Kvadrātsaknes antiatvasinājums. X sakne no x antiatvasinājuma

Vai meklējat x sakni no x antiatvasinājuma? ... Detalizēts risinājums ar aprakstu un paskaidrojumiem palīdzēs tikt galā ar pat vissarežģītākajām problēmām, un integrālis no saknes x nav izņēmums. Palīdzēsim sagatavoties mājas darbiem, ieskaitēm, olimpiādēm, kā arī iestājai augstskolā. Un neatkarīgi no tā, kādu piemēru vai matemātikas vaicājumu ievadāt, mums jau ir risinājums. Piemēram, "x ir x antiatvasinājuma sakne."

Mūsu dzīvē ir plaši izplatīta dažādu matemātisko uzdevumu, kalkulatoru, vienādojumu un funkciju izmantošana. Tos izmanto daudzos aprēķinos, ēku celtniecībā un pat sportā. Cilvēks matemātiku izmantoja senos laikos un kopš tā laika to izmantošana ir tikai pieaugusi. Taču šobrīd zinātne nestāv uz vietas un varam baudīt tās darbības augļus, piemēram, tiešsaistes kalkulatoru, kas spēj atrisināt tādas problēmas kā x sakne no x antiderivatīvs, integrālis no saknes x, integrālis no saknes x, integrālis kvadrātsakne, neatņemama sakne no 1 x 2, neatņemama sakne no x, neatņemama sakne no x 2 1, neatņemama sakne no x, integrālis no saknes, integrālis no x saknes, no kvadrātsaknes integrālis, no saknes integrālis, no x saknes integrālis, integrāļi ar saknēm , sakne no x integrāļa, sakne no x antiatvasinājuma, sakne no x integrāļa, sakne no x antiatvasinājums, antiatvasinājums 3 sakne no x, antiatvasinājums x sakne no x, antiatvasinājums no saknes x, antiatvasinājums no x, antiatvasinājums no x, antiatvasinājums no x, saknes antiatvasinājums, saknes antiatvasinājums x, saknes antiatvasinājums no x, saknes antiatvasinājums, x saknes antiatvasinājums, x saknes antiatvasinājums x. Šajā lapā jūs atradīsiet kalkulatoru, kas palīdzēs atrisināt jebkuru jautājumu, ieskaitot x sakni no x antiatvasinājuma. (piemēram, integrālis no saknes x).

Kur jūs varat atrisināt jebkuru uzdevumu matemātikā, kā arī x sakni no x antiatvasinājuma tiešsaistē?

Jūs varat atrisināt problēmu x sakne no x antiatvasinājuma mūsu vietnē. Bezmaksas tiešsaistes risinātājs ļaus jums dažu sekunžu laikā atrisināt jebkuras sarežģītības tiešsaistes problēmu. Viss, kas jums jādara, ir tikai ievadīt savus datus risinātājā. Mūsu vietnē varat arī noskatīties video instrukciju un uzzināt, kā pareizi ievadīt savu uzdevumu. Un, ja jums joprojām ir jautājumi, varat tos uzdot tērzēšanā kalkulatora lapas apakšējā kreisajā stūrī.

Antiatvasinātās funkcijas definēšana

• Funkcija y = F (x) sauc par funkcijas antiatvasinājumu y = f (x) noteiktā intervālā NS, ja par visiem NS ∈NS vienlīdzība ir spēkā: F′ (x) = f (x)

To var lasīt divos veidos:

1. f funkcijas atvasinājums F
2. F antiderivatīvs funkcijai f

Antiatvasinājumu īpašība

• Ja F (x)- antiderivatīvs funkcijai f (x) uz dotā intervāla, tad funkcijai f (x) ir bezgalīgi daudz antiatvasinājumu, un visus šos antiatvasinājumus var uzrakstīt kā F (x) + C, kur C ir patvaļīga konstante.

Ģeometriskā interpretācija

• Visu dotās funkcijas antiatvasinājumu grafiki f (x) iegūts no jebkura viena antiatvasinājuma grafika paralēlā defise pa O asi plkst.

Antiatvasinājumu aprēķināšanas noteikumi

1. Summas antiatvasinājums ir vienāds ar antiatvasinājumu summu... Ja F (x)- antiderivatīvs priekš f (x), un G (x) ir antiatvasinājums g (x), tad F (x) + G (x)- antiderivatīvs priekš f (x) + g (x).
2. Pastāvīgo faktoru var pārvietot ārpus atvasinājuma zīmes... Ja F (x)- antiderivatīvs priekš f (x), un k- tad pastāvīgi k F (x)- antiderivatīvs priekš k f (x).
3. Ja F (x)- antiderivatīvs priekš f (x), un k, b- pastāvīgs, turklāt k ≠ 0, tad 1/k F (kx + b)- antiderivatīvs priekš f (kx + b).

Atcerieties!

Jebkura funkcija F (x) = x 2 + C , kur C ir patvaļīga konstante, un tikai šāda funkcija ir funkcijas antiatvasinājums f (x) = 2x.

• Piemēram:

  F "(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f (x);

  f (x) = 2x, kopš F "(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f (x);

  f (x) = 2x, kopš F "(x) = (х 2–3)" = 2x = f (x);

Saistība starp funkcijas grafikiem un tās antiatvasinājumu:

1. Ja funkcijas grafiks f (x)> 0 uz intervāla, tad tā antiatvasinājuma grafiku F (x) palielinās šajā intervālā.
2. Ja funkcijas grafiks f (x) uz intervāla, tad tā antiatvasinājuma grafiks F (x) samazinās šajā intervālā.
3. Ja f (x) = 0, tad tā antiatvasinājuma grafiks F (x)šajā brīdī mainās no pieaugoša uz samazināšanos (vai otrādi).

Lai apzīmētu antiatvasinājumu, tiek lietota nenoteikta integrāļa zīme, tas ir, integrālis, nenorādot integrācijas robežas.

Nenoteikts integrālis

Definīcija:

• Funkcijas f (x) nenoteikts integrālis ir izteiksme F (x) + C, tas ir, visu dotās funkcijas f (x) antiatvasinājumu kopums. Nenoteikto integrāli apzīmē šādi: \ int f (x) dx = F (x) + C

• f (x)- sauc par integrandu;
• f (x) dx- sauc par integrandu;
• x- sauc par integrācijas mainīgo;
• F (x)- viens no funkcijas f (x) antiatvasinājumiem;
• AR ir patvaļīga konstante.

Nenoteiktas integrālās īpašības

1. Nenoteiktā integrāļa atvasinājums ir vienāds ar integrandu: (\ int f (x) dx) \ prime = f (x).
2. Integranda pastāvīgo faktoru var ņemt ārpus integrāļa zīmes: \ int k \ cdot f (x) dx = k \ cdot \ int f (x) dx.
3. Funkciju summas (starpības) integrālis ir vienāda ar summušo funkciju integrāļu (atšķirība): \ int (f (x) \ pm g (x)) dx = \ int f (x) dx \ pm \ int g (x) dx.
4. Ja k, b ir konstantes, un k ≠ 0, tad \ int f (kx + b) dx = \ frac (1) (k) \ cdot F (kx + b) + C.

Antiatvasinājumu un nenoteikto integrāļu tabula

Funkcija f (x)	Antiatvasinājums F (x) + C	Nenoteikti integrāļi \ int f (x) dx = F (x) + C
0	C	\ int 0 dx = C
f (x) = k	F (x) = kx + C	\ int kdx = kx + C
f (x) = x ^ m, m \ not = -1	F (x) = \ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C	\ int x (^ m) dx = \ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C
f (x) = \ frac (1) (x)	F (x) = l n \ lvert x \ rvert + C	\ int \ frac (dx) (x) = l n \ lvert x \ rvert + C
f (x) = e ^ x	F (x) = e ^ x + C	\ int e (^ x) dx = e ^ x + C
f (x) = a ^ x	F (x) = \ frac (a ^ x) (l na) + C	\ int a (^ x) dx = \ frac (a ^ x) (l na) + C
f (x) = \ sin x	F (x) = - \ cos x + C	\ int \ sin x dx = - \ cos x + C
f (x) = \ cos x	F (x) = \ sin x + C	\ int \ cos x dx = \ sin x + C
f (x) = \ frac (1) (\ sin (^ 2) x)	F (x) = - \ ctg x + C	\ int \ frac (dx) (\ sin (^ 2) x) = - \ ctg x + C
f (x) = \ frac (1) (\ cos (^ 2) x)	F (x) = \ tg x + C	\ int \ frac (dx) (\ sin (^ 2) x) = \ tg x + C
f (x) = \ kvadrāts (x)	F (x) = \ frac (2x \ sqrt (x)) (3) + C
f (x) = \ frac (1) (\ sqrt (x))	F (x) = 2 \ sqrt (x) + C
f (x) = \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2))	F (x) = \ arcsin x + C	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ arcsin x + C
f (x) = \ frac (1) (\ sqrt (1 + x ^ 2))	F (x) = \ arctan x + C	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (1 + x ^ 2)) = \ arctg x + C
f (x) = \ frac (1) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	F (x) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C
f (x) = \ frac (1) (\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	F (x) = \ arctg \ frac (x) (a) + C	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) = \ frac (1) (a) \ arctg \ frac (x) (a) + C
f (x) = \ frac (1) (1 + x ^ 2)	F (x) = \ arctg + C	\ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2) = \ arctg + C
f (x) = \ frac (1) (\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) (a \ not = 0)	F (x) = \ frac (1) (2a) l n \ lvert \ frac (x-a) (x + a) \ rvert + C	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) = \ frac (1) (2a) l n \ lvert \ frac (x-a) (x + a) \ rvert + C
f (x) = \ tg x	F (x) = - l n \ lvert \ cos x \ rvert + C	\ int \ tg x dx = - l n \ lvert \ cos x \ rvert + C
f (x) = \ ctg x	F (x) = l n \ lvert \ sin x \ rvert + C	\ int \ ctg x dx = l n \ lvert \ sin x \ rvert + C
f (x) = \ frac (1) (\ sin x)	F (x) = l n \ lvert \ tg \ frac (x) (2) \ rvert + C	\ int \ frac (dx) (\ sin x) = l n \ lvert \ tg \ frac (x) (2) \ rvert + C
f (x) = \ frac (1) (\ cos x)	F (x) = l n \ lvert \ tg (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4)) \ rvert + C	\ int \ frac (dx) (\ cos x) = l n \ lvert \ tg (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4)) \ rvert + C

Ņūtona-Leibnica formula

Ļaujiet būt f (x) dotā funkcija, F tā patvaļīgs antiatvasinājums.

\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = F (x) | _ (a) ^ (b)= F (b) - F (a)

kur F (x)- antiderivatīvs priekš f (x)

Tas ir, funkcijas integrālis f (x) uz intervālu ir vienāds ar antiderivatīvu starpību punktos b un a.

Izliekts trapecveida laukums

Izliekta trapece ir skaitlis, ko ierobežo segmenta nenegatīvas un nepārtrauktas funkcijas grafiks f, Vērša ass un taisnas līnijas x = a un x = b.

Izliektas trapeces laukumu nosaka pēc Ņūtona-Leibnica formulas:

S = \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

Kompleksie integrāļi

Šis raksts pabeidz tēmu par nenoteiktajiem integrāļiem un ietver integrāļus, kas man šķiet diezgan sarežģīti. Nodarbība tika izveidota pēc vairākkārtēju apmeklētāju lūgumiem, kuri izteica vēlmi, lai vietnē tiktu analizēti arī sarežģītāki piemēri.

Tiek pieņemts, ka šī teksta lasītājs ir labi sagatavojies un zina, kā pielietot integrācijas pamatmetodes. Manekeniem un cilvēkiem, kuri nav ļoti pārliecināti par integrāļiem, vajadzētu atsaukties uz pašu pirmo nodarbību - Nenoteikts integrālis. Risinājumu piemēri, kur var apgūt tēmu praktiski no nulles. Pieredzējuši studenti var iepazīties ar integrācijas paņēmieniem un metodēm, kas manos rakstos vēl nav sastaptas.

Kādi integrāļi tiks ņemti vērā?

Pirmkārt, mēs apsvērsim integrāļus ar saknēm, kuru risināšanai mēs secīgi izmantojam mainīga nomaiņa un integrācija pa daļām... Tas ir, vienā piemērā divas metodes ir apvienotas vienlaikus. Un vēl vairāk.

Tad iepazīsimies ar interesantu un oriģinālu metode integrāļa reducēšanai uz sevi... Šādā veidā tiek atrisināts ne tik maz integrāļu.

Trešais programmas numurs tiks komplekso daļskaitļu integrāļiem, kas iepriekšējos rakstos lidoja garām kasēm.

Ceturtkārt, tiks analizēti trigonometrisko funkciju papildu integrāļi. Jo īpaši ir metodes, kas ļauj izvairīties no laikietilpīgas universālas trigonometriskās aizstāšanas.

(2) Integrandā mēs dalām skaitītāju ar saucēja vārdu ar terminu.

(3) Mēs izmantojam nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašību. Pēdējā integrālī uzreiz funkciju ievietojam zem diferenciālzīmes.

(4) Ņem atlikušos integrāļus. Ņemiet vērā, ka logaritmā var izmantot iekavas, nevis moduli, jo.

(5) Mēs veicam apgriezto aizstāšanu, izsakot no tiešās aizstāšanas "te":

Mazohistiski studenti var atšķirt atbildi un iegūt sākotnējo integrandu, kā es tikko darīju. Nē, nē, es pārbaudīju pareizā nozīmē =)

Kā redzams, risinājuma gaitā bija jāizmanto pat vairāk nekā divas risinājuma metodes, līdz ar to, lai tiktu galā ar šādiem integrāļiem, ir nepieciešamas pārliecinātas integrācijas prasmes un ne mazākā pieredze.

Praksē, protams, kvadrātsakne ir izplatītāka, šeit ir trīs piemēri neatkarīgs lēmums:

2. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

3. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

4. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šie piemēri ir viena veida, tāpēc pilnais risinājums raksta beigās būs tikai 2. piemēram, 3.-4. piemēros - viena atbilde. Manuprāt, ir skaidrs, kuru aizstāšanu izmantot risinājumu sākumā. Kāpēc es izvēlējos tāda paša veida piemērus? Viņi bieži satiekas savā lomā. Biežāk, iespējams, tikai kaut kas līdzīgs .

Bet ne vienmēr, kad sakne lineārā funkcija, jums ir jāpiemēro vairākas metodes vienlaikus. Vairākos gadījumos ir iespējams "viegli izkāpt", tas ir, uzreiz pēc nomaiņas tiek iegūts vienkāršs integrālis, ko var elementāri paņemt. Vienkāršākais no iepriekš piedāvātajiem uzdevumiem ir 4. piemērs, kurā pēc aizstāšanas tiek iegūts salīdzinoši vienkāršs integrālis.

Samazinot integrāli uz sevi

Atjautīga un skaista metode. Uzreiz apskatīsim žanra klasiku:

5. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Zem saknes ir kvadrātveida binomiāls, un, mēģinot integrēt dots piemērs tējkanna var ciest stundām ilgi. Šāds integrālis tiek ņemts pa gabalu un reducējas uz sevi. Principā nav grūti. Ja zini kā.

Apskatāmo integrāli apzīmēsim ar latīņu burtu un sāksim risinājumu:

Mēs integrējam pa gabalu:

(1) Sagatavojiet integrandu funkciju terminu dalīšanai.

(2) Mēs sadalām integrandu ar terminu. Varbūt ne visi saprot, es uzrakstīšu sīkāk:

(3) Mēs izmantojam nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašību.

(4) Paņemiet pēdējo integrāli ("garo" logaritmu).

Tagad mēs aplūkojam risinājuma sākumu:

Un beigās:

Kas notika? Mūsu manipulāciju rezultātā integrālis ir reducēts uz sevi!

Salīdzināsim sākumu un beigas:

Pārvietojieties pa kreisi, mainot zīmi:

Un mēs nesam divnieku uz labo pusi. Rezultātā:

Konstante, stingri ņemot, bija jāpievieno agrāk, bet jāpievieno beigās. Es ļoti iesaku jums izlasīt, kas šeit ir stingri noteikts:

Piezīme: Stingrāk Pēdējais posms risinājums izskatās šādi:

Tādējādi:

Konstantu var pārdēvēt par. Kāpēc jūs varat atkārtoti iecelt amatā? Jo tā joprojām pieņem jebkura vērtības, un šajā ziņā nav atšķirības starp konstantēm un.
Rezultātā:

Līdzīgs pastāvīgas pārplānošanas triks tiek plaši izmantots diferenciālvienādojumi... Un tur es būšu stingrs. Un šeit šādu brīvību es pieļauju tikai tāpēc, lai jūs nesajauktu ar liekām lietām un pievērstos pašai integrācijas metodei.

6. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Vēl viens tipisks neatkarīga risinājuma integrāls. Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās. Atšķirība ar atbildi no iepriekšējā piemēra būs!

Ja zem kvadrātsaknes ir kvadrātveida trinomāls, tad risinājums jebkurā gadījumā tiek reducēts līdz diviem analizētiem piemēriem.

Piemēram, apsveriet integrāli ... Viss, kas jums jādara, ir iepriekš atlasiet pilnu kvadrātu:
.
Turklāt tiek veikta lineāra nomaiņa, kas tiek iztikta bez "bez jebkādām sekām":
, kā rezultātā veidojas integrālis. Kaut kas pazīstams, vai ne?

Vai šāds piemērs ar kvadrātveida binomiālu:
Atlasiet visu kvadrātu:
Un, pēc lineāras nomaiņas, iegūstam integrāli, kas arī tiek atrisināts pēc jau aplūkotā algoritma.

Apsveriet vēl divus tipiskus piemērus, kā reducēt integrāli uz sevi:
- eksponenta integrālis, kas reizināts ar sinusu;
Vai eksponenta integrālis, kas reizināts ar kosinusu.

Uzskaitītajos integrāļos pa daļām mums būs jāintegrē jau divas reizes:

7. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Integrands ir eksponents, kas reizināts ar sinusu.

Mēs integrējam pa daļām divreiz un samazinām integrāli uz sevi:

Dubultās integrācijas pa daļām rezultātā integrālis reducējās uz sevi. Pielīdzināsim risinājuma sākumu un beigas:

Pārvietojieties pa kreisi ar zīmes maiņu un izsakiet mūsu integrāli:

Gatavs. Pa ceļam vēlams izķemmēt labo pusi, t.i. izlieciet eksponentu ārpus iekavām un iekavās sakārtojiet sinusu un kosinusu "skaistajā" secībā.

Tagad atgriezīsimies pie piemēra sākuma vai drīzāk pie integrācijas pa daļām:

Jo mēs esam norādījuši izstādes dalībnieku. Rodas jautājums, tieši eksponents vienmēr ir jāapzīmē ar? Nav nepieciešams. Faktiski aplūkotajā integrālī principiāli nav svarīgi Ko apzīmēt, varēja iet citu ceļu:

Kāpēc tas ir iespējams? Tā kā eksponents pārvēršas par sevi (gan diferenciācijas, gan integrācijas laikā), sinuss un kosinuss savstarpēji transformējas viens otrā (atkal gan diferenciācijas, gan integrācijas laikā).

Tas ir, jūs varat arī norādīt trigonometrisko funkciju. Bet aplūkotajā piemērā tas ir mazāk racionāli, jo parādīsies daļskaitļi. Ja vēlaties, varat mēģināt atrisināt šo piemēru otrā veidā, atbildēm jābūt vienādām.

8. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” risinājuma piemērs. Pirms lēmuma pieņemšanas padomājiet par to, ko šajā gadījumā ir izdevīgāk apzīmēt eksponenta vai trigonometriskai funkcijai? Pilnīgs risinājums un atbilde apmācības beigās.

Un, protams, paturiet prātā, ka lielāko daļu atbilžu šajā nodarbībā ir pietiekami viegli atšķirt!

Piemēri netika uzskatīti par grūtākajiem. Praksē biežāk sastopami integrāļi, kur konstante ir gan eksponentā, gan trigonometriskās funkcijas argumentā, piemēram:. Daudziem cilvēkiem nāksies apmaldīties šādā integrālī, un es pats bieži apjūku. Fakts ir tāds, ka šķīdumā ir liela varbūtība, ka frakcijas parādīsies, un ir ļoti viegli kaut ko zaudēt neuzmanības dēļ. Turklāt zīmēs ir liela kļūdu iespējamība, ņemiet vērā, ka eksponentam ir mīnusa zīme, un tas rada papildu grūtības.

Pēdējā posmā bieži vien izrādās šādi:

Pat risinājuma beigās jums jābūt ārkārtīgi uzmanīgam un kompetenti jārīkojas ar frakcijām:

Salikto frakciju integrēšana

Mēs lēnām tuvojamies nodarbības ekvatoram un sākam apsvērt daļskaitļu integrāļus. Atkal ne visi ir super sarežģīti, tikai tā vai cita iemesla dēļ piemēri citos rakstos bija nedaudz "nepatīkami".

Turpinot sakņu tēmu

9. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Saucējā zem saknes ir kvadrātveida trijstūris plus ārpus saknes "pielikums" "x" formā. Šāda veida integrālis tiek atrisināts, izmantojot standarta aizstāšanu.

Mēs nolemjam:

Aizstāšana ir vienkārša:

Mēs skatāmies uz dzīvi pēc nomaiņas:

(1) Pēc aizstāšanas mēs saknes terminus apvienojam līdz kopsaucējam.
(2) Mēs izņemam no saknes apakšas.
(3) Samaziniet skaitītāju un saucēju par. Tajā pašā laikā zem saknes es pārkārtoju terminus ērtā secībā. Ar zināmu pieredzi, darbības (1), (2) var izlaist, veicot komentētās darbības mutiski.
(4) Iegūtais integrālis, kā jūs atceraties no nodarbības Dažu frakciju integrācija, atrisināts ar pilna kvadrāta atlases metodi... Atlasiet visu kvadrātu.
(5) Integrācija mēs iegūstam parastu "garu" logaritmu.
(6) Mēs veicam apgriezto nomaiņu. Ja sākotnēji, tad atpakaļ:.
(7) Pēdējā darbība ir vērsta uz rezultāta frizūru: zem saknes mēs atkal apvienojam terminus līdz kopsaucējam un izņemam tos no saknes.

10. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” risinājuma piemērs. Šeit vientuļajam X ir pievienota konstante, un aizstāšana ir gandrīz tāda pati:

Vienīgais, kas jādara papildus, ir izteikt "x" no aizstāšanas:

Pilnīgs risinājums un atbilde apmācības beigās.

Dažreiz šādā integrālī zem saknes var būt kvadrātveida binomiāls, tas nemaina risinājumu, tas būs vēl vienkāršāk. Sajūti atšķirību:

11. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

12. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Īsi risinājumi un atbildes nodarbības beigās. Jāpiebilst, ka 11. piemērs ir tieši tāds binominālais integrālis, kuras risināšanas metode tika aplūkota nodarbībā Iracionālo funkciju integrāļi.

2. pakāpes nesadalāma polinoma integrālis grādos

(polinoms saucējā)

Retāk, bet tomēr praktiskos piemēros sastopama integrāļa forma.

13. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Bet atpakaļ pie piemēra ar laimīgo numuru 13 (godīgi sakot, es neuzminēju pareizi). Šis integrālis ir arī no to kategorijas, ar kurām jūs varat diezgan daudz mocīt sevi, ja nezināt, kā to atrisināt.

Risinājums sākas ar mākslīgu transformāciju:

Domāju, ka visi jau saprot, kā dalīt skaitītāju ar saucēja vārdu ar terminu.

Iegūtais integrālis tiek ņemts pa gabalu:

Formas integrālim (ir naturāls skaitlis), atkārtojas Pakāpju samazināšanas formula:
, kur - par grādu zemāks integrālis.

Pārbaudīsim šīs formulas derīgumu atrisinātajam integrālim.
Šajā gadījumā:,, mēs izmantojam formulu:

Kā redzat, atbildes ir vienādas.

14. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” risinājuma piemērs. Parauga šķīdumā iepriekšminētā formula tiek izmantota divas reizes pēc kārtas.

Ja zem grāda ir nesadalāms kvadrātveida trinomu, tad risinājums tiek samazināts līdz binomiālam, atlasot pilnu kvadrātu, piemēram:

Ko darīt, ja skaitītājā ir papildu polinoms? Šajā gadījumā tiek izmantota nedefinētu koeficientu metode, un integrands tiek izvērsts daļskaitļu summā. Bet manā praksē šādu piemēru nekad nav satikušies tāpēc es palaidu garām Šis gadījums rakstā Daļējas racionālās funkcijas integrāļi, es to tagad izlaidīšu. Ja šāds integrālis joprojām parādās, skatiet mācību grāmatu - tur viss ir vienkārši. Neuzskatu par lietderīgu iekļaut materiālus (pat vienkāršus), ar kuriem varbūtība satikties tiecas uz nulli.

Sarežģītu trigonometrisko funkciju integrācija

Lielākajā daļā piemēru īpašības vārds “grūti” atkal lielā mērā ir nosacīts. Sāksim ar tangensiem un kotangensiem augstas pakāpes... No pieskares un kotangensa atrisināšanai izmantoto metožu viedokļa tās ir gandrīz viens un tas pats, tāpēc es vairāk runāšu par tangensu, kas nozīmē, ka demonstrētā integrāļa risināšanas metode ir derīga arī kotangensam.

Iepriekš minētajā nodarbībā mēs apskatījām universāla trigonometriskā aizstāšana lai atrisinātu noteikta veida integrāļus trigonometriskās funkcijas... Universālās trigonometriskās aizstāšanas trūkums ir tāds, ka, to lietojot, bieži rodas apgrūtinoši integrāļi ar sarežģītiem aprēķiniem. Un dažos gadījumos var izvairīties no universālas trigonometriskās aizstāšanas!

Apsveriet vēl vienu kanonisku piemēru, vienotības integrāli, kas dalīts ar sinusu:

17. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šeit varat izmantot vispārīgo trigonometrisko aizstāšanu un iegūt atbildi, taču ir arī racionālāks veids. Es sniegšu pilnīgu risinājumu ar komentāriem katram solim:

(1) Mēs izmantojam dubultā leņķa sinusa trigonometrisko formulu.
(2) Mēs veicam mākslīgo pārveidošanu: saucējā dala un reizina ar.
(3) Saskaņā ar labi zināmo formulu saucējā mēs pārveidojam daļu par tangensu.
(4) Mēs novietojam funkciju zem diferenciāļa zīmes.
(5) Ņem integrāli.

Pāris vienkārši piemēri neatkarīgam risinājumam:

18. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Piezīme: pats pirmais solis ir izmantot liešanas formulu un uzmanīgi veiciet iepriekšējā piemērā līdzīgas darbības.

19. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Nu, šis ir ļoti vienkāršs piemērs.

Pilnīgi risinājumi un atbildes nodarbības beigās.

Es domāju, ka tagad nevienam nebūs problēmu ar integrāļiem:
utt.

Kāda ir metodes ideja? Ideja ir sakārtot tikai pieskares un pieskares atvasinājumu integrandā, izmantojot transformācijas, trigonometriskās formulas. Tas ir, tas nāk par nomaiņu: ... 17.–19. piemēros mēs faktiski izmantojām šo aizstāšanu, taču integrāļi bija tik vienkārši, ka jautājums tika apstrādāts ar līdzvērtīgu darbību — funkciju novietojot zem diferenciālzīmes.

Līdzīgu argumentāciju, kā jau minēju, var veikt kotangensam.

Ir arī formāls priekšnoteikums iepriekš minētās aizstāšanas piemērošanai:

Kosinusa un sinusa pakāpju summa ir negatīvs vesels skaitlis PĀR, piemēram:

integrālim - negatīvs vesels skaitlis PĀR.

! Piezīme : ja integrands satur TIKAI sinusu vai TIKAI kosinusu, tad integrālis tiek ņemts arī par negatīvu nepāra pakāpi (vienkāršākie gadījumi ir piemēros Nr. 17, 18).

Apsveriet dažus nozīmīgākus šī noteikuma uzdevumus:

20. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Sinusa un kosinusa pakāpju summa: 2 - 6 = -4 ir negatīvs vesels skaitlis PĀRĀTĀS skaitlis, kas nozīmē, ka integrāli var reducēt līdz tangensiem un tā atvasinājumu:

(1) Pārveidojiet saucēju.
(2) Pēc labi zināmās formulas iegūstam.
(3) Pārveidojiet saucēju.
(4) Mēs izmantojam formulu .
(5) Mēs novietojam funkciju zem diferenciāļa zīmes.
(6) Mēs veicam nomaiņu. Pieredzējuši studenti var neveikt nomaiņu, bet tomēr labāk ir aizstāt tangensu ar vienu burtu - ir mazāks sajaukšanas risks.

21. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” risinājuma piemērs.

Turies, sākas čempionu kārtas =)

Bieži vien integrandā ir "savienojums":

22. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis integrālis sākotnēji satur tangensu, kas nekavējoties izraisa jau pazīstamu domu:

Mākslīgo transformāciju pašā sākumā un pārējos soļus atstāšu bez komentāriem, jo ​​viss jau ir teikts iepriekš.

Pāris radošu piemēru pašrisinājumam:

23. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

24. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Jā, tajos, protams, var pazemināt sinusa, kosinusa pakāpes, izmantot universālo trigonometrisko aizstāšanu, taču risinājums būs daudz efektīvāks un īsāks, ja to veiks caur tangentēm. Pilnīgs risinājums un atbildes nodarbības beigās