Sınav için türev hakkında her şey. Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Türevin işaretinin fonksiyonun monotonluğunun doğası ile ilişkisini gösterme.

Lütfen aşağıda son derece dikkatli olun. Bakın, size NE'nin takvimi verildi! Fonksiyon veya türevi

Türevin bir grafiği verildiğinde, o zaman sadece fonksiyon işaretleri ve sıfırlarla ilgileniyoruz. Prensipte hiçbir "tümsek" ve "oyuk" bizi ilgilendirmiyor!

Görev 1.

Şekil, bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun türevinin negatif olduğu tam sayı noktalarının sayısını belirleyin.

Çözüm:

Şekilde, azalan fonksiyon alanları renkli olarak vurgulanmıştır:

Bu azalan fonksiyon alanlarına 4 tam sayı değeri düşmektedir.

Görev 2.

Şekil, bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun grafiğinin teğetinin doğruya paralel veya çakışık olduğu noktaların sayısını bulun.

Çözüm:

Fonksiyon grafiğinin teğeti, düz bir çizgiyle (veya aynı olan) paralel olduğundan (veya çakıştığından), eğim, sıfıra eşitse, teğetin bir eğimi vardır.

Bu da teğetin eksene paralel olduğu anlamına gelir, çünkü eğim, teğetin eksene olan eğim açısının tanjantıdır.

Bu nedenle, grafikte uç noktalar buluyoruz (maksimum ve minimum noktalar), - grafiğe teğet olan fonksiyonların eksene paralel olacağı onlarda.

Böyle 4 nokta var.

Görev 3.

Şekil, aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun grafiğinin teğetinin doğruya paralel veya çakışık olduğu noktaların sayısını bulun.

Çözüm:

Fonksiyonun grafiğinin teğeti, eğimi olan düz bir çizgiye paralel olduğundan (veya çakıştığından), teğetin bir eğimi vardır.

Bu da temas noktalarında olduğu anlamına gelir.

Bu nedenle, grafikteki kaç noktanın ordinata eşit olduğuna bakarız.

Gördüğünüz gibi, böyle dört nokta var.

Görev 4.

Şekil, bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun türevinin 0 olduğu nokta sayısını bulun.

Çözüm:

Uç noktalarda türev sıfırdır. Bizde 4 tane var:

Görev 5.

Şekil, bir fonksiyon grafiğini ve x ekseni üzerindeki on bir noktayı göstermektedir:. Bu noktalardan kaç tanesinde fonksiyonun türevi negatiftir?

Çözüm:

Azalan fonksiyonun aralıklarında türevi negatif değerler alır. Ve fonksiyon noktalarda azalır. Böyle 4 nokta var.

Görev 6.

Şekil, bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun uç noktalarının toplamını bulun.

Çözüm:

uç noktalar maksimum puanlar (-3, -1, 1) ve minimum puanlardır (-2, 0, 3).

Uç noktaların toplamı: -3-1+1-2+0+3=-2.

Görev 7.

Şekil, aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiğini göstermektedir. Artan fonksiyonun aralıklarını bulun. Cevabınızda, bu aralıklara dahil edilen tamsayı noktalarının toplamını belirtin.

Çözüm:

Şekil, fonksiyonun türevinin negatif olmadığı aralıkları vurgulamaktadır.

Küçük artış aralığında tamsayı noktaları yoktur, artış aralığında dört tamsayı değeri vardır: , , ve .

Toplamları:

Görev 8.

Şekil, aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiğini göstermektedir. Artan fonksiyonun aralıklarını bulun. Cevabınıza, en büyüğünün uzunluğunu yazın.

Çözüm:

Şekilde, türevin pozitif olduğu tüm aralıklar vurgulanmıştır, bu, fonksiyonun bu aralıklarda arttığı anlamına gelir.

En büyüğünün uzunluğu 6'dır.

Görev 9.

Şekil, aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiğini göstermektedir. Segmentin hangi noktasında en büyük değeri alır?

Çözüm:

Grafiğin segmentte nasıl davrandığına bakıyoruz, yani ilgileniyoruz sadece türev işareti .

Bu segmentteki grafik eksenin altında olduğundan türevin işareti eksidir.

Dersin Hedefleri:

Eğitim: Tekrarla teorik bilgi Bu konudaki bilgileri özetlemek, pekiştirmek ve geliştirmek için "Türevin uygulanması" konusunda.

Öğrendiklerini uygulamayı öğren teorik bilgi karar verirken çeşitli tipler matematiksel problemler.

Temel ve ileri düzeyde karmaşıklık türevi kavramıyla ilgili KULLANIM görevlerini çözme yöntemlerini düşünün.

eğitici:

Beceri eğitimi: faaliyetleri planlama, en uygun hızda çalışma, grup halinde çalışma, bilgi alma.

Yeteneklerini değerlendirme, yoldaşlarla iletişim kurma yeteneğini geliştirin.

Sorumluluk ve empati duygusu geliştirin Takım halinde çalışma yeteneğinin gelişimine katkıda bulunun; beceriler.. sınıf arkadaşlarının görüşlerini ifade eder.

Geliştirme: İncelenen konunun temel kavramlarını formüle edebilmek. Grup çalışması becerilerini geliştirin.

Ders türü: birleşik:

Genelleme, becerilerin pekiştirilmesi, temel fonksiyonların özelliklerinin uygulanması, önceden oluşturulmuş bilgi, beceri ve yeteneklerin uygulanması, türevin standart olmayan durumlarda uygulanması.

Ekipman: bilgisayar, projektör, ekran, çalışma kağıdı.

Ders planı:

1. Organizasyonel faaliyet

ruh hali yansıması

2. Öğrencinin bilgisinin gerçekleşmesi

3. Sözlü çalışma

4. Bağımsız iş Gruplarda

5. Yapılan işin korunması

6. Bağımsız çalışma

7. Ödev

8. Dersin özeti

9. Ruh hali yansıması

Dersler sırasında

1. Ruh halinin yansıması.

Arkadaşlar günaydın böyle bir ruh hali ile geldim dersinize (güneşin görüntüsünü göstererek)!

Modun ne?

Masanızda güneş, bulutların arkasındaki güneş ve bulutların resimlerini içeren kartlar var. Ruh halinizin ne olduğunu gösterin.

2. Sonuçları analiz etme uygulama sınavları ve aynı sonuçlar nihai sertifika Son yıllarda, matematiksel analizin görevleriyle şu sonuca varabiliriz: KULLANIM işi mezunların %30 - %35'inden fazlası başa çıkmayı başaramaz. teşhis çalışması hepsi doğru yapmıyor. Seçimimizin sebebi bu.Çözerken türevi kullanma becerisini uygulayacağız. KULLANIM görevleri.

Nihai sertifika sorunlarına ek olarak, bu alanda edinilen bilgilerin gelecekte ne kadar talep edilebileceği ve talep edileceği, bu konuyu incelemek için harcanan zamanın ve sağlığın ne kadar haklı olduğu konusunda soru ve şüpheler var.

Bir türev neden gereklidir? Türev ile nerede tanışır ve kullanırız? Sadece matematikte onsuz yapmak mümkün mü?

Öğrenci mesajı 3 dakika -

3. Sözlü çalışma.

4. Gruplar halinde bağımsız çalışma (3 grup)

Görev 1 grubu

) Türevin geometrik anlamı nedir?

2) a) Şekil, y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x0 ile noktada çizilen bu grafiğe teğetini gösterir. f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

b) Şekil, y=f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x0 olan noktada çizilen bu grafiğin teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

Grup 1 yanıtı:

1) Fonksiyonun x = x0 noktasındaki türevinin değeri, bu fonksiyonun grafiğine x0 apsisli noktada çizilen tanjantın koşullu katsayısına eşittir.

2) A)f1(x)=4/2=2

3) B) f1(x)=-4/2=-2

Görev 2 grupları

1) Türevin fiziksel anlamı nedir?

2) Maddi bir nokta, yasaya göre düz bir çizgide hareket eder.
x(t)=-t2+8t-21, burada x metre cinsinden referans noktasına olan mesafedir, t hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süredir. t=3 s anında hızını (metre/saniye olarak) bulunuz.

3) Maddi bir nokta, yasaya göre düz bir çizgide hareket eder.
x(t)= ½*t2-t-4, burada x metre cinsinden referans noktasına olan mesafedir, t hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süredir. Zamanın hangi noktasında (saniye olarak) hızı 6 m/s'ye eşitti?

2. grup cevabı:

1) Türevin fiziksel (mekanik) anlamı aşağıdaki gibidir.

S(t) bir cismin doğrusal hareket yasasıysa, türev t anındaki anlık hızı ifade eder:

V(t)=-x(t)=-2t=8=-2*3+8=2

3) X(t)=1/2t^2-t-4

Görev 3 grupları

1) y= 3x-5 doğrusu, y=x2+2x-7 fonksiyonunun grafiğinin teğetine paraleldir. Temas noktasının apsisini bulun.

2) Şekil, (-9;8) aralığında tanımlanan y=f(x) fonksiyonunun bir grafiğini göstermektedir. Bu aralıkta f(x) fonksiyonunun türevinin pozitif olduğu tam sayı noktalarının sayısını belirleyin.

3. grup cevabı:

1) y=3x-5 doğrusu teğete paralel olduğundan, teğetin eğimi y=3x-5 doğrusu k=3'ün eğimine eşittir.

Y1(x)=3 ,y1=(x^2+2x-7)1=2x=2 2x+2=3

2) Tamsayı noktaları, tamsayı apsis değerlerine sahip noktalardır.

Fonksiyon artan ise türev fonksiyonu f(x) pozitiftir.

Soru: "Ormana ne kadar uzak olursa, o kadar yakacak odun" ile açıklanan fonksiyonun türevi hakkında ne söyleyebilirsiniz?

Cevap: Bu fonksiyon tekdüze artan olduğundan, türev tüm tanım alanı üzerinde pozitiftir.

6. Bağımsız çalışma (6 seçenek için)

7. Ev ödevi.

Eğitim çalışması Cevapları:

Dersin özeti.

“Müzik ruhu yükseltebilir veya sakinleştirebilir, resim göze hoş gelebilir, şiir duyguları uyandırabilir, felsefe zihnin ihtiyaçlarını karşılayabilir, mühendislik insanların hayatlarının maddi yönünü iyileştirebilir. Ancak matematik tüm bu hedeflere ulaşabilir.

Amerikalı matematikçi Maurice Kline böyle söyledi.

Çalışman için teşekkürler!

Tepelik bir alandan geçen düz bir yol hayal edin. Yani yukarı aşağı hareket eder ama sağa sola dönmez. Eksen yol boyunca yatay ve dikey olarak yönlendirilirse, yol çizgisi sürekli bir fonksiyonun grafiğine çok benzer olacaktır:

Eksen, belirli bir sıfır yükseklik seviyesidir, hayatta deniz seviyesini olduğu gibi kullanırız.

Böyle bir yolda ilerlerken, biz de yukarı veya aşağı hareket ediyoruz. Şunu da söyleyebiliriz: argüman değiştiğinde (apsis ekseni boyunca hareket ederek), fonksiyonun değeri değişir (ordinat ekseni boyunca hareket ederek). Şimdi yolumuzun "dikliğini" nasıl belirleyeceğimizi düşünelim? Bu değer ne olabilir? Çok basit: Belirli bir mesafe ilerlerken yükseklik ne kadar değişecek? Gerçekten de, yolun farklı bölümlerinde, bir kilometre ilerleyerek (apsis boyunca), deniz seviyesine göre (ordinat boyunca) farklı sayıda metre yükselecek veya düşeceğiz.

İlerlemeyi ifade ediyoruz ("delta x" okuyun).

Yunanca harf (delta), matematikte "değişim" anlamına gelen bir önek olarak yaygın olarak kullanılır. Yani - bu büyüklükte bir değişiklik, - bir değişiklik; o zaman ne? Bu doğru, boyutta bir değişiklik.

Önemli: ifade tek bir varlık, bir değişkendir. "x" veya başka bir harften "delta"yı asla koparmamalısın! Yani, örneğin, .

Böylece yatay olarak ilerledik. Yolun çizgisini bir fonksiyonun grafiğiyle karşılaştırırsak, yükselişi nasıl gösteririz? Kesinlikle, . Yani, ilerlerken daha yükseğe çıkarız.

Değeri hesaplamak kolaydır: eğer başlangıçta bir yükseklikteysek ve hareket ettikten sonra bir yükseklikteysek. Bitiş noktasının başlangıç noktasından daha düşük olduğu ortaya çıkarsa, negatif olacaktır - bu, yükselmediğimiz, alçalmamız anlamına gelir.

"Dikliğe" dönüş: Bu, birim mesafe başına ileriye doğru hareket ederken yüksekliğin ne kadar (dik) arttığını gösteren bir değerdir:

Farz edin ki yolun bir bölümünde km ilerlerken yol km yükselsin. O zaman bu yerdeki diklik eşittir. Ve yol, m ilerlerken, km batarsa? O zaman eğim eşittir.

Şimdi bir tepenin tepesini düşünün. Bölümün başlangıcını yarım kilometre yukarıya ve bitiş - yarım kilometre sonra alırsanız, yüksekliğin neredeyse aynı olduğunu görebilirsiniz.

Yani, mantığımıza göre, buradaki eğimin neredeyse sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor ki bu kesinlikle doğru değil. Sadece birkaç mil ötede çok şey değişebilir. Daha yeterli ve doğru bir diklik tahmini için daha küçük alanların dikkate alınması gerekir. Örneğin bir metre ilerlerken yükseklikteki değişimi ölçerseniz sonuç çok daha doğru olacaktır. Ancak bu doğruluk bile bizim için yeterli olmayabilir - sonuçta, yolun ortasında bir direk varsa, basitçe içinden geçebiliriz. O zaman hangi mesafeyi seçmeliyiz? Santimetre? Milimetre? Daha az, daha iyi!

V gerçek hayat en yakın milimetreye olan mesafeyi ölçmek fazlasıyla yeterli. Ancak matematikçiler her zaman mükemmellik için çabalarlar. Bu nedenle, konsept sonsuz küçük yani modulo değeri, adlandırabileceğimiz herhangi bir sayıdan küçüktür. Örneğin, diyorsunuz ki: trilyonda bir! Ne kadar az? Ve bu sayıyı - ile bölersen, daha da az olur. Vb. Değerin sonsuz küçük olduğunu yazmak istersek şöyle yazarız: (“x sıfıra eğilimli” okuruz). anlamak çok önemli bu sayı sıfıra eşit değil! Ama ona çok yakın. Bu, bölünebileceği anlamına gelir.

Sonsuz küçük kavramının zıttı olan kavram sonsuz büyüktür (). Muhtemelen eşitsizlikler üzerinde çalışırken bununla karşılaşmışsınızdır: bu sayı, modül olarak aklınıza gelebilecek herhangi bir sayıdan daha fazladır. Mümkün olan en büyük sayıyı bulursanız, sadece iki ile çarpın ve daha da fazlasını elde edin. Ve sonsuzluk, olandan daha fazlasıdır. Aslında, sonsuz büyük ve sonsuz küçük birbirinin tersidir, yani at'ta ve tam tersi: at.

Şimdi yolumuza dönelim. İdeal olarak hesaplanan eğim, yolun sonsuz küçük bir parçası için hesaplanan eğimdir, yani:

Sonsuz küçük bir yer değiştirme ile yükseklikteki değişimin de sonsuz küçük olacağını not ediyorum. Ama size sonsuz küçüklüğün sıfıra eşit demek olmadığını hatırlatmama izin verin. Sonsuz küçük sayıları birbirine bölerseniz, ortak sayı, Örneğin, . Yani, küçük bir değer diğerinin tam olarak iki katı olabilir.

Bütün bunlar neden? Yol, diklik... Mitinge gitmiyoruz ama matematik öğreniyoruz. Ve matematikte her şey tamamen aynıdır, sadece farklı olarak adlandırılır.

türev kavramı

Bir fonksiyonun türevi, argümanın sonsuz küçük bir artışında fonksiyonun artışının argümanın artışına oranıdır.

artış matematikte değişim denir. Eksen boyunca hareket ederken argümanın () ne kadar değiştiğine denir. argüman artışı ve ile gösterilir Eksen boyunca bir mesafe ile ilerlerken fonksiyonun (yükseklik) ne kadar değiştiğine denir. fonksiyon artışı ve işaretlenir.

Yani, bir fonksiyonun türevi ne zaman ile olan ilişkisidir. Türevi, işlevle aynı harfle, yalnızca sağ üstten bir vuruşla belirtiriz: veya basitçe. Öyleyse, bu notasyonları kullanarak türev formülünü yazalım:

Yol analojisinde olduğu gibi burada da fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatiftir.

Ama türev sıfıra eşit mi? Kesinlikle. Örneğin düz, yatay bir yolda ilerliyorsak diklik sıfırdır. Gerçekten de, yükseklik hiç değişmez. Yani türev ile: bir sabit fonksiyonun (sabit) türevi sıfıra eşittir:

çünkü böyle bir fonksiyonun artışı herhangi biri için sıfırdır.

Tepe örneğini ele alalım. Segmentin uçlarını, tepenin karşı taraflarında, uçlardaki yükseklik aynı olacak, yani segment eksene paralel olacak şekilde düzenlemenin mümkün olduğu ortaya çıktı:

Ancak büyük segmentler yanlış ölçümün bir işaretidir. Segmentimizi kendisine paralel olarak yükselteceğiz, sonra uzunluğu azalacak.

Sonunda, tepeye sonsuz derecede yakın olduğumuzda, parçanın uzunluğu sonsuz derecede küçük olacaktır. Ancak aynı zamanda eksene paralel kaldı, yani uçlarındaki yükseklik farkı sıfıra eşittir (eğilim göstermez, ancak eşittir). yani türev

Bu şu şekilde anlaşılabilir: En tepede dururken, sola veya sağa küçük bir kayma, boyumuzu ihmal edilebilir şekilde değiştirir.

Ayrıca tamamen cebirsel bir açıklama var: üst kısmın solunda fonksiyon artar ve sağda azalır. Daha önce öğrendiğimiz gibi, fonksiyon arttığında türev pozitiftir ve azaldığında negatiftir. Ancak atlama olmadan sorunsuz bir şekilde değişir (çünkü yol eğimini hiçbir yerde keskin bir şekilde değiştirmez). Bu nedenle, negatif ve pozitif değerler arasında olmalıdır. Bu, fonksiyonun ne arttığı ne de azaldığı - tepe noktasında olacaktır.

Aynısı vadi için de geçerlidir (fonksiyonun solda azaldığı ve sağda arttığı alan):

Artışlar hakkında biraz daha.

Bu yüzden argümanı bir değere değiştiriyoruz. Hangi değerden değişiyoruz? O (argüman) şimdi ne oldu? Herhangi bir noktayı seçebiliriz ve şimdi ondan dans edeceğiz.

Koordinatlı bir nokta düşünün. İçindeki fonksiyonun değeri eşittir. Sonra aynı artışı yapıyoruz: koordinatı artırın. Şimdi argüman nedir? Çok kolay: . Şimdi fonksiyonun değeri nedir? Argüman nereye giderse, işlev oraya gider: . Peki ya fonksiyon artışı? Yeni bir şey yok: Bu hala fonksiyonun değişme miktarıdır:

Artışları bulma alıştırması yapın:

Argümanın artışının eşit olduğu bir noktada fonksiyonun artışını bulun.
Bir noktada bir fonksiyon için aynı.

Çözümler:

Farklı noktalarda, argümanın aynı artışıyla, fonksiyonun artışı farklı olacaktır. Bu, her noktadaki türevin kendine ait olduğu anlamına gelir (bunu en başta tartıştık - farklı noktalarda yolun dikliği farklıdır). Bu nedenle, bir türev yazarken hangi noktada belirtmeliyiz:

Güç fonksiyonu.

Bir güç işlevi, argümanın bir dereceye kadar olduğu bir işlev olarak adlandırılır (mantıksal, değil mi?).

Ve - herhangi bir ölçüde: .

En basit durum, üssün olduğu zamandır:

Bir noktada türevini bulalım. Bir türevin tanımını hatırlayın:

Yani argümandan -'ye değişir. fonksiyon artışı nedir?

Artış Ancak herhangi bir noktada fonksiyon argümanına eşittir. Böyle:

Türev:

türevi şudur:

b) Şimdi ikinci dereceden () fonksiyonunu düşünün: .

Şimdi bunu hatırlayalım. Bu, artış değerinin sonsuz küçük olduğu ve bu nedenle başka bir terimin arka planına karşı önemsiz olduğu için ihmal edilebileceği anlamına gelir:

Yani, başka bir kuralımız var:

c) Mantıksal seriye devam ediyoruz: .

Bu ifade farklı şekillerde basitleştirilebilir: Toplamın küpünün kısaltılmış çarpımı için formülü kullanarak ilk parantez açın veya küplerin farkı formülünü kullanarak tüm ifadeyi çarpanlara ayırın. Önerilen yollardan herhangi biriyle kendiniz yapmaya çalışın.

Yani, aşağıdakileri aldım:

Ve bunu tekrar hatırlayalım. Bu, aşağıdakileri içeren tüm terimleri ihmal edebileceğimiz anlamına gelir:

elde ederiz: .

d) Büyük yetkiler için benzer kurallar elde edilebilir:

e) Bu kuralın, bir tamsayı bile değil, keyfi bir üslü bir kuvvet fonksiyonu için genelleştirilebileceği ortaya çıktı:

(2)

Kuralı şu kelimelerle formüle edebilirsiniz: “derece bir katsayı olarak öne çıkarılır ve sonra azalır”.

Bu kuralı daha sonra kanıtlayacağız (neredeyse en sonunda). Şimdi birkaç örneğe bakalım. Fonksiyonların türevini bulun:

(iki şekilde: formüle göre ve türevin tanımını kullanarak - fonksiyonun artışını sayarak);

trigonometrik fonksiyonlar.

Burada yüksek matematikten bir gerçeği kullanacağız:

Ne zaman ifade.

Enstitünün ilk yılında ispatı öğreneceksiniz (ve oraya gitmek için sınavı iyi geçmeniz gerekiyor). Şimdi sadece grafiksel olarak göstereceğim:

İşlev olmadığında - grafikteki noktanın delindiğini görüyoruz. Ama değere ne kadar yakınsa fonksiyon da o kadar yakındır, işte bu “çaba”dır.

Ek olarak, bu kuralı bir hesap makinesi ile kontrol edebilirsiniz. Evet evet utanmayın elinize hesap makinesi alın daha sınava gelmedik.

Hadi deneyelim: ;

Hesap makinesini Radyan moduna geçirmeyi unutmayın!

vb. daha küçük olduğunu görüyoruz daha yakın anlam ile ilişkili.

a) Bir fonksiyon düşünün. Her zamanki gibi, artışını buluyoruz:

Sinüs farkını ürüne çevirelim. Bunu yapmak için formülü kullanıyoruz ("" konusunu hatırlayın):.

Şimdi türev:

Bir ikame yapalım: . O zaman, sonsuz küçük için, aynı zamanda sonsuz küçüktür: . ifadesi şu şekildedir:

Ve şimdi bunu ifadeyle hatırlıyoruz. Ayrıca, toplamda (yani, at) sonsuz küçük bir değer ihmal edilebilirse ne olur?

Böylece aşağıdaki kuralı elde ederiz: sinüsün türevi kosinüsüne eşittir:

Bunlar temel (“tablo”) türevlerdir. İşte bir listedeler:

Daha sonra bunlara birkaç tane daha ekleyeceğiz, ancak bunlar en sık kullanıldığı için en önemlileridir.

Uygulama:

Bir noktada bir fonksiyonun türevini bulun;
Fonksiyonun türevini bulun.

Çözümler:

Üs ve doğal logaritma.

Matematikte, türevi herhangi biri için işlevin değerine eşit olan böyle bir işlev vardır. Buna "üs" denir ve üstel bir işlevdir.

Bu fonksiyonun tabanı bir sabittir - sonsuzdur ondalık, yani bir irrasyonel sayı (gibi). Buna "Euler numarası" denir, bu yüzden bir harfle gösterilir.

Yani kural:

Hatırlaması çok kolay.

Neyse uzaklara gitmeyelim hemen düşünelim ters fonksiyon. Hangi fonksiyonun tersi üstel fonksiyon? Logaritma:

Bizim durumumuzda, taban bir sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani, tabanlı bir logaritma) “doğal” olarak adlandırılır ve bunun için özel bir notasyon kullanırız: bunun yerine yazarız.

Neye eşittir? Tabii ki, .

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

Fonksiyonun türevini bulun.
fonksiyonunun türevi nedir?

Yanıtlar: Üs ve doğal logaritma, türev açısından benzersiz şekilde basit olan fonksiyonlardır. Başka bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır, bunu daha sonra türev kurallarını inceledikten sonra analiz edeceğiz.

farklılaşma kuralları

Ne kuralları? Yine yeni bir terim mi?!...

farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Sadece ve her şey. Bu işlemin diğer adı nedir? Proizvodnovanie değil... Matematiğin diferansiyeline, fonksiyonun en fazla artışı denir. Bu terim Latin farklılığından gelir - farklılık. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken, örneğin ve gibi iki işlev kullanacağız. Artımları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplamda 5 kural vardır.

Sabit, türevin işaretinden çıkarılır.

Eğer - bir sabit sayı (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural şu fark için de geçerlidir: .

Hadi kanıtlayalım. İzin ver ya da daha kolay.

Örnekler

Fonksiyonların türevlerini bulun:

noktada;
noktada;
noktada;
noktada.

Çözümler:

Bir ürünün türevi

Burada her şey aynı: tanıtıyoruz yeni özellik ve artışını bulun:

Türev:

Örnekler:

Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
Bir fonksiyonun bir noktada türevini bulun.

Çözümler:

üstel fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, sadece üssü değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (henüz ne olduğunu unuttunuz mu?).

Peki bir sayı nerede.

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, bu yüzden fonksiyonumuzu yeni bir tabana getirmeye çalışalım:

Bunu yapmak için basit bir kural kullanıyoruz: . O zamanlar:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün, üssün türevine çok benzer olduğu ortaya çıktı: olduğu gibi, sadece bir sayı olan, ancak bir değişken olmayan sadece bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

İşte benzer: doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, farklı bir tabana sahip logaritmadan keyfi bir bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana getirmemiz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Sadece şimdi bunun yerine yazacağız:

Paydanın sadece bir sabit olduğu ortaya çıktı (değişkensiz sabit bir sayı). Türev çok basittir:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri sınavda neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık işlev" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil ve bir yay tanjantı değil. Bu işlevleri anlamak zor olabilir (logaritma size zor geliyorsa, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve her şey yoluna girecek), ancak matematik açısından "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir konveyör hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Böyle bir kompozit nesne ortaya çıkıyor: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata. Bir çikolatayı yemek için zıt adımları ters sırada yapmanız gerekir.

Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız ve sonra elde edilen sayının karesini alacağız. Yani, bize bir sayı veriyorlar (çikolata), kosinüsünü (sarıcı) buluyorum ve sonra elde ettiğimin karesini alıyorsun (bir kurdele ile bağla). Ne oldu? İşlev. Bu örnek karmaşık fonksiyon: değerini bulmak için ilk eylemi doğrudan değişkenle, ardından ikinci eylemi birincinin sonucu olarak olanlarla yaptığımızda.

Aynı adımları ters sırayla da yapabiliriz: önce sen kare, sonra ben ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım:. Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Karmaşık işlevlerin önemli bir özelliği: Eylemlerin sırası değiştiğinde işlev değişir.

Başka bir deyişle, Karmaşık bir işlev, argümanı başka bir işlev olan bir işlevdir.: .

İlk örnek için, .

İkinci örnek: (aynı). .

Yaptığımız son eylem çağrılacak "harici" işlev, ve ilk gerçekleştirilen eylem - sırasıyla "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, onları sadece materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi işlevin harici, hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış işlevlerin ayrılması, değişen değişkenlere çok benzer: örneğin, işlevde

değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ederiz.

Şimdi çikolatamızı çıkaracağız - türevi arayın. Prosedür her zaman tersine çevrilir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnek için şöyle görünür:

Başka bir örnek:

Öyleyse nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

Her şey basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

TÜREV. KISACA ANA HAKKINDA

fonksiyon türevi- fonksiyonun artışının, argümanın sonsuz küçük bir artışıyla argümanın artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaşma kuralları:

Sabit, türevin işaretinden alınır:

Toplamın türevi:

türev ürün:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

"İç" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
"Dış" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.

Neyse konu kapandı. Bu satırları okuyorsanız çok iyisiniz demektir.

Çünkü insanların sadece %5'i kendi başlarına bir konuda ustalaşabiliyor. Ve sonuna kadar okuduysanız, %5'lik dilimdesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu süper! Zaten yaşıtlarının büyük çoğunluğundan daha iyisin.

Sorun şu ki, bu yeterli olmayabilir ...

Ne için?

Başarılı olmak için sınavı geçmek, enstitüye bütçeye kabul için ve EN ÖNEMLİ olarak yaşam için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece bir şey söyleyeceğim ...

Alınan kişiler iyi bir eğitim, onu almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.

Ama asıl mesele bu değil.

Ana şey, DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha fazla fırsat açıldığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmemek...

Ama kendin düşün...

Sınavda diğerlerinden daha iyi olmak ve nihayetinde ... daha mutlu olmak için ne gerekiyor?

ELİNİZİ DOLDURUN, BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZÜN.

Sınavda size teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak sorunları zamanında çözmek.

Ve eğer onları çözmediyseniz (ÇOK!), bir yerde kesinlikle aptalca bir hata yapacaksınız ya da zamanında yapamayacaksınız.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için birçok kez tekrarlamanız gerekir.

İstediğiniz yerde bir koleksiyon bulun mutlaka çözümlerle detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (gerekli değildir) ve kesinlikle tavsiye ederiz.

Görevlerimizin yardımıyla yardım almak için, şu anda okumakta olduğunuz YouClever ders kitabının ömrünü uzatmaya yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

Bu makaledeki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın -
Eğitimin 99 makalesinin tümünde tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 ruble

Evet, ders kitabında bu tür 99 makalemiz var ve tüm görevlere ve içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Tüm gizli görevlere erişim, sitenin tüm ömrü boyunca sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız, başkalarını bulun. Sadece teori ile durma.

“Anlaşıldı” ve “Nasıl çözüleceğini biliyorum” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

y=3x+2 doğrusu, y=-12x^2+bx-10 fonksiyonunun grafiğine teğettir. Temas noktasının apsisi sıfırdan küçük olduğu için b öğesini bulun.

Çözümü Göster

Çözüm

x_0 y=-12x^2+bx-10 fonksiyonunun grafiğinde bu grafiğe teğetin geçtiği noktanın apsisi olsun.

x_0 noktasındaki türevin değeri teğetin eğimine eşittir, yani y"(x_0)=-24x_0+b=3. Öte yandan, teğet noktası hem fonksiyonun grafiğine hem de tanjant, yani -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Bir denklem sistemi elde ederiz \begin(durumlar) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(durumlar)

Bu sistemi çözerek x_0^2=1 elde ederiz, bu da x_0=-1 veya x_0=1 anlamına gelir. Apsis durumuna göre, temas noktaları sıfırdan küçüktür, bu nedenle x_0=-1, sonra b=3+24x_0=-21.

Yanıt vermek

Şart

Şekil, y=f(x) (üç düz çizgi parçasından oluşan kesik bir çizgi) fonksiyonunun bir grafiğini göstermektedir. Şekli kullanarak, F(9)-F(5)'i hesaplayın, burada F(x), f(x)'in ters türevlerinden biridir.

Çözümü Göster

Çözüm

Newton-Leibniz formülüne göre, F(x)'in f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri olduğu F(9)-F(5) farkı, eğrisel yamuğun sınırlı alanına eşittir. y=f(x) fonksiyonunun grafiği ile, y=0 , x=9 ve x=5 düz çizgileri. Grafiğe göre, belirtilen eğrisel yamuğun tabanları 4 ve 3'e eşit ve yüksekliği 3 olan bir yamuk olduğunu belirliyoruz.

Onun alanı eşittir \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Yanıt vermek

Kaynak: "Matematik. Sınav-2017 için hazırlık. profil seviyesi. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Şart

Şekil, y \u003d f "(x) - (-4; 10) aralığında tanımlanan f (x) fonksiyonunun türevinin bir grafiğini göstermektedir. F (x) fonksiyonunun azalan aralıklarını bulun. Cevabınızda , en büyüğünün uzunluğunu belirtin.

Çözümü Göster

Çözüm

Bildiğiniz gibi, f (x) işlevi, türevi f "(x) sıfırdan küçük olan her noktada bu aralıklarda azalır. Bunların en büyüğünün uzunluğunu bulmanın gerekli olduğu göz önüne alındığında, bu tür üç aralık doğal olarak şu şekilden ayırt edilirler: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

En büyüğünün uzunluğu - (5; 9) 4'e eşittir.

Yanıt vermek

Kaynak: "Matematik. Sınav-2017 için hazırlık. profil seviyesi. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Şart

Şekil, y \u003d f "(x) - (-8; 7) aralığında tanımlanan f (x) fonksiyonunun türevinin bir grafiğini göstermektedir. Ait olduğu f (x) fonksiyonunun maksimum noktalarının sayısını bulun. [-6; -2] aralığına kadar.

Çözümü Göster

Çözüm

Grafik, f (x) fonksiyonunun f "(x) türevinin işareti artıdan eksiye (bu noktalarda bir maksimum olacaktır) aralıktan tam olarak bir noktada (-5 ile -4 arasında) değiştirdiğini göstermektedir [ -6; -2 Bu nedenle, [-6;-2] aralığında tam olarak bir maksimum nokta vardır.

Yanıt vermek

Kaynak: "Matematik. Sınav-2017 için hazırlık. profil seviyesi. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Şart

Şekil, (-2; 8) aralığında tanımlanan y=f(x) fonksiyonunun bir grafiğini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun türevinin 0'a eşit olduğu noktaların sayısını belirleyin.

Çözümü Göster

Çözüm

Bir noktadaki türev sıfıra eşitse, bu noktada çizilen fonksiyonun grafiğinin teğeti Ox eksenine paraleldir. Bu nedenle, fonksiyon grafiğine teğetin Ox eksenine paralel olduğu noktalar buluyoruz. Bu çizelgede bu noktalar uç noktalardır (maksimum veya minimum noktalar). Gördüğünüz gibi, 5 ekstremum noktası var.

Yanıt vermek

Kaynak: "Matematik. Sınav-2017 için hazırlık. profil seviyesi. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Şart

y=-3x+4 doğrusu, y=-x^2+5x-7 fonksiyonunun grafiğinin teğetine paraleldir. Temas noktasının apsisini bulun.

Çözümü Göster

Çözüm

x_0 rastgele bir noktasında y=-x^2+5x-7 fonksiyonunun grafiğine doğrunun eğimi y"(x_0)'dır. Ama y"=-2x+5, yani y"(x_0)=- 2x_0+5.Y=-3x+4 koşulunda belirtilen doğrunun açısal katsayısı -3'tür.Paralel doğruların eğimleri aynıdır.Dolayısıyla x_0 öyle bir değer buluyoruz ki =-2x_0 +5=-3.

Şunu elde ederiz: x_0 = 4.

Yanıt vermek

Kaynak: "Matematik. Sınav-2017 için hazırlık. profil seviyesi. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Şart

Şekil, y=f(x) fonksiyonunun bir grafiğini ve x ekseninde -6, -1, 1, 4 noktalarını göstermektedir. Bu noktalardan hangisinde türevin değeri en küçüktür? Lütfen bu noktayı cevabınızda belirtiniz.

XY 0 tanjantının geometrik anlamı α k düz doğrunun eğimidir (tanjant) Türevin geometrik anlamı: y eksenine paralel olmayan bir tanjant y \ fonksiyonunun grafiğine çizilebilirse u003d f(x) apsisi olan bir noktada, o zaman teğetin eğimini ifade eder, yani e. O zaman eşitlik doğru olduğundan, düz bir çizginin denklemi

Х y α 0 ise. α > 90° ise, k 90°, sonra k 90°, sonra k 90°, sonra k 90°, o zaman k title="(!LANG:х y α 0 ise. α > ise 90°, sonra k

X y Görev 1. Şekil, y = f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis -1 ile noktada çizilen bu grafiğin teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x = noktasındaki türevinin değerini bulun.

Y x x0x Şekil, y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğini ve ona apsis x 0 olan noktada teğetini gösterir. x 0 noktasında f (x) fonksiyonunun türevinin değerini bulun Cevap: -0.25

Şekil, (-6; 6) aralığında tanımlanan f (x) fonksiyonunun türevinin bir grafiğini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun artan aralıklarını bulun. Cevabınızda, bu aralıklara dahil edilen tamsayı noktalarının toplamını belirtin. B =…