция. Поэтому стоит особенное внимание уделить этим понятиям.

Что такое перпендикулярные прямые

При пересечении двух прямых образуется 4 угла. Определение перпендикулярных прямых звучит так: это прямые, угол между которыми равен 90 градусам. Углов всего 4, полный угол это 360 градусов. Если один из углов равен 90 градусам, то и 3 других будут по 90.

Чтобы отрезки назывались перпендикулярными, так же должно выполняться два условия: отрезки должны пересекаться, а угол пересечения между ними должен равняться 90 градусам.

Рис. 1. Перпендикулярные линии.

Свойства

У перпендикулярных прямых не так много свойств. Все они не требуют доказательств, так как исходят из определения перпендикулярности.

Если каждая из двух прямых перпендикулярны третьей, то эти прямые параллельны. А параллельны они в силу того, что получившиеся односторонние углы будут в сумме давать 180 градусов. А значит, прямые параллельны по 3 признаку параллельности. Это свойство можно доказать по любому из трех признаков параллельности.
Перпендикулярный отрезок от точки до прямой или отрезка будет называться расстоянием от точки до прямой.
Расстояние от прямой до прямой так же является перпендикуляром, опущенным из любой точки одной прямой на другую прямую.
Если на протяжении всей длинны двух прямых расстояние между ними не меняется, то прямые будут параллельными.

Фигуры с перпендикулярными прямыми

Одной из первых фигур, с которыми знакомится человек, являются квадрат и прямоугольник.

Прямые углы приятны человеческому взгляду, поэтому очень часто квадрат или прямоугольник используют как форму для столешниц, стульев, тумбочек и других предметов. Весь окружающий человека мир составлен из параллельных и перпендикулярных линий.

Рис. 2. Квадрат.

Еще со времен Древней Греции известен прямоугольный треугольник. Форму прямоугольного треугольника принимали различные приборы для навигации, кроме того много времени изучению свойств прямоугольного треугольника уделил Пифагор. Именно его авторству принадлежит Теорема Пифагора, которая крайне востребована в решениях задач.

Существует прямоугольная трапеция, у которой одна из сторон прямоугольна обоим основанием. А планометрия и вовсе пестрит перпендикулярами в пространстве: правильная призма, прямоугольная пирамида и самый обычный куб.

К тому же, в любом треугольнике можно провести высоту, что необходимо для нахождения площади фигуры. Перпендикуляр для нахождения площади пригодится и в параллелограмме, а прямоугольный треугольник и квадрат имеют высоту в составе своих сторон, из-за чего площадь этих фигур гораздо проще найти.