Диф уравнение в общите диференциали. Описание на решението

Постановка на проблема в двумерен случай

Възстановяване на функция на няколко променливи от нейния общ диференциал

9.1. Постановка на проблема в двумерен случай. 72

9.2. Описание на решението. 72

Това е едно от приложенията на криволинейния интеграл от втори род.

Даден е изразът за общия диференциал на функция от две променливи:

Намерете функцията.

1. Тъй като не всеки израз на формата е пълен диференциал на някаква функция U(х,г), тогава е необходимо да се провери коректността на постановката на проблема, тоест да се провери необходимото и достатъчно условие за общия диференциал, който за функция от 2 променливи има формата . Това условие следва от еквивалентността на твърдения (2) и (3) в теоремата от предишния раздел. Ако посоченото условие е изпълнено, тогава проблемът има решение, тоест функция U(х,г) могат да бъдат възстановени; ако условието не е изпълнено, тогава проблемът няма решение, тоест функцията не може да бъде възстановена.

2. Можете да намерите функция от нейния общ диференциал, например, като използвате криволинеен интеграл от втори вид, изчислявайки го от линия, свързваща фиксирана точка ( х 0 ,г 0) и променлива точка ( x;y) (ориз. 18):

Така се получава, че криволинейният интеграл от втория вид на общия диференциал dU(х,г) е равно на разликата между стойностите на функцията U(х,г) в крайната и началната точка на линията на интегриране.

Знаейки този резултат сега, трябва да заместим dUв криволинейния интегрален израз и изчислете интеграла по прекъснатата линия ( ACB), като се има предвид неговата независимост от формата на линията на интегриране:

на ( A.C.): на ( NE) :

(1)

Така се получава формула, с помощта на която се възстановява функция на 2 променливи от общия й диференциал.

3. Възможно е да се възстанови функция от нейния пълен диференциал само до постоянен член, тъй като d(U+ const) = dU. Следователно в резултат на решаването на проблема получаваме набор от функции, които се различават една от друга с постоянен термин.

Примери (възстановяване на функция на две променливи от нейния общ диференциал)

1. Намерете U(х,г), Ако dU = (х 2 – г 2)dx – 2xydy.

Проверяваме условието за общия диференциал на функция от две променливи:

Пълното диференциално условие е изпълнено, което означава функцията U(х,г) могат да бъдат възстановени.

Проверка: – правилно.

отговор: U(х,г) = х 3 /3 – xy 2 + В.

2. Намерете функция, такава че

Проверяваме необходимите и достатъчни условияобщ диференциал на функция от три променливи: , , , ако изразът е даден.

В проблема, който се решава

всички условия за пълен диференциал са изпълнени, следователно функцията може да бъде възстановена (задачата е формулирана правилно).

Ще възстановим функцията с помощта на криволинеен интеграл от втори вид, като го изчислим по определена линия, свързваща фиксирана точка и променлива точка, тъй като

(това равенство се извежда по същия начин, както в двумерния случай).

От друга страна, криволинейният интеграл от втори вид от пълен диференциал не зависи от формата на линията на интегриране, така че е най-лесно да се изчисли по начупена линия, състояща се от сегменти, успоредни на координатните оси. В този случай, като фиксирана точка, можете просто да вземете точка със специфични числени координати, като следите само, че в тази точка и по цялата линия на интегриране е изпълнено условието за съществуване на криволинеен интеграл (тоест, така че функциите и са непрекъснати). Като вземем предвид тази забележка, в тази задача можем да вземем например точката M 0 за неподвижна точка. Тогава на всяка от връзките на прекъснатата линия ще имаме

10.2. Изчисляване на повърхностен интеграл от първи род. 79

10.3. Някои приложения на повърхностния интеграл от първи род. 81

Може да се случи, че лявата страна на диференциалното уравнение

е общият диференциал на някаква функция:

и следователно уравнение (7) приема формата .

Ако функцията е решение на уравнение (7), тогава и, следователно,

където е константа и обратно, ако някаква функция превръща крайното уравнение (8) в идентичност, тогава, диференцирайки получената идентичност, получаваме и следователно, където е произволна константа, е общият интеграл на оригинала уравнение.

Ако са дадени първоначални стойности, тогава константата се определя от (8) и

е желаният частичен интеграл. Ако в точката , тогава уравнение (9) се дефинира като неявна функция на .

За да може лявата страна на уравнение (7) да бъде пълен диференциал на някаква функция, е необходимо и достатъчно, че

Ако това условие, определено от Ойлер, е изпълнено, тогава уравнение (7) може лесно да се интегрира. Наистина,. От другата страна,. следователно

При изчисляване на интеграла количеството се счита за константа, следователно е произволна функция на . За да определим функцията, диференцираме намерената функция по отношение на и, тъй като , получаваме

От това уравнение определяме и чрез интегриране намираме .

Както знаете от курса математически анализ, дори по-просто, можете да дефинирате функция чрез нейния общ диференциал, като вземете криволинейния интеграл на между някаква фиксирана точка и точка с променливи координати по произволен път:

Най-често като интеграционен път е удобно да се вземе прекъсната линия, съставена от две връзки, успоредни на координатните оси; в този случай

Пример. .

Лявата страна на уравнението е общият диференциал на някаква функция, тъй като

Следователно общият интеграл има формата

Може да се използва друг метод за дефиниране на функция:

Избираме например началото на координатите като начална точка и прекъсната линия като път на интегриране. Тогава

и общият интеграл има формата

Което съвпада с предишния резултат, което води до общ знаменател.

В някои случаи, когато лявата страна на уравнение (7) не е пълен диференциал, е лесно да се избере функция, след умножаване, по която лявата страна на уравнение (7) се превръща в пълен диференциал. Тази функция се нарича интегриращ фактор. Имайте предвид, че умножението с интегриращ фактор може да доведе до появата на ненужни частични решения, които превръщат този фактор в нула.

Пример. .

Очевидно след умножение с коефициент лявата страна се превръща в общ диференциал. Наистина, след умножаване по получаваме

или интегриране, . Умножавайки по 2 и потенцирайки, имаме .

Разбира се, интегриращият фактор не винаги се избира толкова лесно. В общия случай, за да се намери интегриращият фактор, е необходимо да се избере поне едно частично решение на уравнението в частни производни или в разширена форма, което не е идентично нула

което след разделяне на и прехвърляне на някои членове към друга част от равенството се свежда до формата

В общия случай интегрирането на това частично диференциално уравнение в никакъв случай не е по-проста задача от интегрирането на оригиналното уравнение, но в някои случаи изборът на конкретно решение на уравнение (11) не е труден.

В допълнение, като се има предвид, че интегриращият фактор е функция само на един аргумент (например, той е функция само или само , или функция само от , или само , и т.н.), може лесно да се интегрира уравнение (11) и посочете условията, при които съществува интегриращ фактор от разглеждания тип. Това идентифицира класове уравнения, за които интегриращият фактор може лесно да бъде намерен.

Например, нека намерим условията, при които уравнението има интегриращ фактор, който зависи само от , т.е. . В този случай уравнение (11) е опростено и приема формата , от където, като се има предвид непрекъсната функцияот , получаваме

Ако е функция само на , тогава интегриращ фактор, зависещ само от , съществува и е равен на (12), в противен случай интегриращ фактор на формата не съществува.

Условието за съществуване на интегриращ фактор, зависещ само от е изпълнено, например, за линейно уравнениеили . Наистина и следователно. Условията за съществуването на интегриращи фактори на формата и т.н. могат да бъдат намерени по напълно подобен начин.

Пример.Има ли уравнението интегриращ фактор от формата ?

Нека обозначим . Уравнение (11) при приема формата , откъдето или

За съществуването на интегриращ фактор от даден тип е необходимо и, при предположението за непрекъснатост, достатъчно той да бъде само функция. IN в този случай, следователно интегриращият фактор съществува и е равен на (13). Когато получаваме. Умножавайки оригиналното уравнение по , ние го редуцираме до формата

Интегрирайки, получаваме , а след потенциране ще имаме , или в полярни координати - семейство от логаритмични спирали.

Пример. Намерете формата на огледало, отразяващо паралел тази посокавсички лъчи, излизащи от дадена точка.

Нека поставим началото на координатите в дадена точкаи насочете оста x успоредно на посоката, посочена в условията на проблема. Оставете лъча да падне върху огледалото в точка . Нека разгледаме разрез на огледалото с равнина, минаваща през абсцисната ос и точката . Нека начертаем допирателна към разглеждания участък от огледалната повърхност в точка . Тъй като ъгълът на падане на лъча равен на ъгълотражение, то триъгълникът е равнобедрен. следователно

получено хомогенно уравнениесе интегрира лесно чрез промяна на променливи, но е още по-лесно, освободено от ирационалност в знаменателя, да се пренапише във формата . Това уравнение има очевиден интегриращ фактор , , , (семейство от параболи).

Тази задача може да се реши още по-просто в координати и , където , а уравнението за сечението на търсените повърхнини приема формата .

Възможно е да се докаже съществуването на интегриращ фактор или, което е същото нещо, съществуването на ненулево решение на частично диференциалното уравнение (11) в някаква област, ако функциите и имат непрекъснати производни и поне една от тях функциите не изчезват. Следователно методът на интегриращия фактор може да се разглежда като общ метод за интегриране на уравнения от формата , но поради трудността при намиране на интегриращия фактор, този метод най-често се използва в случаите, когато интегриращият фактор е очевиден.

Показва как да разпознаете диференциално уравнение в пълни диференциали. Дадени са методи за решаването му. Даден е пример за решаване на уравнение в общи диференциали по два начина.

Съдържание

Въведение

Диференциално уравнение от първи ред в общите диференциали е уравнение от формата:
(1) ,
където лявата страна на уравнението е общият диференциал на някаква функция U (x, y)от променливи x, y:
.
В същото време.

Ако се намери такава функция U (x, y), тогава уравнението приема формата:
dU (x, y) = 0.
Общият му интеграл е:
U (x, y) = C,
където C е константа.

Ако диференциално уравнение от първи ред е написано по отношение на неговата производна:
,
тогава е лесно да го приведете във форма (1) . За да направите това, умножете уравнението по dx.
(1) .

Тогава. В резултат на това получаваме уравнение, изразено чрез диференциали:

Свойство на диференциалното уравнение в общите диференциали (1) За да уравнението
(2) .

беше уравнение в общите диференциали, е необходимо и достатъчно връзката да се проведе:

Доказателство Освен това приемаме, че всички функции, използвани в доказателството, са дефинирани и имат съответните производни в някакъв диапазон от стойности на променливите x и y.Точка х

0, y 0.
също принадлежи към тази област. (1) Нека докажем необходимостта от условие (2) (x, y):
.
Нека лявата страна на уравнението
;
.
е диференциалът на някаква функция U
;
.
Тогава (2) Тъй като втората производна не зависи от реда на диференциране, тогава

От това следва, че..
Условие на необходимост (2) :
(2) .
доказано. (x, y)Нека докажем достатъчността на условие (2)
.
Нека условието е изпълнено (x, y)Нека покажем, че е възможно да се намери такава функция U
(3) ;
(4) .
че неговият диференциал е: (3) Това означава, че има такава функция U 0 , което удовлетворява уравненията:
;
;
(5) .
Нека намерим такава функция. Нека интегрираме уравнението (2) :

.
от x от x (4) към x, като приемем, че y е константа:
.
Правим диференциация по отношение на y, като приемаме, че x е константа и прилагаме 0 Уравнение
;
;
.
ще бъде изпълнено, ако (5) :
(6) .
Интегриране върху y от y
.
до y:

Заместник в (6) И така, открихме функция, чийто диференциал Достатъчността е доказана.е константа - стойността на функцията U (x, y)в точка х Освен това приемаме, че всички функции, използвани в доказателството, са дефинирани и имат съответните производни в някакъв диапазон от стойности на променливите x и y..

Може да му се присвои произволна стойност.

Как да разпознаем диференциално уравнение в общите диференциали
(1) .
Разгледайте диференциалното уравнение: (2) :
(2) .
За да определите дали това уравнение е в общи диференциали, трябва да проверите условието

Ако е валидно, тогава това уравнение е в общите диференциали. Ако не, тогава това не е пълно диференциално уравнение.

Пример
.

Проверете дали уравнението е в общи диференциали:
, .
тук


.
Ние диференцираме по отношение на y, като вземем предвид x константа:


.
Нека разграничим
,
защото:

тогава даденото уравнение е в общи диференциали.

Методи за решаване на диференциални уравнения в тотални диференциали

Метод на последователна диференциална екстракция
Най-простият метод за решаване на уравнение в общи диференциали е методът на последователно изолиране на диференциала. За да направим това, използваме формули за диференциране, написани в диференциална форма: du ± dv = d;
(u ± v) v du + u dv = d;
;
.
(uv)

В тези формули u и v са произволни изрази, съставени от произволна комбинация от променливи.

Пример 1
.

Решете уравнението:
По-рано установихме, че това уравнение е в общи диференциали. Нека го трансформираме: .
(P1)
;
;
;
;

.
ще бъде изпълнено, ако По-рано установихме, че това уравнение е в общи диференциали. Нека го трансформираме::
;
.

Решаваме уравнението чрез последователно изолиране на диференциала.

Метод на последователна интеграция (x, y)В този метод търсим функцията U
(3) ;
(4) .

, удовлетворяващи уравненията: (3) Нека интегрираме уравнението
.
в x, като се има предвид y константа: Тук φ(y) (4) :
.
- произволна функция на y, която трябва да бъде определена. Това е константата на интеграцията. Заместете в уравнението
.
От тук: Тук φИнтегрирайки, намираме φ (x, y).

и по този начин У

Пример 2
.

Решете уравнението в общи диференциали:
, .
По-рано установихме, че това уравнение е в общи диференциали. Нека въведем следната нотация: (x, y)Търся функция U
.
, чийто диференциал е лявата страна на уравнението:
(3) ;
(4) .
След това: (3) Нека интегрираме уравнението
Нека интегрираме уравнението
.
(P2)

.
Разграничете по отношение на y: (4) :
;
.
Да заместим
.
Разграничете по отношение на y: Нека интегрираме уравнението:

.
Нека интегрираме:
U Общ интеграл на уравнението:.
(x, y) = const

Комбинираме две константи в една.

Метод на интегриране по крива
Функция U, дефинирана от отношението: dU = p,
(x, y) dx + q(x, y) dy Достатъчността е доказана.може да се намери чрез интегриране на това уравнение по кривата, свързваща точките (x, y):
(7) .
И
(8) ,
Тъй като Достатъчността е доказана.тогава интегралът зависи само от координатите на началната (x, y)и окончателно (7) може да се намери чрез интегриране на това уравнение по кривата, свързваща точките (8) точки и не зависи от формата на кривата. от
(9) .
намираме: 0 Тук x 0 и y Достатъчността е доказана.- постоянен. Следователно У

- също постоянно.
(6) .
Пример за такова определение на U беше получен в доказателството: Тук интегрирането се извършва първо по сегмент, успореден на оста y от точката(x 0, y 0) до точката. до точката(x 0, y 0) (x, y) .

След това се извършва интегриране по сегмент, успореден на оста x от точката Тук интегрирането се извършва първо по сегмент, успореден на оста y от точкатаможе да се намери чрез интегриране на това уравнение по кривата, свързваща точките (x, y)По-общо, трябва да представите уравнението на крива, свързваща точки
в параметрична форма: х 1 = s(t 1) ;;
в параметрична форма: г 1 = s(t 1) 1 = r(t 1);
0 = s(t 0) 0 = r(t 0) x = s 0 = r(t 0);
(t) 1 ; 0 y = r

и интегрира върху t Тук интегрирането се извършва първо по сегмент, успореден на оста y от точкатаможе да се намери чрез интегриране на това уравнение по кривата, свързваща точките (x, y)от т
в параметрична форма: към t. 1 = s(t 1) Най-лесният начин за извършване на интегриране е върху сегмент, свързващ точки;
. 0 = 0 В този случай: 1 ;
1 = x 0 + (x - x 0) t 1 1 = y 0 + (y - y 0) t 1 t ;.
t = 0 dx 1 .
1 = (x - x 0) dt 1;

dy
1 = (y - y 0) dt 1

След заместване получаваме интеграла върху t от към.

Този метод , обаче, води до доста тромави изчисления.Използвана литература:

В.В. Степанов, Курс по диференциални уравнения, "ЛКИ", 2015г. , обаче, води до доста тромави изчисления.някои функции. Ако възстановим функция от нейния пълен диференциал, ще намерим общия интеграл на диференциалното уравнение. По-долу ще говорим за метод за възстановяване на функция от нейния пълен диференциал

Лявата страна на диференциалното уравнение е общият диференциал на някаква функция .

U(x, y) = 0 , ако условието е изпълнено.

защото пълна диференциална функция , обаче, води до доста тромави изчисления..

Пример.

това .

, което означава, че когато условието е изпълнено, се посочва, че .

тогава,

От първото уравнение на системата получаваме , обаче, води до доста тромави изчисления.. Намираме функцията, използвайки второто уравнение на системата:

Така ще намерим желаната функция Нека намерим общото решение на DE , обаче, води до доста тромави изчисления.Решение.

.

В нашия пример. Условието е изпълнено, защото: хТогава лявата страна на първоначалното диференциално уравнение е общият диференциал на някаква функция г. Трябва да намерим тази функция.

.

защото

е общият диференциал на функцията , означава:Ние се интегрираме от

1-во уравнение на системата и диференцирайте по отношение на резултат:От второто уравнение на системата получаваме . означава: .

Къде СЪС- произволна константа. По този начин и общият интегралдадено уравнение ще: Има и втори

Пример.

това .

, което означава, че когато условието е изпълнено, се посочва, че .

метод за изчисляване на функция от нейния пълен диференциал

. Състои се от вземане на линейния интеграл от фиксирана точка , обаче, води до доста тромави изчисления.(x 0, y 0) (1; 1) dx щедо точка с променливи координати (x, y). В този случай стойността на интеграла не зависи от пътя на интегриране. Удобно е като път на интегриране да се вземе прекъсната линия, чиито връзки са успоредни на координатните оси. (1, 1) Проверяваме изпълнението на условието: Така лявата страна на диференциалното уравнение е пълният диференциал на някаква функция. Нека намерим тази функция, като изчислим криволинейния интеграл на точката Така лявата страна на диференциалното уравнение е пълният диференциал на някаква функция dx ще:

. Като път на интегриране приемаме начупена линия: първият участък на начупената линия се прекарва по права линия .

Пример.

y = 1

, което означава, че когато условието е изпълнено, се посочва, че .

защото , което означава, че условието не е изпълнено, тогава лявата страна на диференциалното уравнение няма да бъде пълен диференциал на функцията и трябва да използвате втория метод на решение (това уравнение е диференциално уравнениес разделими променливи).