Собствени механични и магнитни моменти (спин). Присъщи механични и магнитни моменти на електрон (спин) Вътрешен механичен момент на инерция
МЕХАНИЧНИ И МАГНИТНИ МОМЕНТИ НА ЕЛЕКТРОНА
Орбитален магнитен момент на електрон
Известно е, че всеки ток генерира магнитно поле. Следователно електрон, чийто орбитален механичен момент се различава от нула, трябва да има и магнитен момент.
От класическите концепции ъгловият импулс има формата
където е скоростта, е радиусът на кривината на траекторията.
Магнитният момент на затворен ток с площ създава магнитен момент
Дали единицата е нормална на равнината и са зарядът и масата на електрона.
Сравнявайки (3.1) и (3.2), получаваме
Магнитният момент е свързан с механичния момент чрез фактор
което се нарича магнитомеханично (жиромагнитно) съотношение за електрона.
За проекциите на моментите имаме същата връзка
Преходът към квантовата механика се извършва чрез замяна на числови уравнения с операторни уравнения
Формулите (3.5) и (3.6) са валидни не само за електрон в атом, но и за всякакви заредени частици, които имат механичен момент.
Собствената стойност на оператора е
където е магнитното квантово число (вижте раздел 2.1)
Константата се нарича магнетон на Бор
В единици SI това е J / T.
По същия начин можете да получите собствените стойности на магнитния момент
където е орбиталното квантово число.
Често използвайте нотация
където . Знакът минус понякога се пропуска.
Присъщите механични и магнитни моменти на електрона (спин)
Електронът има четвърта степен на свобода, която е свързана със собствения му механичен (и следователно магнитен) момент на електрона - спин. Наличието на спин следва от релативисткото уравнение на Дирак
където е векторна матрица, са четириредови матрици.
Тъй като величините са четириредови матрици, вълновата функция трябва да има четири компонента, които удобно се записват като колона. Няма да извършваме решения (3.12), но ще постулираме наличието на спин (собствен момент) за електрона, като някакво емпирично изискване, без да се опитваме да обясним неговия произход.
Нека се спрем накратко върху онези експериментални факти, от които следва съществуването на спина на електрона. Едно от такива преки доказателства са резултатите от опита на немските физици Щерн и Герлах (1922) върху пространственото квантуване. При тези експерименти лъчи от неутрални атоми бяха прокарани през област, в която се създаде нехомогенно магнитно поле (фиг. 3.1). В такова поле частица с магнитен момент придобива енергия и върху нея ще действа сила
който може да раздели лъча на отделни компоненти.
В първите експерименти са изследвани лъчи от сребърни атоми. Лъчът се прокарва по оста и се наблюдава разцепване по оста. Основният компонент на силата е
Ако сребърните атоми не са възбудени и са на по-ниско ниво, тоест в () състояние, тогава лъчът изобщо не трябва да се разделя, тъй като орбиталният магнитен момент на такива атоми е нула. За възбудените атоми (), лъчът трябва да се раздели на нечетен брой компоненти в съответствие с броя на възможните стойности на магнитното квантово число ().
Всъщност се наблюдава разделяне на лъча на два компонента. Това означава, че магнитният момент, който причинява разцепването, има две проекции в посоката магнитно поле, а съответното квантово число приема две стойности. Резултатите от експеримента накараха холандските физици Уленбек и Гоудсмит (1925) да изложат хипотеза за електронът има свои собствени механични и свързани магнитни моменти.
По аналогия с орбиталното число въвеждаме квантовото число, което характеризира вътрешния механичен момент на електрона. Определете по броя на разделянето. следователно,
Квантовото число се нарича спиново квантово число и характеризира вътрешния или спинов ъглов импулс (или просто "спин"). Магнитното квантово число, което определя проекциите на спиновия механичен момент и спиновия магнитен момент на спина, има две значения. Тъй като а, тогава не съществуват други стойности и следователно,
Срок въртенеполучен от английска дума въртенекоето означава да се върти.
Спиновият ъглов импулс на електрона и неговата проекция се квантуват според обичайните правила:
Както винаги, при измерване на количество се получава една от двете възможни стойности. Всяко тяхно наслагване е възможно преди измерване.
Съществуването на спин не може да се обясни с въртенето на електрона около собствената си ос. Максималната стойност на механичния момент може да се получи, ако масата на електроните се разпредели по екватора. След това, за да се получи големината на момента на реда, линейната скорост на екваториалните точки трябва да бъде m / s (m е класическият радиус на електрона), тоест много повече от скоростта на светлината. Следователно нерелативисткото разглеждане на спина е невъзможно.
Да се върнем към експериментите на Щерн и Герлах. Познавайки големината на разделянето (по величина), е възможно да се изчисли големината на проекцията на спиновия магнитен момент върху посоката на магнитното поле. Той представлява един магнетон на Бор.
Нека разберем връзката между и:
Количеството
се нарича спиново магнитомеханично съотношение и е два пъти по-голямо от орбиталното магнитомеханично съотношение.
Същата връзка съществува между магнитните и механичните моменти на въртене:
Нека сега намерим стойността:
Въпреки това е обичайно да се казва, че спиновият магнитен момент на електрона е равен на един магнетон на Бор. Тази терминология се е развила исторически и е свързана с факта, че при измерване на магнитния момент обикновено измерваме неговата проекция и той е точно равен на 1.
Собствени механични и магнитни моменти (въртене)
ОБОСНОВАНИЕ ЗА СЪЩЕСТВУВАНЕТО НА СПИНА... Уравнението на Шрьодингер ви позволява да изчислите енергийния спектър на водорода и по-сложните атоми. Експерименталното определяне на енергийните нива на атомите обаче показа, че няма пълно съгласие между теорията и експеримента. Намерени са точни измервания фина структуранива. Всички нива, с изключение на основното, са разделени на множество много близки поднива. По-специално, първото възбудено ниво на водородния атом ( н= 2) се разделя на две поднива с енергийна разлика само 4,5 10 -5 eV... При тежките атоми степента на фино разделяне е много по-голяма, отколкото при леките.
Това несъответствие между теорията и експеримента беше възможно да се обясни, като се използва предположението (Uhlenbeck, Goudsmit, 1925), че електронът има още една вътрешна степен на свобода - спин. Според това предположение, електронът и повечето др елементарни частицизаедно с орбиталния ъглов импулс, те също имат свой собствен механичен ъглов импулс. Този правилен момент се нарича въртене.
Гърбът на микрочастицата означава, че в някои отношения тя е като малък въртящ се върх. Тази аналогия обаче е чисто формална, тъй като квантовите закони значително променят свойствата на ъгловия импулс. Собствен момент според квантовата теорияможе да е в точна микрочастица. Важно и нетривиално квантово свойство на спина е, че само то може да определи предпочитана ориентация в частица.
Наличието на вътрешен механичен момент в електрически заредените частици води до появата на техния вътрешен (спинов) магнитен момент, който в зависимост от знака на заряда е успореден (положителен заряд) или антипаралелен (отрицателен заряд) на спиновия вектор . Неутрална частица, например неутрон, също може да има свой собствен магнитен момент.
Съществуването на спин в електрона е показано от експериментите на Stern и Gerlach (1922) за наблюдението на разделянето на тесен сноп от сребърни атоми под действието на нехомогенно магнитно поле (в еднородно поле, само в момента променя ориентацията си; само в нехомогенно поле се движи транслационно или по протежение на полето, или срещу навътре в зависимост от посоката по отношение на полето). Невъзбудените сребърни атоми са в сферично симетрично s-състояние, тоест с орбитален ъглов импулс, равен на нула. Магнитният момент на системата, свързан с орбиталното движение на електрона (както в класическата теория), е право пропорционален на механичния момент. Ако последното е нула, тогава магнитният момент също трябва да бъде нула. Това означава, че външното магнитно поле не трябва да влияе върху движението на сребърните атоми в основно състояние. Опитът показва, че има такова влияние.
Експериментално лъч от сребърни атоми беше разделен, алкални металии водород, но винагинаблюдавано само два пакета, еднакво отклонена в противоположни посоки и разположена симетрично спрямо лъча при липса на магнитно поле. Това може да се обясни само с факта, че магнитният момент на валентния електрон в присъствието на поле може да приеме две стойности, еднакви по големина и противоположни по знак.
Резултатите от експериментите водят до извода че разделянето в магнитно поле на лъч от атоми от първа група Периодичната таблицаизвестно, че е в s-състояние, на два компонента се обяснява с две възможни състояния на спиновия магнитен момент на валентния електрон.Величината на проекцията на магнитния момент върху посоката на магнитното поле (това определя ефекта на отклонение), установена от експериментите на Щерн и Герлах, се оказва равна на т.нар. Магнетон на Бор
Фината структура на енергийните нива на атоми с един валентен електрон се обяснява с наличието на спин в електрона, както следва. В атоми (с изключение на с-състояния) поради орбитално движение възникват електрически токове, чието магнитно поле влияе на спиновия магнитен момент (т.нар. спин-орбитално взаимодействие). Магнитният момент на електрона може да бъде ориентиран или по протежение на полето, или срещу полето. Състоянията с различни ориентации на въртене се различават донякъде по енергия, което води до разделяне на всяко ниво на две. Атомите с няколко електрона във външната обвивка ще имат по-сложна фина структура. Така хелият, който има два електрона, има единични линии (синглети) в случай на антипаралелни завъртания на електрони (общият спин е нула - парахелий) и тройни линии (триплети) в случай на успоредни завъртания (общият спин е з- ортохелий), които съответстват на три възможни проекции върху посоката на магнитното поле на орбиталните токове на общия спин на два електрона (+ h, 0, -h).
Така редица факти доведоха до необходимостта да се припише нова вътрешна степен на свобода на електроните. За пълно описаниесъстояния, заедно с три координати или всяка друга тройка от величини, които съставляват квантово-механичен набор, е необходимо също така да се зададе големината на проекцията на въртене към избраната посока (модулът на спин не е необходимо да се посочва, тъй като, както показва опитът, той не се променя за нито една частица при никакви обстоятелства) ...
Проекцията на спин, подобно на проекцията на орбиталния ъглов импулс, може да варира с многократно з... Тъй като са наблюдавани само две ориентации на спина на електрона, Уленбек и Гаудсмит приемат, че проекцията на спина на електрона С zвъв всяка посока може да приеме две стойности: С z = ± h / 2.
През 1928 г. Дирак получава релативисткото квантово уравнение за електрона, от което следва съществуването и спина на електрона ч/2без специални хипотези.
Протонът и неутронът имат същия спин 1/2 като електрона. Спинът на фотона е 1. Но тъй като масата на фотона е нула, тогава са възможни две, а не три от неговите проекции, +1 и -1. Тези две проекции в електродинамиката на Максуел съответстват на две възможни кръгови поляризации електромагнитна вълнапо часовниковата стрелка и обратно на часовниковата стрелка спрямо посоката на разпространение.
СВОЙСТВА НА ПЪЛНИЯ МОМЕНТ НА ПУЛС.Както орбиталният ъглов импулс M, така и спиновият момент S са величини, които приемат само квантови дискретни стойности. Нека сега разгледаме общия ъглов импулс, който е векторната сума на споменатите моменти.
Операторът на общия ъглов импулс се дефинира като сума от операторите и
Оператори и пътуване до работното място, тъй като операторът действа върху координати, а операторът не действа върху тях. Може да се покаже, че
тоест проекциите на общия ъглов импулс не комутират една с друга по същия начин, както проекциите на орбиталния ъглов импулс. Операторът, от друга страна, комутира с всяка проекция, откъдето следва, че операторът и операторът на която и да е (освен една) проекция съответстват на физически величинии свързани с броя на едновременно измерими. Операторът също пътува с операторите и.
Състояние на електрон в поле централна силадефинирахме три квантови числа: n, l, m.Квантови нива Е нобикновено се дефинират от две квантови числа n, l.В този случай спинът на електрона не беше взет предвид. Ако вземем предвид и спина, тогава всяко състояние се оказва по същество двойно, тъй като са възможни две ориентации на спина С z = хм с ; м с = ± 1/2. Така четвъртото се добавя към трите квантови числа. м с, тоест трябва да се обозначи вълновата функция, отчитаща спина.
За всеки мандат Е n, lимаме (2 л+ 1) състояния, различаващи се по ориентацията на орбиталния ъглов момент (числото м), всяко от които се разпада на свой ред в две състояния, различни по спин. Така имаме 2 (2 л+ 1) -кратна дегенерация.
Ако сега вземем предвид слабото взаимодействие на спина с магнитното поле на орбиталните токове, тогава енергията на състоянието ще зависи и от ориентацията на спина спрямо орбиталния ъглов импулс. Промяната в енергията по време на такова взаимодействие е малка в сравнение с енергийната разлика между нивата с различни n, lи следователно възникващите нови линии са близо една до друга.
По този начин разликата в ориентациите на спиновия момент по отношение на вътрешното магнитно поле на атома може да обясни произхода на множеството на спектралните линии. От гореизложеното следва, че за атоми с един оптичен електрон са възможни само дублети (двойни линии) поради двете ориентации на спина на електрона. Това заключение се потвърждава от експериментални данни. Нека сега се обърнем към номерирането на атомните нива, като вземем предвид мултиплетната структура. Когато се вземе предвид спин-орбиталното взаимодействие, нито орбиталният ъглов импулс, нито спиновият момент имат определена стойност в състояние с определена енергия (операторите не комутират с оператора). от класическа механикаще имаме прецесия на векторите и около вектора на общия импулс, както е показано на фиг. 20. Общият въртящ момент остава постоянен. Подобна ситуация има и в квантовата механика. Когато се вземе предвид спиновото взаимодействие, само общият ъглов импулс има определена стойност в състояние с дадена енергия (операторът комутира с оператора). Следователно, когато се вземе предвид спин-орбиталното взаимодействие, състоянието трябва да се класифицира според стойността на общия ъглов импулс. Общият ъглов импулс се квантува по същите правила като орбиталния ъглов импулс. А именно, ако въведем квантовото число jопределяне на момента Дж, тогава
И проекцията в някаква посока 0 zима смисъл Дж z = хм j, при което j= l + л с (л с= Ѕ) ако спинът е успореден на орбиталния ъглов импулс, и j= | л - л с| ако са антипаралелни. По подобен начин м j = m + m с (м с= ± 1/2). Тъй като l, m са цели числа и л с , л м- половинки, значи
j = 1/2, 3/2, 5/2, … ; м j= ± 1/2, ± 3/2,…, ± j.
В зависимост от ориентацията на въртенето, енергията на термина ще бъде различна, а именно, тя ще бъде за j = л+ Ѕ и j = |л- Ѕ |. Следователно в този случай енергийните нива трябва да се характеризират с числа n, lи числото j, което определя общия момент, тоест E = E nlj.
Вълновите функции ще зависят от спиновата променлива S z и ще бъдат различни за различните j:.
Квантови нива за даденост лразличаващи се по стойност j, са близки един до друг (различават се по енергията на спин-орбиталното взаимодействие). Четири числа n, l, j, m jможе да приеме следните стойности:
н= 1, 2, 3,…; л= 0, 1, 2,…, н- 1; j = l + l сили | л - л с |; л с= ± 1/2;
-j? м j ? j.
Големината на орбиталния ъглов импулс l се обозначава в спектроскопията с буквите s, p, d, f и т.н. Основното квантово число се поставя пред буквата. В долния десен ъгъл посочете номера j.Следователно, например, нивото (терминът) с н= 3, l = 1, j= 3/2 означава 3 Р 3/2. Фигура 21 показва диаграмата на нивата на водородоподобен атом, като се вземе предвид мултиплетната структура. Редове 5890? и 5896? форма
известен натриев дублет: жълти линии D2 и D1. 2 с-терм далеч от 2 Р-термини, както би трябвало да бъде при водородоподобни атоми ( л- отстранена дегенерация).
Към всяко от разглежданите нива Е nlпринадлежи към (2 j+ 1) състояния, различни по брой м j, тоест ориентацията на общия момент J в пространството. Само когато е наложено външно поле, тези нива на сливане могат да се разделят. При липса на такова поле имаме (2 j+ 1) -кратна дегенерация. Значи термин 2 с 1/2 има израждане 2: две състояния, които се различават по ориентация на въртене. Срок 2 Р 3/2 има четирикратно израждане според ориентациите на момента Дж, м j= ± 1/2, ± 3/2.
ЕФЕКТ НА ZEEEMAN.П. Зееман, изучавайки спектъра на излъчване на натриеви пари, поставени във външно магнитно поле, открива разделянето на спектралните линии на няколко компонента. Впоследствие, на базата на квантовомеханичните концепции, това явление се обяснява с разделянето в магнитно поле енергийни ниваатом.
Електроните в атома могат да бъдат само в определени дискретни състояния, променяйки които се излъчва или абсорбира квантът светлина. Енергията на атомното ниво зависи от общия орбитален ъглов импулс, характеризиращ се с орбиталното квантово число Л, и общия спин на неговите електрони, характеризиращ се със спиново квантово число С... номер Лможе да приема само цели числа и числото С- цели и полуцели числа (в единици з). В посоката, която могат да поемат съответно (2 Л+ 1) и (2 С+ 1) позиции в пространството. Следователно нивото на данните Ли Се изродено: състои се от (2 Л+ 1) (2S +1) поднива, чиито енергии (ако не вземем предвид спин-орбиталното взаимодействие) съвпадат.
Взаимодействието спин-орбита обаче води до факта, че енергията на нивата зависи не само от количествата Ли С,но също и на относителното положение на орбиталния ъглов момент и векторите на спина. Следователно енергията се оказва зависима от общия момент М = М Л + М Сопределя се от квантовото число Дж, и нивото с даденото Ли Ссе разделя на няколко поднива (образувайки мултиплет) с различни Дж... Това разделяне се нарича фина структура на нивата. Поради фината структура, спектралните линии също са разделени. Например, д- натриевата линия съответства на прехода от нивото Л = 1 , С= Ѕ до ниво c Л = 0, С= Ѕ. Първото от тях (нива) е дублет, съответстващ на възможни стойности Дж= 3/2 и Дж= Ѕ ( Дж =Л + С; С= ± 1/2), а вторият няма фина структура. Ето защо д- линията се състои от две много близки линии с дължини на вълната 5896? и 5890?.
Всяко ниво на мултиплета все още остава изродено поради възможността за ориентация на общия механичен момент в пространството по протежение на (2 j+ 1) указания. Тази дегенерация се повдига в магнитно поле. Магнитният момент на атома взаимодейства с полето и енергията на такова взаимодействие зависи от посоката. Следователно, в зависимост от посоката, атомът придобива различна допълнителна енергия в магнитно поле, а Зеемановото разделяне на нивото на (2 j+ 1) поднива.
Разграничаване нормален (прост) ефект на Зееман, когато всяка линия е разделена на три компонента и аномален (сложен), когато всяка линия е разделена на повече от три компонента.
За да разберете общите закони на ефекта на Зееман, помислете най-простият атом- водороден атом. Ако водороден атом е поставен във външно еднородно магнитно поле с индукция V,след това поради взаимодействието на магнитния момент Р мс външно поле атомът ще придобие допълнително, в зависимост от модулите и взаимната ориентация Vи следобеденергия
UB= -pmB = -pmBB,
където pmBе проекцията на магнитния момент на електрона върху посоката на полето.
Имайки предвид това Р mB = - хм л / (2м)(магнитно квантово число м л= 0, ± 1, ± 2,…, ± l), получаваме
Магнетон на Бор.
Обща енергия на водороден атом в магнитно поле
където първият член е енергията на кулоновото взаимодействие между електрон и протон.
От последната формула следва, че при липса на магнитно поле (B = 0), енергийното ниво се определя само от първия член. Кога е Б? 0, трябва да вземете предвид различните допустими стойности на m l. Тъй като дадено ни лчисло m l мога да взема 2 л+ 1 възможни стойности, тогава първоначалното ниво ще бъде разделено на 2 л+ 1 поднива.
На фиг. 22а показва възможни преходи във водородния атом между състоянията Р(л= 1) и с (л= 0). В магнитно поле p-състоянието се разделя на три поднива (при l = 1 m = 0, ± 1), от всяко от които могат да възникнат преходи към s ниво и всеки преход се характеризира със собствена честота: Следователно, в спектъра се появява триплет (нормалният ефект на Zeeman). Имайте предвид, че преходите следват правилата за избор на квантови числа:
На фиг. 22b показва разделянето на енергийните нива и спектралните линии за прехода между състоянията д(л= 2) и стр(л= 1). състояние дв магнитно поле
се разделя на пет поднива, р състоянието - на три. Когато се вземат предвид правилата за преход, са възможни само преходите, посочени на фигурата. Както се вижда, в спектъра се появява триплет (нормален ефект на Зееман).
Нормалният ефект на Zeeman се наблюдава, ако оригиналните линии нямат фина структура (те са синглети). Ако първоначалните нива имат фина структура, тогава се появява спектърът Повече ▼компонент и се наблюдава аномален ефект на Зееман.
Електронът има свой собствен механичен ъглов импулс L s, наречен спин. Спинът е присъщо свойство на електрона, като неговия заряд и маса. Спинът на електрона съответства на присъщия магнитен момент P s, пропорционален на L s и насочен в обратна посока: P s = g s L s, g s е жиромагнитното съотношение на спиновите моменти. Проекцията на присъщия магнитен момент върху посоката на вектора B: P sB = eh / 2m = B, където h = h / 2, B = магнетон на Бор. Общият магнитен момент на атома p a = векторната сума от магнитните моменти на електрона, влизащ в атома: P a = p m + p ms. Опитът на Щерн и Герлах. Извършвайки измервания на магнитни моменти, те открили, че тесен сноп от водородни атоми в нехомогенно магнитно поле се разделя на 2 лъча. Въпреки че в това състояние (атомите бяха в S състояние) ъгловият импулс на електрона е 0, както и магнитният момент на атома е 0, следователно магнитното поле не влияе върху движението на водородния атом, т.е. , не трябва да има разделяне. По-нататъшни изследвания обаче показват, че спектралните линии на водородните атоми проявяват такава структура дори при липса на магнитно поле. По-късно беше установено, че такава структура на спектралните линии се обяснява с факта, че електронът има свой собствен неразрушим механичен момент, наречен спин.
21. Орбитален, спинов и общ ъглов и магнитен момент на електрона.
Електронът притежава собствен моментимпулс M S, който се нарича спин. Стойността му се определя от общите закони на квантовата механика: MS = h = h [(1/2) * (3/2)] = (1/2) h3, M l = h - орбитален момент. Проекцията може да приеме квантови стойности, които се различават една от друга с h. M Sz = m S h, (m s = S), M lz = m l h. За да намерим стойността на вътрешния магнитен момент, умножаваме M s по отношението s към M s, s е вътрешният магнитен момент:
s = -eM s / m e c = - (e h / m e c) = - B 3, B - магнетон на Бор.
Знакът (-), защото M s и s сочат в противоположни посоки. Моментът на електрона се състои от 2: орбитален M l и спин M s. Това добавяне се извършва по същите квантови закони, според които се добавят орбиталните моменти на различни електрони: Мj = h, j е квантовото число на общия ъглов импулс.
22. Атом във външно магнитно поле. Зееманов ефект .
Ефектът на Зееман е разделяне на енергийните нива под действието на магнитно поле върху атомите. Разделянето на нивата води до разделяне на спектралните линии на няколко компонента. Разцепването на спектралните линии под действието на магнитно поле върху излъчващите атоми се нарича още ефект на Зееман. Зеемановото разделяне на нивата се обяснява с факта, че атом с магнитен момент j придобива допълнителна енергия E = - jB B в магнитно поле, jB е проекцията на магнитния момент върху посоката на полето. jB = - B gm j, E = B gm j, ( j = 0, 1,…, J). Енергийното ниво се разделя на поднива, като количеството на разделяне зависи от квантовите числа L, S, J на даденото ниво.