Урок производная сложной функции. Сложная функция (конспект)

Тема: “Производная сложной функции ”.

Тип урока: – урок изучения нового материала.

Форма урока : применение информационных технологий.

Место урока в системе уроков по данному разделу: первый урок.

Цели:

научить распознавать сложные функции, уметь применять правила вычисления производных; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером;

развивать готовность к информационно-учебной деятельности через применение информационных технологий.

воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

Оборудование: электронные файлы с печатным материалом, индивидуальные компьютеры.

Ход урока.

I. Организационный момент (1 мин.).

II. Постановка целей. Мотивация учащихся (1 мин.).

Обучающие цели: научиться распознавать сложные функции, знать правила дифференцирования, уметь применять формулу производной сложной функции при решении задач; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером.

Развивающие цели: развивать познавательные интересы через применение информационных технологий.

Воспитательные цели: воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

III. Актуализация опорных знаний (5 мин.).

Назовите правила вычисления производной.

3. Устная работа.

Найдите производные функций.

а) y = 2x 2 + xі ;

б) f(x) = 3x 2 – 7x + 5;

в) f(x) = ;

г) f(x) = 1/2x 2 ;

д) f(x) = (2x – 5)(x + 3).

4. Правила вычисления производных .

Повторение формул по компьютеру со звуковым сопровождением.

IV. Программированный контроль (5 мин.).

Найти производную.

Обменяйтесь тетрадями. Отметьте в диагностических картах верно выполненные задания знаком +, а неверно выполненные задания знаком “–”.

V. Изучение нового материала (5 мин.).

Сложная функция.

Рассмотрим функцию, заданную формулой f(x) =

Для того, чтобы найти производную данной функции, надо сначала вычислить производную внутренней функции u = v(x) = xІ + 7x + 5, а затем вычисляют производную функции g(u) = .

Говорят, что функция f(x) – есть сложная функция, составленная из функций g и v , и пишут:

f(x) = g(v(x)) .

Область определения сложной функции – множество всех тех х из области определения функции v , для которых v(x) входит в область определения функции g.

ТЕОРЕМА.

Пусть сложная функция у = f(x) = g(v(x)) такова, что функция у = v(x) определена на промежутке U , а функция u = v(x) определена на промежутке Х и множество всех её значений входит в промежуток U. Пусть функция u = v(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х, а функция y = g(u) имеет производную в каждой точке внутри промежутка U. Тогда функция y = f(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х, вычисляемую по формуле

y" x = y" u u" x .

Формулу читают так: производная y по x равна производной y по u , умноженной на производную u по x .

Формулу записывают ещё так:

f" (x) = g" (u) v" (x).

Доказательство.

В точке х Х зададим приращение аргумента , (х+ х) Х. Тогда функция u = v(x) получит приращение , а функция y = g(u) получит приращение  y. Надо учесть, что , так как функция u=v(x) в точке x имеет производную, то она непрерывна в этой точке и при . у = (1+х 2 ) 100 .

Решение.

Пример 2 и Пример 3 из учебника (устно разобрать решение).

Решение примеров № 304, № 305, № 306 с последующей проверкой по компьютеру.

VII. Примеры для самостоятельного решения (8 мин.).

На рабочем столе компьютера. 5 (p - x);

y = sin (2x 2 – 3).

y = (1 + sin3x) cos3x;

y = tg x (tg x – 1).

IX. Итог урока (1 мин.).

Дать определение производной функции.

Назовите правила вычисления производных.

Какая функция является сложной?

Какова область определения сложной функции?

Назовите формулу нахождения производной сложной функции.

X. Задание на дом (0.5 мин.).

§4. п16. № 224. Индивидуальные задания на карточках.

Тема: “Производная

сложной функции”.

Тип урока: – урок изучения нового материала.

Форма урока: применение информационных технологий.

Место урока в системе уроков по данному разделу: первый урок.

научить распознавать сложные функции, уметь применять правила вычисления производных; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером;
развивать готовность к информационно-учебной деятельности через применение информационных технологий.
воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

Оборудование: электронные файлы с печатным материалом, индивидуальные компьютеры.

Ход урока.

I. Организационный момент (0.5 мин.).

II. Постановка целей. Мотивация учащихся (1 мин.).

Обучающие цели: научиться распознавать сложные функции, знать правила дифференцирования, уметь применять формулу производной сложной функции при решении задач; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером.
Развивающие цели: развивать познавательные интересы через применение информационных технологий.
Воспитательные цели: воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

III. Актуализация опорных знаний
(5 мин.).

Назовите правила вычисления производной.

3. Устная работа.

Найдите производные функций.

а) y = 2x 2 + xі ;

б) f(x) = 3x 2 – 7x + 5;

г) f(x) = 1/2x 2 ;

д) f(x) = (2x – 5)(x + 3).

4. Правила вычисления производных.

Повторение формул по компьютеру со звуковым сопровождением.

IV. Программированный контроль
(5 мин.).

Найти производную.
Вариант 1.		Вариант 2.


у = tg x + ctg x.		у = tg x – ctg x.

У = х 2 +7х + 5		У = 2х 2 – 5х + 7
Варианты ответов.



1/cos 2 x + 1/sin 2 x	1/cos 2 x – 1/sin 2 x	1/sin 2 x – 1/cos 2 x
1,6х 0,6 + 2,5х 1,5	2,6х 0,6 + 1,5х 1,5	1,5х 0,5 + 4х 3	2,5х 0,5 + 4х 3

V. Новый материал
(5 мин.).

Сложная функция.

Рассмотрим функцию, заданную формулой f(x) =

Говорят, что функция f(x) – есть сложная функция, составленная из функций g и v , и пишут:

f(x) = g(v(x)) .

x = y" u u" x .

Формулу читают так: производная y по x равна производной y по u , умноженной на производную u по x .

Формулу записывают ещё так:

f" (x) = g" (u) v" (x).

Доказательство.

В точке х

Х зададим приращение аргумента , (х+ х) Х. Тогда функция u = v(x) получит приращение , а функция y = g(u) получит приращение D y. Надо учесть, что , так как функция u=v(x) в точке x имеет производную, то она непрерывна в этой точке и при .

При условии, что

Проверка.

VIII. Индивидуальные задания
(7 мин.).

На рабочем столе компьютера.

Папка: “Производная сложной функции”. Документ: “Индивидуальные задания”.

y = 2x + 3,6 sin 5 (p - x);
y = sin (2x 2 – 3).
y = (1 + sin3x) cos3x;
y = tg x (tg x – 1).

IX. Итог урока
(1 мин.).

Дать определение производной функции.

Назовите правила вычисления производных.

Какая функция является сложной?

Какова область определения сложной функции?

Назовите формулу нахождения производной сложной функции.

X. Задание на дом
(0.5 мин.).

§4. п16. № 224. Индивидуальные задания на дискетах.

Тема урока: Производная сложной функции.

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

образовательная:

– формирование понятия сложной функции;

Изучение правила нахождения производной сложной функции .

Отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции при решении примеров.

развивающая:

Развивать логику, умение анализировать, планировать свою учебную деятельность, логически излагать свои мысли

Развивать познавательный интерес.

воспитательная:

Воспитание и развитие разносторонних интересов личности;

Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;

План урока:

1. Организационный.момент: готовность группы к уроку, проверка отсутствующих на уроке.

2.Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний: повторение пройденного материала.

4.Изучение нового материала.

5. Закрепление материала

6. Домашнее задание

Ход урока:

1.Орг.момент: Приветствие, проверка готовности группы на уроке, сообщение темы и цели урока, мотивация учебной деятельности.

2. Проверка домашнего задания: Учащиеся показывают выполнение домашнего задания по пройденной теме.

3. Актуализация знаний учащихся:

1. Ребята, давайте вспомним, что же такое производная функции?

Ответ: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента в этой точке при .

2.Геометрический смысл производной в каком уравнение выражается?

Ответ: Выражается в уравнение касательной.

3.В механическом смысле первая производная пути по времени это?

Ответ: Скорость

4. Как по другому называют точки экстремума и минимума?

Ответ: Критические точки производной.

5.Чему равна производная постоянной?

Ответ: 0

6. Карточки с примерами:

а) у=5 x +3 x 2 ; б) у = ;в) у= ; г) у= ; д)2 x 7 +; е) у=

7. Постановка проблемной ситуации: найти производную функции

у =ln( sin x).

Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х , а функция s in x этого переменного .

1.Как вы думаете, называются эти функции?

Ответ: функции называются сложными функциями или функциями от функций.

2.Умеем ли мы находить производные сложных функций?

Ответ: Нет.

3.Значит, с чем мы должны сейчас познакомиться?

Ответ: С нахождением производной сложных функций.

4.Как будет звучать тема нашего сегодняшнего занятия?

Ответ: Производная сложной функции

4. Изучение нового материала.

Правила и формулы дифференцирования, которые мы рассмотрели на прошлом занятии, является основными при вычислении производных. Но, если для несложных выражений пользование основными правилами не представляет особого труда, то для сложных выражений, применение общего правила может оказаться делом очень непростым.

Цель нашего сегодняшнего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

Производная сложной функции

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение : Функция вида y = f (g (x)) называется сложной функцией , составленной из функ ций f u g, или суперпозицией функций f и g.

Пример: Функция у =ln( s in x) есть сложная функция, составленная из функций

у = ln u и u = s in x .

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u), где u = g(x)

Внешняя функция Промежуточная функция

При этом аргумент х называют независимой переменной , а u - промежуточным аргументом.

Вернемся к примеру . Производную каждой из этих функций мы можем вычислить, используя таблицу производных.

Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференци руема в некоторой точке х 0 , а функция y=f(u) дифференцируема в точке u 0 = g(x 0 ), то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема в данной точке x 0 .

Правило:

Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;

Функцию читаем в обратном порядку действий направлении;

Производную находим по ходу чтения функции.

А теперь разберем это на примере:

Пример1: Функция у =ln( s in x) получается последовательным выполнением двух операций: взятия синуса угла х и нахождения от этого числа натурального логарифма:

Функция читается так : логарифмическая функция от тригонометрической функции.

Продифференцируем функцию: у = ln( s in x)=ln u, u=s in x.

. Будем использовать при дифференцировании дополненную таблицу производных.

Далее получаем ( u) ’ =(s in x) ’ = cosx

У ’ = ’ ==ctg x

Пример2: Найти производную функции h ( x )=(2 x +3) 100 .

Решение: Функцию h можно представить в виде сложной функции h ( x ) = g ( f ( x )), где g ( y )= y 100 , y = f ( x )=2 x +3, так как f I ( x )=2, g I ( y )=100 y 99 , h I ( x )=2*100 y 9 =200(2 x +3) 99 .

5.Закрепление материала:(К доске выходят учащиеся и решают примеры)

№1.Найдите область определения функции.

А) y = ; б) y =;

В); г) у=

№2. Найдите производную функции:

А) (2 x -7) 14

Б) (3+5 x ) 10

В) (7 x -1) 3

Г) (8 x +6) 55

Д)

Е) (7 x -1) 5

№3. Заданы функции f ( x ) = 2- x - x 2 ; g ( x ) = ; p ( x ) = .

Задайте с помощью формул функции:

А) f ( g ( x )) ; б) g ( f ( x )); в) f ( p ( x ))

6. Домашнее задание:

Найти производную функции: а) (5 x -7) 17 ; б) (7 x +6) 14 ; В) y =; г) y =;