Bir polinomun çarpanlarına ayrılmasında çeşitli yöntemlerin uygulanması. Çarpanlara ayırma polinomları Kısaltılmış çarpma formülleri

Cebirde "polinom" ve "polinomun çarpanlara ayrılması" kavramlarına çok sık rastlanır çünkü çok basamaklı büyük sayılarla hesaplamaları kolayca yapabilmek için bunları bilmeniz gerekir. Bu makale birkaç ayrıştırma yöntemini açıklayacaktır. Hepsinin kullanımı oldukça basittir; yalnızca her özel durum için doğru olanı seçmeniz gerekir.

Polinom kavramı

Bir polinom, tek terimlilerin, yani yalnızca çarpma işlemini içeren ifadelerin toplamıdır.

Örneğin, 2 * x * y bir monomdur, ancak 2 * x * y + 25, 2 monomdan oluşan bir polinomdur: 2 * x * y ve 25. Bu tür polinomlara binom denir.

Bazen, çok değerli değerlere sahip örnekleri çözmenin kolaylığı için, bir ifadenin dönüştürülmesi, örneğin belirli sayıda faktöre, yani aralarında çarpma işleminin gerçekleştirildiği sayılara veya ifadelere ayrıştırılması gerekir. Bir polinomu çarpanlarına ayırmanın birkaç yolu vardır. İlkokulda kullanılan en ilkel olandan başlayarak bunları dikkate almaya değer.

Gruplandırma (genel biçimde kayıt)

Gruplandırma yöntemini kullanarak bir polinomu çarpanlarına ayırma formülü Genel görünüm buna benzer:

ac + bd + bc + reklam = (ac + bc) + (reklam + bd)

Tek terimlileri, her grubun ortak bir çarpanı olacak şekilde gruplandırmak gerekir. İlk parantez içinde bu c faktörüdür ve ikincisinde - d. Bu, daha sonra onu braketten çıkarmak ve böylece hesaplamaları basitleştirmek için yapılmalıdır.

Belirli bir örnek kullanarak ayrıştırma algoritması

Gruplandırma yöntemini kullanarak bir polinomu çarpanlarına ayırmanın en basit örneği aşağıda verilmiştir:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

İlk parantez içinde ortak olacak a faktörü ve ikincisinde b faktörü ile terimleri almanız gerekir. Bitmiş ifadedeki + ve - işaretlerine dikkat edin. Tek terimlinin önüne ilk ifadedeki işareti koyduk. Yani 25a ifadesiyle değil -25 ifadesiyle çalışmanız gerekiyor. Eksi işareti, arkasındaki ifadeye "yapıştırılmış" gibi görünüyor ve hesaplama sırasında her zaman dikkate alınıyor.

Bir sonraki adımda ortak olan çarpanı parantezlerin dışına çıkarmanız gerekiyor. Gruplandırmanın amacı da tam olarak budur. Parantez dışına koymak, parantez içindeki tüm terimlerde tam olarak tekrarlanan tüm faktörleri parantezden önce (çarpma işaretini atlayarak) yazmak anlamına gelir. Bir parantez içinde 2 değil 3 veya daha fazla terim varsa, bunların her birinde ortak çarpan bulunmalıdır, aksi halde parantez dışına çıkarılamaz.

Bizim durumumuzda parantez içinde sadece 2 terim var. Genel çarpan hemen görülebilir. İlk parantezde a, ikincide b. Burada dijital katsayılara dikkat etmeniz gerekiyor. Birinci parantezdeki her iki katsayı da (10 ve 25) 5'in katıdır. Bu sadece a'nın değil, 5a'nın da parantezden çıkarılabileceği anlamına gelir. Parantezden önce 5a yazın ve ardından parantez içindeki terimlerin her birini çıkarılan ortak faktöre bölün ve + ve - işaretlerini unutmadan bölümü parantez içine yazın. Aynısını ikinci parantez için yapın, alın 7b'nin yanı sıra 14 ve 35'in 7'nin katı.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

2 terimimiz var: 5a(2c - 5) ve 7b(2c - 5). Her biri ortak bir faktör içerir (parantez içindeki ifadenin tamamı burada aynıdır, yani ortak bir faktördür): 2c - 5. Onun da parantezden çıkarılması gerekir, yani 5a ve 7b terimleri kalır ikinci parantez içinde:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Yani tam ifade şu şekildedir:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Böylece, 10ac + 14bc - 25a - 35b polinomu 2 faktöre ayrıştırılır: (2c - 5) ve (5a + 7b). Yazarken aralarındaki çarpım işareti atlanabilir

Bazen bu türden ifadeler vardır: 5a 2 + 50a 3, burada yalnızca a veya 5a'yı değil, 5a 2'yi bile parantezlerin dışına çıkarabilirsiniz. Her zaman en büyük ortak çarpanı parantez dışında tutmaya çalışmalısınız. Bizim durumumuzda, her terimi ortak bir faktöre bölersek şunu elde ederiz:

5a2 / 5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(eşit tabanlara sahip birden fazla kuvvetin bölümü hesaplanırken taban korunur ve üs çıkarılır). Böylece birim parantez içinde kalır (parantez içindeki terimlerden birini çıkarırsanız hiçbir durumda yazmayı unutmazsınız) ve bölme bölümü: 10a. Şekline dönüştü:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Kare formüller

Hesaplama kolaylığı için çeşitli formüller türetilmiştir. Bunlara kısaltılmış çarpma formülleri denir ve oldukça sık kullanılır. Bu formüller, kuvvet içeren polinomların çarpanlarına ayrılmasına yardımcı olur. Bu başka bir tane etkili yolçarpanlara ayırma. İşte buradalar:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -“toplamın karesi” adı verilen bir formül, çünkü kareye ayrıştırma sonucunda parantez içindeki sayıların toplamı alınır, yani bu toplamın değeri kendisiyle 2 kez çarpılır ve bu nedenle a çarpan.
a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - Farkın karesi formülü öncekine benzer. Sonuç, parantez içine alınmış ve karenin kuvvetinin içerdiği farktır.
a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- bu, kareler farkı için bir formüldür, çünkü başlangıçta polinom, aralarında çıkarma işleminin yapıldığı 2 kare sayı veya ifadeden oluşur. Belki de bahsedilen üçünden en sık kullanılanıdır.

Kare formülleri kullanan hesaplama örnekleri

Onlar için hesaplamalar oldukça basittir. Örneğin:

25x2 + 20xy + 4y 2 - “toplamın karesi” formülünü kullanın.
25x2, 5x'in karesidir. 20xy, 2*(5x*2y)'nin çift çarpımıdır ve 4y 2, 2y'nin karesidir.
Böylece, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Bu polinom 2 faktöre ayrıştırılır (faktörler aynıdır, dolayısıyla karenin kuvveti olan bir ifade olarak yazılır).

Kareler fark formülü kullanılarak yapılan işlemler de bunlara benzer şekilde gerçekleştirilir. Geriye kalan formül kareler farkıdır. Bu formülün örneklerini diğer ifadeler arasında tanımlamak ve bulmak çok kolaydır. Örneğin:

25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). 25a 2 = (5a) 2 ve 400 = 20 2 olduğundan
36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 = (6x) 2 ve 25y 2 = (5y 2) olduğundan
c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). 169b 2 = (13b) 2 olduğundan

Terimlerin her birinin bir ifadenin karesi olması önemlidir. Daha sonra bu polinomun kareler farkı formülü kullanılarak çarpanlara ayrılması gerekir. Bunun için ikinci derecenin sayının üzerinde olması şart değildir. Büyük dereceler içeren ancak yine de bu formüllere uyan polinomlar vardır.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

İÇİNDE bu örnekte ve 8 (a 4) 2 olarak, yani belirli bir ifadenin karesi olarak temsil edilebilir. 25, 5 2 ve 10a, 4'tür - bu 2 * a 4 * 5 terimlerinin çift çarpımıdır. Yani bu ifade, büyük üslü derecelerin varlığına rağmen, daha sonra onlarla çalışmak için 2 faktöre ayrıştırılabilir.

Küp formülleri

Küp içeren polinomları çarpanlarına ayırmak için aynı formüller mevcuttur. Kareli olanlardan biraz daha karmaşıktırlar:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- bu formüle küplerin toplamı denir, çünkü başlangıç formu Bir polinom, iki ifadenin veya sayının küpünün toplamıdır.
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) -öncekinin aynısı olan bir formül küplerin farkı olarak tanımlanır.
bir 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - bir toplamın küpü, hesaplamalar sonucunda sayıların veya ifadelerin toplamı parantez içine alınır ve kendisiyle 3 kez çarpılır, yani bir küpün içine yerleştirilir
a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - Bir öncekine benzetilerek derlenen ve matematiksel işlemlerin yalnızca bazı işaretlerini (artı ve eksi) değiştiren formüle “fark küpü” denir.

Son iki formül, karmaşık oldukları için bir polinomu çarpanlara ayırmak amacıyla pratikte kullanılmaz ve bu formüller kullanılarak çarpanlara ayrılabilmeleri için tam olarak bu yapıya tam olarak karşılık gelen polinomları bulmak yeterince nadirdir. Ancak yine de bunları bilmeniz gerekir, çünkü ters yönde çalışırken - parantezleri açarken gerekli olacaklardır.

Küp formüllerine örnekler

Bir örneğe bakalım: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Burada oldukça basit sayılar alınmıştır, böylece 64a 3'ün (4a) 3 ve 8b 3'ün (2b) 3 olduğunu hemen görebilirsiniz. Böylece bu polinom küp farkı formülüne göre 2 faktöre genişletilir. Küplerin toplamı formülünü kullanan eylemler analoji yoluyla gerçekleştirilir.

Tüm polinomların en az bir şekilde genişletilemeyeceğini anlamak önemlidir. Ancak kare veya küpten daha büyük kuvvetler içeren ifadeler vardır, ancak bunlar aynı zamanda kısaltılmış çarpma biçimlerine de genişletilebilir. Örneğin: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Bu örnek 12 dereceye kadar içeriyor. Ancak küplerin toplamı formülü kullanılarak bile çarpanlara ayrılabilir. Bunu yapmak için x 12'yi (x 4) 3 olarak, yani bir ifadenin küpü olarak hayal etmeniz gerekir. Şimdi formülde a yerine onu kullanmanız gerekiyor. 125y 3 ifadesi 5y'nin küpüdür. Daha sonra formülü kullanarak ürünü oluşturmanız ve hesaplamalar yapmanız gerekir.

İlk başta veya şüphe durumunda her zaman ters çarpma ile kontrol edebilirsiniz. Ortaya çıkan ifadede parantezleri açıp benzer terimlerle işlemler yapmanız yeterli. Bu yöntem listelenen tüm indirgeme yöntemleri için geçerlidir: hem ortak bir faktörle ve gruplandırmayla çalışmak hem de küp formülleri ve ikinci dereceden kuvvetlerle çalışmak için.

Bu, bir ifadeyi basitleştirmenin en temel yollarından biridir. Bu yöntemi uygulamak için çarpmanın toplamaya göre dağılım yasasını hatırlayalım (bu kelimelerden korkmayın, bu yasayı mutlaka biliyorsunuz, sadece adını unutmuş olabilirsiniz).

Kanun diyor ki: İki sayının toplamını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, her terimi bu sayıyla çarpmanız ve ortaya çıkan sonuçları eklemeniz gerekir, yani .

Ters işlemi de yapabilirsiniz, bizi ilgilendiren de bu ters işlemdir. Örnekte görüldüğü gibi a ortak çarpanı parantezden çıkarılabilir.

Benzer bir işlem hem ve gibi değişkenlerle hem de sayılarla yapılabilir: .

Evet, bu çok basit bir örnek, tıpkı daha önce verilen örnekte olduğu gibi, bir sayının ayrıştırılmasıyla ilgili, çünkü sayıların bölünebildiğini herkes bilir, ama ya daha karmaşık bir ifade elde ederseniz:

Örneğin bir sayının neye bölünebileceğini nasıl anlarsınız? Hayır, bunu herkes hesap makinesiyle yapabilir, ama hesap makinesi olmadan bu zor olur mu? Ve bunun için bölünebilirlik işaretleri var, bu işaretler gerçekten bilinmeye değer, ortak faktörün parantezden çıkarılıp çıkarılamayacağını hızlı bir şekilde anlamanıza yardımcı olacaklar.

Bölünebilirlik işaretleri

Bunları hatırlamak o kadar da zor değil; büyük olasılıkla çoğu size zaten tanıdık geliyordu ve bazıları yeni ve yararlı bir keşif olacak, daha fazla ayrıntı tabloda:

Not: Tabloda 4'e bölünebilme testi eksiktir. Son iki rakamı 4'e bölünüyorsa sayının tamamı 4'e bölünür.

Peki tabelayı beğendin mi? Bunu hatırlamanızı tavsiye ederim!

Peki, ifadeye dönelim, belki parantezden çıkarabilir ve bu yeterli olur mu? Hayır, matematikçiler sonuna kadar basitleştirmeye eğilimlidirler. Dayanılan HER ŞEYE katlan!

Ve böylece oyunda her şey açık, peki ya ifadenin sayısal kısmı? Her iki sayı da tek olduğundan bölemezsiniz

Bölünme testini kullanabilirsiniz: Sayıyı oluşturan rakamların toplamı eşittir ve bölünebilirlik, bölünebilirlik anlamına gelir.

Bunu bilerek, güvenli bir şekilde bir sütuna bölebilirsiniz ve bölmenin bir sonucu olarak şunu elde ederiz (bölünebilirlik işaretleri faydalıdır!). Böylece sayıyı tıpkı y gibi parantezlerin dışına çıkarabiliriz ve sonuç olarak şunu elde ederiz:

Her şeyin doğru şekilde genişletildiğinden emin olmak için genişlemeyi çarparak kontrol edebilirsiniz!

Ortak faktör güç terimleriyle de ifade edilebilir. Mesela burada ortak çarpanı görüyor musunuz?

Bu ifadenin tüm üyelerinin x'leri var - onları çıkarıyoruz, hepsine bölünüyor - tekrar çıkarıyoruz, bakın ne oldu: .

2. Kısaltılmış çarpma formülleri

Kısaltılmış çarpma formüllerinden teorik olarak bahsetmiştik; ne olduklarını hatırlamakta zorluk çekiyorsanız hafızanızı tazelemelisiniz.

Kendinizi çok akıllı görüyorsanız ve böyle bir bilgi bulutunu okuyamayacak kadar tembelseniz, o zaman okumaya devam edin, formüllere bakın ve hemen örnekleri ele alın.

Bu ayrıştırmanın özü karşınızdaki ifadede belli bir formülü fark edip onu uygulamak ve böylece bir şeyin ve bir şeyin çarpımını elde etmektir, bütün ayrıştırma budur. Formüller şunlardır:

Şimdi yukarıdaki formülleri kullanarak aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırmayı deneyin:

İşte olması gerekenler:

Fark ettiğiniz gibi bu formüller çok etkili bir çarpanlara ayırma yöntemidir; her zaman uygun olmayabilir ama çok faydalı olabilir!

3. Gruplandırma veya gruplandırma yöntemi

İşte size başka bir örnek:

Peki bununla ne yapacaksın? Görünüşe göre bir şey ikiye ve içine ve bir şey de içine ve içine bölünmüş

Ama her şeyi tek bir şeye bölemezsin, yani burada ortak bir faktör yok, nasıl bakarsanız bakın, faktörlere ayırmadan neyi bu şekilde bırakmalısınız?

Burada ustalık göstermeniz gerekiyor ve bu yaratıcılığın adı gruplamadır!

Tam olarak ne zaman kullanılır ortak bölenler Tüm üyeler buna sahip değildir. Gruplandırma için ihtiyacınız olan ortak çarpanları olan terim gruplarını bulun ve her gruptan aynı faktör elde edilebilecek şekilde yeniden düzenleyin.

Elbette onları yeniden düzenlemek gerekli değildir, ancak bu açıklık sağlar; açıklık sağlamak için ifadenin tek tek bölümlerini parantez içine alabilirsiniz; bunları istediğiniz kadar koymak yasak değildir, asıl önemli olan karıştırmamaktır. işaretler.

Bütün bunlar çok açık değil mi? Bir örnekle açıklayayım:

Bir polinomda - terimi - terimden sonra koyarız - şunu elde ederiz

ilk iki terimi ayrı bir parantez içinde gruplandırırız ve ayrıca üçüncü ve dördüncü terimleri de gruplandırırız, eksi işaretini parantezden çıkarırız, şunu elde ederiz:

Şimdi ifadeyi parantezlerle böldüğümüz iki "kümenin" her birine ayrı ayrı bakıyoruz.

İşin püf noktası, onu en büyük faktörün çıkarılabileceği yığınlara ayırmak veya bu örnekte olduğu gibi, kümelerden faktörleri parantezlerin dışına çıkardıktan sonra hala aynı ifadelere sahip olacak şekilde terimleri gruplamaya çalışmaktır. parantezlerin içinde.

Her iki parantezden de terimlerin ortak çarpanlarını çıkarıyoruz, ilk parantezden ve ikinci parantezden şunu elde ediyoruz:

Ama bu ayrışma değil!

Peşek ayrışma sadece çarpma olarak kalmalıdır ama şimdilik polinomumuz basitçe iki parçaya bölündü...

ANCAK! Bu polinomun ortak bir çarpanı vardır. Bu

braketin ötesine geçerek nihai ürünü elde ederiz

Bingo! Gördüğünüz gibi burada zaten bir çarpım var ve parantezlerin dışında herhangi bir toplama veya çıkarma yok, ayrıştırma tamamlandı çünkü Artık parantezlerden çıkaracağımız bir şey yok.

Faktörleri parantezlerden çıkardıktan sonra parantez içinde aynı ifadelerle karşılaşmamız ve onları tekrar parantez dışına çıkarmamız bir mucize gibi görünebilir.

Ve bu hiç de bir mucize değil, gerçek şu ki, ders kitaplarındaki ve Birleşik Devlet Sınavındaki örnekler, görevlerdeki ifadelerin çoğunun basitleştirilmesi veya basitleştirilmesi için özel olarak yapılmıştır. çarpanlara ayırma doğru yaklaşımla kolayca basitleştirilirler ve bir düğmeye bastığınızda şemsiye gibi keskin bir şekilde çökerler, bu yüzden her ifadede o düğmeyi arayın.

Dikkatim dağıldı, sadeleştirmeyle ne yapıyoruz? Karmaşık polinom daha basit bir biçim aldı: .

Katılıyorum, eskisi kadar hantal değil mi?

4. Tam bir karenin seçilmesi.

Bazen kısaltılmış çarpma formüllerini uygulamak için (konuyu tekrarlamak), mevcut bir polinomu dönüştürmek, terimlerinden birini iki terimin toplamı veya farkı olarak sunmak gerekir.

Hangi durumda bunu yapmanız gerekir, örnekten öğreneceksiniz:

Bu formdaki bir polinom kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak genişletilemez, dolayısıyla dönüştürülmesi gerekir. Belki ilk başta hangi terimin hangisine bölünmesi gerektiği sizin için açık olmayacaktır, ancak zamanla kısaltılmış çarpma formüllerini tam olarak mevcut olmasalar bile hemen görmeyi öğreneceksiniz ve burada neyin eksik olduğunu hızlı bir şekilde belirleyeceksiniz. önce tam formül bu arada ders çalışıyor, öğrenci, daha doğrusu okul çocuğu.

Kare farkının tam formülü için burada bunun yerine ihtiyacınız var. Üçüncü terimi bir fark olarak hayal edersek şunu elde ederiz: Parantez içindeki ifadeye farkın karesi formülünü uygulayabilirsiniz. (kareler farkıyla karıştırılmamalıdır!!!), elimizde: , bu ifadeye kareler farkı formülünü uygulayabiliriz (kare farkıyla karıştırılmamalıdır!!!), nasıl elde ettiğimizi hayal ederek: .

Çarpanlarına ayrılmış bir ifade her zaman genişletme öncesinde olduğundan daha basit ve daha küçük görünmez, ancak bu biçimde daha esnek hale gelir, yani işaretleri değiştirme ve diğer matematiksel saçmalıklar konusunda endişelenmenize gerek kalmaz. Peki, işte senin için bağımsız karar aşağıdaki ifadelerin çarpanlara ayrılması gerekir.

Örnekler:

Cevaplar:

5. İkinci dereceden bir trinomialin çarpanlarına ayrılması

Ayrıştırma hakkında ikinci dereceden üç terimli Faktörler için genişletme örneklerine bakın.

Bir polinomu çarpanlara ayırmak için 5 yönteme örnekler

1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak. Örnekler.

Dağıtım yasasının ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bu kuraldır:

Örnek:

Polinomu çarpanlarına ayırın.

Çözüm:

Başka bir örnek:

Bunu hesaba katın.

Çözüm:

Eğer terimin tamamı parantezlerden çıkarılırsa, bunun yerine parantez içinde bir birim kalır!

2. Kısaltılmış çarpma formülleri. Örnekler.

En sık kullandığımız formüller kareler farkı, küpler farkı ve küplerin toplamıdır. Bu formülleri hatırlıyor musunuz? Değilse konuyu acilen tekrarlayın!

Örnek:

İfadeyi çarpanlarına ayırın.

Çözüm:

Bu ifadede küplerin farkını bulmak kolaydır:

Örnek:

Çözüm:

3. Gruplandırma yöntemi. Örnekler

Bazen terimleri değiştirerek her bir bitişik terim çiftinden aynı faktörün çıkarılmasını sağlayabilirsiniz. Bu ortak faktör parantezden çıkarılabilir ve orijinal polinom bir çarpıma dönüşebilir.

Örnek:

Polinomu çarpanlarına ayırın.

Çözüm:

Terimleri şu şekilde gruplayalım:
.

İlk grupta ortak faktörü parantezlerden çıkarıyoruz ve ikinci grupta -:
.

Artık ortak faktör de parantezlerden çıkarılabilir:
.

4. Tam kareyi seçme yöntemi. Örnekler.

Polinom iki ifadenin karelerinin farkı olarak temsil edilebiliyorsa geriye kalan tek şey kısaltılmış çarpma formülünü (kareler farkı) uygulamaktır.

Örnek:

Polinomu çarpanlarına ayırın.

Çözüm:Örnek:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(kare\ toplam\ ((\left) (x+3 \sağ))^(2))-9-7=((\sol(x+3 \sağ))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end(dizi)

Polinomu çarpanlarına ayırın.

Çözüm:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(kare\ farklar((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^) (2))-2 \sağ))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(dizi)

5. İkinci dereceden bir trinomialin çarpanlara ayrılması. Örnek.

Kare bir trinomial, bilinmeyenlerin, bazı sayıların ve olduğu formun bir polinomudur.

İkinci dereceden trinomialin yok olmasını sağlayan değişkenin değerlerine trinomialin kökleri denir. Bu nedenle, bir üç terimlinin kökleri ikinci dereceden bir denklemin kökleridir.

Teorem.

Örnek:

İkinci dereceden üç terimliyi çarpanlara ayıralım: .

Öncelikle ikinci dereceden denklemi çözelim: Şimdi bu ikinci dereceden trinomiyalin çarpanlara ayrılmasını yazabiliriz:

Şimdi sizin fikriniz...

Bir polinomun nasıl ve neden çarpanlara ayrılacağını ayrıntılı olarak açıkladık.

Bunun pratikte nasıl yapılacağına dair birçok örnek verdik, tuzaklara dikkat çektik, çözümler sunduk...

Sen ne diyorsun?

Bu makaleyi nasıl buldunuz? Bu teknikleri kullanıyor musunuz? Onların özünü anlıyor musun?

Yorumlarınıza yazın ve... sınava hazırlanın!

Şu ana kadar hayatındaki en önemli kişi o.

Polinomlar matematiksel ifadelerin en önemli türüdür. Polinomlara dayanarak birçok denklem, eşitsizlik ve fonksiyon oluşturulmuştur. Görevler çeşitli seviyeler karmaşıklıklar genellikle polinomların çok yönlü dönüşüm aşamalarını içerir. Matematiksel olarak herhangi bir polinom olduğundan cebirsel toplam Birkaç tek terimli olduğunda en radikal ve gerekli değişiklik, bir polinom serisinin iki (veya daha fazla) faktörün çarpımına dönüştürülmesidir. Parçalardan birini sıfırlama özelliği olan denklemlerde polinomun faktörlere dönüştürülmesi, bir parçanın sıfıra eşitlenmesini ve böylece denklemin tamamının çözülmesini mümkün kılar.

Önceki video dersleri bize doğrusal cebirde polinomları faktörlere dönüştürmenin üç ana yolu olduğunu gösterdi. Bu, ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak, benzer terimlerle yeniden gruplandırmak ve kısaltılmış çarpma formüllerini kullanmaktır. Bir polinomun tüm üyelerinin belirli bir ortak temeli varsa, o zaman kolayca parantezlerden çıkarılabilir ve bölümlerden kalanlar parantez içinde değiştirilmiş bir polinom şeklinde bırakılabilir. Ancak çoğu zaman bir faktör tüm monomlara uymaz ve bunların yalnızca bir kısmını etkiler. Aynı zamanda tek terimlilerin başka bir kısmı da kendine ait olabilir. Ortak zemin. Bu gibi durumlarda, bir gruplandırma yöntemi kullanılır; esas olarak birkaç faktörü parantezlerin dışına çıkarır ve başka şekillerde dönüştürülebilecek karmaşık bir ifade yaratır. Ve son olarak, çok çeşitli özel formüller var. Hepsi en basit terim terim çarpma yöntemi kullanılarak soyut hesaplamalarla oluşturulmuştur. Hesaplamalar sırasında ilk ifadedeki birçok öğe azaltılarak küçük polinomlar bırakılır. Her seferinde yoğun hesaplamalar yapmamak için hazır formülleri, bunların ters versiyonlarını veya bu formüllerin genelleştirilmiş sonuçlarını kullanabilirsiniz.

Uygulamada, çoğu zaman bir alıştırmada, polinomları dönüştürme kategorisindekiler de dahil olmak üzere birçok tekniği birleştirmeniz gerekir. Bir örneğe bakalım. Binom ile çarpanlara ayırın:

3x'in ortak çarpanını parantezlerden çıkarıyoruz:

3x3 - 3xy2 = 3x(x2 - y2)

Videoda gördüğünüz gibi ikinci parantez kare farkını içeriyor. Kısaltılmış çarpma için ters formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)

Başka bir örnek. İfadeyi şu şekilde dönüştürelim:

18a2 - 48a + 32

İkisini parantez dışına çıkararak sayısal katsayıları azaltıyoruz:

18a2 - 48a + 32 = 2(9a2 - 24a + 16)

Uygun kısaltılmış çarpma formülünü bulmak için bu durum, ifadeyi formülün koşullarına göre ayarlayarak hafifçe ayarlamak gerekir:

2(9a2 - 24a + 16) = 2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2)

Bazen kafa karıştırıcı bir ifadenin formülünü görmek o kadar da kolay olmuyor. Bir ifadeyi bileşen öğelerine ayırma veya +x-x gibi hayali yapı çiftlerini ekleme yöntemlerinin kullanılması gerekir. Bir ifadeyi düzeltirken işaretlerin devamlılığı ve ifadenin anlamının korunması kurallarına uymalıyız. Aynı zamanda polinomu formülün soyut versiyonuna tam olarak uygun hale getirmeye çalışmanız gerekir. Örneğimizi kullanarak kare fark formülünü uyguluyoruz:

2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2) = 2(3a - 4)

Daha karmaşık bir alıştırmayı çözelim. Polinomu çarpanlarına ayıralım:

У3 - 3у2 + 6у - 8

Başlangıç olarak, uygun bir gruplandırma yapalım - birinci ve dördüncü öğeler bir grupta, ikinci ve üçüncü öğeler ikinci grupta:

U3 - 3y2 + 6y - 8 = (y3 - 8) - (3y2 - 6y)

Eksiyi ifadenin dışına taşıdığımızdan ikinci parantez içindeki işaretlerin ters yönde değiştiğini lütfen unutmayın. İlk parantez içine şunu yazabiliriz:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y)

Bu, küplerin farkını bulmak için kısaltılmış çarpma formülünü uygulamanıza olanak tanır:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y)

İkinci parantezden 3y ortak faktörünü çıkarıyoruz, ardından ifadenin tamamından (binom) parantezleri (y - 2) çıkarıyoruz, şunu veriyoruz: benzer terimler:

(y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - 3y(y - 2) =
= (y - 2)(y2 + 2y + 4 - 3y) = (y - 2)(y2 - y + 4)

Genel yaklaşımda, çözerken belirli bir eylem algoritması vardır. benzer egzersizler.
1. İfadenin tamamı için ortak faktörler arıyoruz;
2. Benzer tek terimlileri gruplandırırız ve onlar için ortak çarpanları ararız;
3. En uygun ifadeyi parantez içine almaya çalışıyoruz;
4. Kısaltılmış çarpma formüllerini uygulayabilecektir;
5. Eğer bir aşamada süreç ilerlemiyorsa, -x+x formundaki hayali bir ifade çiftine veya kendi kendini iptal eden diğer yapılara gireriz;
6. Benzer terimleri sunuyoruz ve gereksiz unsurları azaltıyoruz

Algoritmanın tüm noktaları tek bir göreve nadiren uygulanabilir, ancak konuyla ilgili herhangi bir alıştırmayı çözmenin genel yolu belirli bir sırayla takip edilebilir.

Bölümler: Matematik

Ders türü:

teslim yöntemine göre - bir atölye dersi;
didaktik amaçlar için - bilgi ve becerilerin uygulanmasına yönelik bir ders.

Hedef: Bir polinomu çarpanlarına ayırma yeteneğini geliştirmek.

Görevler:

Didaktik: Bilgiyi sistematize etmek, genişletmek ve derinleştirmek, öğrenci becerileri Bir polinomu çarpanlarına ayırmanın çeşitli yöntemlerini uygular. Çeşitli teknikleri birleştirerek bir polinomun çarpanlara ayırma becerisini geliştirin. Hem temel düzeydeki hem de artan karmaşıklıktaki görevleri tamamlamak için "Bir polinomun çarpanlara ayrılması" konusundaki bilgi ve becerileri uygulayın.
Gelişimsel: çeşitli problem türlerini çözerek zihinsel aktiviteyi geliştirmek, en rasyonel çözüm yöntemlerini bulmayı ve analiz etmeyi öğrenmek, incelenen gerçekleri genelleştirme yeteneğinin oluşumuna katkıda bulunmak, düşüncelerini açık ve net bir şekilde ifade etmek.
eğitici: Bağımsız ve takım çalışması, öz kontrol becerilerini geliştirmek.

Çalışma metodları:

sözlü;
görsel;
pratik.

Ders ekipmanları: interaktif beyaz tahta veya tepegöz, kısaltılmış çarpma formüllerini içeren tablolar, talimatlar, grup halinde çalışmaya yönelik çalışma notları.

Ders yapısı:

Zamanı organize etmek. 1 dakika
Pratik dersin konusunu, amacını ve hedeflerini formüle etmek. 2 dakika
Sınav Ev ödevi. 4 dakika
Güncelleme arkaplan bilgisi ve öğrenci becerileri. 12 dakika
Beden eğitimi dakikası. 2 dakika
Atölye görevlerinin nasıl tamamlanacağına ilişkin talimat. 2 dakika
Gruplar halinde görevler yapmak. 15 dakika
Ödevlerin kontrol edilmesi ve tartışılması. İş analizi. 3 dakika
Ev ödevi ayarlama. 1 dakika
İşleri rezerve edin. 3 dakika

Dersler sırasında

1. Organizasyon anı

Öğretmen sınıfın ve öğrencilerin derse hazır olup olmadığını kontrol eder.

2. Atölye dersinin konusunu, amacını ve hedeflerini formüle etmek

Konuyla ilgili son ders hakkında mesaj.
Motivasyon Eğitim faaliyetleriöğrenciler.
Dersin amacını formüle etmek ve hedefleri belirlemek (öğrencilerle birlikte).

3. Ödevleri kontrol etmek

Tahtada 943 (a, c) numaralı ödev alıştırmalarının çözüm örnekleri bulunmaktadır; 945 (c, d). Numuneler sınıf öğrencileri tarafından yapılmıştır. (Bu öğrenci grubu bir önceki derste belirlendi; teneffüs sırasında kararlarını resmileştirdiler). Öğrenciler çözümleri “savunmaya” hazırlanıyorlar.

Öğretmen:

Öğrencilerin not defterlerinde ödevlerin olup olmadığını kontrol eder.

Sınıf öğrencilerini şu soruyu yanıtlamaya davet eder: "Görevi tamamlamak ne gibi zorluklara neden oldu?"

Çözümünüzü tahtadaki çözümle kontrol etmeyi teklif eder.

Tahtadaki öğrencileri, örnekleri kullanarak kontrol ederken öğrencilerin hemen sordukları soruları yanıtlamaya davet eder.

Öğrenci cevaplarına yorum yapar, cevapları tamamlar ve açıklar (gerekiyorsa).

Ödev tamamlamayı özetler.

Öğrenciler:

Ödevinizi öğretmene sunun.

Defterleri (çiftler halinde) değiştirirler ve birbirleriyle kontrol ederler.

Öğretmenin sorularını cevaplayın.

Çözümünüzü örneklerle kontrol edin.

Defterdeki çözüm yöntemi tahtadaki yöntemden farklıysa rakip gibi davranırlar, eklemeler, düzeltmeler yaparlar, farklı bir yöntem yazarlar.

Öğrencilerden ve öğretmenden gerekli açıklamaları isteyin.

Elde edilen sonuçları doğrulamanın yollarını bulun.

Yönetim kurulunda gerçekleştirilen görevlerin kalitesinin değerlendirilmesine katılın.

4. Öğrencilerin temel bilgi ve becerilerinin güncellenmesi

1. Sözlü çalışma

Öğretmen:

Soruları cevapla:

Bir polinomu çarpanlara ayırmak ne anlama gelir?
Kaç tane ayrıştırma yöntemi biliyorsunuz?
Onların isimleri ne?
En yaygın olanı hangisi?

2. Polinomlar tahtaya yazılır:

1. 14x3 – 14x5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4.x3 - 3x – 2

Öğretmenöğrencileri 1-3 numaralı polinomları çarpanlarına ayırmaya davet eder:

Seçenek I – ortak bir faktör uygulayarak;
Seçenek II – kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılması;
Seçenek III - gruplama yöntemiyle.

Bir öğrenciden 4 numaralı polinomu çarpanlarına ayırması istenir (zorluğu artan bireysel bir görev, görev A 4 formatında tamamlanır). Daha sonra tahtada 1-3 numaralı görevlerin örnek çözümü (öğretmen tarafından yapılır), 4 numaralı görevin örnek çözümü (öğrenci tarafından yapılır) görünür.

3. Isınma

Öğretmen, doğru cevapla ilişkili harfi çarpanlara ayırma ve seçme talimatlarını verir. Harfleri ekleyerek, denklem çözme teorisinin gelişimine büyük katkı sağlayan 17. yüzyılın en büyük matematikçisinin adını alırsınız. (Descartes)

5. Beden Eğitimi dersi cümleleri öğrencilere okunur. İfade doğruysa öğrenciler ellerini kaldırmalı, yanlışsa sıralarına oturmalıdır. (Ek 2)

6. Atölye görevlerinin nasıl tamamlanacağına ilişkin talimat.

Açık interaktif beyaz tahta veya talimatların yer aldığı bir tablonun bulunduğu ayrı bir poster.

Bir polinomu çarpanlara ayırırken aşağıdaki sıraya uyulmalıdır:

1. ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarın (eğer varsa);

2. Kısaltılmış çarpma formüllerini uygulayın (mümkünse);

3. Gruplandırma yöntemini uygulayabilecektir;

4. Çarpma sonucu elde edilen sonucu kontrol edin.

Öğretmen:

Talimatları öğrencilere sunar (4. adıma odaklanır).

Atölye ödevlerinin gruplar halinde tamamlanmasını sunar.

Defterlerdeki ödevleri hazırlamak ve sonraki kontrolleri için çalışma sayfalarını, karbon kağıtlı sayfaları gruplara dağıtır.

Grup halinde çalışma ve not defterlerinde çalışma süresini ayarlar.

Öğrenciler:

Talimatları okuyun.

Öğretmenler dikkatle dinliyor.

Gruplar halinde oturmak (4-5 kişi).

Pratik çalışmalar yapmaya hazırlanıyoruz.

7. Gruplar halinde görevleri yapmak

Gruplara yönelik görevleri içeren çalışma sayfaları. (Ek 3)

Öğretmen:

Yönetir bağımsız iş Gruplarda.

Öğrencilerin bağımsız çalışma yeteneğini, grup halinde çalışabilme yeteneğini ve çalışma sayfası tasarımının kalitesini değerlendirir.

Öğrenciler:

Çalışma kitabında yer alan karbon kağıt sayfalarındaki görevleri tamamlayın.

Mantıklı kararlar almanın yollarını tartışın.

Gruptan bir çalışma sayfası hazırlayın.

Tamamlanan çalışmayı savunmaya hazırlanın.

8. Görevin tamamlanmasının kontrol edilmesi ve tartışılması

Cevaplar interaktif tahtada.

Öğretmen:

Kararların kopyalarını toplar.

Çalışma sayfalarındaki öğrenci raporlamasını yönetir.

Not defterlerinden, çalışma sayfalarından ve tahtadaki örneklerden alınan yanıtları karşılaştırarak çalışmanızın öz değerlendirmesini sunar.

Bana iş için not verme ve bunun uygulanmasına katılım kriterlerini hatırlatıyor.

Ortaya çıkan karar veya öz değerlendirme sorunlarına açıklık getirir.

Pratik çalışmanın ve derinlemesine düşünmenin ilk sonuçlarını özetler.

Dersi özetler (öğrencilerle birlikte).

Öğrencilerin tamamladığı çalışmaların kopyaları kontrol edildikten sonra nihai sonuçların özetleneceği belirtiliyor.

Öğrenciler:

Kopyalarını öğretmene verin.

Çalışma sayfaları tahtaya yapıştırılır.

İşin tamamlandığını rapor edin.

İş performansının öz muayenesini ve öz değerlendirmesini yapın.

9. Ödev verme

Ödev tahtaya yazılır: Sayı 1016 (a, b); 1017(c,d); 1021 (g,d,f)*

Öğretmen:

Ev ödevinin zorunlu kısmını yazmayı teklif eder.

Uygulanması hakkında yorum yapar.

Daha hazırlıklı öğrencileri 1021 (g, e, f)* sayısını yazmaya davet eder.

Bir sonraki gözden geçirme dersine hazırlanmanızı söyler

Dersin amacı:  bir polinomu çeşitli şekillerde çarpanlarına ayırma becerilerini geliştirmek;  Doğruluk, azim, sıkı çalışma ve çiftler halinde çalışma yeteneğini geliştirin. Ekipman: multimedya projektörü, PC, öğretim materyalleri. Ders planı: 1. Organizasyonel an; 2. Ödevlerin kontrol edilmesi; 3. Sözlü çalışma; 4. Yeni materyalin incelenmesi; 5. Beden eğitimi oturumu; 6. Çalışılan materyalin konsolidasyonu; 7. Çiftler halinde çalışın; 8. Ödev; 9. Özetleme. Dersin ilerlemesi: 1. Organizasyonel an. Öğrencileri derse odaklayın. Eğitim, bilgi miktarından değil, bildiğiniz her şeyin tam olarak anlaşılmasından ve ustaca uygulanmasından oluşur. (Georg Hegel) 2. Ödevleri kontrol etmek. Öğrencilerin çözmekte zorlandıkları görevlerin analizi. 3. Sözlü çalışma.  çarpanlara ayırın: 1) 2) 3) ; 4).  Sol ve sağ sütunlardaki ifadeleri eşleştirin: a. 1.b. 2.c. 3.d.4.5.  Denklemleri çözün: 1. 2. 3. 4. Yeni materyali inceleyin. Polinomları çarpanlara ayırmak için parantezleme, gruplandırma ve kısaltılmış çarpma formülleri kullandık. Bazen bir polinomu birkaç yöntemi arka arkaya uygulayarak çarpanlara ayırmak mümkündür. Dönüşüm mümkünse ortak çarpanı parantezlerden çıkararak başlamalıdır. Bu tür örnekleri başarılı bir şekilde çözmek için bugün bunların tutarlı uygulamasına yönelik bir plan geliştirmeye çalışacağız.

150.000₽ ödül fonu 11 onur belgesi Medyada yayın sertifikası