Собственный механический и магнитный моменты (спин). Собственный механический и магнитный моменты электрона (спин) Собственный механический момент электрона

МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ ЭЛЕКТРОНА

Орбитальный магнитный момент электрона

Каждый ток, как известно, порождает магнитное поле. Поэтому электрон, у которого орбитальный механический момент отличается от нуля, должен иметь и магнитный момент.

Из классических представлений момент количества движения имеет вид

где – скорость, – радиус кривизны траектории.

Магнитный момент замкнутого тока с площадью создает магнитный момент

– единичная нормаль к плоскости, и – заряд и масса электрона.

Сравнив (3.1) и (3.2), получим

Магнитный момент связан с механическим моментом множителем

который называют магнитомеханическим (гиромагнитным) отношением для электрона.

Для проекций моментов имеем такую же связь

Переход к квантовой механике осуществляется заменой численных уравнений операторными уравнениями

Формулы (3.5) и (3.6) справедливые не только для электрона в атоме, но и для любых заряженных частиц, которые обладают механическим моментом.

Собственное значение оператора равняется

где – магнитное квантовое число (см. разд.2.1)

Постоянная называется магнетоном Бора

В единицах СИ она составляет Дж/Тл.

Таким же образом можно получить и собственные значения магнитного момента

где – орбитальное квантовое число.

Часто используют запись

где . Знак минус иногда опускают.

Собственный механический и магнитный моменты электрона (спин)

Электрон имеет четвертую степень свободы, которая связана с собственным механическим (а, следовательно, и магнитным) моментом электрона, – спином. Наличие спина следует из релятивистского уравнения Дирака

где – векторная матрица, – четырехстрочные матрицы.

Поскольку величины есть четырехстрочные матрицы, волновая функция должна иметь четыре компонента, которые удобно записать в виде столбца. Решения (3.12) мы не будем проводить, а будем постулировать наличие спина (собственного момента) у электрона, как некоторое эмпирическое требование, не пытаясь объяснить его происхождение.

Коротко остановимся на тех опытных фактах, из которых следует существование спина электрона. Одним из таких прямых доказательств являются результаты опыта немецких физиков Штерна и Герлаха (1922г.) по пространственному квантованию. В этих опытах пучки нейтральных атомов пропускались через область, в которой создавалось неоднородное магнитное поле (рис.3.1). В таком поле частица с магнитным моментом приобретает энергию и на нее будет действовать сила

которая может расщепить пучок на отдельные компоненты.

В первых экспериментах исследовались пучки атомов серебра. Пучок пропускался вдоль оси , наблюдалось расщепление вдоль оси . Основная составляющая силы равняется

Если атомы серебра не возбуждены и находятся на нижнем уровне, то есть в состоянии (), то пучок вообще не должен расщепляться, поскольку орбитальный магнитный момент таких атомов равняется нулю. Для возбужденных атомов () пучок должен был бы расщепиться на нечетное число компонент в соответствии с числом возможных значений магнитного квантового числа ().

В действительности наблюдалось расщепление пучка на две компоненты. Это означает, что магнитный момент, который вызывает расщепление, имеет две проекции на направление магнитного поля, и соответствующее квантовое число принимает два значения. Результаты эксперимента побудили голландских физиков Уленбека и Гаудсмита (1925) выдвинуть гипотезу о наличии у электрона собственного механического и связанного с ним магнитного моментов .

По аналогии с орбитальным числом введем квантовое число , которое характеризует собственный механический момент электрона. Определим по числу расщеплений . Следовательно,

Квантовое число называют спиновым квантовым числом, и оно характеризует собственный или спиновый момент количества движения (или просто «спин»). Магнитное квантовое число , которое определяет проекции спинового механического момента и спинового магнитного момента спина, имеет два значения. Поскольку , а , то никаких других значений не существует, а, следовательно,

Термин спин происходит от английского слова spin , что означает крутиться.

Спиновый момент импульса электрона и его проекция квантуются по обычным правилам:

Как всегда, при измерении величины получают одно из двух возможных значений . До измерения возможна любая их суперпозиция.

Существование спина нельзя объяснить вращением электрона вокруг собственной оси. Максимальную величину механического момента можно получить, если массу электрона распределить по экватору. Тогда для получения величины момента порядка линейная скорость точек экватора должна составлять м/с ( м – классический радиус электрона), то есть значительно больше скорости света. Таким образом, нерелятивистское рассмотрение спина невозможно.

Вернемся к экспериментам Штерна и Герлаха. Зная и величину расщепления (по величине ), можно рассчитать величину проекции спинового магнитного момента на направление магнитного поля . Она составляет один магнетон Бора .

Получим связь между и :

Величина

называется спиновым магнитомеханическим отношением и она в два раза больше орбитального магнитомеханического отношения.

Такая же связь имеется между спиновыми магнитным и механическим моментами:

Найдем теперь величину :

Однако принято говорить, что спиновый магнитный момент электрона равняется одному магнетону Бора. Такая терминология сложилась исторически и она связана с тем, что при измерении магнитного момента мы обычно измеряем его проекцию, а она как раз и равняется 1 .

Электрон обладает собственным механическим моментом импульса L s , называемым спином. Спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Спину электрона соответствует собственный магнитный момент P s , пропорциональный L s и направленный в противоположную сторону: P s =g s L s , g s – гиромагнитное отношение спиновых моментов. Проекция собственного магнитного момента на направление вектора B: P sB =eh/2m= B , гдеh=h/2,  B =магнетон Бора. Общий магнитный момент атома p a = векторной сумме магнитных моментов входящих в атом электрона: P a =p m +p ms . Опыт Штерна и Герлаха. Проводя измерения магнитных моментов они обнаружили, что узкий пучек атомов водорода в неоднородном магнитном поле расщепляется на 2 пучка. Хотя в этом состоянии (Атомы находились в S состоянии) момент импульса электрона равен 0, а так же магнитный момент атома равен 0, поэтому магнитное поле не оказывает влияние на движение атома водорода, то есть расщепления быть не должно. Однако, дальнейшие исследования показали что спектральные линии атомов водорода обнаруживают такую структуру даже в отсутствие магнитного поля. В последствии было установлено, что такая структура спектральных линий объясняется тем, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом, названным спином.

21.Орбитальный, спиновый и полный угловой и магнитный момент электрона.

Электрон обладает собственным моментом импульса M S , который называется спином. Его величина определяется по общим законам квантовой механики: M S =  h=  h[(1/2)*(3/2)]=(1/2)  h3, M l =  h – орбитальный момент. Проекция может принимать квантовые значения, отличающиеся друг от друга наh. M Sz =m S  h, (m s =S), M lz =m l  h. Чтобы найти значение собственного магнитного момента умножим M s на отношение  s к M s ,  s – собственный магнитный момент:

 s =-eM s /m e c=-(е  h/m e c)=- Б 3,  Б – Магнетон Бора.

Знак (-) потому что M s и  s направлены в разные стороны. Момент Электрона слагается из 2-х: орбитального M l и спинового M s . Это сложение осуществляется по тем же квантовым законам, по которым складываются орбитальные моменты разных электронов: Мj=  h, j – квантовое число полного момента импульса.

22. Атом во внешнем магнитном поле. Эффект Зеемана .

Эффектом Зеемана называется расщепление энергетических уровней при действии на атомы магнитного поля. Расщепление уровней приводит к расщеплению спектральных линий на несколько компонентов. Расщепление спектральных линий при действии на излучающие атомы магнитного поля так же называется эффектом Зеемана. Зеемановское расщепление уровней обьясняется тем, что атом, обладающий магнитным моментом  j , приобретает в магнитном поле дополнительную энергию E=- jB B,  jB - проекция магнитного момента на направление поля.  jB =- Б gm j , E= Б gm j , ( j =0, 1,…, J). Энергетический уровень расщепляется на подуровни, причем величина расщепления зависит от квантовых чисел L,S,J данного уровня.

Собственный механический и магнитный моменты (спин)

ОБОСНОВАНИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ СПИНА . Уравнение Шредингера позволяет рассчитать энергетический спектр водорода и более сложных атомов. Однако, экспериментальное определение уровней энергии атомов показало, что полного совпадения теории с опытом нет. Точные измерения обнаружили тонкую структуру уровней. Все уровни, кроме основного, расщеплены на ряд очень близких подуровней. В частности, первый возбуждённый уровень атома водорода (n = 2) расщеплён на два подуровня с разностью энергий всего 4,5 10 -5 эВ . У тяжёлых атомов величина тонкого расщепления значительно больше, чем у лёгких.

Объяснить это расхождение теории с опытом удалось с помощью предположения (Уленбек, Гаудсмит, 1925 г.), что электрон обладает ещё одной внутренней степенью свободы - спином. Согласно этому предположению электрон и большинство других элементарных частиц наряду с орбитальным моментом импульса имеют ещё и собственный механический момент импульса. Этот собственный момент и называется спином.

Наличие спина у микрочастицы означает, что в некоторых отношениях она подобна маленькому вращающемуся волчку. Однако эта аналогия чисто формальная, так как квантовые законы существенно изменяют свойства момента импульса. Собственный момент согласно квантовой теории может быть у точечной микрочастицы. Важное и нетривиальное квантовое свойство спина состоит в том, что только он может задавать выделенную ориентацию в частице.

Наличие собственного механического момента у электрически заряженных частиц приводит к появлению у них собственного (спинового) магнитного момента, направленного в зависимости от знака заряда параллельно (заряд положительный) или антипараллельно (заряд отрицательный) вектору спина. Собственный магнитный момент может быть и у нейтральной частицы, например, у нейтрона.

На существование у электрона спина указали опыты Штерна и Герлаха (1922 г.) по наблюдению расщепления узкого пучка атомов серебра под действием неоднородного магнитного поля (в однородном поле момент лишь меняет ориентацию; только в неоднородном поле он движется поступательно либо вдоль поля, либо против в зависимости от направления по отношению к полю). Невозбуждённые атомы серебра находятся в сферически симметричном s-состоянии, то есть с орбитальным моментом, равным нулю. Магнитный момент системы, связанный с орбитальным движением электрона (как и в классической теории), прямо пропорционален механическому моменту. Если последний равен нулю, то должен быть равен нулю и магнитный момент. Значит внешнее магнитное поле не должно влиять на движение атомов серебра в основном состоянии. Опыт же показывает, что такое влияние есть.

На опыте происходило расщепление пучка атомов серебра, щелочных металлов и водорода, но всегда наблюдалось только два пучка , одинаково отклонённых в противоположные стороны и расположенных симметрично относительно пучка в отсутствие магнитного поля. Это можно объяснить только тем, что магнитный момент валентного электрона при наличии поля может принимать два значения, одинаковые по модулю и противоположные по знаку.

Результаты опытов приводят к выводу, что расщепление в магнитном поле пучка атомов первой группы Периодической системы, заведомо находящихся в s-состоянии, на два компонента объясняется двумя возможными состояниями спинового магнитного момента валентного электрона. Величина проекции магнитного момента на направление магнитного поля (именно она определяет эффект отклонения), найденная из опытов Штерна и Герлаха, оказалась равной так называемому магнетону Бора

Тонкая структура уровней энергии атомов, имеющих один валентный электрон, объясняется наличием у электрона спина следующим образом. В атомах (исключая s -состояния) вследствие орбитального движения существуют электрические токи, магнитное поле которых оказывает воздействие на спиновый магнитный момент (так называемое спин-орбитальное взаимодействие). Магнитный момент электрона может ориентироваться либо по полю, либо против поля. Состояния с разными ориентациями спина несколько различаются по энергиям, что и приводит к расщеплению каждого уровня на два. У атомов с несколькими электронами во внешней оболочке тонкая структура будет более сложной. Так у гелия, имеющего два электрона, имеют место одиночные линии (синглеты) в случае антипараллельных спинов электронов (суммарный спин нулевой - парагелий) и тройные (триплеты) в случае параллельных спинов (суммарный спин равен h - ортогелий), которые соответствуют трём возможным проекциям на направление магнитного поля орбитальных токов суммарного спина двух электронов (+h, 0, -h ).

Таким образом, ряд фактов привёл к необходимости приписать электронам новую внутреннюю степень свободы. Для полного описания состояния наряду с тремя координатами или любой другой тройкой величин, составляющих квантово-механический набор, надо ещё задавать величину проекции спина на выбранное направление (модуль спина указывать не нужно, ибо как показывает опыт, ни у одной частицы он не меняется ни при каких обстоятельствах).

Проекция спина, как и проекция орбитального момента, может меняться на величину, кратную h . Так как наблюдались только две ориентации спина электрона Уленбек и Гаудсмит предположили, что проекция спина электрона S z на любое направление может принимать два значения: S z = ±h/2 .

В 1928 г. Дирак получил релятивистское квантовое уравнение для электрона, из которого вытекает существование и спина электрона h/2 без каких-либо специальных гипотез.

Такой же как у электрона спин 1/2 имеют протон, нейтрон. Спин фотона равен 1.Но так как масса фотона равна нулю, то возможны две, а не три его проекции +1 и -1. Этим двум проекциям в электродинамике Максвелла соответствуют две возможные циркулярные поляризации электромагнитной волны по и против часовой стрелки относительно направления распространения.

СВОЙСТВА ПОЛНОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА. И орбитальный момент М, и спиновый момент S представляют собой величины, принимающие лишь квантовые дискретные значения. Рассмотрим теперь полный момент импульса, являющийся векторной суммой упомянутых моментов.

Оператор полного момента импульса определим в виде суммы операторов и

Операторы и коммутируют, так как оператор действует на координаты, а оператор на них не действует. Можно показать, что

то есть проекции полного момента импульса не коммутируют друг с другом точно так же, как и проекции орбитального момента. Оператор же коммутирует с любой проекцией, откуда следует, что оператор и оператор любой (но одной) проекции соответствуют физическим величинам и, относящихся к числу одновременно измеримых. Оператор коммутирует также с операторами и.

Состояние электрона в поле центральной силы мы определяли тремя квантовыми числами: n,l,m. Квантовые уровни Е n в общем определялись двумя квантовыми числами n,l. При этом не учитывали спин электрона. Если учесть ещё и спин, то каждое состояние окажется в сущности двойным, так как возможны две ориентации спина S z = hm s ; m s = ±1/2. Таким образом, к трём квантовым числам присоединяется четвёртое m s , то есть волновая функция с учётом спина должна обозначаться.

Для каждого терма Е n,l мы имеем (2l + 1) состояний, отличающихся ориентацией орбитального момента (числом m ), каждое из которых в сою очередь распадается на два состояния, отличающихся спином. Таким образом, налицо 2(2l + 1) -кратное вырождение.

Если учесть теперь слабое взаимодействие спина с магнитным полем орбитальных токов, то энергия состояния будет зависеть ещё от ориентации спина относительно орбитального момента. Изменение энергии при таком взаимодействии мало по сравнению с разностью энергий между уровнями с разными n,l и поэтому возникающие новые линии близки друг к другу.

Таким образом, различием в ориентациях спинового момента по отношению к внутреннему магнитному полю атома можно объяснить происхождение мультиплетности спектральных линий. Из изложенного следует, что для атомов с одним оптическим электроном возможны только дублеты (двойные линии) благодаря двум ориентациям спина электрона. Этот вывод подтверждается экспериментальными данными. Обратимся теперь к нумерации уровней атома с учётом мультиплетной структуры. При учёте спин-орбитального взаимодействия ни орбитальный момент, ни спиновый не имеют определённого значения в состоянии с определённой энергией (операторы и не коммутируют с оператором). По классической механике мы имели бы прецессию векторов и вокруг вектора полного момента, как показано на рис. 20. Полный момент остаётся при этом постоянным. Аналогичное положение имеет место и в квантовой механике. При учёте спинового взаимодействия только полный момент имеет определённое значение в состоянии с заданной энергией (оператор коммутирует с оператором). Поэтому при учёте спин-орбитального взаимодействия состояние следует классифицировать по значению полного момента. Полный момент квантуется по тем же правилам, что и орбитальный момент. Именно, если ввести квантовое число j , задающее момент J , то

А проекция на некоторое направление 0z имеет значение J z = hm j , при этом j = l +l s (l s = Ѕ), если спин параллелен моменту орбитальному, и j = | l - l s |, если они антипараллельны. Подобным образом m j = m + m s (m s = ±1/2). Так как l,m - целые числа, а l s , l m - половинки, то

j = 1/2, 3/2, 5/2, … ; m j = ±1/2, ±3/2, … , ±j .

В зависимости от ориентации спина энергия терма будет различной, а именно она будет для j = l + Ѕ и j = |l - Ѕ|. Поэтому в таком случае уровни энергии следует характеризовать числами n,l и числом j, определяющим полный момент, то есть Е =Е nlj .

Волновые функции будут зависеть от спиновой переменной S z и будут различны для разных j: .

Квантовые уровни при заданном l , различающиеся значением j , близки друг к другу (отличаются на энергию спин-орбитального взаимодействия). Четвёрка чисел n, l, j, m j могут принимать такие значения:

n = 1, 2, 3,…; l = 0, 1, 2,…, n - 1; j = l + l s или |l - l s |; l s = ±1/2;

-j ? m j ? j.

Величину орбитального момента l обозначают в спектроскопии буквами s, p, d, f и т.д. Главное квантовое число ставят впереди буквы. Справа внизу указывают число j. Поэтому, например, уровень (терм) с n = 3, l = 1, j = 3/2 обозначают так 3р 3/2. На рис.21 приведена схема уровней водородоподобного атома с учётом мультиплетной структуры. Линии 5890 ? и 5896 ? образуют

известный дублет натрия: жёлтые линии D2 и D1. 2s -терм далеко отодвинут от 2р -термов, как это и должно быть в водородоподобных атомах (l -вырождение снято).

Каждому из рассмотренных уровней E nl принадлежит (2j + 1) состояний, отличающихся числом m j , то есть ориентацией полного момента J в пространстве. Только при наложении внешнего поля эти сливающиеся уровни могут разделиться. В отсутствие такого поля мы имеем (2j + 1)-кратное вырождение. Так терм 2s 1/2 имеет вырождение 2: два состояния, отличающиеся ориентацией спина. Терм 2р 3/2 имеет четырёхкратное вырождение соответственно ориентациям момента J , m j = ±1/2, ±3/2.

ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА. П. Зееман, изучая спектр излучения паров натрия, помещённого во внешнее магнитное поле, обнаружил расщепление спектральных линий на несколько компонент. Впоследствии на основе квантово-механических представлений это явление было объяснено расщеплением в магнитном поле энергетических уровней атома.

Электроны в атоме могут находиться лишь в определённых дискретных состояниях, при перемене которых осуществляется испускание или поглощение кванта света. Энергия атомного уровня зависит от полного орбитального момента, характеризуемого орбитальным квантовым числом L , и полного спина его электронов, характеризуемого спиновым квантовым числом S . Число L может принимать только целые, а число S - целые и полуцелые (в единицах h ). По направлению же они могут принимать соответственно (2L + 1) и (2S + 1) положений в пространстве. Поэтому уровень с данными L и S вырожден: он состоит из (2L + 1)(2S +1) подуровней, энергии которых (если не учитывать спин-орбитальное взаимодействие) совпадают.

Спин-орбитальное взаимодействие приводит, однако, к тому, что энергия уровней зависит не только от величин L и S, но и от взаимного расположения векторов орбитального момента и спина. Поэтому энергия оказывается зависящей и от полного момента М = М L + M S , определяемого квантовым числом J , а уровень с заданными L и S расщепляется на несколько подуровней (образующих мультиплет) с различными J . Такое расщепление называют тонкой структурой уровней. Благодаря тонкой структуре оказываются расщеплёнными и спектральные линии. Например, D -линия натрия отвечает переходу с уровня L = 1 , S = Ѕ на уровень с L = 0, S = Ѕ. Первый из них (уровней) - дублет, соответствующий возможным значениям J = 3/2 и J = Ѕ (J = L + S ; S = ±1/2), а второй не обладает тонкой структурой. Поэтому D -линия состоит из двух очень близких линий с длинами волн 5896 ? и 5890 ?.

Каждый уровень мультиплета ещё остаётся вырожденным из-за возможности ориентации полного механического момента в пространстве по (2j + 1) направлениям. В магнитном поле это вырождение снимается. Магнитный момент атома взаимодействует с полем, а энергия такого взаимодействия зависит от направления. Поэтому в зависимости от направления атом приобретает в магнитном поле различную дополнительную энергию, и происходит зеемановское расщепление уровня на (2j + 1) подуровней.

Различают нормальный (простой) эффект Зеемана при расщеплении каждой линии на три компоненты и аномальный (сложный) при расщеплении каждой линии на число компонент больше трёх.

Для понимания общих закономерностей эффекта Зеемана рассмотрим простейший атом - атом водорода. Если атом водорода поместить во внешнее однородное магнитное поле с индукцией В, то за счёт взаимодействия магнитного момента р m с внешним полем атом приобретёт дополнительную зависящую от модулей и взаимной ориентации В и рm энергию

UB = -pmB = -pmBB,

где рmB - проекция магнитного момента электрона на направление поля.

Учитывая, что р mB = - ehm l /(2m) (магнитное квантовое число m l = 0, ±1, ±2, …, ±l), получим

магнетон Бора.

Полная энергия атома водорода в магнитном поле

где первое слагаемое - энергия кулоновского взаимодействия между электроном и протоном.

Из последней формулы следует, что в отсутствие магнитного поля (В = 0) энергетический уровень определится только первым слагаемым. Когда же В? 0, нужно учесть различные допустимые значения m l . Поскольку при заданных n и l число m l может принимать 2l + 1 возможных значений, то первоначальный уровень расщепится на 2l + 1 подуровней.

На рис. 22,a показаны возможные переходы в атоме водорода между состояниями р (l = 1) и s (l = 0). В магнитном поле р-состояние расщепляется на три подуровня (при l = 1 m = 0, ±1), с каждого из которых могут происходить переходы на уровень s, и каждый переход характеризуется своей частотой: Следовательно, в спектре появляется триплет (нормальный эффект Зеемана). Отметим, что при переходах соблюдаются правила отбора квантовых чисел:

На рис. 22,б показано расщепление энергетических уровней и спектральных линий для перехода между состояниями d (l = 2) и p (l = 1). Состояние d в магнитном поле

расщепляется на пять подуровней, состояние р - на три. При учёте правил перехода возможны только переходы, указанные на рисунке. Как видно, в спектре появляется триплет (нормальный эффект Зеемана).

Нормальный эффект Зеемана наблюдается в случае, если исходные линии не обладают тонкой структурой (являются синглетами). Если исходные уровни имеют тонкую структуру, то в спектре появляется большее число компонент и наблюдается аномальный эффект Зеемана.