Doğrusal cebirsel denklemlerin çözme sistemleri. Lineer denklem sisteminin genel ve özel bir çözümünü nasıl bulabilirsiniz?

Doğrusal sistemlerin çözümü cebirsel denklemler (Slava) şüphesiz doğrusal cebirin en önemli konusudur. Büyük miktar Matematiğin tüm bölümlerinden gelen görevler, sistemleri çözme sistemlerine azaltıyor lineer denklemler. Bu faktörler bu makaleyi oluşturmanın nedenini açıklar. Makale makalesi seçilir ve yapılır, böylece yapabilirsiniz.

doğrusal cebirsel denklem sisteminizi çözme konusunda en uygun yöntemi seçin,
seçilen yöntemin teorisini keşfedin,
lineer denklem sisteminizi çözün, ayrıntılı olarak incelenen karakteristik örnekler ve görevlerin sökülmüş çözümleri.

Makalenin materyalinin kısa açıklaması.

İlk olarak, tüm gerekli tanımları, kavramları ve gösterimi tanıtacağız.

Daha sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşit olduğu ve tek bir çözeltiye sahip olan lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme yöntemlerini düşünüyoruz. İlk olarak, ikinci olarak, Cramer yöntemine odaklanacağız, bu tür denklem sistemlerini çözme matrisi yöntemini göstereceğiz, üçüncüsü, Gauss yöntemini analiz edeceğiz (bilinmeyen değişkenlerin tutarlı bir şekilde hariç tutulması). Teoriyi güvence altına almak için, mutlaka çeşitli yavaşlamaları çeşitli şekillerde çözecektir.

Bundan sonra, denklemlerin sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısına veya sistemin ana matrisinin dejenere olduğu gibi, denklem sayısının saygılı bir formun doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmeye devam ediyoruz. Slava'nın uyumluluğu kurmanıza olanak sağlayan Krocecker - Capelli'nin teoremini formüle ediyoruz. Matrisin Temel Minor Kavramı'nın yardımı ile sistem çözümünü (uyumlulukları durumunda) analiz edeceğiz. Gauss yöntemini de dikkate alacağız ve örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak tanımlayacağız.

Kesinlikle genel homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemlerinin yapısına odaklanacağız. Temel bir çözüm sistemi kavramını veriyoruz ve genel çözümün temel çözümler sisteminin vektörlerini kullanarak Slava'ya nasıl yazıldığını gösteriyoruz. Daha iyi bir anlayış için birkaç örnek analiz edeceğiz.

Sonuç olarak, Denklem sisteminin, doğrusal olarak ve Çeşitli görevler, bir eğimi çözerken.

Gezinme sayfası.

Tanımlar, kavramlar, gösterim.

N'nin bilinmeyen değişkenlerle P doğrusal cebirsel denklemlerin sistemlerini düşüneceğiz (P N'ye eşit olabilir)

Bilinmeyen değişkenler - katsayılar (bazı geçerli veya karmaşık sayılar) - ücretsiz üyeler (ayrıca geçerli veya karmaşık sayılar).

Böyle bir yazıyla çağrılır koordinat.

İÇİNDE matris formu Bu denklem sisteminin formunu kaydeder
Nerede - Sistemin ana matrisi, - bilinmeyen değişkenlerin bir matris kolonu, - ücretsiz üyelerin bir matris kolonu.

Matris'e eklerseniz ve ücretsiz üyelerin bir matris-sütun sütunu eklerseniz, sözde genişletilmiş matris Doğrusal denklem sistemleri. Tipik olarak, genişletilmiş matris T harfi ile gösterilir ve serbest eleman kolonu, kalan sütunlardan dikey çizgi ile ayrılır, yani,

Doğrusal cebirsel denklem sistemini çözerek Sistemin tüm denklemlerini kimliklerde ekleyerek bilinmeyen değişkenlerin bir dizi değerini arayın. Bilinmeyen değişkenlerin bu değerleri için matris denklemi de kimliğe yöneliktir.

Denklem sistemi en az bir çözüm varsa, o zaman denir bağlantı.

Çözümlerin sistemi sahip değilse, o zaman denir durmaksızın.

Tek çözüm tek bir karar varsa, o zaman tanımlanmış; Çözümler birden fazla ise, sonra - belirsiz.

Tüm sistem denklemlerinin serbest terimleri sıfır ise Sonra sistem denir Üniforma, aksi takdirde - heterojen.

İlköğretim sistemlerinin çözümü doğrusal cebirsel denklemlerin çözümü.

Sistem denklemlerinin sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse ve ana matrisinin belirleyicisi sıfır değildir, daha sonra böyle bir eğim denir İlköğretim. Bu tür denklem sistemleri tek bir çözeltiye sahiptir ve homojen bir sistem durumunda, tüm bilinmeyen değişkenler sıfırdır.

Böyle bir slam çalışmaya başladık lise. Çözüldüklerinde, bir çeşit denklemi yaptık, başka bir bilinmeyen değişkeni başkalarıyla ifade ettik ve kalan denklemlere ikame etti, aşağıdaki denklemi takip etti, aşağıdaki denklemi izledi, aşağıdaki bilinmeyen değişkenleri ifade etti ve diğer denklemler halinde ikame edildi. Veya ilave yöntemini, yani bazı bilinmeyen değişkenleri dışlamak için katlanmış iki veya daha fazla denklemde katlanmıştır. Gauss yönteminin esasen değişiklikleri oldukları için bu yöntemlerle ayrıntılı olarak durmayacağız.

Temel doğrusal denklem sistemlerini çözme yöntemleri, Cramer yöntemi, matris yöntemi ve Gauss yöntemidir. Onları analiz edeceğiz.

Cramer yöntemi ile doğrusal denklem sistemlerinin çözümü.

Bir lineer cebirsel denklem sistemini çözmemize gerek yok

Denklemlerin sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin belirleyicisi sıfırdan farklıdır, yani

Let - sistemin ana matrisinin belirleyicisi ve - Bir değiştirmeden elde edilen matrislerin belirleyicileri 1, 2nd, ..., n-vay Sırasıyla Sütun, ücretsiz üyelerin sütununda:

Bu tür bir gösterimle, bilinmeyen değişkenler, Cramer yönteminin formülleri kullanılarak hesaplanır. . Dolayısıyla, Cramer yöntemi ile doğrusal cebirsel denklem sistemine bir çözüm vardır.

Misal.

Cramer yöntemi .

Karar.

Sistemin ana matrisi formu vardır . Belirleyicisini hesaplıyoruz (gerekirse, makaleye bakın):

Sistemin ana matrisinin belirleyicisi sıfırdan farklı olduğundan, sistemin Cramer yöntemi tarafından bulunabilecek tek bir çözeltiye sahip.

Gerekli belirleyicileri oluşturacak ve hesaplayacağız (Belirleyiciyi, matrisin ve serbest elemanların sütunundaki ilk sütunu, determinant, determinant - serbest eleman kolonundaki ikinci sütunu değiştirerek - matrisin üçüncü sütununu ve ücretsiz üyelerin kolonunu değiştirme ):

Formüller tarafından bilinmeyen değişkenler buluyoruz :

Cevap:

Cramer yönteminin ana dezavantajı (eğer bir dezavantaj denirse), sistem denklemlerinin sayısı üçten fazla olduğunda, belirleyicilerin hesaplanmasının karmaşıklığıdır.

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini matris yöntemiyle çözme (ters bir matris kullanarak).

Doğrusal cebirsel denklem sisteminin matris formunda belirtilmesine izin verin, burada matris A'nın N'deki n ve belirleyicinin sıfırdan farklı olduğunda.

O zamandan beri, Matris A geri dönüşümlüdür, yani ters bir matris var. Her iki eşitlikte de sola çarparsanız, formülü, bilinmeyen değişkenlerin bir sütun sütunu bulmak için elde ediyoruz. Bu yüzden bir lineer cebirsel denklem sisteminin çözümünü aldık. matris yöntemi.

Misal.

Doğrusal denklem sistemine karar verin MATRIX yöntemi.

Karar.

Denklem sistemini matris biçiminde yeniden yazarım:

Gibi

Eğimin matris yöntemi ile çözülebileceği. Ters matrisin yardımıyla, bu sistemin çözümü olarak bulunabilir. .

Matris A elementlerinin cebirsel eklentilerinden bir matris kullanarak ters bir matris oluştururuz (gerekirse, makaleye bakın):

Hesaplamak için kalır - bilinmeyen değişkenlerin matrisi, iade matrisini çarpıyor Ücretsiz üyelerin matris sütununda (gerekirse makaleye bakın):

Cevap:

Veya başka bir kayıtta x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Doğrusal cebirsel denklemlerin çözümlerini çözerken ana problem, matris yöntemi, özellikle üçüncü sıranın üzerindeki kare matrisler için, ters matrisin karmaşıklığından oluşur.

Gauss yöntemiyle doğrusal denklem sistemlerini çözme.

N bilinmeyen değişkenlerle N lineer denklemlerden bir sistem çözümü bulmanıza gerek yok
Ana matrisin belirleyicisi sıfırdan farklıdır.

Gauss yönteminin özü Bilinmeyen değişkenlerin sıralı hariç tutulmasından oluşur: Birincisi, sistemin tüm denklemlerinin x 1'i hariçtir, ikinci, daha sonra tüm denklemlerden başlayarak, üçüncü ve benzeri XN'nin sadece bilinmeyen değişkene kadar Son denklemde. Bilinmeyen değişkenlerin tutarlı bir şekilde dışlanması için sistem denklemlerini dönüştürme işlemi denir gauss Yönteminin Doğrudan Koşusu. Gauss metodunun doğrudan hareketinin son denklemden uzaklaştırılmasından sonra, bu değerin son denkleminden yardımı ile X N-1, X N-1 hesaplanır ve böylece X 1, ilk denklemden hesaplanır. Sistemin son denkleminden birincisine sürüş sırasında bilinmeyen değişkenleri hesaplama süreci denir gauss Yönteminin Dönüşü.

Bilinmeyen değişkenleri dışlamak için bir algoritmayı kısaca tanımlayın.

Bunu varsayacağız, çünkü sistem denklemlerinin bu permütasyonunu her zaman başarabildiğimiz için. İkincisinden başlayarak, sistemin tüm denklemlerinin bilinmeyen bir x 1'i dışında. Bunu yapmak için, sistemin ikinci denklemi birinci, çarpılan, üçüncü denklem ile çarpılır, birinci, çarpılan, vb. Ekleyin, ilk, çarpılan, ile çarpılan. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi formu alacak

burada bir. .

X 1, X 1'i, sistemin ilk denklemindeki diğer bilinmeyen değişkenler aracılığıyla ve sonuçta diğer tüm denklemlere ikame edilmiş diğer ifadeleri aracılığıyla ortaya çıkacaktı. Böylece, X 1 değişkeni, saniyeden başlayarak tüm denklemlerden hariç tutulur.

Sonra, aynı şekilde davranıyoruz, ancak sadece rakamda işaretlenmiş, elde edilen sistemin bir kısmı ile

Bunu yapmak için, ikinci, dördüncü denklemin dördüncü denklemine, ikinci, çarpılan dördüncü denklemin, N-TH denklemine, çarpıldığını, ikinci, çarpılan şekilde ekleriz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi formu alacak

burada bir. . Böylece, X2 değişkeni, üçüncüden başlayarak tüm denklemlerden hariç tutulur.

Sonra, bilinmeyen bir X3'ün hariç tutulmasına devam ederken, şekilde işaretlenmiş sistemin bir kısmına benzer şekilde hareket eder.

Bu yüzden, sistem almazken Gauss yönteminin doğrudan hareketini sürdürüyoruz.

O andan itibaren, Gauss yönteminin tersi seyrine başlıyoruz: Son denklemden XN'yi hesaplayın, ortaya çıkan XN'yi kullanmak, XN-1'i son denklemden buluruz, vb. İlk olarak X 1'i bulduk denklem.

Misal.

Doğrusal denklem sistemine karar verin Gauss Yöntemi.

Karar.

İkinci ve üçüncü sistem denkleminden bilinmeyen bir X 1'i hariç tutalım. Bunu yapmak için, ilk denklemin karşılık gelen kısımlarını ikinci ve üçüncü denklemlerin her iki bölümüne, sırasıyla çarpılır:

Şimdi, üçüncü denklemden, X2'yi hariç tutun, sol ve sağ parçalarına eklenir, ikinci denklemin sol ve sağ kısımları ile çarpılır:

Bu konuda, Gauss yönteminin doğrudan hareketi tamamlandı, tersine başlıyoruz.

Elde edilen denklem sisteminin son denkleminden x 3:

İkinci denklemden aldığımız.

İlk denklemden, kalan bilinmeyen değişkeni buluruz ve bunlar Gauss yönteminin ters hareketini tamamlıyor.

Cevap:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Genel formun doğrusal cebirsel denklemlerin çözme sistemleri.

Genel durumda, System A denklemlerinin sayısı, bilinmeyen değişkenlerin sayısı ile aynı değildir:

Böyle bir eğimin çözümleri olmayabilir, tek bir karar olsun veya sonsuz sayıda çözüme sahip olabilir. Bu ifade aynı zamanda ana matris, kare ve dejenere olan denklem sistemlerini de ifade eder.

Kronkera - Capelli'nin teoremi.

Bir doğrusal denklem sisteminin bir çözümünü bulmadan önce, uyumluluğunu belirlemek gerekir. Slava birlikte olduğunda soruya cevap ve eksik olduğunda koncheker Teoremi - Capelli:
SİSYONUN SİPARİŞİNİN SİPARİŞİNDEKİ N İLE N İLE (P, N'ye eşit olabilir), sistemin ana matrisinin rütbesinin genişletilmiş bir matrisin sırasına eşit olması, yani sıralaması ( A) \u003d rütbe (t).

Doğrusal denklem sisteminin derlenmesini belirlemek için Kraker - Capelli'nin teoreminin kullanılması örneğini dikkate alın.

Misal.

Doğrusal denklemlerin sisteminin sahip olup olmadığını öğrenin Çözümler.

Karar.

. Minorlingling'in bir yöntemini kullanıyoruz. İkinci dereceden küçük Sıfırdan farklı. Forefront'tan üçüncü dereceden küçüklerin üstesinden geleceğiz:

Üçüncü dereceden tüm temel küçükler sıfır olduğundan, ana matrisin rütbesi ikisidir.

Sırayla, genişletilmiş bir matris rütbesi üçüncü dereceden küçük, üçe eşit

Sıfırdan farklı.

Böylece, Bu nedenle (a), Krakecker teoremi - Capelli'de, ilk lineer denklem sisteminin eksik olduğu sonucuna varılabilir.

Cevap:

Çözeltilerin sistemi yok.

Böylece, KLekeker - Capelli Teoremi'ni kullanarak sistemin eksikliğini nasıl oluşturacağını öğrendik.

Fakat uyumluluğu yüklendiyse, Slava'ya bir çözüm bulmak nasıl?

Bunu yapmak için, matrisin tabanını ve matris halkasındaki teoremin temel kavramına ihtiyacımız var.

Matrisin en yüksek sırasının A, sıfırdan farklı, denir esas.

Temel küçük tanımından, siparişinin matrisin kenarına eşit olduğunu takip eder. Sıfır olmayan bir matris için, ancak birkaç temel airor olası olabilir, bir temel minör her zaman.

Örneğin, matrisi düşünün .

Bu matrisin üçüncü sırasının tüm küçükleri sıfırdır, çünkü bu matrisin üçüncü çizgisinin elemanları, birinci ve ikinci satırların karşılık gelen elemanlarının toplamıdır.

Temel, ikinci sıranın aşağıdaki küçükleridir, çünkü sıfırdan farklı oldukları için

Minora Temel, sıfır olduğu gibi değil.

Matrisin rütbesinde teoremi.

N (P) P'nin halkası R eşittir, daha sonra seçilen tabakın küçüklerini oluşturmayan matrisin tüm elemanlarının (ve sütunlarının) tüm elemanları, ilgili dizelerin (ve sütunların) oluşturulması ile doğrusal olarak ifade edilir. Taban küçük.

Bize teoremi matris rütbesinde ne verir?

Eğer, KRecOneker - Capelli'nin teoreminde, sistemin birimlerini belirledik, sistemin ana matrisinin (sırası R eşit) herhangi bir temel küçükünü seçiyoruz ve sistemden dışlanmayan tüm denklemlerden hariç tutuyoruz. seçilen taban küçükünü oluşturur. Böylece elde edilen eğim, orijinale eşdeğer olacaktır, çünkü atılan denklemler hala gereksizdir (bunlar, kalan denklemlerin matris'in rütbe teoremi yönünde doğrusal birleşimidir).

Sonuç olarak, sistemin aşırı denklemlerini attıktan sonra, iki durum mümkündür.

Sonuçtaki sistemdeki R denklem sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, kesin olacaktır ve tek bir çözüm, Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemiyle bulunabilir.

Misal.

Karar.

Sıra ana sistem matrisi ikinci dereceden küçük olduğu gibi iki kişiye eşit Sıfırdan farklı. Genişletilmiş bir matrisin rütbesi Ayrıca üçe eşit, çünkü üçüncü sıranın sadece küçükleri sıfır olduğundan

Ve yukarıda tartışılan birinci dereceden küçük, sıfırdan farklıdır. Krocecker - Capelli'nin teoremine dayanarak, orijinal doğrusal denklem sisteminin paylaşılmasını onaylamak mümkündür, çünkü rütbe (a) \u003d rütbe (t) \u003d 2.

Temel bir küçük olarak, . Birinci ve ikinci denklemlerin katsayılarını oluşturur:

Sistemin üçüncü denklemi, bir tabanın oluşumunda bulunmuyor, bu nedenle, halka matrisindeki teoreme dayanan sistemden hariç tutacağız:

Böylece bir temel doğrusal cebirsel denklem sistemi edindik. Krateri kullanarak çözerek:

Cevap:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Elde edilen eğimdeki R denklem sayısı, bilinmeyen değişkenlerin sayısından daha azsa, daha sonra denklemlerin sol kısımlarında, bileşenlerin geri kalanının sağ parçalara aktarıldığından, bileşenleri sağ parçalara aktarılır. karşı işaret ile sistem denklemlerinin.

Denklemlerin sol kısımlarında kalan bilinmeyen değişkenler (r parçaları) denir temel.

Bilinmeyen değişkenler (N - R parçaları), doğru parçalarda, denir bedava.

Şimdi, ücretsiz bilinmeyen değişkenlerin keyfi değerler yapabileceğine inanıyoruz, ancak R bazik bilinmeyen değişkenler, tek yoldan ücretsiz bilinmeyen değişkenler aracılığıyla ifade edilecektir. İfadeleri, sonuçta ortaya çıkan numunenin sürücü yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemiyle çözülmesini sağlayabilir.

Örnekte analiz edeceğiz.

Misal.

Doğrusal cebirsel denklem sistemine karar verin .

Karar.

Sistemin ana matrisinin rütbesini buluruz Kalabalık küçüklerin yöntemi. Birinci sıranın sıfır olmayan bir kısmı olarak 1 1 \u003d 1 alın. Bu küçükleri kesen ikinci dereceden sıfır olmayan bir küçük olmayan, aramayı başlatalım:

Böylece ikinci sıranın saçmalıklarını bulduk. Üçüncü sırayı sınırlayan sıfır olmayanlar için aramayı başlatalım:

Böylece, ana matrisin rütbesi üçdür. Genişletilmiş bir matrisin rütbesi de üçe eşittir, yani sistem koordine edilir.

Üçüncü derecenin kurulmuş olanı, temel bir temel olarak alacak.

Netlik için, üssün minörünü oluşturan unsurları gösteriyoruz:

Sistemin bileşenlerini, taban küçük kısmında yer alan denklemlerin sol kısmında bırakıyoruz, gerisi doğru parçalara zıt işaretlerle aktarılır:

Ücretsiz bilinmeyen değişkenleri x 2 ve x 5 keyfi değerleri verin, yani, biz alacağız nerede - keyfi sayılar. Aynı zamanda, eğim alacak

Elde edilen ilköğretim sistemi, kontrol sistemini çözerek doğrusal cebirsel denklem sistemleri:

Dolayısıyla.

Cevap olarak, ücretsiz bilinmeyen değişkenleri belirtmeyi unutmayın.

Cevap:

Nerede - keyfi sayılar.

Özetlemek.

Yaygın bir türün doğrusal bir cebirsel denklem sistemini çözmek için önce KONPEKER THEOREM - CAPELLI kullanılarak uyumluluğunu bulduk. Ana matris rütbesi, genişletilmiş bir matrisin rütbesine eşit değilse, sistemin tamamlanmasını sonlandırıyoruz.

Ana matris rütbesi genişletilmiş bir matrisin rütbesine eşitse, üssün küçükünü seçiyoruz ve seçilen tabanın oluşumuna katılmayan sistemin denklemini atıyoruz.

Temel küçük emri ise sayıya eşit Bilinmeyen değişkenler, Slava, bize bilinen herhangi bir yöntemi bulduğumuz tek bir çözüme sahiptir.

Taban küçük siparişi, bilinmeyen değişkenlerin sayısından daha azsa, daha sonra sistem denklemlerinin sol kısmından, bileşenleri ana bilinmeyen değişkenlerle bırakıyoruz, kalan bileşenler doğru parçalara aktarılır ve ücretsiz bilinmeyen değişkenler verilir keyfi değerler. Elde edilen doğrusal denklem sistemlerinden, üretici tarafından ana bilinmeyen değişkenleri, matris yöntemi veya Gauss yöntemi buluyoruz.

GAUSS Yöntemi Genel formun doğrusal cebirsel denklemlerin sistemlerini çözme yöntemi.

Gauss yöntemi, birimlerin araştırmalarından önce herhangi bir türün doğrusal cebirsel denklem sistemini çözebilir. Bilinmeyen değişkenlerin tutarlı bir şekilde dışlanması süreci, slava'nın uyumluluğunun ve eksikliğinin her ikisini de sonuçlandırmamızı sağlar ve çözümün varlığı durumunda onu bulmayı mümkün kılar.

Hesaplamalı işlem açısından, Gauss yöntemi tercih edilir.

Onu gör detaylı Açıklama Ve genel formun doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi maddesi makalesinde sakıncalı örnekler.

Temel çözümler sisteminin vektörlerini kullanarak genel homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel sistemlerin çözümünü kaydedin.

Bu bölümde, sonsuz set çözeltilerine sahip olan lineer cebirsel denklemlerin ortak homojen ve homojen olmayan sistemlerini tartışacağız.

İlk önce homojen sistemlerle anlayacağız.

Temel sistem çözümleri N bilinmeyen değişkenli p doğrusal cebirsel denklemlerden gelen homojen sistem, bu sistemin ayarlanmış (N - R) doğrusal olarak bağımsız çözümleri olarak adlandırılır, burada R sistemin ana matrisinin tabanının emridir.

Eğer x (1), x (2), ..., x (x (x (1), x (2), ..., X (NR) - Bunlar Boyut sütunlarının n ile matrisleridir. C (nr), yani,.

Homojen bir lineer cebirsel denklemlerin (orostal) genel çözümünün genel çözümünü belirtir.

Anlam basittir: Formül hepsini belirler muhtemel çözümler Orijinal Slava, başka bir deyişle, Formül'e göre, keyfi sabit sabitler C1, C2, ..., C (NR) değerinin herhangi bir dizi alan, ilk homojen eğimin çözümlerinden birini alacağız. .

Böylece, temel bir çözüm sistemi bulursak, tüm çözümleri bu homojen eğime göre sorabilecektir.

Homojen bir eğim ile temel bir çözüm sistemi oluşturma sürecini gösterelim.

Orijinal doğrusal denklem sistemlerinin temel küçüklerini seçiyoruz, sistemden diğer tüm denklemleri dışlıyoruz ve sistem denklemlerinin sağ kısımlarına zıt işaretlerle aktarılıyor, ücretsiz bilinmeyen değişkenler içeren tüm şartlar. Bize ücretsiz bilinmeyen bir değişken değeri 1.0.0, ..., 0 ve ana bilinmemeyi hesaplayalım, ortaya çıkan temel doğrusal denklemlerin ortaya çıkan temel sistemini herhangi bir şekilde, örneğin sürücü yöntemi ile çözer. Yani x (1) elde edilecek - temel sistemin ilk çözümü. 0.1.0.0, ..., 0'lık ücretsiz bir bilinmeyen değer verirseniz ve ana bilinmeyenleri hesaplarsanız, x (2) elde ettik. Vb. Ücretsiz bilinmeyen değişkenler 0,0, ..., 0.1 değerini verirse ve ana bilinmemeyi hesaplarsa, X (N-R) elde ettik. Bu, homojen bir eğime için temel bir çözüm sistemi oluşturulacak ve genel çözümü kaydedilebilir.

Doğrusal cebirsel denklemlerin homojen olmayan sistemleri için, formda genel bir çözelti, ilgili homojen sistemin genel çözeltisi ve elde ettiğimiz ilk homojen olası eğimin özel çözeltisi, 0.0 ücretsiz bilinmeyen bir değer veren, ..., 0 ve ana bilinmeyenlerin değerlerini hesaplamak.

Örneklerde analiz edeceğiz.

Misal.

Temel bir çözümler sistemi ve homojen bir lineer cebirsel denklem sisteminin genel bir çözümünü bulun. .

Karar.

Homojen lineer denklemlerin homojen sistemlerinin ana matrisinin sırası her zaman genişletilmiş bir matrisin rütbesine eşittir. Ana matrisin rütbesini kalabalık küçüklerin yöntemiyle buluyoruz. İlk siparişin sıfır olmayan bir kısmı olarak, elemanı sistemin ana matrisinin 1 1 \u003d 9'unu alın. İkinci siparişin sıfır olmayan küçüklerini sınırlandıracağız:

İkinci dereceden, sıfırdan farklı, bulundu. Sıfır olmayan arayışı içinde üçüncü dereceden küçük yiyeceklerin üstesinden geleceğiz:

Tüm üçüncü sipariş odaklama küçükleri sıfırdır, bu nedenle, ana ve genişletilmiş matrisin rütbesi ikisidir. Temel küçükleri alıyoruz. Netlik için bu şekilde oluşturan sistemin unsurlarını not ediyoruz:

Orijinal eğimin üçüncü denklemi, temel minörün oluşumuna katılmıyor, bu nedenle hariç tutulabilir:

Ana bilinmeyenleri içeren hizaları denklemlerin doğru kısımlarında bırakıyoruz ve terimleri doğru bilinmeyenlerle doğru parçalara taşıyoruz:

İlk homojen doğrusal denklem sistemlerinin temel bir çözüm sistemi inşa ediyoruz. Bu eğime yapılan temel çözümler sistemi iki çözümden oluşur, çünkü ilk eğim dört bilinmeyen değişken içerdiğinden ve temel Minora'nın sırası ikisidir. X (1) bulmak için, ücretsiz bilinmeyen bir değişken değeri x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, daha sonra denklem sisteminden bulmak için ana bilinmeyen bir değer verelim.
.

Okulda, her birimiz denklemleri okudu ve kesinlikle denklem sistemi. Ancak çoğu, onları çözmenin birkaç yolu olduğunu bilmiyor. Bugün, ikiden fazla eşitlikten oluşan bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek için tüm yöntemleri analiz edeceğiz.

Tarih

Bugüne kadar, denklemleri çözme sanatının ve sistemlerini antik Babil ve Mısır'da ortaya çıktığı bilinmektedir. Bununla birlikte, her zamanki formlarındaki eşitlik, 1556'da İngilizce matematikçi kaydı tarafından tanıtılan "\u003d" eşitliğinin işaretinden sonra ortaya çıkmıştır. Bu arada, bu işaret az önce seçilmedi: bu iki paralel eşit segment anlamına gelir. Ve gerçek, en iyi eşitlik örneği ortaya çıkmıyor.

Bilinmeyen ve derece belirtilerinin modern harflerinin kurucusu Fransız matematikçidir, ancak tanımları bugünden önemli ölçüde farklılık göstermektedir. Örneğin, bilinmeyen numaranın karesi Q (Lat. "Quadratus") harfini ve C (LAT. "CUTUS") harfini belirtmiştir. Bu atamalar şimdi rahatsız edici görünüyor, ancak o zaman doğrusal cebirsel denklem sistemini kaydetmenin en anlaşılır yoludu.

Bununla birlikte, çözüm yöntemlerindeki dezavantaj, matematiğin sadece pozitif kökler olduğu düşünülmesidir. Olumsuz değerlerin hiç olmadığı gerçeğinden dolayı olabilir. pratik uygulama. Bir yol ya da başka, ancak negatif kökleri düşünen ilk kişi, 16. yüzyılda İtalyan matematikçilerin Niccolo Tartual, Jerolamo Cardano ve Rafael'iydi. FAKAT modern manzaraAna çözüm yöntemi (ayrımcı yoluyla), Descartes ve Newton'un eserleri sayesinde yalnızca 17. yüzyılda oluşturuldu.

18. yüzyılın ortalarında, İsviçre Mathematician Gabriel Kramer, lineer denklemlerin çözümünü kolaylaştırmak için yeni bir yol buldu. Bu yöntem daha sonra adlandırıldı ve bu gün kullandık. Ancak, Driveman'ın yöntemi hakkında biraz sonra konuşuruz, ancak şimdilik, sistemden ayrı olarak çözmek için lineer denklemleri ve yöntemleri tartışacağız.

Lineer denklemler

Doğrusal denklemler değişkenli (değişken) en kolay eşitliklerdir. Onlar cebire inanılıyor. Genel biçimde kaydedilir: 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... A n * x n \u003d b. Sistem ve matrisleri daha da derlerken bu formdaki temsilleri gerekecektir.

Doğrusal Cebirsel Denklem Sistemleri

Bu terimin tanımıdır: Bu, ortak bilinmeyen değerlere ve genel bir çözüme sahip olan denklemlerin bir kombinasyonudur. Kural olarak, okulda, her şey iki hatta üç denklem içeren sistemleri çözdü. Ancak dört veya daha fazla bileşenli sistemler var. Önce anlayalım, bunları nasıl kaydettireceğinizi, böylece gelecekte karar vermek uygundur. İlk olarak, doğrusal cebirsel denklemlerin sistemi, tüm değişkenler karşılık gelen dizinle x olarak kaydedilirse daha iyi görünecektir: 1,2,3 vb. İkincisi, kanonik görünüm için tüm denklemler verilmelidir: A 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... A n * x n \u003d b.

Bütün bu eylemlerden sonra, lineer denklem sistemlerinin çözümlerini nasıl bulacağınızı söylemeye başlayabiliriz. Bunun için çok fazla matrisi kullanacağız.

Matristörler

Matris, satır ve sütunlardan oluşan bir tablodır ve elemanları kavşaklarında bulunur. Bunlar belirli değerler veya değişkenler olabilir. En sık, elemanları belirlemek için, alt dizinler altlarına yerleştirilir (örneğin, bir 11 veya A 23). İlk endeks, satır numarası ve İkinci sütun anlamına gelir. Matematik üzerinde, herhangi bir matematiksel unsurun üzerinde olduğu gibi, çeşitli işlemler yapabilirsiniz. Böylece şunları yapabilirsiniz:

2) Matrisini herhangi bir numaraya veya vektöre çarpın.

3) Transpose: Matrisin çizgilerini kolonlara çevirin ve sütunlar çizgilerdedir.

4) Bunlardan birinin satır sayısı bir başkasının sütunlarının sayısına eşitse, matrisi çarpın.

Bize daha sonra gelecekler gibi tüm bu teknikleri daha ayrıntılı olarak tartışacağız. Çıkarma ve matrislerin eklenmesi çok basit gerçekleşir. Aynı boyutta matrisini aldığımızdan, aynı tablonun her bir elemanı, bir başkasının her bir elemanına karşılık gelir. Böylece, bu elemanların ikisini katlanır (çıkarırız) (matrislerinde aynı yerlerde durmaları önemlidir). Matrisini bir sayı veya vektöre çarptığınızda, her matris öğesini bu numaraya (veya vektörüne) çarpın. Transpozisyon çok ilginç bir süreçtir. Çok ilginç bazen onu görüyor gerçek hayatÖrneğin, bir tablet veya telefonun yönünü değiştirirken. Masaüstündeki simgeler bir matrisdir ve pozisyon değiştirildiğinde, aktarılır ve daha geniş hale gelir, ancak yükseklikte azalır.

Böyle bir işlemi bizim için yararlı olmasa da analiz edeceğiz, ancak yine de bilmek faydalı olacaktır. Çarpın İki matris yalnızca bir tablonun sütunlarının sayısının farklı çizgilerin sayısına eşit olduğu şartıyla çarpılabilir. Şimdi bir matrisin çizgilerinin elemanlarını ve diğer tarafın karşılık gelen kolonunun elemanlarını alırız. Bunları birbirlerine taşıyın ve daha sonra yerleştirin (örneğin, (örneğin, elementlerin (11 ve A), B 12 ve B 22'deki ürününün ürünü olacaktır: a 11 * B 12 + A 12 * B22). Böylece, tablonun bir elemanı elde edilir ve aynı yöntemle daha da doldurulur.

Şimdi, lineer denklem sisteminin nasıl çözüldüğünü düşünmeye devam edebiliriz.

Gauss Yöntemi

Bu konu okulda gerçekleşmeye başlıyor. "İki doğrusal denklemin sistemi" kavramını iyi biliyoruz ve onları çözebiliriz. Ama denklem sayısı ikiden fazla ise ne yapmalı? Bu bize yardımcı olacak

Tabii ki, bu yöntem sistemden bir matris yaparsanız kullanmak için uygundur. Ancak onu dönüştüremez ve saf formda çözemezsiniz.

Peki, bu yöntem bu yöntemle Lineer Gauss denklemlerinin bu yöntemle çözülür? Bu arada, en azından bu yöntem sonra adlandırılır, ancak antik çağda açtılar. Gauss aşağıdakileri sunar: nihayet bütünlüğün tamamını adım adım yönlendirebilmek için denklemlerle işlemleri yapın. Yani, ilk denklemden ikincisine yapılan ilk denklemden (uygun şekilde yerleştirilirse) bilinmeyen bir şekilde reddedilmesi gerekir. Başka bir deyişle, başarılı olamayız, söyleyiz, üç denklem: ilk üçte bilinmeyen, üçüncüsü, üçüncüsü. Sonra son denklemden ilk bilinmeyenleri bulduğumuz, değerini ikinci ya da ilk denklemde değiştiririz ve ardından kalan iki değişkeni buluruz.

Cramer yöntemi

Bu yönteme hakim olmak için, ekleme, matrislerin çıkarılması, ve ayrıca belirleyicileri bulabilmesi için çok önemlidir. Bu nedenle, gerçekten hepsini ya da hiç yapmazsanız, öğrenmek ve pratik yapmak zorunda kalacaksınız.

Bu yöntemin özü nedir ve lineer correra denklemlerinin sistemini nasıl yapılır? Her şey çok basit. Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin sayısal (pratik olarak) katsayılarından bir matris oluşturmalıyız. Bunu yapmak için, bilinmeyenlerin önündeki sayıları alırız ve sisteme kaydedildikleri sırada masaya koyarız. Numaradan önce "-" işareti varsa, negatif bir katsayı yazın. Bu nedenle, eşitlik belirtilerinden sonra sayılar dahil olmayan, bilinmeyen birinci katsayının birinci matrisini muhasebeleştirdik (sadece numara sağda ve solda bulunurken, denklemin kanonik forma verilmesi doğaldır. katsayılarla bilinmeyenler). O zaman her değişken için bir tane daha matris yapmanız gerekir. Bunu yapmak için, ilk matriste değiştiririz, her sütunu eşitlik tabelasından sonra sayıların katsayılarını katsayıların sütununu açar. Böylece birkaç matris alıyoruz ve sonra belirleyicileri buluruz.

Belirleyicileri bulduktan sonra, küçük. İlk matrisimiz var ve farklı değişkenlere karşılık gelen birkaç matris elde ettik. Sistem çözümleri almak için, ilk tablonun belirleyicisine alınan tablonun belirleyicisini böldük. Elde edilen sayı değişkenlerden biridir. Benzer şekilde, tüm bilinmeyenleri buluruz.

Diğer yöntemler

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümlerini elde etmek için birkaç yöntem daha vardır. Örneğin, sistemin çözümlerini bulmak için kullanılan Gaussa Jordan yöntemi olarak adlandırılır. kare denklemler Ve ayrıca matrislerin kullanımı ile de ilişkilidir. Ayrıca bir lineer cebirsel denklem sistemini çözmek için bir Jacobi yöntemi vardır. Bilgisayar için uyarlanmış olan ve bilgisayarda kullanılması daha kolaydır.

Karmaşık durumlar

Karmaşıklık genellikle denklem sayısı değişken sayısından daha az ise ortaya çıkar. O zaman kesinlikle sistemin anlaşılmaz olduğunu (yani kökleri yoktur) veya çözümlerinin miktarı sonsuzluğa meyilli olduğunu söyleyebilirsiniz. İkinci bir vaktimiz varsa - o zaman doğrusal denklem sisteminin genel çözümünü yazmanız gerekir. En az bir değişken içerecektir.

Sonuç

Bu yüzden bir sonuna geldik. Özetle iletişime geçin: Hangi sistemin ve matrisin, bir lineer denklem sisteminin genel bir çözümünü bulmayı öğrendik. Ayrıca, diğer seçenekleri gözden geçirildi. Lineer denklem sisteminin nasıl çözüldüğü tespit edildi: Gauss Yöntemi ve karmaşık durumlar hakkında konuştu ve çözüm bulmanın diğer yolları hakkında konuştu.

Aslında, bu konu çok daha kapsamlıdır ve içinde daha iyi bir şekilde bulmak istiyorsanız, daha özel literatür okumanızı tavsiye ederiz.

Doğrusal denklem sistemleri. Ders 6.

Doğrusal denklem sistemleri.

Temel konseptler.

Sistem türleri

aranan sistem - bilinmeyenlerle doğrusal denklemler.

Sayılar, denilen sistem katsayıları.

Sayılar denir sistemin ücretsiz üyeleri, – sistem değişkenleri. Matris

aranan sistemin ana matrisive matris

– genişletilmiş Sistem Matrisi. Matrisler - Sütunlar

Ve buna göre Ücretsiz Üyeler ve Bilinmeyen Sistemlerin Matrisleri. Daha sonra matris formunda, denklem sistemi formda yazılabilir. Sistem Çözümü Değişkenlerin değerleri, tüm sistem denklemlerinin sadık sayısal eşitliğe yönlendirilmesi durumunda denir. Herhangi bir çözüm çözümü, bir matris - sütun olarak gösterilebilir. Sonra matris eşitliği doğrudur.

Denklem sistemi denir bağlantı En az bir çözeltiye sahipse ve durmaksızın Çözüm yoksa.

Doğrusal denklem sistemini çözmek için, ortak olup olmadığını ve genel çözümünü bulmak için uyumluluk durumunda olduğunu bulmak demektir.

Sistem denir Üniforma Tüm özgür üyeleri sıfıra eşitse. Homojen sistem her zaman bir çözümü olduğu için birlikte geliştirilir.

Koncheker'ın teoremi - Kopelly.

Doğrusal sistemlerin çözümlerinin varlığı ve benzersizliğinin varlığı sorusunun cevabı, aşağıdaki sonucu elde etmeyi mümkün kılar, bu da bilinmeyen ile doğrusal denklemler sistemine göre aşağıdaki ifadeler şeklinde formüle edilebilir.

(1)

Teorem 2.. Doğrusal denklemlerin (1) sistemi, daha sonra ve yalnızca ana matrisin rütbesi genişletilmiş rütbeye eşit olduğunda koordine edilir (.

Teorem 3.. Doğrusal denklemlerin ortak sisteminin ana matrisinin sırası bilinmeyen sayısına eşitse, sistemin tek bir çözeltisine sahiptir.

Theorem 4.. Eklem sisteminin temel matrisinin sırası bilinmeyen sayısından daha azsa, sistemin sonsuz set çözümleri vardır.

Çözme sistemleri için kurallar.

3. Ana değişkenlerin ekspresyonunu ücretsiz olarak bulun ve sistemin genel çözümünü alın.

4. Serbest değişkenler uygulamak, keyfi değerler ana değişkenlerin tüm değerlerini alır.

Doğrusal denklem sistemlerini çözme yöntemleri.

Ters matris yöntemi.

dahası, yani sistem tek bir çözüme sahiptir. Sistemi matris formuna yazıyoruz

nerede , , .

Matris denkleminin her iki bölümünü matrisin sol tarafında çarpın

O zamandan beri, bilinmeyenleri bulmak için eşitlik aldığımız yerden alıyoruz.

Örnek 27.Ters matris yöntemi bir doğrusal denklem sistemini çözer

Karar. Sistemin ana matrisi tarafından belirtir

, Ardından formül tarafından bir çözüm bulacaksınız.

Hesaplamak.

O zamandan beri, sistem tek bir çözüme sahiptir. Tüm cebirsel eklemeleri bulun

, ,

Böylece

Hadi kontrol edelim

Ters matris doğru bulundu. Dolayısıyla formül, değişken matrisini buluruz.

Matrisleri karşılaştırın, cevabı alın :.

Cramer yöntemi.

Bilinmeyenlerle doğrusal denklem sisteminin

dahası, yani sistem tek bir çözüme sahiptir. Sistemin çözümünü bir matris formunda yazarız veya

İfade etmek

. . . . . . . . . . . . . . ,

Böylece, bilinmeyenlerin değerlerini bulmak için formüller elde ediyoruz. cramer formülleri.

Örnek 28.Cihazı aşağıdaki lineer denklem sistemiyle çözün .

Karar. Sistemin ana matrisinin belirleyicisini buluruz

O zamandan beri sistem tek bir çözüme sahiptir.

Kraterin formülleri için kalan belirleyicileri bulacağız.

Paletli formüller tarafından değişken değerler buluyoruz

Gauss Yöntemi.

Yöntem, değişkenlerin ardışık hariç tutulmasını sağlamaktır.

Bilinmeyenlerle bir lineer denklem sisteminin verilmesine izin verin.

Gauss yöntemini çözme süreci iki aşamadan oluşur:

İlk aşamada, genişletilmiş sistem matrisi, basamaklı bir forma temel dönüşümler kullanılarak verilir.

sisteme karşılık gelen yerlerde

Bundan sonra değişkenler Serbest olarak kabul edilirler ve her denklemde sağ tarafa aktarılır.

İkinci aşamada, son denklemden bir değişken, elde edilen değer denklemin içine ikame edilir. Bu denklemden

değişken ifade edilir. Bu işlem ilk denklemi devam ediyor. Sonuç olarak, ana değişkenlerin ekspresyonunu serbest değişkenler aracılığıyla ortaya çıkar. .

Örnek 29. Gauss yöntemi bir sonraki sistem çözün

Karar. Genişletilmiş sistem matrisini iade ediyoruz ve adıma veriyoruz

Gibi Daha bilinmeyen sayılar, daha sonra sistem ortaktır ve sonsuz set çözümleri vardır. Sistemi kademeli bir matris için yazın

Bu sistemin genişletilmiş matrisinin belirleyicisi, üç ilk sütundan oluşan, sıfıra eşit değildir, bu yüzden bunu temel olarak görüyoruz. Değişkenler

Temel ve değişken olacaktır - ücretsiz. Tüm denklemlerde sola aktarıyoruz

Son denklem ekspresinden

Bu değeri son derece ikinci denklemde değiştirmek, biz

dan . Değişkenlerin değerlerini ve ilk denklemin değiştirilmesi, buluruz . Cevap Yazma Aşağıdaki formda

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin çözümü, doğrusal bir cebirin ana görevlerinden biridir. Bu görev bilimsel ve teknik problemleri çözmede önemli bir değere sahiptir, ek olarak, matematiğin, matematiksel fiziği, deneysel çalışmaların sonuçlarını işleme için birçok algoritmanın uygulanmasında yardımcıdır.

Lineer cebirsel denklemler sistemiformun denklem sistemini arayın: (1)

nerede – bilinmeyen; - Ücretsiz üyeler.

Denklem sistemini çözerek (1) Sisteme (1) bilinmeyen yerine, sisteme (1) iletilen sayıları arayın. ayrıca sistemin tüm denklemlerini doğru sayısal eşitliğe çizer.

Denklem sistemi denir bağlantıEn az bir çözeltiye sahipse ve durmaksızınÇözüm değilse.

Denklem çağrısının ortak sistemi tanımlanmışBir tek çözeltisi varsa ve belirsizEn az iki farklı çözümü varsa.

İki denklem çağrısı eşdeğerveya eşdeğerAynı çözümler kümeleri varsa.

Sistem (1) denilen ÜniformaÜcretsiz üyeler sıfır ise:

Homojen sistem her zaman eklemdir - bir çözümü vardır (belki sadece tek değil).

Eğer sistemdeyse (1), o zaman bir sistemimiz var n. Lineer Denklemler S. n. Bilinmiyor: nerede – bilinmeyen; - Bilinmeyenteki katsayılar - Ücretsiz üyeler.

Doğrusal sistem Tek bir karar, sonsuz bir şekilde birçok çözüm olabilir veya tek bir çözüme sahip olabilir.

İki bilinmeyen iki doğrusal denklem sistemi düşünün

Sistem tek bir çözeltiye sahipse;

sistemin çözümleri yoksa;

eğer o zaman sistem sonsuz set çözümleri vardır.

Misal. Sistem, birkaç sayıda tek bir çözüme sahiptir.

Sistem sonsuz set çözümleri var. Örneğin, bu sistemin çözümleri sayıların çiftleri, vb.

Sistemin hiçbir çözümü yok, çünkü iki sayının farkı iki farklı değer alamıyor.

Tanım. İkinci Siparişin Belirlenmesiformun bir ifadesini çağırın:

D. sembolü ile belirleyici tarafından belirtir

Sayılar fakat 11, …, fakat 22, belirleyicinin unsurları denir.

Elemanların oluşturduğu diyagonal fakat 11 ; fakat 22 arama ana Elemanların oluşturduğu diyagonal fakat 12 ; fakat 21 − Öz.

Böylece, ikinci sıranın belirleyicisi, ana ve yan diyagonların elemanlarının ürünlerinin farkına eşittir.

Cevabın sayı olduğunu unutmayın.

Misal.Belirleyicileri hesaplıyoruz:

İki bilinmeyen iki doğrusal denklem sistemini düşünün: h. 1, h. 2 – bilinmeyen; fakat 11 , …, fakat 22 - Bilinmeyen katsayılar, b. 1 , B. 2 - ücretsiz üyeler.

İki bilinmeyen iki denklemin sistemi tek bir çözüme sahipse, ikinci dereceden belirleyiciler kullanılarak bulunabilir.

Tanım. Bilinmeyenlerdeki katsayılardan oluşan belirleyici denir sistem belirleyicisi:D \u003d.

Determinant D'nin sütunlarında, katsayılar uygundur. h. 1 ve olarak , H. 2. İki tane tanıtıyoruz ek belirleyici,sütunlardan birini serbest eleman kolonuyla değiştirerek sistemin belirleyicisinden elde edilir: D 1 \u003d D 2 \u003d.

Teorem 14. (Cramer, n \u003d 2 için).Determinant D sistemi sıfırdan (D¹0) farklı ise, sistem formülleri tarafından bulunan tek bir çözeltiye sahiptir:

Bu formüller denir cramer formülleri.

Misal.Sistemin Cramer Kurallığına Göre Çözülmesi:

Karar.Sayıları bulmak

Cevap.

Tanım. Üçüncü dereceden belirleyiciformun bir ifadesini çağırın:

Elementler fakat 11; fakat 22 ; fakat 33 - Ana köşegenleri oluşturun.

Sayılar fakat 13; fakat 22 ; fakat 31 - Bir yan diyagonal oluşturun.

Plus ile ilgili kayıt şunları içerir: Elemanların ana çapraz köşegen üzerindeki çalışmaları, kalan iki terim, üçgenlerin köşesinde ana çaprazlığa paralel olarak, üçgenlerin köşesinde bulunan elemanların ürünüdür. Aynı şema için eksi formlu bileşenler, yan diyagonal ile aynı şekilde.

Misal.Belirleyicileri hesaplıyoruz:

Üç bilinmeyen üç doğrusal denklem sistemi düşünün: – bilinmeyen; - Bilinmeyenteki katsayılar - Ücretsiz üyeler.

Tek bir çözelti durumunda, üç bilinmeyen üçlü 3-lineer denklemlerin sistemi, 3. sıranın belirleyicileri kullanılarak çözülebilir.

Sistemin belirleyicisi D formu:

Üç ek belirleyici tanıtıyoruz:

Teorem 15. (Cramer, n \u003d 3 için).Sistemin belirleyicisi sıfırdan farklı ise, sistemin paletli formüllere göre bulunan tek bir çözüme sahiptir:

Misal. Sisteme Cramer Kurallarına göre karar veriyorum.

Karar. Sayıları bulmak

Paletli formülleri kullanıyoruz ve kaynak sisteminin çözümünü buluyoruz:

Cevap.

Denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşit olduğunda ve sistem sıfırdan belirlendiğinde, teorem teoreminin uygulanabilir olduğunu unutmayın.

Sistem belirleyicisi sıfırsa, bu durumda sistemin çözümleri olmaz veya sayısız çözümlere sahip olabilir. Bu davalar incelenmiştir.

Sadece bir dava notu. Sistem belirleyicisi sıfırsa (D \u003d 0) ve ek belirleyicilerden en az biri sıfırdan farklıdır, daha sonra çözeltilerin sistemi yoktur, yani eksiktir.

Cramer teoremi sistem için genelleştirilebilir n. Lineer Denklemler S. n. Bilinmiyor: nerede – bilinmeyen; - Bilinmeyenteki katsayılar - Ücretsiz üyeler.

Bilinmeyen doğrusal denklem sisteminin belirleyicisi ise, sistemin tek çözümü paletli formüllerine göre bulunur:

İlave belirleyici, bilinmeyen bir katsayılı sütun varsa, determinant D'den elde edilir. x I. Ücretsiz üyelerin sütununu değiştirin.

Determinantların D, D 1, ..., D olduğunu unutmayın. N. sipariş vermek n..

Gauss Yöntem Çözme Sistemleri Lineer Denklemler

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için en yaygın yöntemlerden biri, bilinmeyenlerin tutarlı bir şekilde dışlanması yöntemidir. -Method Gaussa. Bu method İkame yönteminin bir genelleştirilmesidir ve bilinmeyenlerin bilinmeyen bir denklemi olana kadar bilinmeyenlerin ardışık hariç tutulmasından oluşur.

Yöntem, sistemin elde edildiği, kaynak sisteme eşdeğer olan, sistemin elde edildiği, doğrusal denklem sisteminin bazı dönüşümlerine dayanmaktadır. Yöntemin algoritması iki aşamadan oluşur.

İlk aşama denir direkt vuruş Gauss Yöntemi. Bilinmeyenlerin denklemlerden sıralı hariç tutulmasından oluşur. Bunun için, ilk adımda, sistemin ilk denklemi (aksi takdirde sistem denklemleri permütasyondur). Katsayının hâkimine sahip, elde edilen denklemin katsayılarını belirtir ve böylece, ancak ikinci denklemden (katsayıyı sıfırlayan) sistemin ikinci denkleminden çıkarılır.

Benzer şekilde, denklemlerin geri kalanıyla gelirler ve yeni bir sistem alırlar, ikinci katsayılardan başlayan tüm denklemlerde sadece sıfırlar bulunur. Açıkçası, elde edilen yeni sistem kaynak sisteme eşdeğer olacaktır.

Yeni katsayılar, hepsi sıfır değilse, üçüncü ve müteakip denklemlerden hariç tutulabilir. Aşağıdaki bilinmeyenler için bu işlemin devam edilmesi, sistemi triangular şeklinde yönlendirin:

İşte dönüşümlerin sayısal katsayıları ve ücretsiz üyelerin bir sonucu olarak semboller ve belirtildi.

Sistemin son denkleminden, benzersiz yolu belirlenir ve ardından sıralı ikame - bilinmeyenlerin geri kalanı.

Yorum Yap. Bazen, dönüşümlerin bir sonucu olarak, herhangi bir denklemden herhangi birinde, tüm katsayılar ve sağ kısım sıfırda muamele edilir, yani denklem 0 \u003d 0 kimliğe dönüşür. Sistemden böyle bir denklem hariç, denklem sayısını bilinmeyen sayısına göre azaltın. Böyle bir sistem tek bir çözüme sahip olamaz.

Gauss yöntemini uygulama işleminde, bazı denklemler 0 \u003d 1 formunun eşitliğine dönüşecektir (bilinmeyendeki katsayılar 0'a temyiz başvurusunda bulunur ve sağ tarafın sıfır olmayan bir değer benimsemiştir), sonra ilk sistemin hayır Çözüm, bu eşitlik bilinmeyen herhangi bir değer için yanlış olduğundan.

Üç bilinmeyen üç doğrusal denklem sistemi düşünün:

nerede – bilinmeyen; - Bilinmeyenteki katsayılar - Ücretsiz üyeler. İkame bulundu

Karar.Gauss yöntemini bu sisteme uygulamak, biz

İkinci eşitliğin, bilinmeyen herhangi bir değerle yanlış olduğu durumlarda, sistemin çözümü yoktur.

Cevap. Sistemin çözümü yok.

Daha önce kabul edilen Kramer yönteminin, yalnızca denklemlerin sayısının bilinmeyen sayısıyla çakıştığı ve sistem belirleyicisinin sıfırdan farklı olması gerektiğini çözerken daha önce kabul edilen Kramer yönteminin kullanılabileceğini unutmayın. Gauss metodu daha çok yönlüdür ve herhangi bir sayıda denklem içeren sistemler için uygundur.

Konu 2. Doğrusal cebirsel denklemlerin çözme sistemleri Doğrudan yöntemler.

Doğrusal cebirsel denklem sistemleri (kısaltılmış - eğim), formun denklemlerinin sistemleri denir.

veya, matris formunda,

A. × x. = B. , (2.2)

A. - matris Sistemi Katsayıları Boyutu n. ´ n.

x. - vektör bilinmeyen, n. bileşen

B. - Oluşan sistemin vektör sağ kısımları n. bileşen.

A. = x. = B. = (2.3)

Slava'nın çözümü böyle bir set n. değerler yerine ikame edilen sayılar x. 1 , x. 2 , … , x N. sistem (2.1), sol parçaların tüm denklemlerde eşitliğini sağlar.

Matrislerin değerlerine bağlı olarak her eğim A. ve B. olabilir

Bir çözüm

Sonsuz bir çok çözüm

Tek bir çözüm değil.

Bu derste sadece tek çözümü olan bu slough'u düşüneceğiz. Gerekli I. yeterli durum Bu, matrisin eşitsizliği sıfır belirleyicisidir. A. .

Doğrusal cebirsel denklem sistemleri üzerinde çözümler aramak için, çözümlerini değiştirmeyen bazı dönüşümler gerçekleştirilebilir. Eşdeğer dönüşümler Doğrusal denklemler, çözümlerini değiştirmeyen bu tür dönüşümler denir. Bunlar şunlardır:

Herhangi bir sistem denkleminin yerlerinin yerlerine göre yeniden düzenleme (aşağıda düşünülen bazı durumlarda, bu kesintiyi kullanmanın imkansız olduğu için OTTI yapmalısınız);

Herhangi bir sistem denkleminin sıfıra eşit olmayan bir sayıya çarpma (veya bölme);

Bir başka denklem sisteminin bir denklemine ek olarak, sıfır numaraya eşit olmayan bazılarına çarpılır (veya ayrılır).

Slava çözme yöntemleri, denilen iki büyük gruba ayrılır - doğrudan Yöntemler ve yinelemeli Yöntemler. Ayrıca, eğimi birkaç değişkenin ekstremum fonksiyonunu araştırmak için eğimin çözülmesi probleminin, ardından ekstremum arama yöntemlerinin çözümü (uygun konuyu geçerken daha ayrıntılı olarak) bir yöntem de vardır. Doğrudan yöntemler, bir adımda doğru bir sistem çözümü (varsa) sağlar. Yinelemeli yöntemler (yakınsamaları sağlanırsa), Slava'nın istenen çözeltisine ilk yaklaşımı art arda iyileştirmenize izin verir ve genel olarak konuşursak, kesin karar asla verilmeyecektir. Bununla birlikte, hesaplamaların orta aşamalarında yuvarlanma kaçınılmaz hataları nedeniyle doğrudan çözme yöntemlerinin de kusursuz bir şekilde doğru çözümler sunması, yinelemeli yöntemler de yaklaşık aynı sonuç sağlayabilir.

Direkt yöntemler Slava Çözme. Slava çözme en sık kullanılan doğrudan yöntemleri şunlardır:

Cramer yöntemi,

Gauss Yöntemi (ve Değişikliği - Gaussa-Jordan Yöntemi)

Matris yöntemi (matris dolaşımını kullanarak A. ).

Cramer yöntemi ana matrisin belirleyicisinin hesaplanmasına dayanarak A. ve matrislerin belirleyicileri A. 1 , A. 2 , …, Bir N. , matristen elde edilen A. içinde değiştirme ( bEN.-HO) sütunu ( bEN.= 1, 2,…, n.) Vektör öğeleri içeren bir sütun üzerinde B. . Bundan sonra, çözelti, bu belirleyicilerin değerlerini bölerek kısmi olarak tanımlanır. Daha tam olarak, hesaplanan formüllerin böyle bir tür var

(2.4)

Örnek 1.. Cramer yöntemini, slava'nın kararını bulun;

A. = , B. = .

Sahip olmak

1. = , 2. = , A 3. = , A 4. = .

Beş matrisin tüm belirleyicilerin değerlerini hesaplıyoruz (moçred ortamın işlevini kullanarak) Excel). Teslim almak

Matrisin belirleyicisi olduğundan A. Sıfıra eşit değil - sistem tek bir çözüme sahiptir. Sonra formülüne (2.4) göre tanımlarız. Teslim almak

Gauss Yöntemi. Çözüm Slava Bu yöntem, genişletilmiş bir sistem matrisinin derlenmesini içerir. A. * . Genişletilmiş sistem matrisi, bir matris boyutu n. Satırlar I. n.+1 Orijinal matris içeren sütunlar A. c vektör içeren sağ kolonuna bağlı B. .

A * = (2.4)

Buraya a + 1 \u003d b i (ben \u003d. 1, 2, …, n. ).

Gauss yönteminin özü (arasından) eşdeğer dönüşümler) Üçgen bir formda genişletilmiş bir sistem matrisi (böylece sadece sıfır elemanların ana çaprazının altına yerleştirilmiş).

A. * =

Ardından, son satırdan başlayarak ve yukarı hareket edin, tüm çözüm bileşeninin değerlerini arttırabilirsiniz.

Genişletilmiş bir sistem matrisinin gerekli türe dönüşümünün başlangıcı, katsayıların değerlerini ne zaman görmektir. x. 1 ve mutlak bir değerin maksimum değerine sahip olduğu bir dize seçilmesi (bu, sonraki hesaplamalar sırasında hesaplama hatasının değerini azaltmak için gereklidir). Genişletilmiş bir matrisin bu dizi, satırının ilk satırındaki yerlerde (veya daha iyi olan, ilk dizgeyle) ve sonuç ilk satıra yerleştirilir) yerleştirilmelidir. Bundan sonra, bu yeni ilk satırın tüm unsurları (son sütununda) bu katsayıya ayrılmalıdır. Bundan sonra, yeni elde edilen katsayı a. 11 birine eşit olacak. Matrisin kalan satırlarının her birinden daha fazla, ilk dizisini katsayının değeri ile çarpılan ilk dizisini çıkarmak gerekir. x. 1 bu satırda (yani büyüklükle. bir I. 1 nerede bEN. =2, 3, … n. ). Bundan sonra, tüm satırlarda, ikinci katsayılardan başlayarak x. 1 (yani tüm katsayılar bir I. 1 (bEN. =2, …, n. ) Sıfır olacak. Sadece eşdeğer dönüşümler yaptığımızdan bu yana - yeni elde edilen slava çözeltisi kaynak sistemden farklı olmayacak.

Ayrıca, matrisin ilk dizesini bırakarak, yukarıda açıklanan tüm eylemleri matris satırlarının geri kalanıyla yapacağız ve bunun sonucunda yeni elde edilen katsayı a. 22 birine ve tüm katsayılara eşit olacaktır bir I. 2 (bEN. =3, 4, …, n. ) sıfıra eşit olacaktır. Benzer eylemlere devam eden, sonuçta matrisimizi tüm katsayıların formuna veriyoruz. bir ii. = 1 (bEN. =1, 2, …, n.) ve tüm katsayılar bir ij. = 0 (bEN. =2, 3, …, n., j.< bEN.). Eğer bir adımda, katsayının mutlak değerinde en büyüğünü ararken x J. katsayının sıfır olmayan bir şeyi bulamayacağız - orijinal sistemin tek bir çözüme sahip olmadığı anlamına gelecektir. Bu durumda, karar süreci durdurulmalıdır.

Eşdeğer dönüşüm işlemi başarıyla sona ererse, ortaya çıkan "üçgen" genişletilmiş matris, böyle bir lineer denklem sistemine karşılık gelecektir:

Bu sistemin son denkleminden bir değer bulacağız x N. . Sonra, bu değeri, son denklemde yerine koymak, değeri bulacağız x N. -1 . Bundan sonra, bu bulduğu değerlerin her ikisini de sistem denkleminin altındaki üçüncü olarak yerine koymak, değeri bulacağız. x N. -2 . Böylece devam etmek ve bu sistemin alttan denklemi boyunca hareket ettirerek, diğer köklerin değerlerini sürekli olarak buluruz. Ve nihayet, bulunan değerleri yerine koymak x N. , x N. -1 , x N. -2 , x. 3 ve x. 2 İlk sistem denkleminde değeri buluruz x 1. Bulunan üçgen matriste roor değerleri bulmak için böyle bir prosedür tersine çevirmek. İlk uzatılmış matrisini eşdeğer dönüşümlerle üçgen görünüme getirme işlemi direkt vuruş Gauss Yöntemi ..

Gauss yöntemine yeterince ayrıntılı bir çözüm algoritması, Şekil 2'de gösterilmiştir. .2.1 ve Şek. 2.1a.

Örnek 2.. Gauss Yöntemini Bulun Solüsyonun, Craver yöntemini zaten çözdüğümüz yamaçla çözün. İlk önce genişletilmiş matrisini hazırlayın. Teslim almak

A. * = .

İlk olarak, bu matrisin birinci ve üçüncü satırlarını yeniden düzenleyin (ilk sütunundaki ilk sütundaki eleman olduğu için) ve ardından bu yeni ilk dizinin tüm öğelerini 3'e böldük.

A. * = .

A. * =

Bu matrisin ikinci ve üçüncü satırlarını daha da yeniden düzenledikten sonra, yeniden düzenlenmiş matrisin ikinci dizesini 2.3333'te ve yukarıda tarif edilene benzer şekilde, katsayıları matrisin üçüncü ve dördüncü satırlarının ikinci sütunundaki katsayıları sıfırladık. Teslim almak

A. * = .

Matrisin üçüncü ve dördüncü sıralarının üzerinde bu tür eylemleri yaptıktan sonra,

A. * = .

Şimdi dördüncü çizgiyi -5.3076'da bölerek, genişletilmiş bir sistem matrisinin davranışını çapraz bir forma tamamlayacağız. Teslim almak

İncir. 2.1. Gauss tarafından doğrusal cebirsel denklemlerin çözme sistemleri için algoritma

İncir. 2.1a. Macriblock"Çözüm değerlerinin hesaplanması."

A. * = .

Son satırdan hemen beraber x. 4 = 0.7536. Şimdi yükselen matrisin satırlarını yükseltir ve hesaplamaları gerçekleştirir, biz sırayla x. 3 = 0.7971, x. 2 =- 0.1015 ve x. 1 = 0.3333. Bu yöntemle elde edilen çözeltinin, Cramer yöntemiyle elde edilen çözelti ile karşılaştırılması, tesadüflerini doğrulamak zor değildir.

Gaussa-Jordan Yöntemi. Bu çözüm yöntemi büyük ölçüde Gauss yöntemine benzer. Asıl fark, eşdeğer dönüşümlerin, denklem sisteminin genişletilmiş bir matrisinin, üçgen bir formda, ancak ana çapraz bir formda, birim ve dışındaki ana bir forma verilmemesidir (sonuncusu hariç) n. +1 Sütun) - sıfır. Böyle bir dönüşümün bitiminden sonra, uzatılmış matrisin son sütununun, ilk eğimin çözeltisini içerecektir (T, E. x I. = a. BEN. N. +1 (bEN. = 1, 2, … , n. ) sonuçta ortaya çıkan matriste). Çözüm bileşeninin değerlerinin nihai hesaplamaları için ters hareket (Gauss yönteminde olduğu gibi) gerekli değildir.

Matrisin çapraz bir noktaya kesmek esas olarak, Gauss yönteminde olduğu gibi gerçekleştirilir. Eğer doğrultusunda bEN. Katsayı x I. (bEN. = 1, 2, … , n. ) Mutlak değerde küçük, o zaman arama arandı j. hangi katsayının ne zaman x I. bunun mutlak değerinde en büyük olacaktır ( j. -İ) Bir dize dönüşümlü olarak eklenir. bEN. - atmak. Sonra tüm ürünler bEN. - sıralar, öğe değerine ayrılır x I. Ancak, Gauss yönteminin aksine, bundan sonra, her satırdan sayıya çıkarılır. j. sayı ile satırlar bEN. çarpılır bir ji. , ama durum j. > bEN. gaussa-Jordan'ın Yöntemi Memurları ile değiştirildi, her satırdan sayıya düştü j. , dahası j. # bEN. , sayı ile satırlar bEN. çarpılır bir ji. . Şunlar. Katsayılar, ana çaprazlığın hem aşağıda hem de üstünde sıfırlanıyor.

Gauss-Jordan'ın Slava Metodunu çözme yeterince ayrıntılı bir algoritması, Şekil 2'de gösterilmiştir. 2.2.

Örnek 3.. Gauss-Jordan'ın çözümünü zaten çözdüğümüz Slava ve Gauss yöntemlerini çözdüğümüz Slava'yı bulmak için.

Gauss yöntemine benzer şekilde genişletilmiş bir sistem matrisi olacaktır. Ardından, bu matrisin birinci ve üçüncü satırlarını yeniden düzenleyin (çünkü ilk sütunu ilk sütunundaki en büyük eleman olduğundan), ardından bu yeni ilk satırın tüm öğelerini 3'e böleriz. Sonra her satırdan çıkarma işlemini gerçekleştiriyoruz. Matris (ilk) ilk satırların elemanları, bu çizginin ilk sütununda katsayılı olarak çarpılır. Gauss yöntemiyle aynı anlarız

A. * = .

Bu matrisin ikinci ve üçüncü satırlarını yerlerde daha fazla yeniden düzenleme, yeniden düzenlenmiş matrisin ikinci dizesini 2.3333 ve ( zaten Gauss yöntemi aksine) Katsayıları, matrisin birinci, üçüncü ve dördüncü satırlarının ikinci sütununda sıfırlarım. Teslim almak