To sauc par lineāro vienādojumu sistēmu. Lineāro vienādojumu sistēmas: pamatjēdzieni
- Sistēmas m lineārie vienādojumi Ar n nezināms.
Lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšana- šī ir šāda skaitļu kopa ( x 1 , x 2 , …, x n), aizvietojot katrā no sistēmas vienādojumiem, tiek iegūta pareizā vienādība.
Kur a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— sistēmas koeficienti;
b i , i = 1, …, m- bezmaksas biedri;
x j , j = 1, …, n- nezināms.
Iepriekš minēto sistēmu var uzrakstīt matricas formā: A X = B,
Kur ( A|B) ir sistēmas galvenā matrica;
A— paplašināta sistēmas matrica;
X— nezināmo kolonna;
B— brīvo biedru kolonna.
Ja matrica B nav nulles matrica ∅, tad šo lineāro vienādojumu sistēmu sauc par nehomogēnu.
Ja matrica B= ∅, tad šo lineāro vienādojumu sistēmu sauc par homogēnu. Viendabīgai sistēmai vienmēr ir nulles (triviāls) risinājums: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Savienota lineāro vienādojumu sistēma ir lineāru vienādojumu sistēma, kurai ir risinājums.
Nekonsekventa lineāro vienādojumu sistēma ir neatrisināma lineāro vienādojumu sistēma.
Noteikta lineāro vienādojumu sistēma ir lineāru vienādojumu sistēma, kurai ir unikāls risinājums.
Nenoteikta lineāro vienādojumu sistēma ir lineāru vienādojumu sistēma ar bezgalīgu atrisinājumu skaitu. - n lineāru vienādojumu sistēmas ar n nezināmajiem
Ja nezināmo skaits ir vienāds ar vienādojumu skaitu, tad matrica ir kvadrātveida. Matricas determinantu sauc par lineāro vienādojumu sistēmas galveno determinantu un apzīmē ar simbolu Δ.
Krāmera metode sistēmu risināšanai n lineāri vienādojumi ar n nezināms.
Krāmera likums.
Ja lineāro vienādojumu sistēmas galvenais determinants nav vienāds ar nulli, tad sistēma ir konsekventa un definēta, un vienīgais risinājums tiek aprēķināts, izmantojot Krāmera formulas:
kur Δ i ir determinanti, kas iegūti no sistēmas galvenā determinanta Δ, aizstājot i kolonnu uz brīvo dalībnieku kolonnu. . - M lineāru vienādojumu sistēmas ar n nezināmajiem
Kronekera-Kapella teorēma.
Lai dotā lineāro vienādojumu sistēma būtu konsekventa, ir nepieciešams un pietiekami, lai sistēmas matricas rangs būtu vienāds ar sistēmas paplašinātās matricas rangu, zvanīja(Α) = zvanīja(Α|B).
Ja zvana(Α) ≠ zvana(Α|B), tad sistēmai acīmredzami nav risinājumu.
Ja zvanīja(Α) = zvanīja(Α|B), tad ir iespējami divi gadījumi:
1) rangs(Α) = n(nezināmo skaits) - risinājums ir unikāls un to var iegūt, izmantojot Krāmera formulas;
2) rangs (Α)< n - risinājumu ir bezgala daudz. - Gausa metode lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai
Izveidosim paplašinātu matricu ( A|B) dotās sistēmas no nezināmo un labās puses koeficientiem.
Gausa metode jeb nezināmo novēršanas metode sastāv no paplašinātās matricas samazināšanas ( A|B), izmantojot elementāras pārvērtības pār savām rindām uz diagonālo formu (uz augšējo trīsstūrveida formu). Atgriežoties pie vienādojumu sistēmas, tiek noteikti visi nezināmie.
Elementāras transformācijas virknēs ietver šādas:
1) apmainīt divas rindas;
2) virknes reizināšanu ar skaitli, kas nav 0;
3) citas virknes pievienošana virknei, kas reizināta ar patvaļīgu skaitli;
4) nulles līnijas izmešana.
Paplašināta matrica, kas reducēta līdz diagonālai formai, atbilst dotajai ekvivalentai lineārai sistēmai, kuras risinājums nesagādā grūtības. . - Homogēnu lineāro vienādojumu sistēma.
Viendabīgai sistēmai ir šāda forma:
tas atbilst matricas vienādojumam A X = 0.
1) Viendabīga sistēma vienmēr ir konsekventa, jo r(A) = r(A|B), vienmēr ir nulles risinājums (0, 0, …, 0).
2) Lai homogēnai sistēmai būtu nulles atrisinājums, nepieciešams un pietiek ar to r = r(A)< n , kas ir ekvivalents Δ = 0.
3) Ja r< n , tad acīmredzami Δ = 0, tad rodas brīvie nezināmie c 1, c 2, …, c n-r, sistēmai ir netriviāli risinājumi, un to ir bezgala daudz.
4) Vispārējs risinājums X plkst r< n var rakstīt matricas formā šādi:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
kur ir risinājumi X 1 , X 2 , …, X n-r veido fundamentālu risinājumu sistēmu.
5) Risinājumu pamatsistēmu var iegūt no homogēnas sistēmas vispārējā risinājuma:
,
ja mēs secīgi iestatām parametru vērtības, kas vienādas ar (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Vispārējā risinājuma paplašināšana attiecībā uz fundamentālo risinājumu sistēmu ir vispārīga risinājuma ieraksts pamata sistēmai piederošu risinājumu lineāras kombinācijas veidā.
Teorēma. Lai lineārajai sistēmai viendabīgi vienādojumi bija risinājums, kas nav nulle, ir nepieciešams un pietiekami, lai Δ ≠ 0.
Tātad, ja determinants Δ ≠ 0, tad sistēmai ir unikāls risinājums.
Ja Δ ≠ 0, tad lineāro viendabīgo vienādojumu sistēmai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.
Teorēma. Lai homogēnai sistēmai būtu nulles atrisinājums, tas ir nepieciešams un pietiekams r(A)< n .
Pierādījums:
1) r vairāk nevar būt n(matricas rangs nepārsniedz kolonnu vai rindu skaitu);
2) r< n , jo Ja r = n, tad sistēmas galvenais determinants Δ ≠ 0, un saskaņā ar Krāmera formulām ir unikāls triviāls risinājums x 1 = x 2 = … = x n = 0, kas ir pretrunā ar nosacījumu. nozīmē, r(A)< n .
Sekas. Lai izveidotu viendabīgu sistēmu n lineāri vienādojumi ar n nezināmajiem bija atrisinājums, kas nav nulle, ir nepieciešams un pietiekams, ka Δ = 0.
Daudzas praktiskas problēmas ir saistītas ar sistēmu risināšanu algebriskie vienādojumi 1. pakāpe vai, kā tos parasti sauc, lineāro vienādojumu sistēmas. Mēs iemācīsimies atrisināt jebkuras šādas sistēmas, pat nepieprasot, lai vienādojumu skaits sakristu ar nezināmo skaitu.
IN vispārējs skats Lineāro vienādojumu sistēmu raksta šādi:
Šeit ir skaitļi a ij– izredzes sistēmas, b i – bezmaksas biedri, x i- simboli nezināms . Ir ļoti ērti ieviest matricas apzīmējumus: - galvenais sistēmas matrica, – matrica–brīvo terminu kolonna, – matrica–nezināmo kolonna. Tad sistēmu var uzrakstīt šādi: AX=B vai, sīkāk:
Ja šīs vienādības kreisajā pusē veicam matricas reizināšanu pēc parastajiem noteikumiem un pielīdzinām iegūtās kolonnas elementus ar elementiem IN, tad nonāksim pie sistēmas sākotnējā ieraksta.
14. piemērs. Uzrakstīsim vienu un to pašu lineāro vienādojumu sistēmu ar diviem Dažādi ceļi:
Lineāro vienādojumu sistēmu parasti sauc locītavu , ja tam ir vismaz viens risinājums, un nesaderīgs, ja nav risinājumu.
Mūsu piemērā sistēma ir konsekventa, kolonna ir tās risinājums:
Šo risinājumu var uzrakstīt bez matricām: x=2, g=1 . Mēs sauksim vienādojumu sistēmu nenoteikts , ja tam ir vairāk nekā viens risinājums, un noteikti, ja ir tikai viens risinājums.
15. piemērs. Sistēma ir neskaidra. Piemēram, ir tās risinājumi. Lasītājs var atrast daudzus citus šīs sistēmas risinājumus.
Vispirms iemācīsimies atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas konkrētā gadījumā. Vienādojumu sistēma Ak!=IN mēs piezvanīsim Krāmera , ja tā galvenā matrica A– kvadrātveida un nedeģenerēta. Citiem vārdiem sakot, Cramer sistēmā nezināmo skaits sakrīt ar vienādojumu skaitu un .
Teorēma 6. (Kremera likums). Krāmera lineāro vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums, ko sniedz formulas:
kur ir galvenās matricas determinants, ir determinants, kas iegūts no D nomaiņa i-th kolonna ar brīvo terminu kolonnu.
komentēt. Cramer sistēmas var atrisināt citā veidā, izmantojot apgriezto matricu. Rakstīsim šo sistēmu matricas formā: AX=IN. Kopš , tad ir apgrieztā matricaA –1 . Reiziniet matricas vienādību ar A –1 pa kreisi: A –1 Ak!=A –1 IN. Jo A –1 Ak!=EX=X, tad tiek atrasts sistēmas risinājums: X= A –1 IN Mēs sauksim šo risinājuma metodi matrica . Vēlreiz uzsveram, ka tas ir piemērots tikai Cramer sistēmām - citos gadījumos apgrieztā matrica nepastāv. Detalizēti pielietojuma piemēri matricas metode un Krāmera metodi lasītājs atradīs tālāk.
Beidzot izpētīsim vispārējo gadījumu – sistēmu m lineāri vienādojumi ar n nezināms. Lai to atrisinātu, izmantojiet Gausa metode , ko mēs detalizēti aplūkosim patvaļīgai vienādojumu sistēmai Ak!=IN mēs to izrakstīsim paplašināts matrica. Šis ir parastais nosaukums matricai, kas tiks iegūta, ja galvenā matrica A labajā pusē pievienojiet bezmaksas dalībnieku kolonnu IN:
Tāpat kā, aprēķinot rangu, izmantojot elementāras rindu transformācijas un kolonnu permutācijas, mēs reducēsim savu matricu līdz trapecveida formai. Šajā gadījumā, protams, matricai atbilstošā vienādojumu sistēma mainīsies, bet tā būs ir līdzvērtīgs sākotnējais (ᴛ.ᴇ. būs tādi paši risinājumi). Faktiski vienādojumu pārkārtošana vai pievienošana risinājumus nemainīs. Arī kolonnu pārkārtošana: vienādojumi x 1+3x2+7x3=4 Un x 1+7x3+3x2=4, protams, tie ir līdzvērtīgi. Jums tikai jāpieraksta, kuram nezināmajam atbilst dotā kolonna. Mēs nepārkārtojam brīvo terminu kolonnu - parasti tā matricā ir atdalīta no citām ar punktētu līniju. Nulles rindas, kas parādās matricā, nav jāraksta.
1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu sistēmu:
Risinājums. Izrakstīsim paplašināto matricu un reducēsim to līdz trapecveida formai. Pierakstīties ~ tagad nozīmēs ne tikai rindu sakritību, bet arī atbilstošo vienādojumu sistēmu ekvivalenci.
~ . Paskaidrosim veiktās darbības.
1. darbība. 1. rinda tika pievienota 2. rindai, reizinot to ar (–2). 1. rinda tika pievienota 3. un 4. rindai, reizinot to ar (–3). Šo darbību mērķis ir iegūt nulles pirmajā kolonnā zem galvenās diagonāles.
2. darbība. Tā kā diagonālajā vietā (2,2) ir 0 , man bija jāpārkārto 2. un 3. kolonna. Lai atcerētos šo permutāciju, augšpusē uzrakstījām nezināmo simbolus.
3. darbība. 2. rinda tika pievienota 3. rindai, reizinot to ar (–2). 4. rindai tika pievienota 2. rinda. Mērķis ir iegūt nulles otrajā kolonnā zem galvenās diagonāles.
4. darbība. Nulles līnijas var noņemt.
Tātad matrica tiek samazināta līdz trapecveida formai. Viņas rangs r=2 . Nezināms x 1, x 3- pamata; x 2, x 4- bezmaksas. Dosim brīvajiem nezināmajiem patvaļīgas vērtības:
x 2= a, x 4= b.
Šeit a, b var būt jebkurš skaitlis. Tagad no pēdējā jaunās sistēmas vienādojuma
x 3+x 4= –3
mēs atradām x 3: x 3= –3 –b. Paceļas uz augšu, no pirmā vienādojuma
x 1+3x3+2x2+4x4= 5
mēs atradām x 1: x 1=5 –3(–3 –b)–2a–4b= 14 –2a–b.
Mēs pierakstām vispārējo risinājumu:
x 1=14 –2a–b, x 2=a, x 3=–3 –b, x 4=b.
Jūs varat uzrakstīt vispārīgo risinājumu kā matricas kolonnu:
Konkrētām vērtībām a Un b, jūs varat saņemt Privāts risinājumus. Piemēram, kad a=0, dz=1 iegūstam: – vienu no sistēmas risinājumiem.
Piezīmes. Gausa metodes algoritmā mēs redzējām (1. gadījums), ka vienādojumu sistēmas nesaderība ir saistīta ar nesakritību galvenās un paplašinātās matricas rindās. Iesniegsim šādu svarīgu teorēmu bez pierādījumiem.
7. teorēma (Kronecker–Capelli). Lineāro vienādojumu sistēma ir konsekventa tad un tikai tad, ja galvenās matricas rangs ir vienāds ar sistēmas paplašinātās matricas rangu.
Lineāro vienādojumu sistēmas - jēdziens un veidi. Kategorijas "Lineāro vienādojumu sistēmas" klasifikācija un pazīmes 2017, 2018.
Tā, lai tās rindas (vai kolonnas) būtu lineāri atkarīgas. Dota sistēma, kas satur mlineārus vienādojumus ar nezināmiem: 5.1. Ieviesīsim šādu apzīmējumu. 5.2., - sistēmas matrica - tās paplašinātā matrica. - brīvo dalībnieku kolonna. - nezināmo kolonna. Ja... .
nelineārā optimizācija (NLO) un otrādi. ZNO uzdevuma formulējums: Atrodiet (8.1) minimumu vai maksimumu kādā jomā D. Kā mēs atceramies no matemātikas. analīzē daļējie atvasinājumi jāiestata vienādi ar nulli. Tādējādi ZNO (8.1) tika reducēts līdz SNL (8.2) (8.2) n nelineāriem vienādojumiem. ... .
15. lekcija Aplūkosim nehomogēnu sistēmu (16) Ja viendabīgas sistēmas (7) atbilstošie koeficienti ir vienādi ar nehomogēnas sistēmas (16) atbilstošajiem koeficientiem, tad homogēno sistēmu (7) sauc par atbilstošo nehomogēnu sistēmu (16). . Teorēma. Ja... [lasīt vairāk] .
7.1. Homogēnas lineāro vienādojumu sistēmas. Dota viendabīga lineāro vienādojumu sistēma (*) Pieņemsim, ka skaitļu kopa ir kaut kāds šīs sistēmas risinājums. Tad arī skaitļu kopa ir risinājums. To var pārbaudīt ar tiešu aizstāšanu ar sistēmas vienādojumiem.... .
3.tabula Bērna motoriskās attīstības stadijas Posms Vecums Motoriskās attīstības rādītāji dzimšanas brīdis līdz 4 mēnešiem Kontroles veidošanās pār galvas stāvokli un tās brīvas orientācijas iespējamība telpā 4-6 mēneši attīstība sākotnējās... .
Definīcija 1. Lineāro vienādojumu sistēma ar formu (1), kur lauks tiek saukts par m lineāru vienādojumu sistēmu ar n nezināmajiem virs lauka, ir nezināmo koeficienti, ir sistēmas brīvie noteikumi (1 ). Definīcija 2. Sakārtots n (), kur tiek saukts par lineāras... sistēmas risinājumu.
Lineāro vienādojumu sistēmas. 6. lekcija.
Lineāro vienādojumu sistēmas.
Pamatjēdzieni.
Skatīt sistēmu
sauca sistēma - lineāri vienādojumi ar nezināmajiem.
Tiek izsaukti skaitļi , sistēmas koeficienti.
Tiek izsaukti numuri bezmaksas sistēmas dalībnieki, – sistēmas mainīgie. Matrica
sauca sistēmas galvenā matrica, un matrica
– paplašinātā matricu sistēma. Matricas - kolonnas
Un attiecīgi sistēmas brīvo terminu un nezināmo matricas. Tad matricas formā vienādojumu sistēmu var uzrakstīt kā . Sistēmas risinājums sauc par mainīgo vērtībām, kuras aizvietojot, visi sistēmas vienādojumi pārvēršas par pareiziem skaitliskiem vienādībām. Jebkuru sistēmas risinājumu var attēlot kā matricas kolonnu. Tad matricas vienādība ir patiesa.
Vienādojumu sistēmu sauc locītavu ja tam ir vismaz viens risinājums un nav locītavu ja nav risinājuma.
Lineāru vienādojumu sistēmas risināšana nozīmē noskaidrot, vai tā ir konsekventa, un, ja tā, tad atrast tās vispārīgo risinājumu.
Sistēmu sauc viendabīgs ja visi tā brīvie termini ir vienādi ar nulli. Viendabīga sistēma vienmēr ir konsekventa, jo tai ir risinājums
Kronekera-Kopelli teorēma.
Atbilde uz jautājumu par lineāro sistēmu risinājumu esamību un to unikalitāti ļauj iegūt šādu rezultātu, ko var formulēt šādu apgalvojumu veidā par lineāro vienādojumu sistēmu ar nezināmiem
(1)
2. teorēma. Lineāro vienādojumu sistēma (1) ir konsekventa tad un tikai tad, ja galvenās matricas rangs ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu (.
3. teorēma. Ja vienlaicīgas lineāro vienādojumu sistēmas galvenās matricas rangs ir vienāds ar nezināmo skaitu, tad sistēmai ir unikāls risinājums.
4. teorēma. Ja apvienotās sistēmas galvenās matricas rangs ir mazāks par nezināmo skaitu, tad sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu.
Sistēmu risināšanas noteikumi.
3. Atrast galveno mainīgo izteiksmi brīvo izteiksmē un iegūt sistēmas vispārīgo risinājumu.
4. Dodot brīviem mainīgajiem patvaļīgas vērtības, tiek iegūtas visas galveno mainīgo vērtības.
Lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas metodes.
Apgrieztās matricas metode.
un , t.i., sistēmai ir unikāls risinājums. Rakstīsim sistēmu matricas formā
Kur 
,
,
.
Reizināsim abas matricas vienādojuma puses kreisajā pusē ar matricu
Tā kā Mēs iegūstam , No kura mēs iegūstam vienlīdzību nezināmo atrašanai
27. piemērs. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot apgrieztās matricas metodi 
Risinājums. Apzīmēsim ar sistēmas galveno matricu
.
Ļaujiet, tad mēs atrodam risinājumu, izmantojot formulu.
Aprēķināsim.
Kopš , sistēmai ir unikāls risinājums. Atradīsim visus algebriskos papildinājumus
,
,
,
,
,
,
,
,
Tādējādi
.
Pārbaudīsim
.
Apgrieztā matrica tika atrasta pareizi. No šejienes, izmantojot formulu, mēs atrodam mainīgo matricu.
.
Salīdzinot matricu vērtības, mēs iegūstam atbildi: .
Krāmera metode.
Dota lineāru vienādojumu sistēma ar nezināmajiem
un , t.i., sistēmai ir unikāls risinājums. Sistēmas risinājumu rakstīsim matricas formā vai
Apzīmēsim
. . . . . . . . . . . . . . ,
Tādējādi mēs iegūstam formulas nezināmo vērtību atrašanai, kuras sauc Krāmera formulas.
28. piemērs. Atrisiniet šādu lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Krāmera metodi 
.
Risinājums. Atradīsim sistēmas galvenās matricas determinantu
.
Kopš , sistēmai ir unikāls risinājums.
Atradīsim atlikušos Krāmera formulu determinantus
,
,
.
Izmantojot Krāmera formulas, mēs atrodam mainīgo vērtības
Gausa metode.
Metode sastāv no mainīgo lielumu secīgas likvidēšanas.
Dota lineāru vienādojumu sistēma ar nezināmajiem.
Gausa risinājuma process sastāv no diviem posmiem:
Pirmajā posmā sistēmas paplašinātā matrica tiek reducēta, izmantojot elementāras transformācijas, pakāpeniskā formā
,
kur , kam atbilst sistēma
Pēc tam mainīgie 
tiek uzskatīti par brīviem un katrā vienādojumā tiek pārnesti uz labo pusi.
Otrajā posmā mainīgais tiek izteikts no pēdējā vienādojuma, un iegūtā vērtība tiek aizstāta vienādojumā. No šī vienādojuma
mainīgais ir izteikts. Šis process turpinās līdz pirmajam vienādojumam. Rezultāts ir galveno mainīgo izteiksme, izmantojot brīvos mainīgos 
.
29. piemērs. Atrisiniet šādu sistēmu, izmantojot Gausa metodi
Risinājums. Izrakstīsim sistēmas paplašināto matricu un izveidosim to pakāpeniskā formā
.
Jo 
lielāks par nezināmo skaitu, tad sistēma ir konsekventa un tai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Uzrakstīsim sistēmu soļu matricai
Šīs sistēmas paplašinātās matricas determinants, kas sastāv no pirmajām trim kolonnām, nav vienāds ar nulli, tāpēc mēs to uzskatām par pamata. Mainīgie
Tie būs pamata, un mainīgais būs bezmaksas. Pārvietosim to visos vienādojumos uz kreiso pusi
No pēdējā vienādojuma mēs izsakām
Aizvietojot šo vērtību priekšpēdējā otrajā vienādojumā, mēs iegūstam
kur 
. Aizvietojot mainīgo vērtības pirmajā vienādojumā, mēs atrodam 
. Rakstīsim atbildi šādā formā
Vienādojumu sistēmas tiek plaši izmantotas tautsaimniecības sektorā dažādu procesu matemātiskai modelēšanai. Piemēram, risinot ražošanas vadības un plānošanas, loģistikas maršrutu (transporta problēma) vai iekārtu izvietošanas problēmas.
Vienādojumu sistēmas tiek izmantotas ne tikai matemātikā, bet arī fizikā, ķīmijā un bioloģijā, risinot populācijas lieluma noteikšanas uzdevumus.
Lineāro vienādojumu sistēma ir divi vai vairāki vienādojumi ar vairākiem mainīgajiem, kuriem jāatrod kopīgs risinājums. Tāda skaitļu virkne, kurai visi vienādojumi kļūst par patiesiem vienādībām vai pierāda, ka virkne neeksistē.
Lineārais vienādojums
Formas ax+by=c vienādojumus sauc par lineāriem. Apzīmējumi x, y ir nezināmie, kuru vērtība jāatrod, b, a ir mainīgo koeficienti, c ir vienādojuma brīvais loceklis.
Vienādojuma atrisināšana, uzzīmējot to, izskatīsies kā taisna līnija, kuras visi punkti ir polinoma atrisinājumi.
Lineāro vienādojumu sistēmu veidi
Par vienkāršākajiem piemēriem tiek uzskatītas lineāro vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem X un Y.
F1(x, y) = 0 un F2(x, y) = 0, kur F1,2 ir funkcijas un (x, y) ir funkciju mainīgie.
Atrisināt vienādojumu sistēmu - tas nozīmē, ka jāatrod vērtības (x, y), pie kurām sistēma pārvēršas par patiesu vienādību, vai jānosaka, ka piemērotas x un y vērtības nepastāv.
Vērtību pāris (x, y), kas uzrakstīts kā punkta koordinātas, tiek saukts par lineāro vienādojumu sistēmas risinājumu.
Ja sistēmām ir viens kopīgs risinājums vai risinājuma nav, tās sauc par līdzvērtīgām.
Homogēnas lineāro vienādojumu sistēmas ir sistēmas, kuru labā puse ir vienāda ar nulli. Ja labajai daļai aiz vienādības zīmes ir vērtība vai tā ir izteikta ar funkciju, šāda sistēma ir neviendabīga.
Mainīgo lielumu skaits var būt daudz lielāks par diviem, tad jārunā par piemēru lineāru vienādojumu sistēmai ar trīs vai vairāk mainīgajiem.
Saskaroties ar sistēmām, skolēni pieņem, ka vienādojumu skaitam noteikti jāsakrīt ar nezināmo skaitu, taču tas tā nav. Vienādojumu skaits sistēmā nav atkarīgs no mainīgajiem, to var būt tik daudz, cik vēlas.
Vienkāršas un sarežģītas vienādojumu sistēmu risināšanas metodes
Nav vispārējas analītiskas metodes šādu sistēmu risināšanai, uz kurām balstās visas metodes skaitliskie risinājumi. IN skolas kurss Matemātika detalizēti apraksta tādas metodes kā permutācija, algebriskā saskaitīšana, aizstāšana, kā arī grafiskās un matricas metodes, risinājums ar Gausa metodi.
Galvenais uzdevums, mācot risināšanas metodes, ir iemācīt pareizi analizēt sistēmu un atrast katram piemēram optimālo risinājuma algoritmu. Galvenais ir nevis iegaumēt katras metodes noteikumu un darbību sistēmu, bet gan saprast konkrētas metodes izmantošanas principus.
7. klases programmas lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana vidusskola diezgan vienkārši un ļoti detalizēti izskaidrots. Jebkurā matemātikas mācību grāmatā šai sadaļai tiek pievērsta pietiekama uzmanība. Lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana, izmantojot Gausa un Krēmera metodi, tiek pētīta plašāk pirmajos augstākās izglītības gados.
Sistēmu risināšana, izmantojot aizstāšanas metodi
Aizvietošanas metodes darbības ir vērstas uz viena mainīgā lieluma vērtības izteikšanu otrā. Izteiksme tiek aizstāta ar atlikušo vienādojumu, pēc tam tā tiek reducēta līdz formai ar vienu mainīgo. Darbība tiek atkārtota atkarībā no nezināmo datu skaita sistēmā
Dosim risinājumu 7. klases lineāro vienādojumu sistēmas piemēram, izmantojot aizstāšanas metodi:
Kā redzams no piemēra, mainīgais x tika izteikts ar F(X) = 7 + Y. Rezultātā iegūtā izteiksme, kas aizstāta ar sistēmas 2. vienādojumu X vietā, palīdzēja iegūt vienu mainīgo Y 2. vienādojumā. . Risinājums šis piemērs nerada grūtības un ļauj iegūt Y vērtību Pēdējais solis ir iegūto vērtību pārbaude.
Lineāro vienādojumu sistēmas piemēru ne vienmēr ir iespējams atrisināt ar aizstāšanu. Vienādojumi var būt sarežģīti, un mainīgā izteikšana otrā nezināmā izteiksmē būs pārāk apgrūtinoša turpmākiem aprēķiniem. Ja sistēmā ir vairāk nekā 3 nezināmie, arī risināšana ar aizstāšanu nav piemērota.
Lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmas piemēra risinājums:
Risinājums, izmantojot algebrisko saskaitīšanu
Meklējot risinājumus sistēmām, izmantojot saskaitīšanas metodi, vienādojumi tiek saskaitīti pēc vārda un reizināti ar dažādiem skaitļiem. Matemātisko darbību galvenais mērķis ir vienādojums vienā mainīgajā.
Šīs metodes izmantošana prasa praksi un novērojumus. Lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšana, izmantojot saskaitīšanas metodi, ja ir 3 vai vairāk mainīgie, nav viegli. Algebrisko saskaitīšanu ir ērti izmantot, ja vienādojumos ir daļskaitļi un decimāldaļas.
Risinājuma algoritms:
- Reiziniet abas vienādojuma puses ar noteiktu skaitli. Aritmētiskās darbības rezultātā vienam no mainīgā lieluma koeficientiem jākļūst vienādam ar 1.
- Pievienojiet iegūto izteiksmi pēc vārda un atrodiet kādu no nezināmajiem.
- Aizstājiet iegūto vērtību sistēmas 2. vienādojumā, lai atrastu atlikušo mainīgo.
Risinājuma metode, ieviešot jaunu mainīgo
Jaunu mainīgo var ieviest, ja sistēma prasa atrast risinājumu ne vairāk kā diviem vienādojumiem, arī nezināmo skaits nedrīkst būt lielāks par diviem.
Metode tiek izmantota, lai vienkāršotu vienu no vienādojumiem, ieviešot jaunu mainīgo. Jaunais vienādojums tiek atrisināts ieviestajam nezināmajam, un iegūto vērtību izmanto, lai noteiktu sākotnējo mainīgo.
Piemērā redzams, ka, ieviešot jaunu mainīgo t, bija iespējams sistēmas 1. vienādojumu reducēt uz standarta vienādojumu kvadrātveida trinomāls. Polinomu var atrisināt, atrodot diskriminantu.
Nepieciešams atrast diskriminanta vērtību, izmantojot labi zināmo formulu: D = b2 - 4*a*c, kur D ir vēlamais diskriminants, b, a, c ir polinoma faktori. IN dots piemērs a=1, b=16, c=39, tātad D=100. Ja diskriminants ir lielāks par nulli, tad ir divi atrisinājumi: t = -b±√D / 2*a, ja diskriminants ir mazāks par nulli, tad ir viens risinājums: x = -b / 2*a.
Iegūto sistēmu risinājums tiek atrasts ar pievienošanas metodi.
Vizuāla metode sistēmu risināšanai
Piemērots 3 vienādojumu sistēmām. Metode sastāv no katra sistēmā iekļautā vienādojuma grafiku konstruēšanas uz koordinātu ass. Līkņu un būs krustošanās punktu koordinātas vispārējs lēmums sistēmas.
Grafiskajai metodei ir vairākas nianses. Apskatīsim vairākus piemērus lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai vizuālā veidā.
Kā redzams no piemēra, katrai līnijai tika izveidoti divi punkti, mainīgā x vērtības tika izvēlētas patvaļīgi: 0 un 3. Pamatojoties uz x vērtībām, tika atrastas y vērtības: 3 un 0. Punkti ar koordinātām (0, 3) un (3, 0) tika atzīmēti grafikā un savienoti ar līniju.
Darbības ir jāatkārto otrajam vienādojumam. Līniju krustpunkts ir sistēmas risinājums.
Šajā piemērā ir jāatrod grafisks risinājums lineāro vienādojumu sistēmai: 0,5x-y+2=0 un 0,5x-y-1=0.
Kā redzams no piemēra, sistēmai nav risinājuma, jo grafiki ir paralēli un nekrustojas visā to garumā.
Sistēmas no 2. un 3. piemēra ir līdzīgas, taču konstruējot kļūst acīmredzams, ka to risinājumi atšķiras. Jāatceras, ka ne vienmēr ir iespējams pateikt, vai sistēmai ir vai nav, vienmēr ir jākonstruē grafs.
Matrica un tās šķirnes
Matricas izmanto, lai kodolīgi uzrakstītu lineāro vienādojumu sistēmu. Matrica ir īpašs tabulas veids, kas piepildīts ar cipariem. n*m ir n — rindas un m — kolonnas.
Matrica ir kvadrātveida, ja kolonnu un rindu skaits ir vienāds. Matrica-vektors ir vienas kolonnas matrica ar bezgalīgi iespējamu rindu skaitu. Matricu ar vieniniekiem gar vienu no diagonālēm un citiem nulles elementiem sauc par identitāti.
Apgrieztā matrica ir matrica, ar kuru reizinot, sākotnējā matrica pārvēršas par vienības matricu, šāda matrica pastāv tikai sākotnējai kvadrātveida matricai.
Noteikumi vienādojumu sistēmas pārvēršanai matricā
Saistībā ar vienādojumu sistēmām vienādojumu koeficientus un brīvos vārdus raksta kā matricas skaitļus, viens vienādojums ir viena matricas rinda.
Tiek uzskatīts, ka matricas rinda nav nulle, ja vismaz viens rindas elements nav nulle. Tāpēc, ja kādā no vienādojumiem mainīgo skaits atšķiras, tad trūkstošā nezināmā vietā jāievada nulle.
Matricas kolonnām stingri jāatbilst mainīgajiem lielumiem. Tas nozīmē, ka mainīgā x koeficientus var ierakstīt tikai vienā kolonnā, piemēram, pirmajā, nezināmā y koeficientu - tikai otrajā.
Reizinot matricu, visi matricas elementi tiek secīgi reizināti ar skaitli.
Apgrieztās matricas atrašanas iespējas
Formula apgrieztās matricas atrašanai ir diezgan vienkārša: K -1 = 1 / |K|, kur K -1 ir apgrieztā matrica, un |K| ir matricas determinants. |K| nedrīkst būt vienāds ar nulli, tad sistēmai ir risinājums.
Determinants ir viegli aprēķināms matricai divi reiz divi, jums vienkārši jāreizina diagonālie elementi viens ar otru. Opcijai “trīs reiz trīs” ir formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Varat izmantot formulu vai arī atcerēties, ka no katras rindas un katras kolonnas jāņem viens elements, lai darbā neatkārtotos kolonnu un elementu rindu numuri.
Lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana, izmantojot matricas metodi
Risinājuma atrašanas matricas metode ļauj samazināt apgrūtinošos ierakstus, risinot sistēmas ar lielu skaitu mainīgo un vienādojumu.
Piemērā a nm ir vienādojumu koeficienti, matrica ir vektors, x n ir mainīgie, un b n ir brīvie termini.
Sistēmu risināšana, izmantojot Gausa metodi
Augstākajā matemātikā Gausa metodi pēta kopā ar Krāmera metodi, un sistēmu risinājumu meklēšanas procesu sauc par Gausa-Kramera risinājuma metodi. Šīs metodes izmanto, lai atrastu mainīgos lielumus sistēmām ar lielu skaitu lineāro vienādojumu.
Gausa metode ir ļoti līdzīga risinājumiem ar aizstāšanu un algebrisku saskaitīšanu, taču tā ir sistemātiskāka. Skolas kursā 3 un 4 vienādojumu sistēmām tiek izmantots risinājums pēc Gausa metodes. Metodes mērķis ir reducēt sistēmu līdz apgrieztas trapeces formai. Ar algebrisko transformāciju un aizstāšanas palīdzību vienā no sistēmas vienādojumiem tiek atrasta viena mainīgā lieluma vērtība. Otrais vienādojums ir izteiksme ar 2 nezināmajiem, savukārt 3 un 4 ir attiecīgi ar 3 un 4 mainīgajiem.
Pēc sistēmas nogādāšanas aprakstītajā formā tālākais risinājums tiek reducēts līdz zināmo mainīgo secīgai aizstāšanai sistēmas vienādojumos.
Skolas mācību grāmatās 7. klasei risinājuma piemērs ar Gausa metodi ir aprakstīts šādi:
Kā redzams no piemēra, (3) solī tika iegūti divi vienādojumi: 3x 3 -2x 4 =11 un 3x 3 +2x 4 =7. Jebkuru vienādojumu atrisināšana ļaus noskaidrot vienu no mainīgajiem x n.
5. teorēma, kas ir minēta tekstā, nosaka, ka, ja viens no sistēmas vienādojumiem tiek aizstāts ar ekvivalentu, tad iegūtā sistēma arī būs līdzvērtīga sākotnējai.
Gausa metodi skolēniem ir grūti saprast vidusskola, bet ir viens no interesantākajiem veidiem, kā attīstīt programmā studējošo bērnu atjautību padziļināta izpēte matemātikas un fizikas stundās.
Lai atvieglotu ierakstīšanu, aprēķinus parasti veic šādi:
Vienādojumu un brīvo terminu koeficientus raksta matricas formā, kur katra matricas rinda atbilst kādam no sistēmas vienādojumiem. atdala vienādojuma kreiso pusi no labās puses. Romiešu cipari norāda vienādojumu numurus sistēmā.
Vispirms pierakstiet matricu, ar kuru jāstrādā, pēc tam visas darbības, kas veiktas ar vienu no rindām. Iegūtā matrica tiek uzrakstīta aiz "bultiņas" zīmes un tiek turpinātas nepieciešamās algebriskās darbības, līdz tiek sasniegts rezultāts.
Rezultātā jāiegūst matrica, kurā viena no diagonālēm ir vienāda ar 1, un visi pārējie koeficienti ir vienādi ar nulli, tas ir, matrica tiek reducēta līdz vienības formai. Mēs nedrīkstam aizmirst veikt aprēķinus ar skaitļiem abās vienādojuma pusēs.
Šī ierakstīšanas metode ir mazāk apgrūtinoša un ļauj novērst uzmanību, uzskaitot daudzus nezināmus.
Jebkuras risinājuma metodes bezmaksas izmantošanai būs nepieciešama rūpība un zināma pieredze. Ne visas metodes ir lietišķas. Dažas risinājumu atrašanas metodes ir vairāk ieteicamas noteiktā cilvēka darbības jomā, savukārt citas pastāv izglītības nolūkos.
Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
- Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.
Informācijas izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Ja nepieciešams - likumā noteiktajā kārtībā, tiesvedībā, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai lūgumiem no plkst. valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī
Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.