Координаты и потенциалы термодинамической системы. Потенциалы термодинамические
Все расчеты в термодинамике основываются на использовании функций состояния, называемых термодинамическими потенциалами. Каждому набору независимых параметров соответствует свой термодинамический потенциал. Изменения потенциалов, происходящие в ходе каких-либо процессов, определяют либо совершаемую систолой работу, либо получаемое системой тепло.
При рассмотрении термодинамических потенциалов мы будем пользоваться соотношением (103.22), представив его в виде
Знак равенства относится к обратимым, знак неравенства - к нет обратимым процессам.
Термодинамические потенциалы являются функциями состояния. Поэтому приращение любого из потенциалов равно полному дифференциалу функции, которой он выражается. Полный дифференциал функции переменных и у определяется выражением
Поэтому, если в ходе преобразований мы получим для приращения некоторой величины выражение вида
можно утверждать, что эта величина является функцией параметров , причем функции представляют собой частные производные функции
Внутренняя энергия. С одним из термодинамических потенциалов мы уже хорошо знакомы. Это - внутренняя энергия системы. Выражение первого начала для обратимого процесса можно представить в виде
(109.4)
Сравнение с (109.2) показывает, что в качестве так называемых, естественных переменных для потенциала V выступают переменные S и V. Из (109.3) следует, что
Из соотношения следует, что в случае, - когда тело не обменивается теплом с внешней средой, совершаемая им работа равна
или в интегральной форме:
Таким образом, при отсутствии теплообмена с внешней средой работа равна убыли внутренней энергии тела.
При, постоянном объеме
Следовательно, - теплоемкость при постоянном объеме равна
(109.8)
Свободная знергия. Согласно (109.4) работа производимая теплом при обратимом изотермическом процессе, может быть представлена в виде
Функцию состояния
(109.10)
называются свободной энергией тела.
В соответствии с формулам» (109.9) и (109.10) при обратимом изотермическом процессе работа равна убыли свободной энергии тела:
Сравнение с формулой (109.6) показывает, что при изотермических процессах свободная энергия играет такую же роль, как внутренняя энергия при адиабатических процессах.
Заметам, что формула (109.6) справедлива как при обратимых, так и при необратимых процессах. Формула же (109.12) справедлива только для обратимых процессов. При необратимых процессах (см. ). Подставив это неравенство в соотношение легко получить, что при необратимых изотермических процессах
Следовательно, убыль свободной энергии определяет верхний предел количества работы, которую может совершить система при изотермическом процессе.
Возьмем дифференциал от функции (109.10). Приняв во внимание (109.4) получим:
Из сравнения с (109.2) заключаем, что естественными переменными для свободной энергии являются Т и V. В соответствии с (109.3)
Заменим: в (109.1) dQ через и разделим получившееся соотношение на ( - время). В результате получим, что
Если температура и объем остаются постоянными, то соотношение (109.16) может быть преобразовано к виду
Из этой формулы следует, что необратимый процесс, протекающий при постоянных температуре и объема, сопровождается уменьшением свободной энергии тела. По достижении равновесия F перестает меняться со временем. Таким образом; при неизменных Т и V равновесным является состояние, для которого свободная энергия минимальна.
Энтальпия. Если процесс «происходит при постоянном давлении, то количество получаемого телом тепла можно представить следующим образом:
Функцию состояния
называют энтальпией или тепловой функцией.
Из (109.18) и (109.19) вытекает, что количество тепла, получаемого телом в ходе изобатического процесса, равно
или в интегральной форме
Следовательно, в случае, когда давление остается постоянным, количество получаемого телом тепла равно приращению энтальпии. Дифференцирование выражения (109.19) с учетом (109.4) дает
Отсюда заключаем. энтальпия есть термодинамический потенциал в переменных Его частные производные равны
План лекции : Термодинамический потенциал. Изохорно-изотермический потенциал или свободная энергия Гельмгольца. Применение энергии Гельмгольца в качестве критерия направления самопроизвольного процесса и равновесия в закрытых системах. Изобарно-изотермический потенциал или свободная энергия Гиббса. Применение энергии Гиббса в качестве критерия направления самопроизвольного процесса и равновесия в закрытых системах. Характеристические функции: внутренняя энергия, энтальпия, свободная энергия Гельмгольца, свободная энергия Гиббса. Уравнения Гиббса-Гельмгольца. Химический потенциал.
Термодинамический потенциал – это функция состояния системы, убыль которой в процессе, протекающем при постоянстве двух параметров, равна максимальной полезной работе.
Энергия Гельмгольца как изохорно-изотермический потенциал.
Для изохорно-изотермических условий V = const, T = const . Вспомним, что объединенное уравнение, выражающее первый и второй законы термодинамики, имеет следующий вид: .
Так как при V = const , = 0, получим . (6.1) Проинтегрируем данное уравнение:
Введем обозначение F – это энергия Гельмгольца. F = U - TS (6.2)
Тогда F 2 = U 2 - TS 2 и F 1 = U 1 - TS 1 .
То есть энергия Гельмгольца – это термодинамический потенциал, так как его изменение равно полезной работе при протекании обратимого процесса в системе. Для необратимого процесса: В общем случае для обратимого и необратимого процессов справедливо выражение
Энергия Гельмгольца равна , отсюда U = F+TS . (6.4)
То есть F – это та часть внутренней энергии, которая может быть превращена в работу, поэтому она называется свободной энергией ; произведение TS – это энергия, которая выделяется в виде тепла, поэтому она называется связанной энергией .
Энергия Гельмгольца как критерий возможности протекания процесса. Дифференцируя выражение получим dF = dU – TdS - SdT . Подставляя вместо произведения TdS его выражение из «объединенного» уравнения TdS ≥ dU+pdV получим
dF ≤ - SdT - pdV . (6.5)
Так как SdT = 0 и pdV= 0 (при Т = cons t и V= const ), тогда для изохорно-изотермических условий
(dF) v , T ≤ 0. (6.6)
В закрытых (замкнутых) системах при изохорно-ихотермических условиях:
· если dF < 0 , то процесс протекает самопроизвольно;
· если dF > 0 , то процесс не протекает;
· если dF = 0 , то система находится в состоянии равновесия.
Энергия Гиббса как изобарно-изотермичесий потенциал. Для изобарно-изотермических условий р = const , T = const. Преобразуем объединенное уравнение первого и второго законов термодинамики:
Проинтегрируем это выражение:
Введем обозначение - это энергия Гиббса. (6.8)
То есть энергия Гиббса G – это термодинамический потенциал, так как его изменение равно полезной работе при протекании обратимого процесса в системе. Для необратимого процесса В случае для обратимого и необратимого процесса справедливо выражение
Термодинами́ческие потенциа́лы (термодинамические функции ) - характеристические функции в термодинамике , убыль которых в равновесных процессах, протекающих при постоянстве значений соответствующих независимых параметров, равна полезной внешней работе.
Поскольку в изотермическом процессе количество теплоты, полученное системой, равно , то убыль свободной энергии в квазистатическом изотермическом процессе равна работе, совершённой системой над внешними телами.
Потенциал Гиббса
Также называемый энергией Гиббса , термодинамическим потенциалом , свободной энергией Гиббса и даже просто свободной энергией (что может привести к смешиванию потенциала Гиббса со свободной энергией Гельмгольца):
.Термодинамические потенциалы и максимальная работа
Внутренняя энергия представляет собой полную энергию системы. Однако второе начало термодинамики запрещает превратить всю внутреннюю энергию в работу.
Можно показать, что максимальная полная работа (как над средой, так и над внешними телами), которая может быть получена от системы в изотермическом процессе , равна убыли свободной энергии Гельмгольца в этом процессе:
,где - свободная энергия Гельмгольца.
В этом смысле представляет собой свободную энергию, допускающую преобразование в работу. Оставшаяся часть внутренней энергии может быть названа связанной .
В некоторых приложениях приходится различать полную и полезную работу. Последняя представляет собой работу системы над внешними телами, исключая среду, в которую она погружена. Максимальная полезная работа системы равна
где - энергия Гиббса.
В этом смысле энергия Гиббса также является свободной .
Каноническое уравнение состояния
Задание термодинамического потенциала некоторой системы в определенной форме эквивалентно заданию уравнения состояния этой системы.
Соответствующие дифференциалы термодинамических потенциалов:
- для внутренней энергии
- для энтальпии
- для свободной энергии Гельмгольца
- для потенциала Гиббса
Эти выражения математически можно рассматривать как полные дифференциалы функций двух соответствующих независимых переменных. Поэтому естественно рассматривать термодинамические потенциалы как функции:
, , , .Задание любой из этих четырёх зависимостей - то есть конкретизация вида функций , , , - позволяет получить всю информацию о свойствах системы. Так, например, если нам задана внутренняя энергия как функция энтропии и объёма , оставшиеся параметры могут быть получены дифференцированием:
Здесь индексы и означают постоянство второй переменной, от которой зависит функция. Эти равенства становятся очевидными, если учесть, что .
Задание одного из термодинамических потенциалов как функции соответствующих переменных, как записано выше, представляет собой каноническое уравнение состояния системы. Как и другие уравнения состояния, оно справедливо лишь для состояний термодинамического равновесия . В неравновесных состояниях эти зависимости могут не выполняться.
Метод термодинамических потенциалов. Соотношения Максвелла
Метод термодинамических потенциалов помогает преобразовывать выражения, в которые входят основные термодинамические переменные и тем самым выражать такие «труднонаблюдаемые» величины, как количество теплоты, энтропию, внутреннюю энергию через измеряемые величины - температуру, давление и объём и их производные.
Рассмотрим опять выражение для полного дифференциала внутренней энергии:
.Известно, что если смешанные производные существуют и непрерывны, то они не зависят от порядка дифференцирования, то есть
.Но и , поэтому
.Рассматривая выражения для других дифференциалов, получаем:
, , .Эти соотношения называются соотношениями Максвелла . Заметим, что они не выполняются в случае разрывности смешанных производных, что имеет место при фазовых переходах 1-го и 2-го рода.
Системы с переменным числом частиц. Большой термодинамический потенциал
Химический потенциал () компонента определяется как энергия, которую необходимо затратить для того, чтобы добавить в систему бесконечно малое молярное количество этого компонента. Тогда выражения для дифференциалов термодинамических потенциалов могут быть записаны так:
, , , .Поскольку термодинамические потенциалы должны быть аддитивными функциями числа частиц в системе, канонические уравнения состояния принимают такой вид (с учётом того, что S и V - аддитивные величины, а T и P - нет):
, , , .И, поскольку , из последнего выражения следует, что
,то есть химический потенциал - это удельный потенциал Гиббса (на одну частицу).
Для большого канонического ансамбля (то есть для статистического ансамбля состояний системы с переменным числом частиц и равновесным химическим потенциалом) может быть определён большой термодинамический потенциал , связывающий свободную энергию с химическим потенциалом:
;Нетрудно проверить, что так называемая связанная энергия является термодинамическим потенциалом для системы, заданной с постоянными .
Рассматриваемый в термодинамике потенциал связан с энергией, необходимой для обратимого переноса ионов из одной фазы в другую. Таким потенциалом, конечно, является электрохимический потенциал ионного компонента. Электростатический потенциал, кроме задач, связанных с его определением в конденсированных фазах, не связан непосредственно с обратимой работой. Хотя в термодинамике можно обойтись без электростатического потенциала за счет использования вместо него электрохимического потенциала, потребность в описании электрического состояния фазы остается.
Часто электрохимический потенциал ионного компонента представляют в виде суммы электрического и «химического» членов:
где Ф - «электростатический» потенциал, а коэффициент активности, предполагаемый здесь независимым от электрического состояния данной фазы. Заметим прежде всего, что такое разложение не является необходимым, поскольку соответствующие формулы, имеющие значение с точки зрения термодинамики, уже получены в гл. 2.
Электростатический потенциал Ф можно определить так, что он будет измеримым или неизмеримым. В зависимости от того, как определен Ф, величина будет также либо однозначно определена, либо полностью не определена. Развивать теорию можно, даже не имея такого четкого определения электростатического потенциала, какое дает электростатика, и не заботясь о тщательном определении его смысла. Если анализ проводится правильно, то физически осмысленные результаты можно получить в конце, компенсируя неопределенные члены.
Любое выбранное определение Ф должно удовлетворять одному условию. Оно должно сводиться к определению (13-2), использованному для разности электрических потенциалов между фазами с одинаковым составом. Так, если фазы имеют одинаковый состав, то
Таким образом, Ф является количественной мерой электрического состояния одной фазы относительно другой, имеющей тот же состав. Этому условию удовлетворяет целый ряд возможных определений Ф.
Вместо Ф может использоваться внешний потенциал, который в принципе измерим. Его недостаток - трудность измерения и использования в термодинамических расчетах. Преимуществом является то, что он придает определенный смысл Ф, и в окончательных результатах этот потенциал не фигурирует, так что нужда в его измерении фактически отпадает.
Другая возможность - использование потенциала подходящего электрода сравнения. Поскольку электрод сравнения обратим по некоторому иону, присутствующему в растворе, это эквивалентно использованию электрохимического потенциала иона или Произвольность этого определения видна из необходимости выбора конкретного электрода сравнения или ионного компонента. Дополнительный недостаток такого выбора состоит в том, что в растворе, не содержащем компонента i, величина обращается в минус бесконечность. Таким образом, электрохимический потенциал не согласуется с нашей обычной концепцией электростатического потенциала, что объясняется его связью с обратимой работой. Данный выбор потенциала обладает тем преимуществом, что он связан с измерениями с помощью электродов сравнения, обычно применяемых в электрохимии.
Рассмотрим теперь третью возможность. Выберем ионный компонент и определим потенциал Ф следующим образом:
Тогда электрохимический потенциал любого другого компонента можно выразить в виде
Следует отметить, что комбинации в скобках точно определены и не зависят от электрического состояния в соответствии с правилами, изложенными в разд. 14. В таком случае можно записать градиент электрохимического потенциала
Снова видна произвольность этого определения Ф, связанная с необходимостью выбора ионного компонента n. Преимущество такого определения Ф состоит в его однозначной связи с электрохимическими потенциалами и согласованности с нашим обычным представлением об электростатическом потенциале. Ввиду наличия члена в уравнении (26-3) последнее можно использовать для раствора с исчезающей концентрацией компонента .
В пределе бесконечно разбавленных растворов члены с коэффициентами активности исчезают вследствие выбора вторичного стандартного состояния (14-6). В этом пределе определение Ф становится независимым от выбора стандартного иона n. Это создает основу того, что следовало бы называть теорией разбавленных растворов электролитов. В то же время уравнения (26-4) и (26-5) показывают, как нужно делать поправки на коэффициент активности в теории разбавленных растворов, не прибегая к коэффициентам активности отдельных ионов. Отсутствие зависимости от типа иона в случае бесконечно разбавленных растворов связано с возможностью измерения разностей электрических потенциалов между фазами с одинаковым составом. Такие растворы имеют существенно одинаковые составы в том смысле, что ион в растворе взаимодействует только с растворителем и даже дальнодействие со стороны остальных ионов им не ощущается.
Введение такого электрического потенциала полезно при анализе процессов переноса в растворах электролитов . Для, таким образом определенного потенциала Смерл и Ньюмен используют термин квазиэлектростатический потенциал.
Мы обсудили возможные способы использования электрического потенциала в электрохимической термодинамике. Применение потенциала в теории переноса по существу то же, что
и в термодинамике. Работая с электрохимическими потенциалами, можно обойтись без электрического потенциала, хотя его введение может оказаться полезным или удобным. В кинетике электродных процессов в качестве движущей силы реакции может использоваться изменение свободной энергии. Это равносильно использованию поверхностного перенапряжения, определенного в разд. 8.
Электрический потенциал находит применение и в микроскопических моделях, таких, как теория Дебая-Хюккеля, упоминавшаяся выше и излагаемая в следующей главе. Всегда строго определить такой потенциал невозможно. Следует четко различать между теориями макроскопическими - термодинамика, теория процессов переноса и механика жидкостей - и микроскопическими - статистическая механика и кинетическая теория газов и жидкостей. Исходя из свойств молекул или ионов, микроскопические теории позволяют вычислять и связывать между собой такие макроскопические характеристики, как, например, коэффициенты активности и коэффициенты диффузии. При этом редко удается получить удовлетворительные количественные результаты без привлечения дополнительной экспериментальной информации. Макроскопические теории, с одной стороны, создают основу для наиболее экономного измерения и табулирования макроскопических характеристик, а с другой - позволяют использовать эти результаты для предсказания поведения макроскопических систем.
1. Группа потенциалов “E F G H”, имеющих размерность энергии.
2. Зависимость термодинамических потенциалов от числа частиц. Энтропия как термодинамический потенциал.
3. Термодинамические потенциалы многокомпонентных систем.
4. Практическая реализация метода термодинамических потенциалов (на примере задачи химического равновесия).
Один из основных методов современной термодинамики является метод термодинамических потенциалов. Этот метод возник, во многом, благодаря использованию потенциалов в классической механике, где его изменение связывалось с производимой работой, а сам потенциал является энергетической характеристикой термодинамической системы. Исторически сложилось так, что введенные первоначально термодинамические потенциалы также имели размерность энергии, что и определило их название.
Упомянутая группа включает следующие системы:
Внутренняя энергия;
Свободная энергия или потенциал Гельмгольца;
Термодинамический потенциал Гиббса;
Энтальпия.
Потенциальность внутренней энергии была показано в предыдущей теме. Из нее следует потенциальность остальных величин.
Дифференциалы термодинамических потенциалов принимает вид:
Из соотношений (3.1) видно, что соответствующие термодинамические потенциалы характеризуют одну и ту же термодинамическую систему при различных способах …. описания (способах задания состояния термодинамической системы). Так, для адиабатически изолированной системы, описываемой в переменных удобно в качестве термодинамического потенциала использовать внутреннюю энергию.Тогда параметры системы, термодинамически сопряженные к потенциалам, определяются из соотношений:
Если в качестве способа описания используется “система в термостате”, задаваемая переменными, наиболее удобно использовать в качестве потенциала свободную энергию. Соответственно, для параметров системы получим:
Далее, выберем в качестве способа описания модель “системы под поршнем”. В этих случаях функции состояния образуют набор (), а в качестве термодинамического потенциала используется потенциал Гиббса G. Тогда параметры системы определяются из выражений:
И в случае “адиабатической системы над поршнем”, заданной функциями состояния роль термодинамического потенциала играет энтальпия H. Тогда параметры системы принимают вид:
Из того, что соотношения (3.1) задают полные дифференциалы термодинамических потенциалов, мы можем приравнивать их вторые производные.
Например, Учитывая, что
получаем
Аналогично для остальных параметров системы, связанных с термодинамическим потенциалом, запишем:
Подобные тождества можно записать и для других наборов параметров термодинамического состояния системы на основе потенциальности соответствующих термодинамических функций.
Так, для “системы в термостате” c потенциалом, имеем:
Для системы “над поршнем” с потенциалом Гиббса будут справедливы равенства:
И, наконец, для системы с адиабатическим поршнем с потенциалом H, получим:
Равенства вида (3.6) - (3.9) получили название термодинамических тождеств и в ряде случаев оказываются удобными для практических расчетов.
Использование термодинамических потенциалов позволяет достаточно просто определить работу системы и тепловой эффект.
Так, из соотношений (3.1) следует:
Из первой части равенства следует известное положение о том, что работа теплоизолированной системы () производится за счет убыли ее внутренней энергии. Второе равенство означает, что свободная энергия есть та часть внутренней энергии, которая при изотермическом процессе целиком переходит в работу (соответственно “оставшуюся” часть внутренней энергии иногда называют связанной энергией).
Количество теплоты можно представить в виде:
Из последнего равенства понятно, почему энтальпию еще называют теплосодержанием. При горении и других химических реакциях, происходящих при постоянном давлении (), выделяемое количество теплоты равно изменению энтальпии.
Выражение (3.11), с учетом второго начала термодинамики (2.7) позволяет определить теплоемкость:
Все термодинамические потенциалы типа энергии обладают свойством аддитивности. Поэтому можно записать:
Легко видеть, что потенциал Гиббса содержит только один аддитивный параметр, т.е. удельный потенциал Гиббса от не зависит. Тогда из (3.4) следует:
То есть химический потенциал есть удельный потенциал Гиббса, и имеет место равенство
Термодинамические потенциалы (3.1) связаны между собой прямыми соотношениями, позволяющими совершать переход от одних потенциалов к другим. Например, выразим все термодинамические потенциалы через внутреннюю энергию.
При этом мы получили все термодинамические потенциалы как функции (). Для того, чтобы выразить их в других переменных, используют процедуру пере….
Пусть задано давление в переменных ():
Запишем последнее выражение в виде уравнения состояния, т.е. найдем вид
Легко видеть, что если состояние задано в переменных (), то термодинамическим потенциалом является внутренняя энергия В силу (3.2) найдем
Рассматривая (3.18) как уравнение относительно S, находим его решение:
Подставляя (3.19) в (3.17) получаем
То есть от переменных () мы перешли к переменным ().
Вторая группа термодинамических потенциалов возникает в том случае, если в качестве термодинамических переменных, помимо рассмотренных выше, включен химический потенциал. Потенциалы второй группы также имеют размерность энергии и могут быть связаны с потенциалами первой группы путем соотношений:
Соответственно дифференциалы потенциалов (3.21) имеют вид:
Также как и для термодинамических потенциалов первой группы, для потенциалов (3.21) можно построить термодинамические тождества, найти выражения параметров термодинамической системы и т.д.
Рассмотрим характерные соотношения для “потенциала омега” , выражающий квазисвободную энергию, и использующийся на практике наиболее часто среди остальных потенциалов группы (3.22).
Потенциал задается в переменных (), описывающих термодинамическую систему с воображаемыми стенками. Параметры системы в этом случае определяются из соотношений:
Термодинамические тождества, следующие из потенциальности, имеют вид:
Достаточно интересными являются аддитивные свойства термодинамических потенциалов второй группы. Поскольку в этом случае число частиц не входит в число параметров системы, то в качестве аддитивного параметра используют объем. Тогда для потенциала получаем:
Здесь - удельный потенциал на 1. Учитывая (3.23), получаем:
Соответственно, (3.26)
Справедливость (3.26) можно доказать и на основе (3.15):
Потенциал также может быть использован для пересчета термодинамических функций, записанных в виде к виду. Для этого соотношение (3.23) для N:
разрешается относительно:
В качестве термодинамических потенциалов могут выступать не только энергетические характеристики системы, но и любые другие величины, входящие в соотношение (3.1). В качестве важного примера рассмотрим энтропию как термодинамический потенциал. Исходное дифференциальное соотношение для энтропии следует из обобщенной записи I и II начал термодинамики:
Таким образом, энтропия является термодинамическим потенциалом для системы, заданной параметрами. Другие параметры системы имеют вид:
Разрешая первое из соотношений (3.28) относительно возможен переход от переменных к переменным.
Аддитивные свойства энтропии приводят к известным соотношениям:
Перейдем к определению термодинамических потенциалов на основе заданных макроскопических состояний термодинамической системы. Положим для упрощения вычислений отсутствие внешних полей (). Это не снижает общности результатов, поскольку при в результирующих выражениях просто появляются дополнительные системы.
В качестве примера найдем выражения свободной энергии, используя в качестве исходных уравнение состояния, калорическое уравнение состояния и особенности поведения системы при. Учитывая (3.3) и (3.12), находим:
Проинтегрируем второе уравнение системы (3.30) с учетом граничного условия при:
Тогда система (3.30) принимает вид:
Решение системы (3.31) позволяет найти удельную свободную энергию в виде
Начало отсчета удельной свободной энергии также может быть найдено из условий при:
Тогда (3.32) принимает вид:
а выражение всей свободной энергии системы с точностью до аддитивной постоянной принимает вид:
Тогда реакция системы на включение внешнего поля задается дополнительным уравнением состояния, которое в зависимости от набора переменных состояния имеет вид:
Тогда изменение соответствующего термодинамического потенциала, связанное с включением нуля от нуля до, определяется из выражений:
Таким образом, задание термодинамического потенциала в макроскопической теории возможно только на основе использования заданных уравнений термодинамического состояния, которые в свою очередь, сами получаются на основе задания термодинамических потенциалов. Разорвать этот “замкнутый круг” можно только на основе микроскопической теории, в которой состояние системы задается на основе функций распределения с учетом статистических особенностей.
Обобщим полученные результаты на случай многокомпонентных систем. Это обобщение осуществляется путем замены параметра множеством. Рассмотрим сказанное на конкретных примерах.
Положим, что термодинамическое состояние системы задано параметрами, т.е. мы рассматриваем систему в термостате, состоящую из нескольких компонентов, число частиц в которых равно Свободная энергия, являющаяся в этом описании термодинамическим потенциалом, имеет вид:
В качестве аддитивного параметра в (3.37) введены не число частиц, а объем системы V. Тогда через обозначена плотность системы. Функция является неаддитивной функцией неаддитивных аргументов. Это достаточно удобно, поскольку при разбиении системы на части функция не изменится для каждой части.
Тогда для параметров термодинамической системы можно записать:
Учитывая, что имеем
Для химического потенциала отдельного компонента запишем:
Существуют и другие способы учета аддитивных свойств свободной энергии. Введем относительные плотности чисел частиц каждой из компонент:
не зависящие от объема системы V. Здесь - общее число частиц в системе. Тогда
Выражение химического потенциала в этом случае принимает более сложный вид:
Вычислим производные и и подставим их в последнее выражение:
Выражение для давления, напротив упростится:
Аналогичные соотношения могут быть получены и для потенциала Гиббса. Так, если в качестве аддитивного параметра задан объем, то с учетом (3.37) и (3.38) запишем:
это же выражение может быть получено из (3.юю), которое в случае многих частиц принимает вид:
Подставляя в (3.45) выражение(3.39), находим:
что полностью совпадает с (3.44).
Для того, чтобы перейти к традиционной записи потенциала Гиббса (через переменные состояния ()) необходимо разрешить уравнение (3.38):
Относительно объема V и подставить результат в (3.44) или (3.45):
Если в качестве аддитивного параметра задано полное число частиц в системе N, то потенциал Гиббса с учетом (3.42) принимает следующий вид:
Зная вид удельных величин: ,получим:
В последнем выражении суммирование по j заменим на суммирование по i . Тогда второе и третье слагаемые в сумме дают нуль. Тогда для потенциала Гиббса окончательно получим:
Это же соотношение может быть получено и другим способом (из (3.41) и (3.43)):
Тогда для химического потенциала каждой из компонент получим:
При выводе (3.48) выполнены преобразования, аналогичные использованным при выводе (3.42), с помощью воображаемых стенок. Параметры состояния системы образуют набор ().
Роль термодинамического потенциала играет потенциал, который принимает вид:
Как видно из (3.49), единственным аддитивным параметром в данном случае является объем системы V.
Определим некоторые термодинамические параметры такой системы. Число частиц в данном случае определяется из соотношения:
Для свободной энергии F и потенциала Гиббса G можно записать:
Таким образом, соотношения для термодинамических потенциалов и параметров в случае многокомпонентных систем видоизменяются только за счет необходимости учета числа частиц (или химических потенциалов) каждой компоненты. При этом сама идея метода термодинамических потенциалов и расчетов, проводимых на его основе, остается неизменной.
В качестве примера использования метода термодинамических потенциалов рассмотрим задачу химического равновесия. Найдем условия химического равновесия в смеси трех веществ, вступающих реакцию. Дополнительно предположим, что исходные продукты реакции является разреженными газами(это позволяет не учитывать межмолекулярные взаимодобывания), а в системе поддерживаются постоянные температура и давление, (такой процесс наиболее просто реализовать практически, поэтому условие постоянства давления и температуры создаются в промышленных установках для химической реакции).
Условие равновесия термодинамической системы в зависимости от способа ее описания определяются максимальной энтропией системы или минимальной энергией системы (подробнее см. Базаров Термодинамика). Тогда можно получить следующие условия равновесия системы:
1. Состояние равновесия адиабатически изолированной термодинамической системы, заданной параметрами (), характеризуется максимумом энтропии:
Второе выражение в (3.53а) характеризует устойчивость равновесного состояния.
2. Состояние равновесия изохорно-изотермической системы, заданное параметрами (), характеризуется минимумом свободной энергии. Условие равновесия в этом случае принимает вид:
3. Равновесие изобарно-изотермической системы, задаваемой параметрами (), характеризуется условиями:
4. Для системы в термостате с переменным числом частиц, определенной параметрами (), условия равновесия характеризуется минимумами потенциала:
Перейдем к использованию химического равновесия в нашем случае.
В общем случае уравнение химической реакции записывается в виде:
Здесь - символы химических веществ, - так называемые, стехиометрические числа. Так, для реакции
Поскольку в качестве параметров системы выбраны давление и температура, которые положены постоянными. Удобно в качестве состояния термодинамического потенциала рассмотреть потенциал Гиббса G . Тогда условие равновесия системы будет заключаться в требовании постоянства потенциала G :
Поскольку мы рассматриваем трехкомпонентную систему, положим. Кроме того, учитывая (3.54), можно записать уравнение баланса для числа частиц ():
Вводя химические потенциалы для каждой из компонент: и учитывая сделанные допущения, находим:
Уравнение (3.57) было впервые получено Гиббсом в 1876г. и является искомым уравнением химического равновесия. Легко заметить, сравнивая (3.57) и (3.54), что уравнение химического равновесия получается из уравнения химической реакции путем простой замены символов реагирующих веществ на их химические потенциалы. Этот прием может быть использован и при записи уравнения химического равновесия для произвольной реакции.
В общем случае решение уравнения (3.57) даже для трех компонент является достаточно загруженным. Это связанно, во-первых, с тем, что даже для однокомпонентной системы получить явные выражения для химического потенциала весьма затруднительно. Во-вторых, относительные концентрации и не являются малыми величинами. То есть невозможно выполнить по ним разложение в ряд. Это еще сильнее усложняет задачу решения уравнения химического равновесия.
Физически отмеченные трудности объясняются необходимостью учета перестройки электронных оболочек атомов, вступающих в реакцию. Это приводит к определенным сложностям микроскопического описания, что сказывается и при макроскопическом подходе.
Поскольку мы условились ограничится исследованием разреженности газа, то можно воспользоваться моделью идеального газа. Будем считать, что все реагирующие компоненты являются идеальными газами, заполняющими общий объем и создающие давление p . В этом случае любым взаимодействием (кроме химических реакций) между компонентами смеси газов можно пренебречь. Это позволяет допустить, что химический потенциал i -го компонента зависит только от параметров этого же компонента.
Здесь - парциальное давление i -го компонента, причем:
С учетом (3.58) условие равновесия трехкомпонентной системы (3.57) примет вид:
Для дальнейшего анализа воспользуемся уравнением состояния идеального газа, которое запишем в виде:
Здесь через, как и ранее, обозначается термодинамическая температура. Тогда известная из школы запись принимает вид: , что и записано в (3.60).
Тогда для каждого компонента смеси получим:
Определим вид выражения химического потенциала идеального газа. Как следует из (2.22), химический потенциал имеет вид:
Учитывая уравнение (3.60), которое можно записать в виде, задача определения химического потенциала сводится к определению удельной энтропии и удельной внутренней энергии.
Система уравнений для удельной энтропии следует из термодинамических тождеств (3.8) и выражения теплоемкости (3.12):
Учитывая уравнение состояния (3.60) и переходя к удельным характеристикам, имеем:
Решение (3.63) имеет вид:
Система уравнений для удельной внутренней энергии идеального газа следует из (2.23):
Решение этой системы запишется в виде:
Подставляя (3.64) - (3.65) в (3.66) и учитывая уравнение состояния идеального газа, получаем:
Для смеси идеальных газов выражение (3.66) принимает вид:
Подставляя (3.67) в (3.59), получаем:
Выполняя преобразования, запишем:
Выполняя потенцирование в последнем выражении, имеем:
Соотношение (3.68) получило название закона действующих масс. Величина является функцией только температуры и получила название компоненты химической реакции.
Таким образом химическое равновесие и направление химической реакции определяется величиной давления и температуры.