учител по биология 

Приложение на различни методи за факторизиране на полином. Разлагане на полиноми. Формули за съкратено умножение

Понятията "полином" и "факторизация на полином" в алгебрата са много често срещани, защото трябва да ги знаете, за да извършвате лесно изчисления с големи многозначни числа. Тази статия ще опише няколко метода на разлагане. Всички те са доста лесни за използване, просто трябва да изберете правилния във всеки случай.

Концепцията за полином

Полиномът е сборът от мономи, т.е. изрази, съдържащи само операцията умножение.

Например 2 * x * y е моном, но 2 * x * y + 25 е полином, който се състои от 2 монома: 2 * x * y и 25. Такива полиноми се наричат ​​биноми.

Понякога, за удобство на решаването на примери с многозначни стойности, изразът трябва да бъде трансформиран, например, разложен на определен брой фактори, тоест числа или изрази, между които се извършва операцията за умножение. Има редица начини за факторизиране на полином. Струва си да ги разгледаме, като започнем от най-примитивния, който се използва дори в началните класове.

Групиране (общ запис)

Формулата за разлагане на полином на множители чрез метода на групиране в общ изгледизглежда така:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необходимо е мономите да се групират така, че във всяка група да се появи общ фактор. В първата скоба това е факторът c, а във втората - d. Това трябва да се направи, за да го извадите от скобата, като по този начин опростите изчисленията.

Алгоритъм за разлагане на конкретен пример

Най-простият пример за разлагане на полином на фактори с помощта на метода на групиране е даден по-долу:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

В първата скоба трябва да вземете термините с коефициента a, които ще бъдат общи, а във втората - с коефициента b. Обърнете внимание на знаците + и - в готовия израз. Поставяме пред монома знака, който беше в първоначалния израз. Тоест, трябва да работите не с израза 25a, а с израза -25. Знакът минус, така да се каже, е „залепен“ към израза зад него и винаги го взема предвид при изчисленията.

На следващата стъпка трябва да извадите фактора, който е често срещан, извън скобата. За това е групирането. Да го извадим от скобата означава да изпишем преди скобата (без знака за умножение) всички онези множители, които се повтарят точно във всички членове, които са в скобата. Ако в скобата има не 2, а 3 или повече члена, общият множител трябва да се съдържа във всеки от тях, в противен случай той не може да бъде изваден от скобата.

В нашия случай само 2 термина в скоби. Общият множител се вижда веднага. Първата скоба е a, втората е b. Тук трябва да обърнете внимание на цифровите коефициенти. В първата скоба и двата коефициента (10 и 25) са кратни на 5. Това означава, че не само a, но и 5a могат да бъдат поставени в скоби. Преди скобата напишете 5a и след това разделете всеки от членовете в скоби на извадения общ множител и също запишете частното в скоби, без да забравяте знаците + и -. Направете същото с втората скоба , извадете 7b, тъй като 14 и 35 са кратни на 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Оказаха се 2 члена: 5a (2c - 5) и 7b (2c - 5). Всеки от тях съдържа общ множител (целият израз в скоби тук е един и същ, което означава, че е общ множител): 2c - 5. Той също трябва да бъде изваден от скобите, тоест членовете 5a и 7b остават във втората скоба:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Така че пълният израз е:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Така полиномът 10ac + 14bc - 25a - 35b се разлага на 2 фактора: (2c - 5) и (5a + 7b). Знакът за умножение между тях може да се пропуска при писане

Понякога има изрази от този тип: 5a 2 + 50a 3, тук можете да поставите в скоби не само a или 5a, но дори 5a 2. Винаги трябва да се опитвате да извадите възможно най-големия общ множител от скобата. В нашия случай, ако разделим всеки член на общ множител, получаваме:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(при изчисляване на частното на няколко степени с еднакви основи, основата се запазва, а показателят се изважда). Така в скобата остава единица (в никакъв случай не забравяйте да я напишете, ако извадите изцяло един от членовете от скобата) и частното при деление: 10a. Оказва се, че:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Квадратни формули

За удобство на изчисленията са изведени няколко формули. Наричат ​​се формули за намалено умножение и се използват доста често. Тези формули помагат за факторизиране на полиноми, съдържащи степени. Това е още един ефективен начинфакторизации. И така, ето ги:

  • a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -формулата, наречена "квадрат на сумата", тъй като в резултат на разширяването в квадрат се взема сумата от числата, затворени в скоби, т.е. стойността на тази сума се умножава сама по себе си 2 пъти, което означава, че е фактор.
  • a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - формулата на квадрата на разликата, тя е подобна на предишната. Резултатът е разлика, оградена в скоби, съдържаща се в квадратна степен.
  • a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- това е формулата за разликата на квадратите, тъй като първоначално полиномът се състои от 2 квадрата на числа или изрази, между които се извършва изваждане. Това е може би най-често използваният от трите.

Примери за пресмятане по формули на квадрати

Изчисленията върху тях се правят съвсем просто. Например:

  1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - използвайте формулата "квадрат на сумата".
  2. 25x 2 е квадрат на 5x. 20xy е два пъти произведението от 2*(5x*2y), а 4y 2 е квадрат на 2y.
  3. И така, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y).Този полином се разлага на 2 множителя (факторите са еднакви, следователно се записва като израз с квадратна степен).

Операциите по формулата на квадрата на разликата се извършват подобно на тези. Това, което остава, е формулата за разликата на квадратите. Примерите за тази формула са много лесни за идентифициране и намиране сред други изрази. Например:

  • 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Тъй като 25a 2 \u003d (5a) 2 и 400 \u003d 20 2
  • 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Тъй като 36x 2 \u003d (6x) 2 и 25y 2 \u003d (5y 2)
  • c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Тъй като 169b 2 = (13b) 2

Важно е всеки от членовете да е квадрат на някакъв израз. Тогава този полином трябва да бъде разложен на множители по формулата за разликата на квадратите. За това не е необходимо втората степен да е над числото. Има полиноми с големи степени, но все пак подходящи за тези формули.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

IN този примери 8 може да бъде представено като (a 4) 2, тоест квадрат на определен израз. 25 е 5 2 и 10a е 4 - това е двойното произведение на членовете 2*a 4 *5. Тоест, този израз, въпреки наличието на степени с големи показатели, може да се разложи на 2 фактора, за да се работи с тях по-късно.

Кубични формули

Съществуват същите формули за разлагане на полиноми, съдържащи кубове. Те са малко по-сложни от тези с квадратите:

  • a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- тази формула се нарича сбор от кубове, тъй като в начална формаполиномът е сумата от два израза или числа, затворени в куб.
  • a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) -формула, идентична на предишната, се обозначава като разлика на кубчета.
  • a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - сума куб, в резултат на изчисления се получава сумата от числа или изрази, оградена в скоби и умножена по себе си 3 пъти, тоест разположена в куба
  • a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -формулата, съставена по аналогия с предишната с промяна само на някои знаци на математическите операции (плюс и минус), се нарича "куб на разликата".

Последните две формули практически не се използват за целите на факторизирането на полином, тъй като са сложни и е доста рядко да се намерят полиноми, които напълно отговарят на точно такава структура, така че да могат да бъдат разложени по тези формули. Но все пак трябва да ги знаете, тъй като те ще са необходими за действия в обратна посока - при отваряне на скоби.

Примери за кубични формули

Помислете за пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Тук сме взели доста прости числа, така че можете веднага да видите, че 64a 3 е (4a) 3 и 8b 3 е (2b) 3 . По този начин този полином се разширява чрез формулата за разлика на кубове на 2 фактора. Действията върху формулата на сумата от кубчета се извършват по аналогия.

Важно е да се разбере, че не всички полиноми могат да бъдат разложени поне по един от начините. Но има такива изрази, които съдържат по-големи степени от квадрат или куб, но те също могат да бъдат разширени в съкратени форми за умножение. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Този пример съдържа цели 12 градуса. Но дори и той може да бъде разложен на множители с помощта на формулата за сбора на кубовете. За да направите това, трябва да представите x 12 като (x 4) 3, тоест като куб на някакъв израз. Сега, вместо a, трябва да го замените във формулата. Е, изразът 125y 3 е кубът на 5y. Следващата стъпка е да напишете формулата и да направите изчисленията.

В началото или когато се съмнявате, винаги можете да проверите чрез обратно умножение. Трябва само да отворите скобите в получения израз и да извършите действия с подобни термини. Този метод се прилага за всички горепосочени методи за намаляване: както за работа с общ фактор и групиране, така и за операции върху формулите на кубове и квадратни степени.

Това е един от най-елементарните начини за опростяване на израз. За да приложим този метод, нека си припомним закона за разпределение на умножението по отношение на събирането (не се страхувайте от тези думи, определено знаете този закон, просто може да сте забравили името му).

Законът казва: за да умножите сумата от две числа по трето число, трябва да умножите всеки член по това число и да добавите резултатите, с други думи,.

Можете да направите и обратната операция и точно тази обратна операция ни интересува. Както може да се види от примера, общият фактор a може да бъде изваден от скобата.

Подобна операция може да се извърши както с променливи, като и, например, така и с числа: .

Да, това е твърде елементарен пример, точно като примера, даден по-рано, с разширяването на число, защото всеки знае какво са числата и на какво се делят, но какво ще стане, ако получите по-сложен израз:

Как да разберете на какво е разделено например число, не, с калкулатор всеки може, но без него е слаб? И за това има признаци на делимост, тези знаци наистина си струва да знаете, те ще ви помогнат бързо да разберете дали е възможно да извадите общия фактор от скобата.

Признаци на делимост

Не е толкова трудно да ги запомните, най-вероятно повечето от тях вече са ви били познати и нещо ще бъде ново полезно откритие, повече подробности в таблицата:

Забележка: В таблицата липсва знак за делимост на 4. Ако последните две цифри се делят на 4, тогава цялото число се дели на 4.

Е, как ви харесва знакът? Съветвам ви да го запомните!

Е, да се върнем към израза, може би да го извадим от скобата и това е достатъчно? Не, прието е математиците да опростяват, така че докрай, извадете ВСИЧКО, което се извади!

И така, всичко е ясно с играча, но какво да кажем за числовата част на израза? И двете числа са нечетни, така че не можете да разделите на

Можете да използвате знака за делимост на, сборът от цифрите и, от които се състои числото, е равен и се дели на, което означава, че се дели на.

Знаейки това, можете безопасно да разделите в колона, в резултат на разделянето на получаваме (признаците за делимост ни бяха полезни!). По този начин можем да извадим числото от скобата, точно като y, и в резултат имаме:

За да сте сигурни, че всичко е разложено правилно, можете да проверите разширяването чрез умножение!

Също така общият множител може да бъде изваден в изразите за степен. Тук, например, виждате ли общия фактор?

Всички членове на този израз имат x - изваждаме, всички се делят на - изваждаме отново, гледаме какво се е случило: .

2. Формули за съкратено умножение

Формулите за съкратено умножение вече са споменати на теория, ако трудно можете да си спомните какво е, тогава трябва да ги опресните в паметта си.

Е, ако се смятате за много умен и сте твърде мързеливи, за да прочетете такъв облак от информация, тогава просто прочетете, погледнете формулите и веднага вземете примерите.

Същността на това разлагане е да забележите някаква определена формула в израза пред вас, да я приложите и по този начин да получите продукта на нещо и нещо, това е цялото разлагане. Следват формулите:

Сега опитайте да разложите на множители следните изрази, като използвате горните формули:

И ето какво трябваше да се случи:

Както забелязахте, тези формули са много ефективен начин за факторизиране, не винаги е подходящ, но може да бъде много полезен!

3. Метод на групиране или групиране

Ето още един пример за вас:

Е, какво ще правиш с него? Изглежда, че се дели на и на нещо, а нещо на и на

Но не можете да разделите всичко заедно на едно нещо, добре няма общ фактор, как да не търся какво, и да го оставя без факторинг?

Тук трябва да проявите изобретателност, а името на тази изобретателност е групировка!

Прилага се при общи делителиНе всички членове имат. За групиране трябва намерете групи от термини, които имат общи делителии ги пренаредете така, че да може да се получи един и същ множител от всяка група.

Разбира се, не е необходимо да се пренарежда на места, но това дава видимост, за яснота можете да вземете отделни части от израза в скоби, не е забранено да ги поставяте колкото искате, основното е да не объркайте знаците.

Всичко това не е много ясно? Нека обясня с пример:

В полином - поставяме член - след члена - получаваме

групираме първите два члена заедно в отделна скоба и групираме третия и четвъртия член по същия начин, оставяйки знака минус извън скобите, получаваме:

А сега разглеждаме отделно всяка от двете "купчини", на които сме разбили израза със скоби.

Номерът е да го разделите на такива купчини, от които ще е възможно да извадите възможно най-големия фактор, или, както в този пример, опитайте да групирате членовете, така че след като извадите факторите от скобите от купчините, ние имат същите изрази в скобите.

От двете скоби изваждаме общите множители на членовете, от първата скоба и от втората скоба получаваме:

Но това не е разлагане!

Пмагареразлагането трябва да остане само умножение, но засега имаме полином, просто разделен на две части ...

НО! Този полином има общ множител. Това

извън скобата и получаваме крайния продукт

Бинго! Както можете да видите, вече има продукт и извън скобите няма нито добавяне, нито изваждане, разлагането е завършено, т.к. нямаме какво повече да извадим от скобите.

Може да изглежда като чудо, че след като извадим факторите от скобите, все още имаме същите изрази в скобите, които отново извадихме от скобите.

И това не е никакво чудо, факт е, че примерите в учебниците и на изпита са специално направени така, че повечето изрази в задачи за опростяване или факторизацияс правилния подход към тях те лесно се опростяват и рязко се свиват като чадър, когато натиснете бутон, така че търсете точно този бутон във всеки израз.

Нещо се отклоних, какво имаме тук с опростяването? Сложният полином придоби по-проста форма: .

Съгласете се, не толкова обемисти, колкото преди?

4. Избор на пълен квадрат.

Понякога, за да се приложат формулите за съкратено умножение (повторете темата), е необходимо да се преобразува съществуващия многочлен, като се представи един от членовете му като сбор или разлика на два члена.

В какъв случай трябва да направите това, ще научите от примера:

Полином в тази форма не може да се разложи с помощта на формули за съкратено умножение, така че трябва да се преобразува. Може би в началото няма да ви е очевидно кой термин на кой да разделите, но с течение на времето ще се научите веднага да виждате съкратените формули за умножение, дори и да не присъстват в тяхната цялост, и бързо ще определите какво липсва тук до пълната формула, но засега - учи , студент, по-точно ученик.

За пълната формула на квадрата на разликата тук трябва вместо това. Нека представим третия член като разлика, получаваме: Можем да приложим формулата за квадрат на разликата към израза в скоби (да не се бърка с разликата на квадратите!!!), имаме: , към този израз можем да приложим формулата за разликата на квадратите (да не се бърка с разликата на квадрат!!!), като си представим как, получаваме: .

Израз, който не винаги е разложен на фактори, изглежда по-прост и по-малък, отколкото е бил преди разлагането, но в тази форма той става по-мобилен, в смисъл, че не можете да се притеснявате за промяна на знаци и други математически глупости. Е, ето за вас независимо решение, следните изрази трябва да бъдат разложени на множители.

Примери:

Отговори:​

5. Факторизиране на квадратен тричлен

За факторизацията на квадратен тричлен вижте по-долу в примерите за разлагане.

Примери за 5 метода за факторизиране на полином

1. Изваждане на общия множител извън скоби. Примери.

Спомняте ли си какъв е законът за разпределение? Това е такова правило:

Пример:

Факторизиране на полином.

Решение:

Друг пример:

Умножете.

Решение:

Ако целият термин се извади от скоби, вместо него в скоби остава един!

2. Формули за съкратено умножение. Примери.

Най-често използваните формули са разликата на квадратите, разликата на кубовете и сборът на кубовете. Помните ли тези формули? Ако не, спешно повторете темата!

Пример:

Факторирайте израза.

Решение:

В този израз е лесно да се открие разликата между кубчетата:

Пример:

Решение:

3. Метод на групиране. Примери

Понякога е възможно да се разменят термините по такъв начин, че един и същ фактор да може да бъде извлечен от всяка двойка съседни термини. Този общ множител може да бъде изваден от скобата и оригиналният полином ще се превърне в продукт.

Пример:

Разложете многочлена.

Решение:

Ние групираме термините, както следва:
.

В първата група изваждаме общия множител, а във втората - :
.

Сега общият множител може също да бъде изваден от скоби:
.

4. Методът за избор на пълен квадрат. Примери.

Ако полиномът може да се представи като разликата на квадратите на два израза, остава само да се приложи формулата за съкратено умножение (разлика на квадратите).

Пример:

Разложете многочлена.

Решение:Пример:

\begin(масив)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\под скоба(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(квадрат\суми\ ((\left (x+3 \right))^(2)))-9-7=((\left(x+3 \right))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\край (масив)

Разложете многочлена.

Решение:

\begin(масив)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\под скоба(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(квадрат\ разлики((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^ (2))-2 \right))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\край (масив)

5. Факторизиране на квадратен тричлен. Пример.

Квадратният трином е многочлен от формата, където е неизвестно, са някои числа, освен това.

Променливите стойности, които превръщат квадратния трином в нула, се наричат ​​корени на тринома. Следователно корените на тричлен са корените на квадратно уравнение.

Теорема.

Пример:

Нека факторизираме квадратния трином: .

Първо, решаваме квадратното уравнение: Сега можем да напишем факторизацията на този квадратен трином на множители:

Сега вашето мнение...

Описахме подробно как и защо да факторизираме полином.

Дадохме много примери как да го направим на практика, посочихме клопките, дадохме решения ...

Какво казваш?

Как ви харесва тази статия? Използвате ли тези трикове? Разбирате ли същността им?

Напишете в коментарите и... се пригответе за изпита!

Засега това е най-важното нещо в живота ви.

Полиномите са най-важният тип математически изрази. На базата на полиноми е построен набор от уравнения, неравенства и функции. Задачи различни нивасложностите често съдържат етапи на многостранна трансформация на полиноми. Тъй като математически всеки полином е алгебрична суманяколко монома, най-фундаменталната и необходима промяна е трансформирането на полиномна серия в продукт на два (или повече) фактора. В уравнения, които имат способността да нулират една от частите, преобразуването на полинома в множители ви позволява да приравните част към нула и по този начин да решите цялото уравнение.

Предишните видео уроци ни показаха, че в линейната алгебра има три основни начина за преобразуване на полиноми в фактори. Това е изваждане на общия множител извън скоби, прегрупиране според подобни термини, като се използват формули за съкратено умножение. Ако всички членове на полинома имат някаква обща основа, тогава тя може лесно да бъде извадена от скобите, оставяйки остатъка от деленията под формата на модифициран полином в скоби. Но най-често един фактор не отговаря на всички мономи, засягайки само част от тях. В този случай другата част от мономите може да има собствена обща основа. В такива случаи се използва метод на групиране - всъщност поставяне в скоби на няколко фактора и създаване на сложен израз, който може да бъде трансформиран по други начини. И накрая, има цял комплекс от специални формули. Всички те се формират чрез абстрактни изчисления, като се използва методът на най-простото умножение член по член. По време на изчисленията много елементи в първоначалния израз се редуцират, оставяйки малки полиноми. За да не извършвате обемни изчисления всеки път, можете да използвате готови формули, техните обратни версии или обобщени заключения на тези формули.

На практика често се случва в едно упражнение да се комбинират няколко техники, включително и от категорията на полиномните трансформации. Помислете за пример. Разложете на множители по бином:

Изваждаме общия множител 3 извън скоби:

3x3 - 3x2 = 3x(x2 - y2)

Както можете да видите във видеото, вторите скоби съдържат разликата на квадратите. Прилагаме обратната формула за съкратено умножение, получавайки:

3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)

Друг пример. Нека трансформираме израз от формата:

18а2 - 48а + 32

Намаляваме числовите коефициенти, като поставяме двойката в скоби:

18a2 - 48a + 32 = 2(9a2 - 24a + 16)

За да намерите подходяща формула за съкратено умножение за този случай, е необходимо леко да коригирате израза, като приспособите формулата към условията:

2(9a2 - 24a + 16) = 2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2)

Понякога формула в объркващ израз не се вижда толкова лесно. Човек трябва да приложи методите за разлагане на израза на съставните му елементи или да добави въображаеми двойки конструкции, като +x-x. Коригирайки израза, трябва да спазваме правилата за последователност на знаците и запазването на смисъла на израза. В същото време трябва да се опитате да приведете полинома в пълно съответствие с абстрактната версия на формулата. В нашия пример прилагаме формулата на квадрата на разликата:

2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2) = 2(3a - 4)

Нека направим по-трудно упражнение. Нека факторизираме полинома:

U3 - 3y2 + 6y - 8

Като начало, нека извършим удобно групиране - първият и четвъртият елемент в една група, вторият и третият - във втората:

Y3 - 3y2 + 6y - 8 = (y3 - 8) - (3y2 - 6y)

Обърнете внимание, че знаците във вторите скоби са обърнати, тъй като преместихме минуса от израза. В първите скоби можем да напишем:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y)

Това ви позволява да приложите формулата за намалено умножение, за да намерите разликата на кубовете:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y) = (y - 2) (y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y)

Изваждаме общия множител 3y от вторите скоби, след което изваждаме скобите (y - 2) от целия израз (бином), даваме като термини:

(y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - 3y(y - 2) =
\u003d (y - 2) (y2 + 2y + 4 - 3y) \u003d (y - 2) (y2 - y + 4)

В общото приближение има определен алгоритъм от действия за решаване подобни упражнения.
1. Търсим общи множители за целия израз;
2. Групираме подобни мономи, търсим общи множители за тях;
3. Опитваме се да поставим в скоби най-подходящия израз;
4. Прилагаме формулите на съкратеното умножение;
5. Ако на някакъв етап процесът не върви, въвеждаме въображаема двойка изрази от формата -x + x или други самоотменящи се конструкции;
6. Даваме подобни условия, намаляваме ненужните елементи

Всички точки от алгоритъма рядко са приложими в една задача, но общият ход на решаване на всяко упражнение по тема може да се следва в даден ред.

Раздели: Математика

Тип урок:

  • според метода на провеждане - практическо занятие;
  • с дидактическа цел - урок по прилагане на знания и умения.

Мишена:формират способността да факторизират полином.

Задачи:

  • Дидактически: систематизира, разширява и задълбочава знанията, ученически умения, прилагайте различни методи за факторизиране на полином. Да се ​​формира способността да се прилага разлагането на полином на фактори чрез комбинация от различни техники. Да се ​​прилагат знания и умения по темата: „Разлагане на многочлен на множители” за изпълнение на задачи от основно ниво и задачи с повишена сложност.
  • Образователни: да развият умствена дейност чрез решаване на проблеми от различни видове, да се научат да намират и анализират най-рационалните начини за решаване, да допринесат за формирането на способността да обобщават изучените факти, ясно и ясно да изразяват своите мисли.
  • Образователни: развиват умения за самостоятелна и екипна работа, умения за самоконтрол.

Методи на работа:

  • глаголен;
  • визуален;
  • практичен.

Оборудване на урока:интерактивна бяла дъска или скоп, таблици със съкратени формули за умножение, инструкции, листовка за групова работа.

Структура на урока:

  1. Организиране на времето. 1 минута
  2. Формулиране на темата, целите и задачите на урока-практика. 2 минути
  3. Преглед домашна работа. 4 минути
  4. Актуализация основни познанияи уменията на учениците. 12 минути
  5. Физкултминутка. 2 минути
  6. Инструкции за изпълнение на задачите на семинара. 2 минути
  7. Изпълнение на задачи по групи. 15 минути
  8. Проверка и обсъждане на изпълнението на задачите. Анализ на работата. 3 минути
  9. Поставяне на домашна работа. 1 минута
  10. Резервни задачи. 3 минути

По време на часовете

1. Организационен момент

Учителят проверява готовността на класната стая и учениците за урока.

2. Формулиране на темата, целите и задачите на урока-практика

  • Съобщение за последния урок по темата.
  • Мотивация учебни дейностистуденти.
  • Формулиране на целта и поставяне на целите на урока (заедно с учениците).

3. Проверка на домашните

На дъската има примери за решаване на домашни упражнения No 943 (a, c); № 945 (c, d). Пробите са направени от учениците от класа. (Тази група ученици беше идентифицирана в предишния урок, те формализираха решението си в междучасието). Учениците се подготвят да „защитят” решенията.

Учител:

Проверява домашните в ученическите тетрадки.

Кани учениците от класа да отговорят на въпроса: „Какви трудности предизвика заданието?“.

Предлага да сравни своето решение с решението на дъската.

Кани учениците на дъската да отговорят на въпросите, които учениците имаха на терен при проверка на образците.

Коментира отговорите на учениците, допълва отговорите, обяснява (ако е необходимо).

Обобщава домашното.

Ученици:

Представете домашното на учителя.

Сменяйте тетрадките (по двойки) и проверявайте помежду си.

Отговорете на въпросите на учителя.

Проверете решението си с мостри.

Те действат като опоненти, правят допълнения, корекции, записват различен метод, ако методът за решаване в тетрадката се различава от метода на дъската.

Поискайте необходимите обяснения на учениците, на учителя.

Намерете начини да проверите резултатите.

Участвайте в оценката на качеството на задачите на дъската.

4. Актуализиране на основните знания и умения на учениците

1. Устна работа

Учител:

Отговори на въпросите:

  1. Какво означава да факторизираш полином?
  2. Колко метода на разлагане знаете?
  3. Как се казват?
  4. Кое е най-често срещаното?

2. Полиномите са написани на дъската:

1. 14x 3 - 14x 5

2. 16x 2 - (2 + x) 2

3. 9 - x 2 - 2xy - y 2

4.x3 - 3x - 2

Учителкани учениците да факторизират полиноми № 1-3:

  • I вариант - чрез изваждане на общ множител;
  • II вариант - използване на формули за съкратено умножение;
  • III вариант - по начин на групиране.

На един ученик се предлага да разложи на множители полином № 4 (индивидуална задача с повишена трудност, задачата се изпълнява на формат А 4). След това на дъската се появява примерно решение на задачи No 1-3 (изпълнено от учителя), примерно решение на задача No 4 (изпълнено от ученика).

3. Загрейте

Учителят дава инструкции за разлагане и избор на буквата, свързана с правилния отговор. Като добавите буквите, ще получите името на най-великия математик от 17 век, който има огромен принос в развитието на теорията за решаване на уравнения. (Декарт)

5. Физическо възпитание Учениците четат твърденията. Ако твърдението е вярно, тогава учениците трябва да вдигнат ръце, а ако не е вярно, тогава да седнат на бюрото. (приложение 2)

6. Инструкция за изпълнение на задачите от семинара.

На интерактивна дъска или отделен плакат, таблица с инструкции.

При разлагане на полином на множители трябва да се спазва следният ред:

1. поставете общия множител извън скоби (ако има такъв);

2. приложете формули за съкратено умножение (ако е възможно);

3. прилага метода на групиране;

4. проверка на резултата, получен чрез умножение.

Учител:

Предлага инструкции на учениците (подчертава стъпка 4).

Предлага изпълнение на работни задачи по групи.

Разпределя работни листове по групи, листове с копирна хартия за попълване на задачи в тетрадки и последващата им проверка.

Определя времето за работа по групи, за работа в тетрадки.

студенти:

Те четат инструкциите.

Учителите слушат внимателно.

Те са настанени на групи (по 4-5 души).

Подгответе се за практическа работа.

7. Изпълнение на задачи по групи

Работни листове със задачи за групи. (приложение 3)

Учител:

Управлява самостоятелна работав групи.

Оценява се способността на учениците за самостоятелна работа, умението за работа в група, качеството на оформянето на работния лист.

студенти:

Изпълнете задачи върху листове карбон, приложени в работна тетрадка.

Обсъдете рационални решения.

Подгответе работен лист за групата.

Подгответе се да защитите работата си.

8. Проверка и обсъждане на заданието

Отговори на бялата дъска.

Учител:

Събира преписи от решения.

Ръководи работата на учениците, отчитайки работните листове.

Предлага да извърши самооценка на работата си, да сравни отговорите в тетрадки, работни листове и образци на дъската.

Припомня критериите за оценяване на работата, за участие в нейното изпълнение.

Осигурява разяснения относно възникващи въпроси, свързани с решения или самооценка.

Обобщава първите резултати от практическата работа и размисъл.

Обобщава (съвместно с учениците) урока.

Казва, че окончателните резултати ще бъдат обобщени след проверка на копия от работата, извършена от учениците.

студенти:

Дайте копия на учителя.

Работните листове са прикрепени към дъската.

Отчитане на изпълнението на работата.

Извършване на самооценка и самооценка на работата.

9. Поставяне на домашна работа

Домашната работа е написана на дъската: No 1016 (a, b); 1017 (c, d); № 1021 (d, e, f)*

Учител:

Предлага да напише задължителната част от задачата у дома.

Дава коментар за изпълнението му.

Кани по-подготвените ученици да запишат № 1021 (d, e, f) *.

Казва ви да се подготвите за следващия урок за преглед

Целта на урока:  формиране на умения за разлагане на полином на фактори по различни начини;  да се култивира точност, постоянство, усърдие, способност за работа по двойки. Оборудване: мултимедиен проектор, компютър, дидактически материали. План на урока: 1. Организационен момент; 2. Проверка на домашните; 3. Устна работа; 4. Учене на нов материал; 5. Физическо възпитание; 6. Затвърдяване на изучения материал; 7. Работа по двойки; 8. Домашна работа; 9. Обобщаване. Ход на урока: 1. Организационен момент. Разпределете учениците към урока. Образованието не се състои в количеството знания, а в пълното разбиране и умелото прилагане на всичко, което човек знае. (Георг Хегел) 2. Проверка на домашна работа. Анализ на задачи, при решаването на които учениците са имали затруднения. 3. Устна работа.  разложи на множители: 1) 2) 3) ; 4) .  Установете съответствие между изразите от лявата и дясната колона: a. 1. б. 2. c. 3. г. 4. г. 5. .  Решете уравненията: 1. 2. 3. 4. Учене на нов материал. За разлагане на полиноми на множители използвахме скоби, групиране и формули за съкратено умножение. Понякога е възможно да се факторизира полином чрез последователно прилагане на няколко метода. Трябва да започнете трансформацията, ако е възможно, като извадите общия множител извън скоби. За да разрешим успешно такива примери, днес ще се опитаме да разработим план за последователното им прилагане.

150 000₽ награден фонд 11 почетни документа Доказателство за публикация в медиите