Sayı çemberinde sinüs 2. En basit trigonometrik denklemlerin çözümü
Bu yazıda, sayısal bir dairenin tanımını ayrıntılı olarak analiz edeceğiz, ana özelliğini bulacağız ve 1,2,3 vb. sayıları düzenleyeceğiz. Çemberde diğer sayıların nasıl işaretleneceği hakkında (örneğin, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4)), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) anlar.
sayı çemberi noktalarına karşılık gelen birim yarıçaplı bir daire çağırın aşağıdaki kurallara göre düzenlenmiştir:
1) Başlangıç, dairenin en sağ noktasındadır;
2) Saat yönünün tersine - pozitif yön; saat yönünde - negatif;
3) Çembere \(t\) mesafesini pozitif yönde çizersek, \(t\) değerine ulaşırız;
4) Çemberde \(t\) mesafesini negatif yönde çizersek, \(–t\) değerine ulaşırız.
Bir daireye neden sayı denir?
Çünkü üzerinde rakamlar var. Bunda, daire sayı eksenine benzer - dairenin yanı sıra eksende, her sayı için belirli bir nokta vardır.
Sayı çemberinin ne olduğunu neden biliyorsun?
Sayısal bir daire yardımıyla sinüslerin, kosinüslerin, tanjantların ve kotanjantların değeri belirlenir. Bu nedenle, trigonometri bilgisi için ve sınavı geçmek 60+ puan için sayı çemberinin ne olduğunu ve nasıl noktalanacağını kesinlikle anlamanız gerekir.
Tanımda "... birim yarıçapı ..." kelimeleri ne anlama geliyor?
Bu, bu dairenin yarıçapının \(1\) olduğu anlamına gelir. Ve orijinde merkezlenmiş böyle bir daire oluşturursak, o zaman eksenlerle \(1\) ve \(-1\) noktalarında kesişecektir.
Küçük çizmek gerekli değildir, eksenler boyunca bölümlerin “boyutunu” değiştirebilirsiniz, ardından resim daha büyük olacaktır (aşağıya bakınız).
Yarıçap neden tam olarak birdir? Daha uygundur, çünkü bu durumda, çevreyi \(l=2πR\) kullanarak hesaplarken şunu elde ederiz:
Sayı çemberinin uzunluğu \(2π\) veya yaklaşık olarak \(6,28\)'dir.
Ve "... noktaları gerçek sayılara karşılık gelen" ne anlama geliyor?
Yukarıda bahsedildiği gibi, herhangi bir gerçek sayı için sayı dairesinde kesinlikle onun “yer”i olacaktır - bu sayıya karşılık gelen bir nokta.
Sayı çemberinde orijini ve yönü neden belirliyorsunuz?
Sayı çemberinin temel amacı, her sayı için kendi noktasını benzersiz bir şekilde belirlemektir. Ama nereden sayacağınızı ve nereye hareket edeceğinizi bilmiyorsanız, nereye son vereceğinizi nasıl belirleyebilirsiniz?
Burada koordinat doğrusundaki ve sayı çemberindeki orijini karıştırmamak önemlidir - bunlar iki farklı referans sistemidir! Ayrıca, \(x\) ekseninde \(1\) ile daire üzerinde \(0\)'yı karıştırmayın - bunlar farklı nesneler üzerindeki noktalardır.
\(1\), \(2\), vb. sayılara hangi noktalar karşılık gelir?
Bir sayı çemberinin yarıçapının \(1\) olduğunu varsaydığımızı hatırlıyor musunuz? Bu, daireye koyacağımız tek segmentimiz (sayı eksenine benzer şekilde) olacaktır.
Sayı çemberinde 1 numaraya karşılık gelen bir noktayı işaretlemek için, 0'dan pozitif yönde yarıçapa eşit bir mesafeye gitmeniz gerekir.
Çemberde \(2\) sayısına karşılık gelen bir noktayı işaretlemek için, orijinden iki yarıçapa eşit bir mesafe kat etmeniz gerekir, böylece \(3\) üç yarıçapa eşit bir mesafe olur, vb.
Bu resme baktığınızda 2 sorunuz olabilir:
1. Çember "bittiğinde" (yani tam bir daire çizdiğimizde) ne olacak?
Cevap: hadi ikinci tura gidelim! Ve ikincisi bittiğinde, üçüncüye gideceğiz ve bu böyle devam edecek. Bu nedenle, bir daireye sonsuz sayıda sayı uygulanabilir.
2. Negatif sayılar nerede olacak?
Cevap: işte orada! Ayrıca, gerekli yarıçap sayısını sıfırdan sayarak, ancak şimdi negatif yönde düzenlenebilirler.
Ne yazık ki, sayı çemberinde tamsayıları belirlemek zordur. Bunun nedeni, sayısal dairenin uzunluğunun bir tamsayı olmayacağı gerçeğidir: \ (2π \). Ve en uygun yerlerde (eksenlerle kesişme noktalarında) tamsayılar değil, kesirler de olacaktır.
Trigonometrik bir daire üzerinde, derece cinsinden açılara ek olarak gözlemliyoruz.
Radyanlar hakkında daha fazlası:
Radyan, uzunluğu yarıçapına eşit olan bir yayın açısal değeri olarak tanımlanır. Buna göre çevresi 
, o zaman radyanın daireye uyduğu açıktır, yani
1 rad ≈ 57.295779513° ≈ 57°17′44.806″ ≈ 206265″.
Herkes bir radyanın olduğunu bilir
Yani, örneğin, bir . biz böyle Radyanı açılara nasıl dönüştüreceğinizi öğrenin.
şimdi tam tersi dereceleri radyana çevirelim.
Diyelim ki radyana dönüştürmemiz gerekiyor. Bize yardım edecek. Aşağıdaki gibi ilerliyoruz:
Radyan olduğundan, tabloyu doldurun:
Bir daire içinde sinüs ve kosinüs değerlerini bulmak için eğitim alıyoruz
Aşağıdakileri açıklığa kavuşturalım.
Pekala, bizden hesaplamamız istenirse, diyelim ki - genellikle burada bir karışıklık yoktur - herkes ilk önce daireye bakmaya başlar.
Ve örneğin, hesaplamaları istenirse, ... Birçoğu aniden bu sıfırı nerede arayacağını anlamaya başlar ... Genellikle onu kökende ararlar. Niye ya?
1) Bir kez ve herkes için anlaşalım! Argüman=açıdan sonra gelen veya bizim köşelerimiz daire üzerinde, onları x ekseninde aramayın!(Sadece tek tek noktalar hem daireye hem de eksene düşüyor ...) Ve sinüslerin ve kosinüslerin değerlerinin kendileri - eksenlerde arıyoruz!
2) Ve daha fazlası! Başlangıç noktasından ayrılırsak saat yönünün tersine(trigonometrik daireyi atlamanın ana yönü), sonra açıların pozitif değerlerini bir kenara koyuyoruz, açılar o yönde hareket ettikçe artar.
Başlangıç noktasından ayrılırsak saat yönünde, sonra açıların negatif değerlerini bir kenara koyarız.
örnek 1
Değeri bulun.
Çözüm:
Çemberde buluyoruz. Noktayı sinüs eksenine yansıtırız (yani noktadan sinüs eksenine (oy) bir dik çizeriz).
0'a varıyoruz. Dolayısıyla, .
Örnek 2
Değeri bulun.
Çözüm:
Çember üzerinde buluyoruz (saat yönünün tersine ve daha fazlasını geçiyoruz). Sinüs eksenine bir nokta yansıtırız (ve çoktan sinüs ekseni üzerinde yer alır).
Sinüs ekseni boyunca -1'e düşüyoruz.
"Gizli" noktanın arkasında (eksi işaretinin göründüğü anlamına gelen, saat yönünde olarak işaretlenen noktaya gidebiliriz) gibi noktalar ve sonsuz sayıda başka noktalar olduğuna dikkat edin.
Aşağıdaki benzetme yapılabilir:
Trigonometrik daireyi şu şekilde temsil edelim: koşu bandı stadyum.
Sonuçta, “Bayrak” noktasına gelebilirsiniz, saat yönünün tersine başlıyorum, 300 m koşuyorum veya saat yönünde 100 m koşuyorum (pist uzunluğunun 400 m olduğunu düşünüyoruz).
Ayrıca saat yönünün tersine 700 m, 1100 m, 1500 m vb. koşarak da “Bayrak” noktasına (“başladıktan” sonra) ulaşabilirsiniz. Bayrak Noktasına başlangıçtan itibaren saat yönünde 500m veya 900m vb. koşarak ulaşabilirsiniz.
Stadyumun koşu bandını zihinsel olarak bir sayı çizgisine genişletin. Bu satırda örneğin 300, 700, 1100, 1500 vb. değerlerin nerede olacağını hayal edin. Sayı doğrusu üzerinde birbirinden eşit uzaklıkta noktalar göreceğiz. Geri dönelim. Noktalar "birbirine yapışır".
Yani trigonometrik daire ile. Her noktanın arkasında sonsuz sayıda başkaları vardır.
Diyelim ki açılar , , , vb. tek nokta olarak gösterilir. Ve sinüsün değerleri, içlerindeki kosinüs elbette aynıdır. (Topladığımızı/çıkardığımızı fark ettiniz mi? Sinüs ve kosinüs fonksiyonunun periyodu budur.)
Örnek 3
Değeri bulun.
Çözüm:
Basitlik için dereceye çevirelim.
(daha sonra alışınca trigonometrik daire, radyanı dereceye çevirmeniz gerekmez):
Noktadan saat yönünde hareket edeceğiz Yarım daire () ve daha fazla gidelim
Sinüs değerinin sinüsün değeriyle çakıştığını ve şuna eşit olduğunu anlıyoruz.
Örneğin, veya vb. alırsak, aynı sinüs değerini alacağımızı unutmayın.
Örnek 4
Değeri bulun.
Çözüm:
Ancak, önceki örnekte olduğu gibi radyanı dereceye dönüştürmeyeceğiz.
Yani saat yönünün tersine yarım daire ve bir çeyrek daire daha gitmemiz ve ortaya çıkan noktayı kosinüs eksenine (yatay eksen) yansıtmamız gerekiyor.
Örnek 5
Değeri bulun.
Çözüm:
Trigonometrik bir daire nasıl çizilir?
Geçersek veya evet, en azından yine de “başlangıç” olarak belirlediğimiz noktada olacağız. Bu nedenle, daire üzerinde hemen bir noktaya gidebilirsiniz.
Örnek 6
Değeri bulun.
Çözüm:
Bir noktada sona ereceğiz (bizi yine de sıfır noktasına götürecektir). Dairenin noktasını kosinüs eksenine yansıtıyoruz (bkz. trigonometrik daire), içine giriyoruz. yani
Trigonometrik daire - sizin elinizde
Ana şeyin değerleri hatırlamak olduğunu zaten anladınız trigonometrik fonksiyonlarİlk çeyrek. Kalan çeyreklerde her şey benzer, sadece işaretleri takip etmeniz gerekiyor. Ve umarım trigonometrik fonksiyonların değerlerinin “zincir merdivenini” unutmazsınız. 
Nasıl bulunur tanjant ve kotanjant değerleri ana açılar.
Bundan sonra, tanjant ve kotanjantın temel değerleri hakkında bilgi sahibi olduktan sonra, geçebilirsin
Boş bir daire şablonunda. Tren!
Basitçe söylemek gerekirse, bunlar özel bir tarife göre suda pişirilmiş sebzelerdir. İki başlangıç bileşenini (sebze salatası ve su) ve bitmiş sonucu - pancar çorbası - ele alacağım. Geometrik olarak bu, bir tarafı marulu, diğer tarafı suyu gösteren bir dikdörtgen olarak temsil edilebilir. Bu iki tarafın toplamı pancar çorbası anlamına gelir. Böyle bir "borscht" dikdörtgeninin köşegeni ve alanı tamamen matematiksel kavramlardır ve pancar çorbası tariflerinde asla kullanılmaz.
Marul ve su matematik açısından nasıl pancar çorbasına dönüşüyor? İki parçanın toplamı nasıl trigonometriye dönüşebilir? Bunu anlamak için lineer açı fonksiyonlarına ihtiyacımız var.
Matematik ders kitaplarında lineer açı fonksiyonları hakkında hiçbir şey bulamazsınız. Ama onlarsız matematik olamaz. Matematik yasaları, doğa yasaları gibi, var olduklarını bilsek de bilmesek de işler.
Doğrusal açısal fonksiyonlar toplama yasalarıdır. Cebirin geometriye ve geometrinin trigonometriye nasıl dönüştüğünü görün.
Doğrusal açısal fonksiyonlar olmadan yapmak mümkün müdür? Yapabilirsin, çünkü matematikçiler hala onlarsız idare edebiliyorlar. Matematikçilerin hilesi, bize her zaman sadece kendilerinin çözebilecekleri problemleri anlatmaları ve asla çözemeyecekleri problemleri bize söylememeleri gerçeğinde yatar. Görmek. Toplama ve bir terimin sonucunu biliyorsak, diğer terimi bulmak için çıkarma işlemini kullanırız. Her şey. Diğer sorunları bilmiyoruz ve onları çözemiyoruz. Yalnızca toplamanın sonucunu biliyorsak ve her iki terimi de bilmiyorsak ne yapmalıyız? Bu durumda, toplamanın sonucu lineer açısal fonksiyonlar kullanılarak iki terime ayrıştırılmalıdır. Ayrıca, bir terimin ne olabileceğini kendimiz seçeriz ve doğrusal açısal fonksiyonlar, toplamanın sonucunun tam olarak ihtiyacımız olan şey olması için ikinci terimin ne olması gerektiğini gösterir. Sonsuz sayıda bu tür terim çiftleri olabilir. İÇİNDE Gündelik Yaşam Toplamı ayrıştırmadan çok iyi yapıyoruz, çıkarma bize yeter. Ama şu anda bilimsel araştırma doğa yasalarına göre, toplamın terimlere ayrıştırılması çok yararlı olabilir.
Matematikçilerin bahsetmekten hoşlanmadıkları bir başka toplama yasası (bir başka hile), terimlerin aynı ölçü birimine sahip olmasını gerektirir. Marul, su ve pancar çorbası için bunlar ağırlık, hacim, maliyet veya ölçü birimi olabilir.
Şekil matematik için iki seviye farkı göstermektedir. İlk seviye, belirtilen sayılar alanındaki farklılıklardır. a, B, C. Matematikçilerin yaptığı budur. İkinci seviye, köşeli parantez içinde gösterilen ve harfle gösterilen ölçü birimleri alanındaki farklılıklardır. sen. Fizikçilerin yaptığı budur. Üçüncü seviyeyi anlayabiliriz - açıklanan nesnelerin kapsamındaki farklılıklar. Farklı nesneler aynı sayıda aynı ölçü birimine sahip olabilir. Bunun ne kadar önemli olduğunu pancar çorbası trigonometrisi örneğinde görebiliriz. Farklı nesnelerin ölçü birimleri için aynı gösterime alt simgeler eklersek, belirli bir nesneyi hangi matematiksel niceliğin tanımladığını ve zaman içinde veya eylemlerimizle bağlantılı olarak nasıl değiştiğini tam olarak söyleyebiliriz. mektup W Suyu harfle işaretleyeceğim S Salatayı mektupla işaretleyeceğim B- Borsch. Pancar çorbası için doğrusal açı fonksiyonları şöyle görünür.
Suyun bir kısmını ve salatanın bir kısmını alırsak, birlikte bir porsiyon pancar çorbasına dönüşeceklerdir. Burada pancar çorbasına biraz ara vermenizi ve uzak çocukluğunuzu hatırlamanızı öneririm. Tavşanları ve ördekleri bir araya getirmenin nasıl öğretildiğini hatırlıyor musunuz? Kaç hayvanın ortaya çıkacağını bulmak gerekiyordu. O zaman bize ne yapmamız öğretildi? Birimleri sayılardan ayırmamız ve sayıları toplamamız öğretildi. Evet, herhangi bir numara başka bir numaraya eklenebilir. Bu, modern matematiğin otizmine giden doğrudan bir yoldur - neyi anlamıyoruz, neden olduğu açık değil ve bunun gerçeklikle nasıl ilişkili olduğunu çok az anlıyoruz, çünkü üç fark seviyesi nedeniyle, matematikçiler sadece bir tane üzerinde çalışırlar. Bir ölçü biriminden diğerine nasıl geçileceğini öğrenmek daha doğru olacaktır.
Ve tavşanlar, ördekler ve küçük hayvanlar parçalar halinde sayılabilir. Farklı nesneler için ortak bir ölçü birimi, onları bir araya getirmemizi sağlar. Bu, sorunun çocuk versiyonudur. Yetişkinler için benzer bir soruna bakalım. Tavşanlar ve para eklediğinizde ne elde edersiniz? Burada iki olası çözüm var.
İlk seçenek. Tavşanların piyasa değerini belirleyip mevcut paraya ekliyoruz. Servetimizin toplam değerini para olarak elde ettik.
İkinci seçenek. Elimizdeki banknot sayısına tavşan sayısını da ekleyebilirsiniz. Taşınır mal miktarını parça parça alacağız.
Görüldüğü gibi aynı toplama yasası farklı sonuçlar elde etmenizi sağlar. Her şey tam olarak ne bilmek istediğimize bağlı.
Ama pancar çorbamıza geri dönelim. Şimdi ne zaman ne olacağını görebiliriz Farklı anlamlar lineer açısal fonksiyonların açısı.
Açı sıfırdır. Salatamız var ama suyumuz yok. Pancar çorbası pişiremeyiz. Pancar çorbası miktarı da sıfırdır. Bu, sıfır pancar çorbasının sıfır suya eşit olduğu anlamına gelmez. Sıfır borsch da sıfır salatada olabilir (dik açı).
Şahsen benim için bu, gerçeğin ana matematiksel kanıtıdır. Sıfır eklendiğinde sayıyı değiştirmez. Bunun nedeni, yalnızca bir terim varsa ve ikinci terim eksikse toplamanın kendisinin imkansız olmasıdır. Bununla istediğiniz gibi ilişki kurabilirsiniz, ancak unutmayın - sıfır ile tüm matematiksel işlemler matematikçiler tarafından icat edildi, bu nedenle mantığınızı bir kenara bırakın ve matematikçiler tarafından icat edilen tanımları aptalca doldurun: "sıfıra bölmek imkansızdır", "herhangi bir sayı sıfırla çarpılır. sıfıra eşittir", "sıfır noktasının arkasında" ve diğer saçmalıklar. Sıfırın bir sayı olmadığını bir kez hatırlamanız yeterlidir ve sıfırın doğal sayı olup olmadığı konusunda asla bir sorunuz olmayacak, çünkü böyle bir soru genellikle tüm anlamını yitirir: sayı olmayan bir sayı nasıl düşünülebilir? . Görünmez bir rengin hangi renge atfedileceğini sormak gibi. Bir sayıya sıfır eklemek, var olmayan bir boya ile resim yapmaya benzer. Kuru bir fırça salladılar ve herkese "resim yaptık" dediler. Ama biraz dalıyorum.
Açı sıfırdan büyük ama kırk beş dereceden küçük. Marulumuz çok ama suyumuz az. Sonuç olarak, kalın bir pancar çorbası alıyoruz.
Açı kırk beş derecedir. Eşit miktarda su ve marulumuz var. Bu mükemmel pancar çorbası (aşçılar beni bağışlasın, bu sadece matematik).
Açı kırk beş dereceden büyük ama doksan dereceden küçük. Bol suyumuz ve az marulumuz var. Sıvı pancar çorbası alın.
Sağ açı. Bizim suyumuz var. Bir zamanlar marulu işaretleyen çizgiden açıyı ölçmeye devam ettiğimizden, marulla ilgili yalnızca hatıralar kalır. Pancar çorbası pişiremeyiz. Pancar çorbası miktarı sıfırdır. Bu durumda, su varken bekleyin ve için)))
Burada. Bunun gibi bir şey. Burada daha uygun olacak başka hikayeler anlatabilirim.
İki arkadaşın ortak işte payları vardı. Birinin öldürülmesinden sonra her şey diğerine gitti.
Gezegenimizde matematiğin ortaya çıkışı.
Bütün bu hikayeler, lineer açısal fonksiyonlar kullanılarak matematik dilinde anlatılmaktadır. Başka bir zaman size bu fonksiyonların matematiğin yapısındaki gerçek yerini göstereceğim. Bu arada pancar çorbasının trigonometrisine dönelim ve projeksiyonları ele alalım.
26 Ekim 2019 Cumartesi
7 Ağustos 2019 Çarşamba
ile ilgili konuşmayı bitirirken, sonsuz bir kümeyi ele almamız gerekiyor. "Sonsuzluk" kavramının matematikçiler üzerinde bir tavşan üzerindeki boa yılanı gibi etki ettiğini söyledi. Sonsuzluğun ürpertici dehşeti, matematikçileri sağduyudan yoksun bırakır. İşte bir örnek:
Orijinal kaynak yer almaktadır. Alfa gerçek bir sayıyı ifade eder. Yukarıdaki ifadelerdeki eşittir işareti, sonsuza bir sayı veya sonsuz eklerseniz hiçbir şeyin değişmeyeceğini, sonucun aynı sonsuz olacağını belirtir. Örnek olarak sonsuz bir doğal sayılar kümesi alırsak, dikkate alınan örnekler aşağıdaki gibi temsil edilebilir:
Matematikçiler, durumlarını görsel olarak kanıtlamak için birçok farklı yöntem geliştirdiler. Şahsen ben tüm bu yöntemlere şamanların teflerle yaptığı danslar olarak bakıyorum. Özünde, hepsi ya bazı odaların doldurulmadığı ve yeni misafirlerin yerleştiği ya da ziyaretçilerin bir kısmının misafirlere yer açmak için (çok insanca) koridora atıldığı gerçeğine varıyor. Bu tür kararlar hakkındaki görüşümü Sarışın hakkında harika bir hikaye şeklinde sundum. Mantığım neye dayanıyor? Sonsuz sayıda ziyaretçiyi taşımak sonsuz zaman alır. İlk misafir odasını boşalttıktan sonra, ziyaretçilerden biri her zaman odasından diğerine koridor boyunca zamanın sonuna kadar yürüyecek. Tabii ki, zaman faktörü aptalca göz ardı edilebilir, ancak bu zaten "yasa aptallar için yazılmaz" kategorisinden olacaktır. Her şey ne yaptığımıza bağlı: gerçekliği matematiksel teoriler ya da tam tersi.
"Sonsuz otel" nedir? Bir sonsuzluk hanı, kaç oda dolu olursa olsun, her zaman herhangi bir sayıda boş yeri olan bir handır. "Ziyaretçiler için" sonsuz koridordaki tüm odalar doluysa, "misafirler" için odaların bulunduğu başka bir sonsuz koridor daha vardır. Sonsuz sayıda bu tür koridorlar olacaktır. Aynı zamanda, "sonsuz otel", sonsuz sayıda Tanrı tarafından yaratılan sonsuz sayıda evrende, sonsuz sayıda gezegende sonsuz sayıda binada sonsuz sayıda kata sahiptir. Matematikçiler ise sıradan gündelik problemlerden uzaklaşamıyorlar: Tanrı-Allah-Buda her zaman tektir, otel birdir, koridor tektir. Bu yüzden matematikçiler otel odalarının seri numaralarını dengelemeye çalışıyorlar ve bizi "bastırılmamış olanı itmenin" mümkün olduğuna ikna ediyorlar.
Sonsuz doğal sayılar kümesi örneğini kullanarak akıl yürütmemin mantığını size göstereceğim. İlk önce çok basit bir soruyu cevaplamanız gerekiyor: kaç tane doğal sayı kümesi var - bir mi yoksa çok mu? Bu sorunun doğru bir cevabı yok, sayıları kendimiz icat ettiğimiz için Doğada sayılar yok. Evet, Doğa sayma konusunda harikadır, ancak bunun için bize aşina olmayan diğer matematiksel araçları kullanır. Doğanın düşündüğü gibi, size başka bir zaman anlatacağım. Sayıları icat ettiğimize göre, kaç tane doğal sayı kümesi olduğuna kendimiz karar vereceğiz. Gerçek bir bilim insanına yakışır şekilde her iki seçeneği de göz önünde bulundurun.
Seçenek bir. Bir rafta sakince duran tek bir doğal sayılar kümesi "bize verilsin". Bu seti raftan alıyoruz. İşte bu, rafta başka doğal sayı kalmadı ve onları alacak hiçbir yer yok. Zaten elimizde olduğu için bu sete bir tane ekleyemiyoruz. Ya gerçekten istersen? Sorun yok. Daha önce almış olduğumuz setten bir ünite alıp rafa geri koyabiliyoruz. Bundan sonra raftan bir ünite alıp kalanlara ekleyebiliriz. Sonuç olarak, yine sonsuz bir doğal sayılar kümesi elde ederiz. Tüm manipülasyonlarımızı şu şekilde yazabilirsiniz:
Eylemleri kaydettim cebirsel sistem gösterimde ve küme teorisinde benimsenen notasyon sisteminde, kümenin öğelerinin ayrıntılı bir sayımı ile. Alt simge, bir ve tek doğal sayılar kümesine sahip olduğumuzu gösterir. Doğal sayılar kümesinin ancak ondan bir çıkarılıp aynı birim eklendiğinde değişmeyeceği ortaya çıktı.
İkinci Seçenek. Rafta birçok farklı sonsuz doğal sayı kümesi var. Vurgularım - FARKLI, pratik olarak ayırt edilemez olmalarına rağmen. Bu setlerden birini alıyoruz. Sonra başka bir doğal sayı kümesinden bir tane alıp daha önce almış olduğumuz kümeye ekliyoruz. Hatta iki doğal sayı kümesi ekleyebiliriz. İşte aldığımız şey:
"Bir" ve "iki" alt simgeleri, bu öğelerin farklı kümelere ait olduğunu gösterir. Evet, sonsuz bir kümeye bir tane eklerseniz sonuç da sonsuz bir küme olur, ancak orijinal küme ile aynı olmaz. Bir sonsuz kümeye başka bir sonsuz küme eklenirse, sonuç ilk iki kümenin öğelerinden oluşan yeni bir sonsuz küme olur.
Doğal sayılar kümesi, ölçümler için bir cetvelle aynı şekilde saymak için kullanılır. Şimdi cetvele bir santimetre eklediğinizi hayal edin. Bu zaten orijinaline eşit olmayan farklı bir çizgi olacak.
Mantığımı kabul edebilir veya etmeyebilirsiniz - bu sizin kendi işiniz. Ancak matematiksel problemlerle karşılaşırsanız, nesiller boyu matematikçiler tarafından çiğnenmiş yanlış akıl yürütme yolunda olup olmadığınızı bir düşünün. Sonuçta, matematik dersleri her şeyden önce içimizde istikrarlı bir düşünme klişesi oluşturur ve ancak o zaman bize zihinsel yetenekler ekler (veya tam tersi, bizi özgür düşünmeden mahrum bırakırlar).
pozg.ru
4 Ağustos 2019 Pazar
Hakkında bir makaleye dipnot yazıyordum ve Wikipedia'da şu harika metni gördüm:
Okuduk: "... zengin teorik arka plan Babil matematiği bütünsel bir karaktere sahip değildi ve bir dizi farklı tekniğe indirgendi. ortak sistem ve kanıt temeli.
Vay! Ne kadar akıllıyız ve başkalarının eksikliklerini ne kadar iyi görebiliyoruz. Modern matematiğe aynı bağlamda bakmak bizim için zayıf mı? Yukarıdaki metni biraz değiştirerek, kişisel olarak aşağıdakileri aldım:
Modern matematiğin zengin teorik temeli, bütünsel bir karaktere sahip değildir ve ortak bir sistem ve kanıt temelinden yoksun bir dizi farklı bölüme indirgenmiştir.
Sözlerimi doğrulamak için fazla ileri gitmeyeceğim - matematiğin diğer birçok dalının dilinden ve sözleşmelerinden farklı bir dili ve kuralları var. Matematiğin farklı dallarındaki aynı isimler farklı anlamlara gelebilir. Tüm bir yayın döngüsünü modern matematiğin en bariz gaflarına adamak istiyorum. Yakında görüşürüz.
3 Ağustos 2019 Cumartesi
Bir küme nasıl alt kümelere bölünür? Bunu yapmak için, seçilen kümenin bazı öğelerinde bulunan yeni bir ölçü birimi girmelisiniz. Bir örnek düşünün.
bizde çok olabilir mi FAKAT dört kişiden oluşuyor. Bu küme "insanlar" temelinde oluşturulmuştur. Bu kümenin elemanlarını harfle belirleyelim fakat, bir sayı içeren alt simge, bu kümedeki her bir kişinin sıra numarasını gösterecektir. Yeni bir ölçü birimi "cinsel özellik" tanıtalım ve onu harfle gösterelim. B. Cinsel özellikler tüm insanlarda doğuştan olduğundan, kümenin her bir öğesini çarparız. FAKAT cinsiyet üzerine B. "İnsanlar" setimizin artık "cinsiyetli insanlar" grubuna dönüştüğüne dikkat edin. Bundan sonra cinsel özellikleri erkek olarak ayırabiliriz. bm ve kadınların en iyi kadın cinsiyet özellikleri. Şimdi matematiksel bir filtre uygulayabiliriz: Bu cinsel özelliklerden birini seçiyoruz, hangisinin erkek veya kadın olduğu önemli değil. Bir insanda varsa bir ile çarparız, böyle bir işaret yoksa sıfır ile çarparız. Sonra normal okul matematiğini uygularız. Ne olduğunu görün.
Çarpma, indirgeme ve yeniden düzenlemeden sonra iki alt kümemiz var: erkek alt küme bm ve kadınların bir alt kümesi en iyi kadın. Matematikçiler küme teorisini pratikte uygularken yaklaşık olarak aynı şekilde akıl yürütürler. Ancak ayrıntılara girmemize izin vermiyorlar, ancak bize nihai sonucu veriyorlar - "birçok insan bir erkek alt kümesinden ve bir kadın alt kümesinden oluşur." Doğal olarak, yukarıdaki dönüşümlerde matematik ne kadar doğru uygulandı? Sizi temin ederim ki, aslında dönüşümler doğru bir şekilde yapılır, aritmetik, Boole cebri ve matematiğin diğer bölümlerinin matematiksel gerekçesini bilmek yeterlidir. Ne olduğunu? Başka bir zaman sana bundan bahsedeceğim.
Süper kümelere gelince, bu iki kümenin elemanlarında bulunan bir ölçü birimi seçerek iki kümeyi tek bir üst kümede birleştirmek mümkündür.
Gördüğünüz gibi, ölçü birimleri ve ortak matematik, küme teorisini geçmişte bırakıyor. Küme teorisiyle her şeyin yolunda gitmediğinin bir işareti, küme teorisi için matematikçilerin kendi dili ve kendi atamaları. Bir zamanlar şamanların yaptığını matematikçiler yaptı. Sadece şamanlar "bilgilerini" nasıl "doğru" uygulayacaklarını bilirler. Bize öğrettikleri bu "bilgi".
Son olarak, size matematikçilerin .
7 Ocak 2019 Pazartesi
MÖ beşinci yüzyılda, antik Yunan filozofu Elea Zeno, en ünlüsü "Aşil ve kaplumbağa" aporia olan ünlü aporlarını formüle etti. İşte kulağa nasıl geliyor:
Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca, kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünür. Akhilleus yüz adım koştuğunda, kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Akhilleus kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıklı bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Hepsi bir şekilde Zeno'nun açmazlarını düşündüler. Şok o kadar güçlüydü ki" ... tartışmalar şu anda devam ediyor, bilim dünyası henüz paradoksların özü hakkında ortak bir görüşe varamadı ... matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar; hiçbiri soruna evrensel olarak kabul edilmiş bir çözüm olmadı ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın ne olduğunu anlamıyor.
Matematiğin bakış açısından, Zeno aporia'sında değerden değere geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, sabitler yerine uygulama anlamına gelir. Anladığım kadarıyla, değişken ölçü birimlerini uygulamak için matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun aporia'sına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızın uygulanması bizi bir tuzağa düşürür. Biz, düşünmenin ataleti ile karşılıklı olana sabit zaman birimleri uygularız. Fiziksel bir bakış açısından, bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanda bir yavaşlama gibi görünüyor. Zaman durursa, Aşil artık kaplumbağayı geçemez.
Alıştığımız mantığı çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit bir hızla koşar. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, üstesinden gelmek için harcanan zaman öncekinden on kat daha azdır. Bu durumda "sonsuzluk" kavramını uygularsak, "Aşil kaplumbağayı sonsuz hızla geçecektir" demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı değerlere geçiş yapmayın. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Akhilleus'un bin adım koştuğu süre içinde, kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünür. Bir sonraki zaman aralığı için, birinciye eşit, Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım sürünecek. Şimdi Aşil, kaplumbağadan sekiz yüz adım önde.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmadan gerçekliği yeterince açıklar. Ama öyle değil tam çözüm Sorunlar. Einstein'ın ışık hızının aşılmazlığı hakkındaki ifadesi Zeno'nun "Aşil ve kaplumbağa" açmazına çok benzer. Henüz bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuza kadar aranmamalı büyük sayılar, ancak ölçü birimlerinde.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oku anlatır:
Uçan ok hareketsizdir, çünkü zamanın her anında hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan, daima hareketsizdir.
Bu çıkmazda, mantıksal paradoks çok basit bir şekilde aşılır - zamanın her anında uçan okun uzayda farklı noktalarda hareketsiz olduğunu, aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada dikkat edilmesi gereken bir nokta daha var. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından, hareketinin gerçeğini veya ona olan mesafesini belirlemek imkansızdır. Arabanın hareket gerçeğini belirlemek için, aynı noktadan farklı zaman noktalarında çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyaç vardır, ancak bunlar mesafeyi belirlemek için kullanılamaz. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için, aynı anda uzayda farklı noktalardan çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız var, ancak onlardan hareket gerçeğini belirleyemezsiniz (elbette, hesaplamalar için hala ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) . Özellikle belirtmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın farklı keşif fırsatları sunduğu için karıştırılmaması gereken iki farklı şey olduğudur.
İşlemi bir örnekle göstereceğim. "Sivilcede kırmızı katı" seçiyoruz - bu bizim "bütün"ümüz. Aynı zamanda, bu şeylerin yaylı olduğunu ve yaysız olduğunu görüyoruz. Bundan sonra, "bütün" in bir parçasını seçiyoruz ve "yaylı" bir set oluşturuyoruz. Şamanlar, küme teorilerini gerçeğe bağlayarak kendilerini bu şekilde beslerler.
Şimdi küçük bir hile yapalım. "Yaylı bir sivilcede katı" alalım ve kırmızı öğeleri seçerek bu "bütün"ü renkle birleştirelim. Bir sürü "kırmızı" aldık. Şimdi zor bir soru: "yaylı" ve "kırmızı" alınan kümeler aynı küme mi yoksa iki farklı küme mi? Cevabı sadece şamanlar bilir. Daha doğrusu, kendileri hiçbir şey bilmiyorlar, ama dedikleri gibi, öyle olsun.
Bu basit örnek, gerçekliğe gelince küme teorisinin tamamen işe yaramaz olduğunu göstermektedir. Sır nedir? Bir dizi "yay ile kırmızı katı sivilce" oluşturduk. Oluşum dört farklı ölçü birimine göre gerçekleşti: renk (kırmızı), mukavemet (düz), pürüzlülük (tümsekte), süslemeler (yay ile). Yalnızca bir dizi ölçüm birimi, gerçek nesneleri matematik dilinde yeterince tanımlamayı mümkün kılar.. İşte böyle görünüyor.
Farklı indekslere sahip "a" harfi, farklı ölçü birimlerini ifade eder. Parantez içinde, ön aşamada "bütün" in tahsis edildiği ölçü birimleri vurgulanır. Parantez içinde kümenin oluşturulduğu ölçü birimi alınır. Son satır, nihai sonucu gösterir - kümenin bir öğesi. Gördüğünüz gibi, bir küme oluşturmak için ölçü birimleri kullanırsak, sonuç eylemlerimizin sırasına bağlı değildir. Ve bu matematiktir, şamanların teflerle dansları değil. Şamanlar "sezgisel olarak" aynı sonuca varabilir ve bunu "apaçıklık" ile tartışabilirler, çünkü ölçü birimleri onların "bilimsel" cephaneliğine dahil değildir.
Ölçü birimlerinin yardımıyla, bir seti bölmek veya birkaç seti tek bir süper sette birleştirmek çok kolaydır. Bu sürecin cebirine daha yakından bakalım.
Sinüs değerleri [-1; 1], yani -1 ≤ sin α ≤ 1. Bu nedenle, eğer |a| > 1 ise, sin x = a denkleminin kökü yoktur. Örneğin, sin x = 2 denkleminin kökü yoktur.
Bazı görevlere dönelim.
sin x = 1/2 denklemini çözün.
Çözüm.
Sin x'in, Р (1; 0) noktasının orijin etrafındaki x açısı ile döndürülmesi sonucu elde edilen birim çember noktasının ordinatı olduğuna dikkat edin.
M 1 ve M 2 çemberinin iki noktasında ½'ye eşit bir ordinat mevcuttur.
1/2 \u003d sin π / 6 olduğundan, M 1 noktası, x 1 \u003d π / 6 açısının yanı sıra x \u003d π açılarından döndürülerek P (1; 0) noktasından elde edilir. / 6 + 2πk, burada k \u003d +/-1, +/-2, …
M2 noktası, x 2 = 5π/6 açısı ve ayrıca x = 5π/6 + 2πk açıları boyunca dönmenin bir sonucu olarak P (1; 0) noktasından elde edilir, burada k = +/- 1, +/-2, ... , yani x = π – π/6 + 2πk açılarında, burada k = +/-1, +/-2, ….
Böylece, sin x = 1/2 denkleminin tüm kökleri, x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk formülleriyle bulunabilir, burada k € Z.
Bu formüller bir tanede birleştirilebilir: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, burada n € Z (1).
Gerçekten de, eğer n bir çift sayı ise, yani. n = 2k, o zaman formül (1)'den х = π/6 + 2πk elde ederiz ve n tek bir sayı ise, yani. n = 2k + 1, sonra formül (1)'den х = π – π/6 + 2πk elde ederiz.
Yanıt vermek. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, burada n € Z.
sin x = -1/2 denklemini çözün.
Çözüm.
-1/2 ordinatı M 1 ve M 2 birim çemberinin iki noktasına sahiptir, burada x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Bu nedenle, sin x = -1/2 denkleminin tüm kökleri, x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z formülleriyle bulunabilir.
Bu formülleri bir tanede birleştirebiliriz: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).
Gerçekten de, eğer n = 2k ise, o zaman formül (2) ile x = -π/6 + 2πk elde ederiz ve eğer n = 2k – 1 ise, o zaman formül (2) ile x = -5π/6 + 2πk buluruz.
Yanıt vermek. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.
Böylece, sin x = 1/2 ve sin x = -1/2 denklemlerinin her birinin sonsuz sayıda kökü vardır.
-π/2 ≤ x ≤ π/2 segmentinde, bu denklemlerin her birinin yalnızca bir kökü vardır:
x 1 \u003d π / 6 - sin x \u003d 1/2 ve x 1 \u003d -π / 6 denkleminin kökü - sin x \u003d -1/2 denkleminin kökü.
π/6 sayısına 1/2 sayısının arksinüsü denir ve şöyle yazılır: arcsin 1/2 = π/6; -π/6 sayısına -1/2 sayısının arksinüsü denir ve şöyle yazarlar: arksin (-1/2) = -π/6.
Genel olarak, -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 segmentinde -1 ≤ a ≤ 1 olan sin x \u003d a denkleminin yalnızca bir kökü vardır. a ≥ 0 ise, kök aralık içine alınır; Eğer bir< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Böylece, a € [–1; 1] böyle bir sayıya € [–π/2 denir; sinüsü a olan π/2].
arcsin a = α eğer sin α = a ve -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
Örneğin, arcsin √2/2 = π/4, çünkü sin π/4 = √2/2 ve – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, çünkü günah (-π/3) = -√3/2 ve – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
1 ve 2. problemleri çözerken nasıl yapıldığına benzer şekilde, sin x = a denkleminin köklerinin |a| olduğu gösterilebilir. ≤ 1 formülle ifade edilir
x \u003d (-1) n arksin a + πn, n € Z (4).
Ayrıca herhangi bir € için [-1; 1] arcsin (-a) = -arcsin a formülü geçerlidir.
Formül (4)'ten denklemin köklerinin
sin x \u003d a için a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 daha basit formüller kullanılarak bulunabilir:
günah x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)
günah x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)
günah x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.
En basitinin çözümü trigonometrik denklemler.
Herhangi bir karmaşıklık seviyesindeki trigonometrik denklemlerin çözümü, nihayetinde en basit trigonometrik denklemleri çözmeye gelir. ve bunda en iyi yardımcı yine trigonometrik bir daire olduğu ortaya çıkıyor.
Kosinüs ve sinüs tanımlarını hatırlayın.
Bir açının kosinüsü, belirli bir açıyla dönmeye karşılık gelen birim çember üzerindeki bir noktanın apsisidir (yani eksen boyunca koordinat).
Bir açının sinüsü, belirli bir açıyla dönmeye karşılık gelen birim çember üzerindeki bir noktanın ordinatıdır (yani eksen boyunca koordinat).
Trigonometrik daire boyunca pozitif hareket yönü, saat yönünün tersine hareket olarak kabul edilir. 0 derecelik (veya 0 radyan) bir dönüş, (1; 0) koordinatlarına sahip bir noktaya karşılık gelir.
Bu tanımları en basit trigonometrik denklemleri çözmek için kullanırız.
1. Denklemi çözün
Bu denklem, ordinatı eşit olan dairenin noktalarına karşılık gelen dönme açısının tüm değerleri ile karşılanır.
Y ekseninde ordinatlı bir noktayı işaretleyelim:
Daire ile kesişene kadar x eksenine paralel yatay bir çizgi çizin. Bir daire üzerinde uzanan ve bir ordinatı olan iki nokta elde edeceğiz. Bu noktalar, ve radyanların dönüş açılarına karşılık gelir:
Radyan başına dönme açısına karşılık gelen noktadan ayrıldıktan sonra tam bir daire etrafında dönersek, radyan başına dönme açısına karşılık gelen ve aynı ordinata sahip bir noktaya geleceğiz. Yani bu dönme açısı da denklemimizi sağlıyor. Aynı noktaya dönerek istediğimiz kadar "boşta" dönüş yapabiliriz ve tüm bu açı değerleri denklemimizi tatmin edecektir. "Boş" devir sayısı harf (veya) ile gösterilir. Bu dönüşleri hem pozitif hem de negatif yönde yapabildiğimiz için (veya ) herhangi bir tamsayı değeri alabilir.
Yani, orijinal denklemin ilk çözüm serisi şu şekildedir:
, , - tam sayılar kümesi (1)
Benzer şekilde, ikinci çözüm serisi şu şekildedir:
, nerede , . (2)
Tahmin ettiğiniz gibi, bu çözüm serisi, dairenin dönme açısına karşılık gelen noktasına dayanmaktadır.
Bu iki çözüm serisi tek bir girişte birleştirilebilir:
Bu girişi alırsak (yani, hatta), o zaman ilk çözüm serisini elde ederiz.
Bu girişi alırsak (yani, tek), o zaman ikinci çözüm serisini elde ederiz.
2. Şimdi denklemi çözelim
Açı döndürülerek birim çemberin noktasının apsisi elde edildiğinden, eksende apsis ile bir nokta işaretliyoruz:
Daire ile kesişene kadar eksene paralel dikey bir çizgi çizin. Bir daire üzerinde uzanan ve apsisi olan iki nokta elde edeceğiz. Bu noktalar ve radyanların dönüş açılarına karşılık gelir. Saat yönünde hareket ederken negatif bir dönüş açısı elde ettiğimizi hatırlayın:
İki dizi çözüm yazıyoruz:
,
,
(Ana tam daireden geçerek doğru noktaya geliyoruz yani.
Bu iki diziyi tek bir gönderide birleştirelim:
3. Denklemi çözün
Teğet çizgisi, OY eksenine paralel birim çemberin koordinatları (1,0) olan noktadan geçer.
Üzerinde 1'e eşit bir ordinat ile bir nokta işaretleyin (açıların 1 olduğu tanjantını arıyoruz):
Bu noktayı düz bir çizgi ile orijine bağlayın ve doğrunun birim çemberle kesişme noktalarını işaretleyin. Doğrunun ve dairenin kesişme noktaları ve üzerindeki dönüş açılarına karşılık gelir:
Denklemimizi sağlayan dönüş açılarına karşılık gelen noktalar radyan uzaklıkta olduğundan çözümü şu şekilde yazabiliriz:
4. Denklemi çözün
Kotanjant doğrusu, birim çemberin koordinatları eksene paralel olan noktadan geçer.
Kotanjant çizgisinde apsis -1 ile bir noktayı işaretliyoruz:
Bu noktayı düz çizginin başlangıcına bağlayın ve daire ile kesişene kadar devam edin. Bu doğru, daireyi ve radyanların dönüş açılarına karşılık gelen noktalarda kesecektir:
Bu noktalar birbirinden 'ye eşit bir mesafeyle ayrıldığından, o zaman ortak karar Bu denklemi aşağıdaki gibi yazabiliriz:
Verilen örneklerde en basit trigonometrik denklemlerin çözümünü gösteren trigonometrik fonksiyonların tablo değerleri kullanılmıştır.
Ancak, denklemin sağ tarafında tablo dışı bir değer varsa, o zaman denklemin genel çözümündeki değeri yerine koyarız:
ÖZEL ÇÖZÜMLER:
Ordinatı 0 olan daire üzerindeki noktaları işaretleyin:
Daire üzerinde, ordinatı 1'e eşit olan tek bir noktayı işaretleyin:
Ordinatı -1'e eşit olan daire üzerinde tek bir nokta işaretleyin:
Sıfıra en yakın değerleri belirtmek adetten olduğu için çözümü şu şekilde yazıyoruz:
Apsisi 0 olan daire üzerindeki noktaları işaretleyin:
5.
Apsisi 1'e eşit olan daire üzerinde tek bir noktayı işaretleyelim:
Apsisi -1'e eşit olan daire üzerinde tek bir nokta işaretleyin:
Ve daha karmaşık örnekler:
1.
Argüman ise sinüs birdir
Sinüsümüzün argümanı , yani şunu elde ederiz:
Denklemin her iki tarafını da 3'e bölün:
Yanıt vermek:
2.
Kosinüs bağımsız değişkeni ise, kosinüs sıfırdır.
Kosinüsümüzün argümanı , yani şunu elde ederiz:
Bunu ifade ediyoruz, bunun için önce ters işaretle sağa hareket ediyoruz:
Sağ tarafı basitleştirin:
Her iki parçayı da -2'ye bölün:
Terimden önceki işaretin değişmediğine dikkat edin, çünkü k herhangi bir tamsayı değeri alabilir.
Yanıt vermek:
Ve sonuç olarak, "Trigonometrik bir daire kullanarak trigonometrik bir denklemde köklerin seçimi" video eğitimini izleyin.
Bu, en basit trigonometrik denklemleri çözme konusundaki konuşmayı sonlandırıyor. Bir dahaki sefere nasıl çözüleceği hakkında konuşacağız.