Lineer denklemler sistemi denilen şey. Lineer denklem sistemleri: temel kavramlar
- Sistemler m lineer denklemler ile birlikte n Bilinmeyen.
Lineer denklem sistemini çözme Böyle bir sayı kümesi mi ( x 1, x 2, ..., xn), sistemin denklemlerinin her birine değiştirildiğinde, doğru eşitlik elde edilir.
nerede bir ij, ben = 1, ..., m; j = 1,…, n- sistem katsayıları;
ben, ben = 1, ..., m- ücretsiz üyeler;
x j, j = 1, ..., n- Bilinmeyen.
Yukarıdaki sistem matris formunda yazılabilir: bir X = B,
nerede ( A|B) Sistemin ana matrisidir;
A- genişletilmiş sistem matrisi;
x- bilinmeyenler sütunu;
B- ücretsiz üyeler sütunu.
matris ise B bir boş matris ∅ değilse, bu lineer denklem sistemine homojen olmayan denir.
matris ise B= ∅, o zaman bu lineer denklem sistemine homojen denir. Homojen bir sistem her zaman sıfır (önemsiz) bir çözüme sahiptir: x 1 = x 2 =…, x n = 0.
Lineer denklemlerin ortak sistemiÇözümü olan bir lineer denklem sistemidir.
Tutarsız lineer denklem sistemiÇözümü olmayan lineer denklemler sistemidir.
Kesin bir lineer denklem sistemi benzersiz bir çözümü olan bir lineer denklem sistemidir.
Belirsiz lineer denklem sistemi Sonsuz bir çözüm kümesine sahip bir lineer denklem sistemidir. - n bilinmeyenli n lineer denklem sistemleri
Bilinmeyenlerin sayısı denklemlerin sayısına eşitse, matris karedir. Bir matrisin determinantı, bir lineer denklem sisteminin ana determinantı olarak adlandırılır ve Δ sembolü ile gösterilir.
Cramer yöntemi sistemleri çözmek n lineer denklemler n Bilinmeyen.
Cramer kuralı.
Bir lineer denklem sisteminin ana belirleyicisi sıfıra eşit değilse, sistem tutarlı ve tanımlıdır ve tek çözüm Cramer'in formülleriyle hesaplanır:
nerede Δ i - sistemin ana determinantından elde edilen determinantlar Δ değiştirilerek benücretsiz üye sütunu başına inci sütun. ... - n bilinmeyenli m lineer denklem sistemleri
Kronecker - Capelli teoremi.
Belirli bir lineer denklem sisteminin tutarlı olması için, sistemin matrisinin rankının, sistemin genişletilmiş matrisinin rankına eşit olması gerekli ve yeterlidir, çaldı (Α) = çaldı (Α | B).
Eğer çaldı (Α) ≠ çaldı (Α | B), o zaman sistemin kesinlikle hiçbir çözümü yoktur.
Eğer çaldı (Α) = çaldı (Α | B), o zaman iki durum mümkündür:
1) çaldı (Α) = n(bilinmeyenlerin sayısına) - çözüm benzersizdir ve Cramer formülleriyle elde edilebilir;
2) çaldı (Α)< n - sonsuz sayıda çözüm var. - Gauss yöntemi lineer denklem sistemlerini çözmek için
Genişletilmiş bir matris oluşturalım ( A|B) bilinmeyen ve sağ taraftaki belirli bir katsayı sisteminin.
Gauss yöntemi veya bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi, genişletilmiş matrisi ( A|B) satırları üzerindeki temel dönüşümlerin yardımıyla köşegen forma (üst üçgen forma). Denklem sistemine dönersek, tüm bilinmeyenler belirlenir.
Dizeler üzerindeki temel dönüşümler şunları içerir:
1) iki satırın değiştirilmesi;
2) bir dizgiyi 0'dan farklı bir sayı ile çarpmak;
3) dizeye rastgele bir sayı ile çarpılan başka bir dize eklemek;
4) boş dizeyi atmak.
Köşegen bir forma indirgenmiş genişletilmiş matris, çözümü zorluklara neden olmayan, verilene eşdeğer doğrusal bir sisteme karşılık gelir. ... - Homojen lineer denklemler sistemi.
Homojen bir sistem şöyle görünür:
matris denklemine karşılık gelir bir X = 0.
1) Homojen bir sistem her zaman uyumludur, çünkü r (A) = r (A | B), her zaman sıfır bir çözüm vardır (0, 0,…, 0).
2) Homojen bir sistemin sıfırdan farklı bir çözüme sahip olması için gerekli ve yeterlidir. r = r(A)< n , Δ = 0'a eşdeğerdir.
3) Eğer r< n , sonra kasıtlı olarak Δ = 0, sonra serbest bilinmeyenler ortaya çıkar c 1, c 2, ..., c n-r, sistemin önemsiz olmayan çözümleri vardır ve bunlardan sonsuz sayıda vardır.
4) Genel çözüm x NS r< n matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +… + c n-r X n-r,
çözümler nerede X 1, X 2, ..., X n-r temel bir karar sistemi oluşturur.
5) Temel çözümler sistemi, homojen bir sistemin genel çözümünden elde edilebilir:
,
parametre değerleri sırayla (1, 0,…, 0), (0, 1,…, 0),…, (0, 0,…, 1) olarak kabul edilirse.
Çözümlerin temel sistemi açısından genel çözümün ayrıştırılması Temel sisteme ait çözümlerin lineer bir kombinasyonu şeklinde genel bir çözümün kaydıdır.
teorem... Lineer sistem için homojen denklemler sıfır olmayan bir çözüme sahipse, Δ ≠ 0 olması gerekli ve yeterlidir.
Dolayısıyla, determinant Δ ≠ 0 ise, sistemin benzersiz bir çözümü vardır.
Δ ≠ 0 ise, lineer homojen denklemler sistemi sonsuz bir çözüm kümesine sahiptir.
teorem... Homojen bir sistemin sıfırdan farklı bir çözüme sahip olması için gerekli ve yeterlidir. r (A)< n .
Kanıt:
1) r daha fazla olamaz n(matrisin sırası, sütun veya satır sayısını geçmez);
2) r< n dan beri Eğer r = n, o zaman sistemin ana belirleyicisi Δ ≠ 0'dır ve Cramer'in formüllerine göre benzersiz bir önemsiz çözüm vardır. x 1 = x 2 =… = x n = 0, bu durumla çelişir. Anlamına geliyor, r (A)< n .
Sonuç... Homojen bir sistem için n lineer denklemler n bilinmeyenlerin sıfır olmayan bir çözümü varsa, Δ = 0 olması gerekli ve yeterlidir.
Birçok pratik görev, sistemleri çözmekle ilgilidir. cebirsel denklemler 1. derece veya genellikle adlandırıldığı gibi doğrusal denklem sistemleri. Denklem sayısının bilinmeyen sayısıyla çakışmasını bile gerektirmeden bu tür sistemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz.
Genel olarak, lineer denklem sistemi aşağıdaki gibi yazılır:
İşte sayılar bir ij– oranlar sistemler, ben – ücretsiz üyeler, x ben- semboller Bilinmeyen ... Matris notasyonu girmek çok uygundur: - ana sistemin matrisi, - serbest üyelerin matris sütunu, - bilinmeyenlerin matris sütunu. Daha sonra sistem aşağıdaki gibi yazılabilir: balta=B veya daha ayrıntılı olarak:
Bu eşitliğin sol tarafında, normal kurallara göre matris çarpımı gerçekleştirir ve ortaya çıkan sütunun elemanlarını elemanlara eşitlersek V, ardından sistemin orijinal kaydına geliyoruz.
Örnek 14... Aynı lineer denklem sistemini iki ile yazıyoruz Farklı yollar:
Doğrusal denklem sistemi genellikle denir eklem yeri en az bir çözümü varsa ve tutarsız eğer çözümler yoksa.
Örneğimizde sistem uyumludur, çözümü sütundur:
Bu çözüm matrisler olmadan yazılabilir: x=2, yıl=1 ... Denklem sistemi denir Tanımsız birden fazla çözümü varsa ve belirli çözüm benzersiz ise.
Örnek 15... Sistem tanımsız. Örneğin, onun çözümleri. Okuyucu bu sisteme başka birçok çözüm bulabilir.
Önce belirli bir durumda lineer denklem sistemlerinin nasıl çözüleceğini öğrenelim. denklem sistemi AH=V Arayacağım Kramer'in , eğer ana matrisi A- kare ve dejenere olmayan. Başka bir deyişle, Kramer sisteminde bilinmeyenlerin sayısı denklemlerin sayısı ile çakışmaktadır.
Teorem 6. (Cramer kuralı). Kramer lineer denklem sistemi, formüllerle verilen benzersiz bir çözüme sahiptir:
ana matrisin determinantı nerede, buradan elde edilen determinant NS yenisiyle değiştirme ben-Ücretsiz üyelerden oluşan bir sütun tarafından sütun.
Yorum Yap. Cramer sistemleri, ters matris kullanılarak başka bir şekilde çözülebilir. Böyle bir sistemi matris formunda yazalım: balta=V... Ters matris olduğu için A –1 ... Matris eşitliğini şu şekilde çarpın: A –1 sol: A –1 AH=A –1 V... Çünkü A –1 AH=ESKİ=NS, daha sonra sistemin çözümü bulunur: NS= A –1 V Bu çözüm çağrılacak matris ... Sadece Cramer sistemleri için uygun olduğunu bir kez daha vurguluyoruz - diğer durumlarda ters matris mevcut değildir. Demonte uygulama örnekleri matris yöntemi ve okuyucunun aşağıda bulacağı Cramer yöntemi.
Son olarak, genel durumu inceleyelim - sistem m lineer denklemler n Bilinmeyen. Çözmek için uygula Gauss yöntemi , ayrıntılı olarak ele alacağız Keyfi bir denklem sistemi için AH=V yaz genişletilmiş matris. Buna ana matrisin ortaya çıkması durumunda ortaya çıkacak matris demek gelenekseldir. A sağdaki ücretsiz üyeler sütununu ekleyin V:
Sıralamanın hesaplanmasında olduğu gibi, satırların temel dönüşümlerini ve sütunların permütasyonlarını kullanarak matrisimizi yamuk bir forma indireceğiz. Bu durumda, elbette, matrise karşılık gelen denklem sistemi değişecektir, ancak eşdeğer orijinal (ᴛ.ᴇ. aynı çözümlere sahip olacaktır). Gerçekten de, denklemleri yeniden düzenlemek veya eklemek çözümleri değiştirmeyecektir. Sütunları da yeniden düzenleme: denklemler x 1+3x 2+7x3=4 ve x 1+7x3+3x 2=4, elbette eşdeğerdir. Yalnızca verilen sütunun hangi bilinmeyene karşılık geldiğini kaydetmek gerekir. Serbest üyelerin sütunu yeniden düzenlenmez - genellikle matriste noktalı bir çizgi ile diğerlerinden ayrılır. Matriste görünen sıfır çizgileri atlanabilir.
örnek 1... Denklem sistemini çözün:
Çözüm. Genişletilmiş matrisi yazalım ve yamuk biçimine indirelim. İmza ~ şimdi sadece sıraların çakışması değil, aynı zamanda karşılık gelen denklem sistemlerinin denkliği anlamına da gelecektir.
~. Atılan adımları açıklayalım.
Aşama 1... 1. satır, 2. satıra eklenerek, çarpılarak (–2). 1. ve 4. satırlar, 3. ve 4. satırlara eklenerek, çarpılarak (–3). Bu işlemlerin amacı, ana köşegenin altındaki ilk sütundaki sıfırları elde etmektir.
Adım 2. Köşegen yerde (2.2) olduğundan 0 , 2. ve 3. sütunları yeniden düzenlemek zorunda kaldım. Bu permütasyonu hatırlamak için, bilinmeyenlerin tanımlarını üste yazdılar.
Aşama 3. K 3. satır, 2. satırı ekleyerek onu çarpar. (–2). 2. satır 4. satıra eklendi. Amaç, ana köşegenin altındaki ikinci sütundaki sıfırları elde etmektir.
Adım 4. Sıfır çizgiler kaldırılabilir.
Böylece, matris yamuk bir forma indirgenir. onun rütbesi r=2 ... Bilinmeyen x 1, x 3- temel; x 2, x 4- Bedava. Serbest bilinmeyenlere keyfi değerler atayalım:
x 2= bir, x 4= B.
Buraya bir, b herhangi bir sayı olabilir. Şimdi yeni sistemin son denkleminden
x 3+x 4= –3
bulmak x 3: x 3= –3 –B.İlk denklemden yukarı tırmanma
x 1+3x 3+2x 2+4x 4= 5
bulmak x 1: x 1=5 –3(–3 –B)–2a–4b= 14 –2a–B.
Genel çözümü yazıyoruz:
x 1=14 –2a–b, x 2=bir, x 3=–3 –b, x 4=B.
Genel çözümü bir matris sütunu şeklinde yazabilirsiniz:
Belirli değerlerde a ve B, alabilirsiniz özel çözümler. örneğin, için a=0, b=1 elde ederiz: - sistemin çözümlerinden biri.
Uyarılar. Gauss yöntemi algoritmasında gördük (dava 1), denklem sisteminin tutarsızlığının ana ve genişletilmiş matrislerin sıralarının uyumsuzluğundan kaynaklandığını. Aşağıdaki önemli teoremi ispatsız sunuyoruz.
Teorem 7 (Kronecker - Capelli). Bir lineer denklem sistemi, ancak ve ancak ana matrisin sırası, sistemin genişletilmiş matrisinin sırasına eşitse tutarlıdır.
Lineer denklem sistemleri - kavram ve türleri. "Doğrusal denklem sistemleri" kategorisinin sınıflandırılması ve özellikleri 2017, 2018.
Böylece satırları (veya sütunları) doğrusal olarak bağımlıdır. n bilinmeyenli m lineer denklem içeren bir sistem verilsin: 5.1. Aşağıdaki gösterimi tanıtalım. 5.2., - sistemin matrisi - genişletilmiş matrisi. - ücretsiz üyeler sütunu. - bilinmeyenler sütunu. Eğer... .
doğrusal olmayan optimizasyon (NNO) ve tersi. ZNO probleminin ifadesi: Bazı D alanlarında minimum veya maksimumu (8.1) bulun. Mat'tan hatırladığımız gibi. analiz, kısmi türevler sıfıra eşit olmalıdır. Böylece, ZNO (8.1), doğrusal olmayan denklemlerde SNE (8.2) (8.2)'ye indirgenmiştir. ....
Anlatım 15 Homojen olmayan sistemi (16) düşünün Homojen sistemin (7) karşılık gelen katsayıları homojen olmayan sistemin (16) karşılık gelen katsayılarına eşitse, o zaman homojen sisteme (7) karşılık gelen homojen olmayan sistem (16) denir. . Teorem. Eğer ... [devamını oku].
7.1 Lineer denklemlerin homojen sistemleri. Homojen bir lineer denklem sistemi verilsin (*) Bir sayı kümesinin bu sistemin bir çözümü olduğunu varsayalım. O zaman bir dizi sayı da bir çözümdür. Bu, sistemin denklemlerine doğrudan ikame ile doğrulanır .....
Tablo 3 Çocuğun motor gelişiminin aşamaları Aşama Yaş Motor gelişim göstergeleri 4 aya kadar doğum anı Başın pozisyonu üzerinde kontrol oluşumu ve uzayda serbest oryantasyon olasılığı 4-6 ay ilk ustalaşma ...
Tanım 1. Alan üzerinde n bilinmeyenli m lineer denklem sistemi olarak adlandırılan formun (1) bir lineer denklem sistemi, bilinmeyenlerin katsayıları, sistemin serbest terimleridir ( 1). Tanım 2: Sıralı bir n-ka (), burada, lineer bir sistemin çözümü olarak adlandırılır ....
Lineer denklem sistemleri. Ders 6.
Lineer denklem sistemleri.
Temel konseptler.
Sistemi görüntüle
aranan sistem - bilinmeyenli lineer denklemler.
Numaralar, denir sistem katsayıları.
numaralar denir sistemin ücretsiz üyeleri, – sistem değişkenleri... Matris
aranan sistemin ana matrisi ve matris
– matris genişletilmiş sistem... Matrisler - Sütunlar
Ve buna uygun olarak sistemin serbest üyeleri ve bilinmeyenlerinin matrisleri... Daha sonra matris formunda denklem sistemi formda yazılabilir. Sistem çözümü değişkenlerin değerleri olarak adlandırılır, ikame edildiğinde sistemin tüm denklemleri gerçek sayısal eşitliklere dönüşür. Sisteme herhangi bir çözüm, bir matris - bir sütun şeklinde temsil edilebilir. O halde matris eşitliği geçerlidir.
Denklem sistemi denir eklem yeri en az bir çözümü varsa ve tutarsızçözümü yoksa.
Bir lineer denklem sistemini çözmek, uyumlu olup olmadığını bulmak ve uyumluluk durumunda genel çözümünü bulmak demektir.
sistem denir homojen tüm özgür üyeleri sıfıra eşitse. Homojen bir sistem, çözümü olduğu için her zaman uyumludur.
Kronecker - Copelli teoremi.
Doğrusal sistemlere çözümlerin varlığı ve bunların benzersizliği sorusunun cevabı, bilinmeyenli doğrusal denklemler sistemi ile ilgili aşağıdaki ifadeler şeklinde formüle edilebilecek aşağıdaki sonucu elde etmemizi sağlar.
(1)
Teorem 2... Doğrusal denklemler sistemi (1), yalnızca ana matrisin sıralaması genişletilmiş (.
Teorem 3... Bir ortak lineer denklem sisteminin ana matrisinin rankı, bilinmeyenlerin sayısına eşitse, sistemin benzersiz bir çözümü vardır.
teorem 4... Uyumlu bir sistemin ana matrisinin rankı bilinmeyenlerin sayısından küçükse, sistemin sonsuz bir çözüm kümesi vardır.
Sistem çözümü kuralları.
3. Ana değişkenlerin serbestler cinsinden ifadesini bulun ve sistemin genel çözümünü elde edin.
4. Serbest değişkenlere rasgele değerler verilerek asıl değişkenlerin tüm değerleri elde edilir.
Lineer denklem sistemlerini çözme yöntemleri.
Ters matris yöntemi.
dahası, yani sistemin benzersiz bir çözümü var. Sistemi matris formunda yazalım.
nerede 
,
,
.
Soldaki matris denkleminin her iki tarafını da matrisle çarpıyoruz.
O zamandan beri, bilinmeyenleri bulmak için eşitliği nereden elde ettiğimizi elde ederiz.
Örnek 27. Ters matris yöntemini kullanarak lineer denklem sistemini çözün 
Çözüm. Sistemin ana matrisi ile gösterelim
.
O halde çözümü formülle bulalım.
Hesaplayalım.
O zamandan beri sistemin benzersiz bir çözümü var. Tüm cebirsel tamamlayıcıları bulun
,
,
,
,
,
,
,
,
Böylece
.
Hadi kontrol edelim
.
Ters matris doğru bulundu. Buradan formülü kullanarak değişkenlerin matrisini buluruz.
.
Matrislerin değerlerini karşılaştırarak şu cevabı alırız:
Cramer yöntemi.
Bilinmeyenleri olan bir lineer denklem sistemi verilsin
dahası, yani sistemin benzersiz bir çözümü var. Sistemin çözümünü matris şeklinde yazalım veya
biz belirtiriz
. . . . . . . . . . . . . . ,
Böylece, adı verilen bilinmeyenlerin değerlerini bulmak için formüller elde ederiz. Cramer formülleri.
Örnek 28. Aşağıdaki lineer denklem sistemini Cramer yöntemiyle çözün 
.
Çözüm. Sistemin ana matrisinin determinantını bulalım.
.
O zamandan beri, sistemin tek bir çözümü var.
Cramer formülleri için kalan belirleyicileri bulalım.
,
,
.
Cramer formüllerini kullanarak değişkenlerin değerlerini buluyoruz.
Gauss yöntemi.
Yöntem, değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasından oluşur.
Bilinmeyenleri olan bir lineer denklem sistemi verilsin.
Gauss çözüm süreci iki aşamadan oluşur:
İlk aşamada, sistemin genişletilmiş matrisi, temel dönüşümler kullanılarak kademeli bir forma indirgenir.
,
nerede, sistemin karşılık geldiği
Bundan sonra değişkenler 
serbest kabul edilir ve her denklemde sağ tarafa aktarılır.
İkinci aşamada, son denklemden bir değişken ifade edilir, elde edilen değer denkleme ikame edilir. Bu denklemden
değişken ifade edilir. Bu işlem ilk denkleme kadar devam eder. Sonuç, ana değişkenlerin serbest değişkenler cinsinden ifadesidir. 
.
Örnek 29. Aşağıdaki sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözün
Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve basamaklı forma indirgeyelim.
.
Çünkü 
Bilinmeyenlerin sayısından daha fazlaysa, sistem tutarlıdır ve sonsuz bir çözüm kümesine sahiptir. Basamaklı matris için sistemi yazalım
İlk üç sütundan oluşan bu sistemin genişletilmiş matrisinin determinantı sıfıra eşit değildir, bu nedenle temel kabul edilir. Değişkenler
Temel olacaklar ve değişken ücretsiz olacak. Tüm denklemlerde sol tarafa aktarıyoruz
Son denklemden ifade ediyoruz
Bu değeri sondan bir önceki ikinci denklemde yerine koyarsak,
nerede 
... Değişkenlerin değerlerini ve ilk denklemde yerine koyarak, buluruz 
... Cevabı aşağıdaki forma yazıyoruz
Denklem sistemleri, ekonomik endüstride çeşitli süreçlerin matematiksel modellemesinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, üretimin yönetimi ve planlaması, lojistik rotalar (nakliye sorunu) veya ekipman yerleşimi sorunlarını çözerken.
Denklem sistemleri sadece matematik alanında değil, fizik, kimya ve biyolojide de popülasyon büyüklüğünü bulma problemlerinin çözümünde kullanılmaktadır.
Bir lineer denklem sistemi, genel bir çözüm bulmanın gerekli olduğu birkaç değişkenli iki veya daha fazla denklem olarak adlandırılır. Tüm denklemlerin gerçek eşitlik haline geldiği veya dizinin var olmadığını kanıtladığı böyle bir sayı dizisi.
Doğrusal Denklem
ax + by = c biçimindeki denklemlere doğrusal denir. x, y notasyonu, değeri bulunması gereken bilinmeyendir, b, a değişkenlerin katsayılarıdır, c denklemin serbest terimidir.
Grafiği çizerek denklemin çözümü, tüm noktaları polinomun çözümü olan düz bir çizgi şeklinde olacaktır.
Lineer denklem sistemlerinin türleri
En basit örnekler, X ve Y olmak üzere iki değişkenli lineer denklem sistemleri olarak kabul edilir.
F1 (x, y) = 0 ve F2 (x, y) = 0, burada F1,2 fonksiyonlar ve (x, y) fonksiyon değişkenleridir.
denklem sistemini çöz - sistemin gerçek bir eşitliğe dönüştüğü bu tür değerleri (x, y) bulmak veya x ve y için uygun değerlerin olmadığını tespit etmek anlamına gelir.
Bir noktanın koordinatları olarak yazılan bir çift değere (x, y) doğrusal denklem sisteminin çözümü denir.
Sistemlerin ortak bir çözümü varsa veya çözüm yoksa, bunlara eşdeğer denir.
Homojen lineer denklem sistemleri, sağ tarafı sıfıra eşit olan sistemlerdir. "Eşit" işaretinden sonraki sağ kısım bir değere sahipse veya bir fonksiyonla ifade ediliyorsa, böyle bir sistem heterojendir.
Değişken sayısı ikiden çok olabilir, o zaman üç veya daha fazla değişkenli bir lineer denklem sistemi örneğinden bahsetmeliyiz.
Okul çocukları sistemlerle karşı karşıya kaldıklarında, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla mutlaka çakışması gerektiğini varsayarlar, ancak durum böyle değildir. Sistemdeki denklem sayısı değişkenlere bağlı değildir, istediğiniz kadar denklem olabilir.
Denklem sistemlerini çözmek için basit ve karmaşık yöntemler
Bu tür sistemleri çözmek için genel bir analitik yöntem yoktur, tüm yöntemler aşağıdakilere dayanmaktadır: sayısal çözümler... V okul kursu matematikçiler permütasyon, cebirsel toplama, ikame gibi yöntemlerin yanı sıra grafik ve matris yöntemi, Gauss yöntemiyle çözümü ayrıntılı olarak açıklar.
Çözüm yöntemlerinin öğretilmesindeki ana görev, sistemin nasıl düzgün bir şekilde analiz edileceğini ve her bir örnek için en uygun çözüm algoritmasını nasıl bulacağını öğretmektir. Ana şey, her yöntem için kurallar ve eylemler sistemini ezberlemek değil, belirli bir yöntemi uygulama ilkelerini anlamaktır.
Programın 7. sınıfının lineer denklem sistemleri örneklerinin çözümü Kapsamlı okul oldukça basit ve çok detaylı anlatılmış. Matematikle ilgili herhangi bir ders kitabında bu bölüme yeterince dikkat edilir. Gauss ve Cramer yöntemiyle doğrusal denklem sistemleri örneklerinin çözümü, yüksek öğretim kurumlarının ilk yıllarında daha ayrıntılı olarak incelenir.
Sistemlerin ikame yöntemiyle çözümü
Yerine koyma yönteminin eylemleri, bir değişkenin değerini ikinci cinsinden ifade etmeyi amaçlar. İfade, kalan denklemde ikame edilir, ardından tek değişkenli bir forma indirgenir. Sistemdeki bilinmeyenlerin sayısına göre işlem tekrarlanır.
İkame yöntemiyle 7. sınıfın bir lineer denklem sisteminin bir örneğinin çözümünü verelim:
Örnekte görebileceğiniz gibi, x değişkeni F(X) = 7 + Y ile ifade edildi. Ortaya çıkan ifade, sistemin 2. denkleminde X yerine ikame edilerek, 2. denklemde bir Y değişkeninin elde edilmesine yardımcı oldu. . Çözüm bu örnek zorluk çıkarmaz ve Y değerini almanızı sağlar.Son adım, elde edilen değerleri kontrol etmektir.
Bir lineer denklem sistemi örneğini ikame yoluyla çözmek her zaman mümkün değildir. Denklemler karmaşık olabilir ve bir değişkenin ikinci bilinmeyen cinsinden ifadesi sonraki hesaplamalar için çok hantal olacaktır. Sistemde 3'ten fazla bilinmeyen olduğunda, ikame ile çözüm de pratik değildir.
Lineer homojen olmayan denklemler sisteminin bir örneğinin çözümü:
Cebirsel toplama çözümü
Toplama yöntemi ile sistemlere çözüm aranırken terim terim toplama ve denklemlerin çeşitli sayılarla çarpma işlemleri yapılır. Matematiksel işlemlerin nihai amacı, tek değişkenli bir denklemdir.
Bu yöntem pratik ve gözlem gerektirir. Değişken sayısı 3 veya daha fazla olan bir lineer denklem sistemini toplama yöntemiyle çözmek kolay değildir. Denklemlerde kesirler ve ondalık sayılar bulunduğunda cebirsel toplamanın kullanılması uygundur.
Çözüm eylem algoritması:
- Denklemin her iki tarafını da bir sayı ile çarpın. Aritmetik işlem sonucunda değişkenin katsayılarından birinin 1'e eşit olması gerekir.
- Elde edilen ifadeyi terime göre ekleyin ve bilinmeyenlerden birini bulun.
- Kalan değişkeni bulmak için elde edilen değeri sistemin 2. denkleminde değiştirin.
Yeni bir değişken tanıtarak çözüm
Sistemin en fazla iki denklem için bir çözüm bulması gerekiyorsa yeni bir değişken eklenebilir, bilinmeyenlerin sayısı da ikiden fazla olmamalıdır.
Yöntem, yeni bir değişken girerek denklemlerden birini basitleştirmek için kullanılır. Yeni denklem girilen bilinmeyene göre çözülür ve elde edilen değer orijinal değişkeni belirlemek için kullanılır.
Örnek, yeni bir t değişkeni ekleyerek, sistemin 1. denklemini standart bir ikinci dereceden üç terimliye indirgemenin mümkün olduğunu göstermektedir. Diskriminantı bularak polinomu çözebilirsiniz.
İyi bilinen formüle göre diskriminantın değerini bulmak gerekir: D = b2 - 4 * a * c, burada D gerekli diskriminanttır, b, a, c polinomun faktörleridir. V verilen örnek a = 1, b = 16, c = 39, dolayısıyla D = 100. Diskriminant sıfırdan büyükse iki çözüm vardır: t = -b ± √D / 2 * a, diskriminant sıfırdan küçükse bir çözüm vardır: x = -b / 2 * a.
Elde edilen sistemlerin çözümü toplama yöntemi ile bulunur.
Sistemleri çözmek için görsel yöntem
3 denklemli sistemler için uygundur. Yöntem, sisteme dahil edilen her bir denklemin grafiklerinin koordinat ekseninde çizilmesinden oluşur. Eğrilerin kesişme noktalarının koordinatları ve olacak ortak karar sistemler.
Grafik yönteminin birkaç nüansı vardır. Lineer denklem sistemlerini görsel olarak çözmenin birkaç örneğini ele alalım.
Örnekte görebileceğiniz gibi, her düz çizgi için iki nokta oluşturuldu, x değişkeninin değerleri keyfi olarak seçildi: 0 ve 3. x değerlerine göre, y için değerler bulundu. : 3 ve 0. Koordinatları (0, 3) ve (3, 0) olan noktalar grafik üzerinde işaretlendi ve bir çizgi ile birleştirildi.
Adımlar ikinci denklem için tekrarlanmalıdır. Çizgilerin kesişme noktası sistemin çözümüdür.
Aşağıdaki örnekte, bir lineer denklem sistemine grafiksel bir çözüm bulmanız gerekiyor: 0,5x-y + 2 = 0 ve 0,5x-y-1 = 0.
Örnekte görebileceğiniz gibi, sistemin çözümü yoktur, çünkü grafikler paraleldir ve tüm uzunlukları boyunca kesişmez.
Örnek 2 ve 3'teki sistemler benzerdir, ancak bunu oluştururken çözümlerinin farklı olduğu ortaya çıkar. Unutulmamalıdır ki bir sistemin çözümü olup olmadığını söylemek her zaman mümkün değildir, her zaman bir grafik oluşturmak gereklidir.
Matris ve çeşitleri
Matrisler, bir lineer denklem sistemini kısaca yazmak için kullanılır. Matris, sayılarla dolu özel bir tablodur. n * m'nin n - satırı ve m - sütunu vardır.
Sütun ve satır sayısı birbirine eşit olduğunda bir matris karedir. Vektör matrisi, sonsuz sayıda satır içeren tek sütunlu bir matristir. Köşegenlerinden biri boyunca birler ve diğer sıfır elemanları olan bir matrise birim matris denir.
Ters matris, orijinalin bir kimlik matrisine dönüştüğü çarpıldığında böyle bir matristir, böyle bir matris yalnızca orijinal kare için var olur.
Bir denklem sistemini matrise dönüştürme kuralları
Denklem sistemlerine uygulandığında, denklemlerin katsayıları ve serbest terimleri matrisin sayıları olarak yazılır, bir denklem matrisin bir satırıdır.
Satırın en az bir elemanı sıfır değilse, bir matris satırına sıfırdan farklı denir. Bu nedenle, denklemlerden herhangi birinde değişken sayısı farklıysa, eksik bilinmeyen yerine sıfır yazmak gerekir.
Matrisin sütunları kesinlikle değişkenlerle eşleşmelidir. Bu, x değişkeninin katsayılarının yalnızca bir sütuna, örneğin ilki, bilinmeyen y'nin katsayısına - yalnızca ikincisine yazılabileceği anlamına gelir.
Bir matris çarpılırken, matrisin tüm elemanları sırayla bir sayı ile çarpılır.
Ters matrisi bulmanın çeşitleri
Ters matrisi bulma formülü oldukça basittir: K -1 = 1 / | K |, burada K -1 ters matristir ve | K | matrisin determinantıdır. |K | sıfır olmamalıdır, o zaman sistemin bir çözümü vardır.
Belirleyici, ikiye iki matris için kolayca hesaplanır; köşegen üzerindeki öğeleri birbiriyle çarpmanız yeterlidir. "Üçte üç" seçeneği için şu formül vardır: | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + bir 3 b 2 c 1. Formülü kullanabilir veya her satırdan ve her sütundan bir eleman almanız gerektiğini hatırlayabilirsiniz, böylece üründeki sütun ve satır sayıları tekrar etmesin.
Matris yöntemiyle doğrusal denklem sistemleri örneklerinin çözümü
Bir çözüm bulmanın matris yöntemi, çok sayıda değişken ve denklem içeren sistemleri çözerken hantal kayıtları azaltmaya izin verir.
Örnekte, a nm denklemlerin katsayılarıdır, matris bir vektördür x n değişkenlerdir ve b n serbest terimlerdir.
Sistemlerin Gauss çözümü
Yüksek matematikte Gauss yöntemi Cramer yöntemi ile birlikte çalışılır ve sistemlere çözüm bulma işlemine Gauss-Cramer yöntemi denir. Bu yöntemler, çok sayıda lineer denklem içeren değişken sistemleri bulmak için kullanılır.
Gauss'un yöntemi, ikame ve cebirsel toplama çözümlerine çok benzer, ancak daha sistematiktir. Okul dersinde, 3 ve 4 denklem sistemleri için Gauss çözümü kullanılır. Yöntemin amacı, sistemin ters çevrilmiş bir yamuk gibi görünmesini sağlamaktır. Sistemin denklemlerinden birindeki bir değişkenin değeri, cebirsel dönüşümler ve ikameler ile bulunur. İkinci denklem 2 bilinmeyenli, ancak 3 ve 4 - sırasıyla 3 ve 4 değişkenli bir ifadedir.
Sistemi tarif edilen forma getirdikten sonra, daha fazla çözüm, bilinen değişkenlerin sistemin denklemlerine sıralı ikamesine indirgenir.
7. sınıf için okul ders kitaplarında, Gauss yöntemiyle bir çözüm örneği şu şekilde açıklanmaktadır:
Örnekte görebileceğiniz gibi, (3) adımında iki denklem elde edilmiştir: 3x 3 -2x 4 = 11 ve 3x 3 + 2x 4 = 7. Herhangi bir denklemin çözümü, x n değişkenlerinden birini bulmanızı sağlayacaktır.
Metinde bahsedilen Teorem 5, sistemin denklemlerinden birinin eşdeğeri ile değiştirilirse, ortaya çıkan sistemin de orijinaline eşdeğer olacağını belirtir.
Gauss Metodu lise öğrencilerinin anlaması zor olsa da programa kayıtlı çocukların zekasını geliştirmenin en ilginç yollarından biridir. geniş kapsamlı çalışma matematik ve fizik derslerinde.
Hesaplamaları kaydetmenin basitliği için aşağıdakileri yapmak gelenekseldir:
Denklemlerin katsayıları ve serbest terimler, matrisin her satırının sistemin denklemlerinden biriyle ilişkili olduğu bir matris şeklinde yazılır. denklemin sol tarafını sağ taraftan ayırır. Romen rakamları, sistemdeki denklemlerin sayısını gösterir.
Önce çalışılacak matrisi, ardından satırlardan biriyle gerçekleştirilen tüm eylemleri yazın. Elde edilen matris ok işaretinden sonra yazılır ve sonuç elde edilene kadar gerekli cebirsel işlemlere devam edilir.
Sonuç olarak, köşegenlerden birinin 1 olduğu ve diğer tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu bir matris elde edilmelidir, yani matris tek bir forma getirilir. Denklemin her iki tarafındaki sayılarla hesaplama yapmayı unutmayın.
Bu kayıt yöntemi daha az hantaldır ve çok sayıda bilinmeyenin sıralanmasıyla dikkatinizin dağılmamasını sağlar.
Herhangi bir çözümün ücretsiz uygulaması, özen ve belirli bir miktarda deneyim gerektirecektir. Tüm yöntemler uygulamalı nitelikte değildir. Çözüm bulmanın bazı yolları, belirli bir insan faaliyeti alanında daha çok tercih edilirken, diğerleri eğitim amaçlıdır.
Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Sitede bir istek bıraktığınızda, adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifleri, promosyonları ve diğer etkinlikleri ve yaklaşan etkinlikleri bildirmemize olanak tanır.
- Zaman zaman önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer promosyon etkinliğine katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara ifşa edilmesi
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, mahkeme kararına, mahkeme işlemlerinde ve / veya kamudan gelen talep veya taleplere dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer sosyal açıdan önemli nedenlerle bu tür bir açıklamanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek de sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri uygun bir üçüncü tarafa - yasal halef - aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik kurallarını getiriyoruz ve gizlilik önlemlerinin uygulanmasını titizlikle izliyoruz.