Trijstūri ir vienādi divos leņķos un vienā malā. Trešā trijstūra vienlīdzības zīme

Starptautiskā zinātniski praktiskā konference “Pirmie soļi zinātnē”

“Jauni” trīsstūru vienādības kritēriji

Matemātika

9.b klase MBOU "Brjanskas pilsēta
2. licejs nosaukts »

Vadītājs: matemātikas skolotājs

Brjanska 2013

1. Ievads

2. Būvniecības pamatuzdevumu kataloga izveide, izmantojot kompasu un lineālu

3. Pētīto trijstūra vienādības zīmju un trijstūra konstruēšanas uzdevumu salīdzinājums. Jaunas metodes atrašana trīsstūru vienādības pierādīšanai

4. Jaunu trijstūra vienādības testu pierādīšana

5. Iegūto rezultātu vispārināšana

6. Jaunu trīsstūru vienādības zīmju pielietošana uzdevumu risināšanā

7. Secinājums

esIevads

“Ja divas malas un leņķis starp tām ir viena un tā paša trijstūra…”. Iegaumētas trīsstūru vienādības zīmes, piemēram, reizināšanas tabula. Simtiem reižu esam tos citējuši un pielietojuši problēmu risināšanai. Šķiet, kas var būt vienkāršāks? Mēs par to visu zinām!

Tomēr joprojām ir jautājumi, uz kuriem atbildes mūs vajā. Pirmās vienādības zīmes pierādīšanai izmantotā superpozīcijas metode mums šķita zināmā mērā mākslīga. Vai tāpēc mēs to nekad neesam izmantojuši problēmu risināšanā? Kāpēc ir tik maz pazīmju, ka trīsstūri ir vienādi? 8. klasē veidojām trīsstūrus, izmantojot tās pašas divas malas un leņķi starp tām. Nelaimes gadījums? Bet matemātikā nav nejaušu sakritību.

Varbūt, atklājot saikni starp trijstūra konstruēšanas uzdevumu risināšanu un vienlīdzības zīmēm, mēs iegūsim jauna metode PRT pierādījumi. “Apbruņojušies” ar to, mēs varam pierādīt citas trīsstūru vienlīdzības pazīmes. Mēs esam pārliecināti, ka to ir daudz vairāk nekā 3!

Lai pārliecinātos, ka atbildes uz šiem jautājumiem skar ne tikai mūs, veicām socioloģisko aptauju liceja audzēkņu un skolotāju vidū (skat. 3.pielikumu).

Mūsu pieņēmumi apstiprinājās. Lielākā daļa skolēnu zina tikai 3 zīmes, kas liecina, ka trīsstūri ir vienādi. Pārklājuma metode nav īpaši populāra. Būvniecības uzdevumi arī nešķiet interesanta tēmaģeometrijā. Un daudzi cilvēki parasti uzskata, ka izpētes posms nav nepieciešams.

Tādējādi mērķis Mūsu pētījuma mērķis bija atrast saprotamāku metodi trijstūra vienādības zīmju pierādīšanai un jaunas trijstūra vienādības zīmes.

Ļoti svarīgi bija septītajā klasē apgūto vienkāršo būvniecības problēmu sarakstu papildināt ar citām elementārām konstrukcijām, kuras mācījāmies astotajā un devītajā klasē. Kopā bija 12 pamatkonstrukcijas (skat. 1. pielikumu). Turpmākās izpētes gaitā mēs vairākkārt atsauksimies uz šo sarakstu.

Jāpiebilst, ka visas problēmas atrisinājām, izmantojot algoritmu: dots-konstrukt-analīze-konstruēšana-pierādīt-pierādīt-pētījums. Priekš vienkāršus uzdevumus un problēmas, kurām ir zināms risinājums, mēs izlaidām analīzes posmu.

Vislielākā uzmanība tika pievērsta pēdējam posmam – pētījumiem, kas deva iespēju atrast jaunu pierādīšanas metodi.

Zīmējumus tika nolemts veidot programmā Paint, tāpēc jau iepriekš bija jāiemācās tajā darboties.

II. Celtniecības pamatuzdevumu kataloga izveide, izmantojot kompasu un lineālu

Lielākoties mūsu darbs ir saistīts ar trīsstūru konstruēšanas problēmu risināšanu, tāpēc darba pirmajā posmā mēs sastādījām vienkāršāko konstrukciju sarakstu. Tas problēmu risināšanu padarīja īsāku un skaistāku.

Visas problēmas atrisinājām pēc plāna: dots - būvēt - celt - pierādīt - pierādījums - izpēte. Īpaša nozīme tika piešķirta izpētes posmam.

Konstrukcijas pamatproblēmas tika risinātas dažādās 7. un 8. klases ģeometrijas sadaļās. Mēs tos esam apkopojuši vienā katalogā.

1) Segmenta uzbūve, kas vienāda ar doto;

2) Leņķa, kas vienāds ar doto, konstruēšana;

3) Leņķa bisektora uzbūve;

4) Segmenta vidusdaļas izbūve;

5) Perpendikula konstruēšana caur punktu, kas atrodas/neatrodas uz dotas taisnes;

6) Dotajai paralēlas līnijas izbūve;

7) Trešā leņķa uzbūve, balstoties uz diviem zināmiem;

8) riņķa pieskares konstruēšana caur punktu, kas neatrodas uz dotā apļa;

9) Segmenta dalīšana noteiktā proporcijā;

10) segmenta sadalīšana noteiktā segmentu attiecībās;

11) segmenta sadalīšana n vienādos segmentos.

Detalizēts šo problēmu risinājums ir sniegts 1. pielikumā.

III. Pētīto trijstūra vienādības zīmju un trīsstūru konstruēšanas uzdevumu salīdzinājums. Jaunas metodes atrašana zīmju pierādīšanai, ka trijstūri ir vienādi.

Lai atrastu jaunu metodi PPT pierādīšanai, mēs salīdzinājām pirmā PPT stāvokli ar vienas no būvniecības problēmām. Tie izrādījās vienādi, un mēs pieņēmām, ka tas nebija nejauši un būvniecības problēmas atrisināšana novedīs pie jaunas pierādīšanas metodes.

Trijstūra izveidošana, izmantojot divas malas un leņķi starp tām

https://pandia.ru/text/78/103/images/image003_23.jpg" width="667" height="82 id=">

Secinājums: Konstrukcijas unikalitātes dēļ visi trijstūri, kuru divas malas un leņķis starp tām ir attiecīgi vienādi ar dotajiem elementiem, ir vienādi.

Trijstūra konstruēšana, izmantojot malu un divus blakus leņķus

https://pandia.ru/text/78/103/images/image007_16.jpg" width="629" height="497">

PPT, kas pierādīts, risinot šo problēmu, ir šāds: "Ja viena trijstūra divas malas un mediāna, kas novilkta līdz trešdaļai, ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra divām malām un mediāna, kas novilkta līdz trešajai daļai, tad šie trīsstūri ir kongruenti."

Bet ne visas problēmas tika atrisinātas tik vienkārši. Piemēram, uzdevums konstruēt, izmantojot divas malas un leņķi, kas atrodas blakus vienai no malām, nesniedza jaunu vienlīdzības zīmi. Taču, tiklīdz nedaudz mainījām stāvokli, tika iegūta cita PRT. Šīs problēmas risinājums mums bija īpaši svarīgs, jo paši izdomājām tās nosacījumus.

https://pandia.ru/text/78/103/images/image010_3.png" width="630" height="340 id=">

Pēc šīs problēmas atrisināšanas pievērsāmies interneta resursiem un uzzinājām, ka šis apgalvojums dažkārt tiek dēvēts par trijstūra vienādības 4.kritēriju. Viņa pierādījumu sniedza Maskavas Valsts universitātes profesors fakultātes izveidotajā vietnē “Mathematics at School” skolotāju izglītība Nosaukta Maskavas Valsts universitāte. Šis pierādījums būtiski atšķiras no mūsu piedāvātā. Pilnu pierādījumu var atrast vietnē http://www. skola. *****///.

V. Iegūto rezultātu vispārinājums

Tātad, mēs esam atraduši jaunu metodi PRT pierādīšanai. Ja unikāls trīsstūris ir izveidots, izmantojot trīs elementus, tad atbilstošā šo elementu vienādība divos trīsstūros nozīmē, ka trīsstūri ir vienādi.

Šī metode ļāva izveidot jaunas trīsstūru vienlīdzības zīmes:

4 PRT. No divām pusēm un leņķis, kas ir pretējs lielākajam no tiem.

5 PRT. Leņķim pretējā pusē un augstumā, kas novilkts no dotā leņķa virsotnes.

6 PRT. Ar diviem leņķiem un augstumu, kas novilkts no trešā augšdaļas.

7 PRT. Divos stūros un perimetrā (divi risinājumi).

8 PRT. No divām pusēm un mediāna novilkta uz trešo.

9 PRT. Pamatojoties uz trim mediānām.

10 PRT. Gar diviem stūriem un sānu, kas atrodas blakus vienam no tiem.

Katra no tām detalizēts pierādījums ir sniegts 3. pielikumā.

VI. Jaunu trīsstūru vienādības kritēriju pielietošana uzdevumu risināšanā

Iespējams, mēs vēl neesam kādu pilnībā pārliecinājuši par mūsu pētījuma nozīmīgumu. Protams, jebkurš pētījums ir svarīgs pats par sevi, jo tā ir problēmas izpēte, atbilžu meklēšana uz jautājumiem... Bet mūsu darbam ir daudz specifiskāka praktiska nozīme nekā tikai interese. Galu galā daudzām ģeometrijas problēmām ir vajadzīgas zināšanas par trijstūra vienādības zīmēm, un jo vairāk zīmju, jo daudzveidīgāki risinājumi.

Mācību grāmatā “Ģeometrija 7-9” Atanasjans sniedz problēmu palielināta sarežģītība № 000*

Mēs piedāvājam tā risinājumu divos veidos.

1 veidā. "Divkāršot vidējo"

Pierādījums:

MD=AM, DO tieši AM

M1D1=A1M1, D1Îtiešs A1M1

2) AM=MD un BM=MC => ABCD-paralelogramma (pēc atribūta)

3) A1M1=M1D1 un B1M1=M1C1 => A1B1C1D1-paralelogramma (pēc atribūta)

4) DABC=DA1B1C1, jo: AB=A1B1 (pēc nosacījuma)

AD=2AM=2A1M1=A1D1

B1D1=A1C1=A1C1=B1D1 (atbilstoši paralelograma malu īpašībām)

5) No vienādības DAВD un DA1В1D1 izriet, ka leņķi РАВD=РА1В1D1 => РВAC=180°-РАВD=180°-РА1В1D1 =РВ1А1С1

6) Apsveriet DABC un DA1B1C1:

AB=A1B1; AC=A1C1, atbilstoši nosacījumam; RA = RA1, saskaņā ar pierādīto => DA1B1C1 = DA1B1C1 no divām pusēm un leņķis starp tām.

2 veidā. Izmantojot 7PRT

Pierādījums:

Pēc nosacījuma AB=A1B1; AC=A1C1; AM=A1M1. Tāpēc DABC = DA1B1C1 no divām pusēm un mediāna novilkta uz trešo (7PRT).

Acīmredzot 2. metode ir daudz īsāka.

VII. Secinājums

Apkoposim: mēs atradām metodi PPT pierādīšanai, kas atšķiras no superpozīcijas metodes, pierādīja “jaunus” trijstūra vienādības kritērijus un atrisināja problēmas, izmantojot šos kritērijus.

Mēs arī pārliecinājāmies, ka visvienkāršākajā, no pirmā acu uzmetiena, tēmā var paslēpties daudzi noslēpumi. Un trīsstūru konstruēšanas uzdevumi, kas mums šķita garlaicīgi un nevajadzīgi, ir kļuvuši daudz interesantāki, un par to aktualitāti vairs nav šaubu.

Esam atraduši “rīku”, ar kuru viegli meklēt jaunus trijstūra vienādības kritērijus. Tagad, ja nepieciešams, mēs varam pārbaudīt, vai trīs elementu kopa ir trīsstūru vienlīdzības zīme vai nē. Un, bez šaubām, lielu prieku sagādāja pats process, kurā vispirms tika meklēta jauna metode PPT pierādīšanai un pēc tam atklāti jauni kritēriji trīsstūru vienlīdzībai. Pa ceļam apguvām programmu Paint.

Mēs nevaram apgalvot, ka bijām pirmie, kas tika galā ar šo problēmu. Un visticamāk šī metode pierādījumi, ka PRT bija zināma pirms mums. Varbūt mēs kaut ko esam palaiduši garām un ne viss norit gludi, izmantojot “mūsu” metodi. Tāpēc ar savu darbu vēlamies iepazīstināt plašu lasītāju loku. Viņu viedoklis mums ir ļoti svarīgs. Lai to izdarītu, ievietojām pētījumu vietnē “Liceja Nr.2 virtuālais muzejs” (http://www. *****/) un uzsākām saraksti ar profesoru. Mēs lūdzām viņu sniegt atsauksmes par mūsu darbu.

Mūsu pētījuma rezultātus skolēni un skolotāji var izmantot, gatavojoties stundām un eksāmeniem. Piemēram, izmantojiet paplašinātu būvniecības pamatproblēmu sarakstu, atklājiet jaunu metodi PPT pierādīšanai, patstāvīgi pierādiet trijstūra vienādības kritērijus, kā arī izmantojiet mūsu jau pierādītos kritērijus. Ir ļoti svarīgi, ka tagad ir iespējams samazināt ģeometrijas uzdevumu risināšanas laiku ieskaitēs un eksāmenos.

Bibliogrāfija

1. un citi: Mācību grāmata 7.-9.klasei izglītības iestādēm. 8. izdevums - M.: Izglītība, AS "Maskavas mācību grāmata", 2010.

2. “Tas būtu jāzina katram matemātikas skolēnam.” 5. izdevums, stereotips.-M.:MCNMO, 2008-56.

3. “Ceturtā trīsstūru vienlīdzības zīme”, “Matemātika skolā” http://www. skola. *****///.

4. Tīmekļa vietne “Liceja Nr. 2 virtuālais muzejs” (http://www. *****/)

1.pielikums

Vienkāršākās būvniecības problēmas

Pamata konstrukcijas, izmantojot kompasu un lineālu

Pētījums:

konstrukcija ir unikāla katras konstrukcijas unikalitātes dēļ.

Piezīme:PQ-perpendikulāra bisektrise segmentam AB

2. pielikums

Problēmas trijstūra veidošanā

4. Izveidojiet trīsstūri, izmantojot divus leņķus un malu, kas atrodas blakus vienam no dotajiem leņķiem.

5. Izveidojiet trīsstūri, izmantojot leņķim pretējo malu un augstumu, kas novilkts no dotā leņķa

(problēmu atrisināsim, izmantojot punktu ģeometrisko loku metodi)

6. Izveidojiet trīsstūri, izmantojot divus leņķus un augstumu, kas novilkts no trešā.

(atrisināsim problēmu, izmantojot līdzības metodi)

7. Trijstūra izveidošana, izmantojot divas malas un leņķi, kas atrodas blakus vienai no šīm malām

No seniem laikiem līdz mūsdienām par pamatuzdevumu tiek uzskatīta figūru vienlīdzības pazīmju meklēšana, kas ir ģeometrijas pamatu pamatā; simtiem teorēmu tiek pierādītas, izmantojot vienlīdzības testus. Spēja pierādīt figūru vienlīdzību un līdzību ir svarīgs uzdevums visās būvniecības jomās.

Saskarsmē ar

Prasmes pielietošana praksē

Pieņemsim, ka mums uz papīra ir uzzīmēta figūra. Tajā pašā laikā mums ir lineāls un transportētājs, ar kuru mēs varam izmērīt segmentu garumus un leņķus starp tiem. Kā pārnest tāda paša izmēra figūru uz otru papīra lapu vai dubultot tās mērogu.

Mēs zinām, ka trīsstūris ir figūra, kas sastāv no trim segmentiem, ko sauc par malām, kas veido leņķus. Tādējādi ir seši parametri - trīs malas un trīs leņķi -, kas nosaka šo skaitli.

Tomēr, izmērot visu trīs malu un leņķu izmērus, šī skaitļa pārvietošana uz citu virsmu būs grūts uzdevums. Turklāt ir jēga uzdot jautājumu: vai nebūtu pietiekami zināt divu pušu un viena leņķa parametrus vai tikai trīs malas?

Izmērot abu malu garumu un starp tām, mēs uzliksim šo leņķi uz jauna papīra, lai mēs varētu pilnībā atjaunot trīsstūri. Izdomāsim, kā to izdarīt, uzzināsim, kā pierādīt zīmes, ar kurām tos var uzskatīt par vienādiem, un izlemsim, ar kādu minimālo parametru skaitu pietiek zināt, lai pārliecinātos, ka trīsstūri ir vienādi.

Svarīgs! Figūrus sauc par identiskiem, ja segmenti, kas veido to malas un leņķus, ir vienādi viens ar otru. Līdzīgi skaitļi ir tie, kuru malas un leņķi ir proporcionāli. Tādējādi vienlīdzība ir līdzība ar proporcionalitātes koeficientu 1.

Kādas ir trīsstūru vienlīdzības zīmes, sniegsim to definīciju:

pirmā vienlīdzības zīme: divus trīsstūrus var uzskatīt par identiskiem, ja to divas malas ir vienādas, kā arī leņķis starp tiem.
otrā trīsstūru vienādības zīme: divi trijstūri būs vienādi, ja divi leņķi būs vienādi, kā arī atbilstošā mala starp tiem.
trešā trīsstūru vienādības zīme : Trijstūrus var uzskatīt par identiskiem, ja to visas malas ir vienāda garuma.

Kā pierādīt, ka trijstūri ir kongruenti. Sniegsim trijstūra vienādības pierādījumu.

1 zīmes pierādījums

Ilgu laiku starp pirmajiem matemātiķiem šī zīme tika uzskatīta par aksiomu, tomēr, kā izrādījās, to var pierādīt ģeometriski, pamatojoties uz pamata aksiomām.

Apsveriet divus trīsstūrus - KMN un K 1 M 1 N 1 . Sānu KM garums ir tāds pats kā K 1 M 1, un KN = K 1 N 1. Un leņķis MKN vienāds ar leņķiem KMN un M 1 K 1 N 1 .

Ja mēs uzskatām KM un K 1 M 1, KN un K 1 N 1 par diviem stariem, kas iziet no viena punkta, tad mēs varam teikt, ka leņķi starp šiem staru pāriem ir vienādi (to nosaka nosacījums teorēma). Mēs ražosim paralēla pārsūtīšana stari K 1 M 1 un K 1 N 1 no punkta K 1 uz punktu K. Šīs pārneses rezultātā stari K 1 M 1 un K 1 N 1 pilnībā sakritīs. Uzzīmēsim uz stara K 1 M 1 segmentu ar garumu KM, kura izcelsme ir punktā K. Tā kā pēc nosacījuma iegūtais segments būs vienāds ar nogriezni K 1 M 1, tad punkti M un M 1 sakrīt. Līdzīgi ar segmentiem KN un K 1 N 1. Tādējādi, pārnesot K 1 M 1 N 1 tā, lai punkti K 1 un K sakristu un abas malas pārklājas, iegūstam pilnīgu pašu figūru sakritību.

Svarīgs! Internetā ir pierādījumi par trijstūra vienādību ar divām malām un leņķi, izmantojot algebriskās un trigonometriskās identitātes ar malu un leņķu skaitliskām vērtībām. Tomēr vēsturiski un matemātiski šī teorēma tika formulēta ilgi pirms algebras un agrāk nekā trigonometrija. Lai pierādītu šo teorēmas iezīmi, nav pareizi izmantot kaut ko citu, izņemot pamata aksiomas.

Pierādījumi 2 pazīmes

Pierādīsim otro vienlīdzības zīmi divos leņķos un vienā pusē, pamatojoties uz pirmo.

Pierādījumi 2 pazīmes

Padomāsim par KMN un PRS. K ir vienāds ar P, N ir vienāds ar S. Sānu KN garums ir tāds pats kā PS. Ir jāpierāda, ka KMN un PRS ir viens un tas pats.

Atspoguļosim punktu M attiecībā pret staru KN. Sauksim iegūto punktu L. Šajā gadījumā malas garums KM = KL. NKL ir vienāds ar PRS. KNL ir vienāds ar RSP.

Tā kā leņķu summa ir vienāda ar 180 grādiem, tad KLN ir vienāds ar PRS, kas nozīmē, ka PRS un KLN ir vienādi (līdzīgi) abās pusēs un leņķis saskaņā ar pirmo zīmi.

Bet, tā kā KNL ir vienāds ar KMN, tad KMN un PRS ir divi identiski skaitļi.

Pierādījumi 3 pazīmes

Kā noteikt, vai trijstūri ir kongruenti. Tas izriet tieši no otrās pazīmes pierādījuma.

Garums KN = PS. Tā kā K = P, N = S, KL = KM un KN = KS, MN = ML, tad:

Tas nozīmē, ka abi skaitļi ir līdzīgi viens otram. Bet, tā kā viņu puses ir vienādas, tās ir arī vienādas.

No vienlīdzības un līdzības pazīmēm izriet daudzas sekas. Viens no tiem ir tāds, ka, lai noteiktu, vai divi trīsstūri ir vienādi vai nē, ir jāzina to īpašības, vai tie ir vienādi:

visas trīs puses;
abas puses un leņķis starp tām;
abi leņķi un sānu starp tiem.

Trijstūra vienādības testa izmantošana problēmu risināšanai

Pirmās zīmes sekas

Pierādīšanas gaitā var nonākt pie vairākām interesantām un noderīgām sekām.

. Tas, ka paralelograma diagonāļu krustošanās punkts sadala tās divās identiskās daļās, ir vienlīdzības zīmju sekas un ir diezgan piemērotas papildu trīsstūra malām (ar spoguļa konstrukciju, kā pierādījumos ko veicām) ir galvenās malas (paralelograma malas).
Ja ir divi taisnleņķa trīsstūri, kuriem ir vienādi asi leņķi, tad tie ir līdzīgi. Ja pirmā kāja ir vienāda ar otrās kāju, tad tās ir vienādas. To ir diezgan viegli saprast – visiem taisnajiem trijstūriem ir taisns leņķis. Tāpēc viņiem vienlīdzības zīmes ir vienkāršākas.
Divus taisnleņķa trīsstūrus, kuros divām kājām ir vienāds garums, var uzskatīt par identiskiem. Tas ir saistīts ar faktu, ka leņķis starp abām kājām vienmēr ir 90 grādi. Tāpēc saskaņā ar pirmo kritēriju (divas malas un leņķis starp tām) visi trīsstūri ar taisniem leņķiem un identiskām kājām ir vienādi.
Ja ir divi taisnleņķa trīsstūri un to viena kāja un hipotenūza ir vienādas, tad trijstūri ir vienādi.

Pierādīsim šo vienkāršo teorēmu.

Ir divi taisnleņķa trīsstūri. Vienam ir malas a, b, c, kur c ir hipotenūza; a, b - kājas. Otrajam ir malas n, m, l, kur l ir hipotenūza; m, n - kājas.

Saskaņā ar Pitagora teorēmu viena no kājām ir vienāda ar:

;

Tādējādi, ja n = a, l = c (kāju un hipotenūzu vienādība), attiecīgi, otrās kājas būs vienādas. Attiecīgi skaitļi būs vienādi saskaņā ar trešo raksturlielumu (no trim pusēm).

Ļaujiet mums atzīmēt vēl vienu svarīgu rezultātu. Ja ir divi vienāds trīsstūris, un tie ir līdzīgi ar līdzības koeficientu k, tas ir, visu to malu pāru attiecības ir vienādas ar k, tad to laukumu attiecība ir vienāda ar k2.

Pirmā trīsstūru vienlīdzības zīme. Video stunda par ģeometriju 7. klase

Ģeometrija 7 Pirmā trīsstūru vienādības zīme

Secinājums

Mūsu apspriestā tēma palīdzēs ikvienam studentam labāk izprast ģeometriskos pamatjēdzienus un uzlabot viņu prasmes interesantākā pasaule matemātika.

Trijstūra vienādības zīmes

Trijstūrus, kuru atbilstošās malas ir vienādas, sauc par kongruentiem.

Teorēma (pirmā trīsstūru vienādības zīme).
Ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir attiecīgi vienāds ar cita trijstūra divām malām un leņķi starp tām, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

Teorēma (otrais trīsstūru vienādības kritērijs).
Ja viena trijstūra mala un divi blakus leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem blakus leņķiem, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

Teorēma (trešais trīsstūru vienādības kritērijs).
Ja viena trijstūra trīs malas ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

Trīsstūru līdzības pazīmes

Trijstūrus, kuru leņķi ir vienādi un kuru līdzīgās malas ir proporcionālas, sauc par līdzīgiem: , kur ir līdzības koeficients.

Es parakstu trīsstūru līdzību. Ja viena trijstūra divi leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra diviem leņķiem, tad šie trīsstūri ir līdzīgi.

Trijstūra II līdzības zīme. Ja viena trijstūra trīs malas ir proporcionālas cita trijstūra trim malām, tad trīsstūri ir līdzīgi.

III trīsstūru līdzības zīme. Ja viena trijstūra divas malas ir proporcionālas cita trijstūra divām malām un leņķi starp šīm malām ir vienādi, tad trijstūri ir līdzīgi.

Podgornijs Maksims

Materiāls pētnieciskais darbs var izmantot ģeometrijas pulciņiem 7. klasē

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Rostovas pie Donas pilsētas MBU DO "Bērnu un jauniešu radošuma pils"

Dona Zinātņu akadēmija jaunie pētnieki viņiem. Ju A. Ždanova

Matemātika

Tēma: “Nestandarta teorēmas par trijstūra vienādību”

Podgornijs Maksims, 7. klase,

MBOU 3. vidusskola,

Pārraugs:

Oļeņikova Ludmila Aleksandrovna,

matemātikas skolotājs,

MBOU 3. vidusskola,

Salska, Rostovas apgabals

Rostova pie Donas

2017. gads

Ievads…………………………………………………………………………3

Galvenā daļa

Trīsstūru vienādības zīmes………………………………………………………

Nestandarta trīsstūru vienādības zīmes…………………………….7

Secinājums………………………………………………………………………………… 10

Atsauces……………………………………………………………… 11

Pieteikums

Ievads.

Atbilstība:

Trijstūris ir viena no galvenajām planimetrijas figūrām. Daudz dzirdēju no vidusskolēniem, ka, gatavojoties vienotajam valsts eksāmenam, bieži vien jāpierāda trijstūra vienlīdzība. Un zināšanas par pamatzīmēm izrādās nepietiekamas. Vēlējos uzzināt, vai ir iespējams pierādīt trijstūra vienādību, izmantojot citus parametrus. Ģeometrijas mācību grāmatā, no kuras mācās mūsu skolas audzēkņi (autori L.S. Atanasjans, V.F. Butuzovs u.c. Ģeometrija 7-9), aplūkotas tikai 3 trijstūra vienādības zīmes. Es paskatījos cauri izglītojošie un metodiskie komplekti citi autori. Bet pat tajās pētīšanai tiek piedāvātas tikai trīs labi zināmas teorēmas.

Hipotēze:

Vai bez trim labi zināmajiem ir iespējams formulēt vēl citus trīsstūru vienādības kritērijus?

Lai pārliecinātos, ka atbilde uz šo jautājumu skar ne tikai mani, veicu socioloģisko aptauju 7.-11.klašu skolēnu vidū (skat. 1.pielikumu).

Mani pieņēmumi apstiprinājās. Lielākā daļa skolēnu zina tikai trīs zīmes, kas liecina, ka trīsstūri ir vienādi.

Tādējādi mana pētījuma mērķis bija atrast jaunas trīsstūru vienādības zīmes.

Uzdevumi:

ΘIzpētiet literatūru par pētāmo tēmu.

Θ Norādiet zīmju skaitu, ka trijstūri ir vienādi.

Θ Demonstrējiet saviem klasesbiedriem un mūsu skolas audzēkņiem citu trīsstūru vienlīdzības zīmju esamību un to pierādīšanas iespēju.

Pētījuma objekts:

Trīsstūru vienādības zīmju izpēte.

Studiju priekšmets. Trijstūris ir viena no galvenajām planimetrijas figūrām.

Pētījuma metode:Teorētiskā (mācība, analīze un sintēze), sistēmu meklēšana, praktiskie (teorēmu pierādījumi).

Vēsturiska atsauce

Trijstūris ir viena no visas ģeometrijas centrālajām figūrām.

Risinot problēmas, tiek izmantota tā plašā īpašību dažādība.

Trijstūra īpašības tiek plaši izmantotas praksē: arhitektūrā; izstrādājot ēkas rasējumu, plānojot nākotnes dzīvokļus; rūpniecībā, dažādu detaļu projektēšanā, būvmateriālu ražošanā, kuģu un lidmašīnu būvē; navigācijā, lai uzzīmētu pareizo un precīzāko maršrutu; astroloģijā un astronomijā trīsstūris ir ļoti nozīmīgs skaitlis; trijstūri padara augstsprieguma elektrolīniju un dzelzceļa tiltu konstrukcijas uzticamas.

Turklāt ir daudz citu jomu, kur tie tiek izmantoti dažādas īpašības trīsstūris: uzsākot biljarda spēli, bumbiņas jāsakārto trīsstūra formā, šim nolūkam izmantojiet īpašu ierīci; ķegļu izvietojums Boulinga spēlē arī ir vienādmalu trīsstūra formā; trijstūri tiek izmantoti, lai izveidotu skaistas parketa grīdas; Paskāla trijstūra ierīce: katrs skaitlis ir vienāds ar divu virs tā esošo skaitļu summu (apvelciet trīs skaitļus ar trīsstūri). Viss ir elementāri, bet cik daudz brīnumu tajā slēpjas! Dators pārtulkoja Paskāla trīsstūri krāsu valodā.

Trijstūra tēmu var turpināt bezgalīgi.

Pasaulē ir tik daudz trīsstūru!

Šim skaitlim ir arī figurālas nozīmes: piemēram, “zelta trīsstūra” noteikums ir balstīts uz pircēja psiholoģiju - atradis sev nepieciešamo preci, pircējs steidzas pie kases. Pārdevēju uzdevums ir likt viņam ilgāk uzkavēties veikalā, pircējam vajadzīgās preces novietojot iedomāta trīsstūra virsotnēs, tas ir, “noenkurot” pircēju. Kā lielāka platība trīsstūris, jo veiksmīgāku veikala izkārtojumu var saukt. Pārtikas veikalā šie enkura produkti ir gastronomija, piena produkti un maize. Tirdzniecības zonas aizmugurējā gala siena ir otrā svarīgākā vieta un tieši tur vispiemērotākais ir izvietot enkura izstrādājumus - tieši tāpēc, lai piespiestu pircēju iziet cauri visam veikala perimetram.

Plaši pazīstams Bermudu trijstūris ir apgabals Atlantijas okeāns, kurā notiek it kā mistiskas kuģu un lidmašīnu pazušanas. Apgabalu ierobežo līnijas no Floridas uz Bermudu salām, uz Puertoriko un atpakaļ uz Floridu caur Bahamu salām.

Tāpēc trīsstūra un visu tā īpašību izpēte ir ļoti aktuāla tēma.

Šī darba mērķis ir runāt par trīsstūru vienādības zīmēm, kas ir viena no to svarīgākajām īpašībām.

Trīsstūru vienādības testi ir teorēmas, uz kuru pamata var pierādīt, ka dažitrijstūri ir vienādi.

Ģeometrijā tiek izmantotas trīs trīsstūru vienādības zīmes.

Šī tēma ir praktiski pētīta, jo mūsdienās ir trīs trīsstūru vienādības kritēriji, kurus var pierādīt, izmantojot atbilstošās teorēmas.

Senos laikos kopā ar astronomiju parādījās trigonometrijas zinātne. Vārds "trigonometrija" ir cēlies no grieķu vārdiem "trijstūris" un "mērs". Burtiskā nozīme ir "zinātne par trīsstūru mērīšanu".

Izmantojot 3, 4 un 5 vienības garas izstieptas virves, ēģiptiešu priesteri ieguva taisnus leņķus, būvējot tempļus utt.

Māksla attēlot priekšmetus lidmašīnā ir piesaistījusi cilvēku uzmanību jau senos laikos, cilvēki gleznoja dažādus ornamentus, augus un dzīvniekus uz akmeņiem, sienām, traukiem un citiem sadzīves priekšmetiem. Cilvēki centās nodrošināt, lai attēls pareizi atspoguļotu objekta dabisko formu.

gadā tika izveidota doktrīna par figūru līdzību, pamatojoties uz attiecību un proporciju teoriju Senā Grieķija 5.-4. gadsimtā pirms mūsu ēras un joprojām pastāv un attīstās šodien. Piemēram, pieaugušo pasaulē ir ļoti daudz bērnu rotaļlietu, kas līdzīgas mantām, vienāda stila apavi un apģērbi pieejami dažādos izmēros. Šos piemērus var turpināt. Galu galā visi cilvēki ir līdzīgi viens otram, un, kā teikts Bībelē, Dievs tos radīja pēc sava tēla un līdzības.

Trīsstūru vienādības testiem jau sen ir bijusi liela nozīme ģeometrijā, jo daudzu teorēmu pierādīšana tika samazināta līdz noteiktu trīsstūru vienādības pierādīšanai. Pitagorieši jau nodarbojās ar trīsstūru vienlīdzības zīmju pierādīšanu. Saskaņā ar Proklu, Rodas Eidems piedēvē Milētas Talesam pierādījumu par divu trīsstūru vienādību ar vienādām malām un diviem blakus esošajiem leņķiem (otra trijstūra vienādības zīme).

Thales izmantoja šo teorēmu, lai noteiktu attālumu no krasta līdz jūras kuģiem.Nav precīzi zināms, kādu metodi Thales izmantoja, lai to izdarītu.

Trīsstūru vienādības zīmes.

Sāksim ar definīciju. Trijstūri ABC un A1B1C1 sauc par vienādiem, ja tos var apvienot, pārklājoties.

Trīsstūris sastāv no sešiem elementiem: trīs leņķiem un trim malām.

Tas rada jautājumu: "Kāds ir mazākais trīsstūra elementu skaits, kas nepieciešams, lai noteiktu divu trīsstūru vienādību?"

Mēs nevarēsim noteikt divu trīsstūru vienādību, pamatojoties uz vienu elementu, jo nav zināms: "Vai pārējie elementi būs vienādi?"

Tāpat nav iespējams noteikt divu trīsstūru vienādību, izmantojot divus elementus, jo trūkst informācijas vienlīdzības noteikšanai.

Ir iespējams noteikt divu trīsstūru vienādību, izmantojot trīs elementus. Bet tas rada jautājumu: "Kādi tieši trīs elementi ir jānosauc, lai noteiktu trīsstūru vienādību?"

Studējot šo jautājumu, pārlūkoju dažādu autoru skolas ģeometrijas mācību grāmatas, kā arī vārdnīcas un uzziņu grāmatas. Mācību grāmatās septītajai klasei ir piedāvāti tikai trīs trīsstūru vienādības kritēriji.

Θ1 zīme : Ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir attiecīgi vienāds ar cita trijstūra divām malām un leņķi starp tām, tad šādi trīsstūri ir vienādi. 1. att

Pierādījums. Apsveriet trīsstūrus ABC un A 1 B 1 C 1 , (1. att.), kam AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 . Pierādīsim, ka ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1 .

Tā kā ∠A = ∠A 1 , tad trijstūri ABC var uzlikt uz trijstūra A 1 B 1 C 1 lai virsotne A sakristu ar virsotni A 1 , un malas AB un AC pārklājas attiecīgi ar stariem A 1 B 1 un A 1 C 1 . Tā kā AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 , tad AB mala sakrīt ar A malu 1 no 1 un puse AC ir ar A malu 1 C 1 ; jo īpaši punkti B un B sakritīs 1, C un C 1 . Tāpēc malas BC un B sakritīs 1 C 1 . Tātad, trijstūri ABC un A 1 B 1 C 1 ir pilnībā saderīgi, kas nozīmē, ka tie ir vienādi.

Un lūk, kā iekšā Senā Ēģipte piemēroja pirmo trīsstūru vienādības testu (abās pusēs un leņķī starp tām), arī Milētas Thales tiek uzskatīts par tās veidotāju, lai izmērītu piramīdas augstumu: iedomājieties, ka mēs stāvam milzīgas piramīdas priekšā, kā mēs varam izmērīt tās augstumu? Galu galā jūs nevarat tam pievienot mērinstrumentus! Un šeit Milētas Talesam palīgā nāk pirmā trīsstūru vienlīdzības zīme: viņš nogaidīja, līdz viņa ēna precīzi sakrita ar viņa augumu, pielietoja teorēmu, izrādījās, ka piramīdas augstums ir vienāds ar tās ēnu (att. 2).

Rīsi. 2

Θ2 zīme: Ja viena trijstūra mala un divi blakus leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem blakus leņķiem, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

Pierādījums: ja △ABC un △A 1 B 1 C 1 notiks šādas vienādības AB=A 1 B 1, ∠BAC=∠B 1 A 1 C 1, ∠АВС= ∠А 1 B 1 C 1 . Uzliksim trijstūrus A vienu virs otra 1 B 1 C 1 un ABC, lai tie sakristu vienādas puses AB un A 1 no 1 un tiem blakus esošie stūri. Tāpat kā iepriekšējā piemērā, kas jau tika apspriests, ja nepieciešams, trīsstūris A 1 B 1 C 1 jūs varat to apgriezt un piestiprināt otrā puse Trijstūri sakritīs, tāpēc tos var uzskatīt par vienādiem.

Θ3 zīme : Ja viena trijstūra trīs malas ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trijstūri ir kongruenti. Pierādījums: pieņemsim △ABC un △A 1 B 1 C 1 vienādības A ir spēkā 1 B 1 = AB, B 1 C 1 = BC, C 1 A 1 =SA. Pārvietosim trīsstūri A 1 B 1 C 1 tātad tā puse A 1 no 1 sakrīt ar malu AB un virsotni B 1 un B, A 1 un A sakritīs. Paņemiet apli ar centru A un rādiusu AC un otru apli ar centru B un rādiusu BC. Šie apļi krustosies divos punktos, kas ir simetriski attiecībā pret segmentu AB: punktā C un punktā C 2 . Tas nozīmē, ka C1 pēc trijstūra A1B1C1 pārvietošanas jāsakrīt ar punktiem C vai C2. Jebkurā gadījumā tas nozīmēs vienādību △ABC=△A 1 B 1 C 1 , jo trijstūri △ABC=△ABC 2 ir vienādi (galu galā šie trīsstūri ir simetriski attiecībā pret segmentu AB.

Šī īpašība - trijstūra stingrība - tiek plaši izmantota praksē. Tātad, lai stabu nostiprinātu vertikālā stāvoklī, uz tā tiek uzlikts balsts; tas pats princips tiek izmantots, uzstādot kronšteinu.

Trijstūra stingrības īpašība tiek plaši izmantota praksē dzelzs konstrukciju būvniecībā.

No trešā trīsstūru vienādības kritērija izriet, ka trijstūris ir stingra figūra. Jo: varam iedomāties divas līstes, kurām abi gali ir nostiprināti ar naglu. Šis dizains nav stingrs, tomēr, pārvietojot vai izplešot līstes brīvos galus, varam mainīt leņķi starp tiem. Tagad paņemsim vēl vienas līstes un nostiprināsim tās galus ar pirmo divu līstes brīvajiem galiem. Iegūtā struktūra - trīsstūris - jau būs stingra. Nav iespējams pārvietot vai atdalīt jebkuras divas puses, t.i., nevar mainīt nevienu stūri. Patiešām, ja tas būtu iespējams, mēs iegūtu jaunu trīsstūri, kas nav vienāds ar sākotnējo. Bet tas nav iespējams, jo jaunajam trīsstūrim jābūt vienādam ar sākotnējo trešajā

M. Ya uzziņu grāmatā par elementāru matemātiku es atradu vēl vienu zīmi.

Θ4 zīme: Ja viena trijstūra divas malas un leņķis pretī lielākajam ir attiecīgi vienāds ar cita trijstūra divām malām un leņķis, kas ir pretējs lielākajam citam trijstūrim, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

Es pierādīšu šo zīmi.

Ņemot vērā : ΔABC , ΔA1B1C1 , AB=A1B1, AC=A1C1,∠ B= ∠ B1

Pierādīt: ΔABC=A1B1C1.

Sakārtosim trīsstūrus kā 1. attēlā. Savienosim B un B1, tad ΔАВВ1

Vienādsānu nozīmē∠ 1= ∠ 2. ∠ 3= ∠ 4 kā vienādu leņķu atlikumus.

Mēs iegūstam ΔВСВ1 - vienādsānu, tātad ВС=В1С1. ΔАВС = ΔА1В1С1 no trim pusēm.

arī iekšā skolas kurss Tiek ņemtas vērā 4 taisnleņķa trīsstūru vienādības zīmes:

Θ1 . Ja kājas ir viena taisnleņķa trīsstūris attiecīgi vienādi ar otra kājām, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

Θ2 . Ja viena taisnleņķa trijstūra kāja un tai blakus esošais asais leņķis ir attiecīgi vienādi ar kāju un tai blakus esošo akūto leņķi ass stūris citi, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

Θ3 . Ja viena taisnleņķa trijstūra hipotenūza un asais leņķis ir attiecīgi vienādi ar cita taisnleņķa hipotenūzu un akūto leņķi, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

Θ4 . Ja viena taisnleņķa trijstūra hipotenūza un kāja ir attiecīgi vienādas ar cita hipotenūzu un kāju, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

Atrisināju trijstūra vienādības kritēriju teorētisko bāzi, klasiskajos trīsstūru vienādības testos izmantotajām malām un leņķiem pievienojot citas sastāvdaļas: bisektrisi, mediānu un augstumu.

Nestandarta kritēriji trīsstūru kongruencei.

1) No divām pusēm un augstums uzvilkts uz vienu no tām.

Dots: AB=A1B1 , BC=B1C1 , AK=A1K1 ,

Pierādīt: ΔABC= ΔA1B1C1.

Pierādījums: ΔABK=ΔA1B1K1 pēc hipotenūzas un kājas, tad∠ B= ∠ B1 un iegūstiet ΔABC= ΔA1B1C1 atbilstoši pirmajai zīmei.

2) No divām pusēm un vienai no tām novilkta mediāna

Dots: AB=A1B1, BC=B1C1, AK=A1K1, AK un A1K1 ir mediānas.

Pierādīt: ΔABC= ΔA1B1C1.

Pierādījums: ΔABK=ΔA1B1K1 no trim pusēm, kas nozīmē∠ B= ∠ B1 un ΔABC= ΔA1B1C1 saskaņā ar pirmo zīmi.

3) Gar divām malām un augstums, kas novilkts no trešā stūra.

Dots: ∠ B= ∠ B1 , ∠ C= ∠ C1 , AK=A1K1 .

Pierādīt: ΔABC= ΔA1B1C1.

Pierādījums: ΔABK=ΔA1B1K1 gar kāju un akūtu leņķi, kas nozīmē BK=B1K1,

ΔACK=ΔA1C1K1 pēc kājas un akūtā leņķa, kas nozīmē KC=K1C1 un līdz ar to BC=B1C1 un ΔABC= ΔA1B1C1 pēc otrās zīmes.

4) Gar malu un divus augstumus, kas novilkti no leņķiem, kas atrodas blakus šai malai.

Dots: AC=A1C1, SM=C1M1, AK=A1K1.

Pierādīt: ΔСC= ΔA1B1C1.

Pierādījums: ΔAMC= ΔA1М1C1 gar kāju un hipotenūzu, kas nozīmē∠ A= ∠ A1 un ΔAКC= ΔA1К1C1 gar kāju un hipotenūzu, kas nozīmē∠ C= ∠ C1.

Tātad, ΔABC= ΔA1B1C1 saskaņā ar otro kritēriju.

5) No divām pusēm un augstums novilkts uz trešo pusi.

Ņemot vērā: AB=A1B1,BC=B1C1,BK=B1K1.

Pierādīt: ΔABC= ΔA1B1C1.

Pierādījums: ΔABK=ΔA1B1K1 uz hipotenūzas un kājas, kas nozīmē AK=A1K1,

ΔBКC= ΔB1К1C1 gar kāju un hipotenūzu, kas nozīmē KC=K1C1.

Tātad, ΔABC = ΔA1B1C1 no trim pusēm.

6) Gar malu viens no leņķiem, kas atrodas blakus šai malai, un bisektrise no šī leņķa.

Dots: AC=A1C1, AK=A1K1,∠ A ∠ A1.

Pierādīt: ΔABC= ΔA1B1C1.

Pierādījums: ΔКАС=ΔК1А1С1 pēc pirmās zīmes, kas nozīmē∠ C= ∠ C1,

ΔABC= ΔA1B1C1 saskaņā ar otro raksturlielumu.

7) Pēc diviem augstumiem un leņķa, no kura tiek vilkts viens no augstumiem.

Dots: SM=S1M1, AK=A1K1, ∠ A ∠ A1.

Pierādīt: ΔABC= ΔA1B1C1.

Pierādījums: ΔAMC= ΔA1М1C1 uz kājas un akūtā leņķa, ΔКАС=ΔК1А1С1 uz kājas un hipotenūzas, ΔABC= ΔA1B1C1 uz otrās zīmes.

Secinājums.

Pētījuma laikā noskaidroju, ka bez trim galvenajām trijstūra vienādības zīmēm iespējams norādīt arī daudzas citas. Es formulēju un pierādīju trijstūra vienādību, pamatojoties uz trijstūra mediānu, augstumu, bisektrisi kombinācijā ar trijstūra malām un leņķiem, pieturoties pie trīs elementu klātbūtnes. Tagad mūsu skolas skolēniem varu pateikt, ka ir arī citas pazīmes, kas liecina, ka trīsstūri ir vienādi. Tas ļaus skolas absolventiem izmantot manu pētījumu rezultātus, gatavojoties vienotajam valsts eksāmenam un vienotajam valsts eksāmenam, un ērti atrisināt ģeometriskās problēmas, izmantojot šīs funkcijas.

Mana pētījuma rezultāts: Ir pierādīti vairāki skolas ģeometrijas kursā neapgūtu trīsstūru vienādības kritēriji.

Bibliogrāfija

Vigodskis M.Ya. Pamatmatemātikas rokasgrāmata.
Ģeometrija. 7.-9.klase: mācību grāmata. Vispārējai izglītībai institūcijas/L.S.Atanasjans, V.F.Butuzovs, S.B. Kadomcevs u.c. – 19. izd. – M.: Izglītība, 2009.
Pogorelovs A.V. Ģeometrija: mācību grāmata. 7-9 klasēm. vispārējā izglītība Iestādes. – 3. izdevums. – M.: Izglītība, 2002.
. Enciklopēdija "Avanta" matemātikā, Maskava, 2004.
2. Wikipedia ir bezmaksas enciklopēdija.
3. Glazer G.I. “Matemātikas vēsture skolā”, Maskava, Prosveščenie, 1982.
4. Guseva T.M. Trīsstūru līdzības pazīmes - Maskava, Pirmais septembris, pielikums “Matemātika”, 1999, Nr.28
5. Pogorelovs A.V. "Ģeometrijas klase 7-9"Maskava, Izglītība, 2003

1.pielikums

1. Cik zīmju, jūsuprāt, trijstūri ir vienādi?

A) 3 B) vairāk nekā trīs C) mazāk nekā trīs

2. Vai vēlaties apgūt jaunas trijstūra sakritības zīmes?

A) jā B) nē