Олимпиада, логически и забавни задачи по математика. Задачи за рязане
а) Нарежете произволения триъгълник на няколко парчета, така че правоъгълникът да може да бъде сгънат от тях.
б) Нарежете произволения правоъгълник на няколко парчета, така че квадратът да може да бъде сгънат.
в) Нарежете две произволни квадрати на няколко парчета, така че един голям квадрат да може да бъде сгънат.
Съвет 1.
б) Първо съставляват такъв правоъгълник от произволен правоъгълник, съотношението на основната страна на което не надвишава четири.
в) Използвайте теоремата Pythagore.
Съвет 2.
а) прекарват височина или средна линия.
б) Проверете правоъгълника на квадрата, който трябва да се окаже и да се прокара "диагонал".
c) Нанесете квадратите един към друг, отстрани на по-големия квадрат, измерете сегмента, равен на дължината на по-малък квадрат, след това го свържете с "противоположни" върхове на всеки квадрат (виж фиг. 1).
Решение
а) Нека бъде даден произволен триъгълник АВС. Нарежете средната линия Mn. Успоредна страна AB.и в получения триъгълник CMN. Намалете височината CD.. В допълнение, понижени директно Mn. Perpendiculary Ак. и Бл.. След това е лесно да се види, че δ Акм. = ∆CDM. и δ. BLN. = ∆CDN. като правоъгълни триъгълницикоито са равни на съответната двойка партита и парни ъгли.
Оттук и методът за рязане на този триъгълник и последващите парчета. Това е, ние ще нарисуваме съкращения по сегменти Mn. и CD.. След това поставете триъгълници CDM. и CDN. На мястото на триъгълниците Акм. и BLN. Съответно, както е показано на фиг. 2. Имаме правоъгълник AKLB.Точно както се изисква в задачата.
Имайте предвид, че този метод няма да работи, ако един от ъглите Такси. или CBA. - глупав. Това се дължи на факта, че в този случай височината CD. не лежи вътре в триъгълника CMN.. Но това не е твърде страшно: ако прекарате средната линия в паралелно най-дългата страна на оригиналния триъгълник, тогава в изрязания триъгълник ще намалим височината на глупав ъгъл и определено ще лежи вътре в триъгълника.
б) Нека да даде правоъгълник ABCD.Чий шеговете АД и AB. равен а. и б. съответно и а. > б.. След това квадратът на площада искаме да влезем в края, да бъдем равни aB.. Следователно дължината на квадрата е √ aB.Какво е по-малко от АДНо повече от AB..
Да построим квадрат APQR.равен на желаното, така че точката Б. лежащ на рязането АП.и точка R. - на рязане АД. Нека бъде PD. Пресичащи се сегменти Пр. Хр. и QR. В точки М. и Н. съответно. Тогава е лесно да се види това триъгълници PBM., Подложка и NRD. като и освен това Bp. = (√aB. – б.) I. Rd. = (а. – √aB.). Това означава
Следователно, δ. PBM. = ∆NRD. От две страни и ъгъла между тях. Също така оттук е лесно да се изтегли равенството PQ. = MC. и NQ. = CD.Така, Δ. PQN. = ∆MCD. Също така в две страни и ъгъла между тях.
От всички горепосочени мотиви следва режещият метод. Първоначално отлагаме отстрани АД и Пр. Хр. Сегменти Р и См., чиито дължини са равни √ aB. (как да се изграждат сегменти на формата √ aB.За задачата "десни полигони" - вмъкнете в раздела "Решение"). След това възстановяваме перпендикулярно на сегмента АД В точка R.. Сега само нарязани триъгълници MCD. и NRD. И ги премества, както е показано на фиг. 3.
Обърнете внимание, че за да се използва този метод, е необходимо да се вземе точката М. Оказа се в сегмента Bk. (в противен случай не целия триъгълник NRD.свързан вътре в правоъгълник ABCD.). Това е необходимо
Ако това условие не се извърши, първо трябва да направите този правоъгълник е по-широк и по-малко дълъг. За да направите това, достатъчно е да го отрежете наполовина и да промените парчета, както е показано на фиг. 4. Ясно е, че след тази операция съотношението на основната страна към по-малкото ще намалее четири пъти. Така че, правейки го достатъчно голям номер Веднъж в крайна сметка получаваме правоъгълник, към който се прилага рязане с ориз. 3.
в) Разгледайте два квадратни данни ABCD. и Dpqr., прикрепяйки ги един към друг, за да се пресичат отстрани CD. по-малък площад и имал общ връх Д.. Предполагаме, че това PD. = а. и AB. = б.Освен това, както вече отбелязахме, а. > б.. След това Д-р по-голям квадрат може да се счита за такава точка М., Какво Г-н. = AB.. Според теоремата на Питагор.
Нека директно преминаване през точките Б. и Q. Паралелен директ Mq. и BM. Съответно се пресичат в точката Н.. След това квадригал BMQN. е паралелограма и тъй като е равен на всички партии, тогава това е ромб. Но δ. Бам = ∆MRQ. Според три партии, откъдето следва (като се има предвид, че ъглите Бам и MRQ. направо) това. По този начин, BMQN. - Квадрат. И от неговата площ е равна ( а. 2 + б. 2), тогава това е квадратът, който трябва да получим.
За да продължите да намалявате, остава да забележите, че δ Бам = ∆MRQ. = ∆BCN. = ∆NPQ.. След това какво трябва да се направи, става очевидно: е необходимо да се намалят триъгълниците Бам и MRQ. И ги премества, както е показано на фиг. пет.
След дума
Забавянето на предложените задачи, читателят, е напълно възможно, мисли за такъв въпрос: и когато един полигон може да бъде нарязан с прави линии до крайния брой такива парчета, от които се развива друг многоъгълник? Леко отражение, ще разбере, че поне е необходимо районът на тези полигони да е равен. По този начин, въпросът за източника се превръща в следното: вярно ли е, че ако два полигона имат еднаква област, тогава един от тях може да бъде нарязан на парчета, от които се развива второто (това свойство на два полигона се нарича еквивалент)? Оказва се, че това е вярно и това ни казва теоремата на Бойий-Гервен, доказана през 30-те години на XIX век. По-точно неговата формулировка се състои от.
Теорема на босий-гурин. Два полигона са ареометрични, ако и само ако са еквивалентни.
Идеята за доказателства за този прекрасен резултат е следната. Първо, ние няма да докажем одобрението на теоремата, но фактът, че всеки от двата данните е равна на полигоните, може да бъде нарязана на парчета, от които е сгънат квадрата от същия район. За да направите това, първо прекъсваме всеки от полигоните на триъгълници (такъв дял се нарича триангулация). И тогава всеки триъгълник ще се превърне в квадрат (например, с помощта на метода, описан в букви а) и б) от тази задача). Остава да бъде сгънат от голям брой малки квадрати, един голям - можем да направим това благодарение на точката Б).
Подобен въпрос за Полиедра е един от известните проблеми на Дейвид Хилберт (трети), представен им в доклада на Международния конгрес на математиката в Париж през 1900 година. Характерно е, че отговорът на него се оказа отрицателен. Вече обмисляйки две такива прости полиедрия, като куб и правилния тетраедър, показва, че никой от тях не се окаже нарязан в краен брой части, така че другият да е различен. И това не е случайно - просто не съществува.
Решението на третия проблем на Хилберт е получено от един от неговите ученици - Max Den - още през 1901 година. DEN намери инвариантна стойност, която не се е променила при рязане на полиедрия на парчета и сгъване от тях нови фигури. Тази стойност обаче беше различна за някои полиедрия (по-специално, Куба и правилния тетраедър). Последното обстоятелство изрично посочва факта, че тези полиедри не са еквивалентни.
Задача 1: Правоъгълникът, страните на които са изразени от цели числа, могат да бъдат отрязани върху фигурите на формата (страната на клетката на фигурата е равна на една). Докажете, че тя може да бъде отрязана до 1 × 5 правоъгълника.
(Г. ~ Karpov.)
Решение: Районът на този правоъгълник е разделен на фокус върху областта на определената фигура, т.е. с 5. Районът на правоъгълника е равен на продукта на дължините на страните. Тъй като дължините на страните са цели числа, и 5 - просто число, тогава дължината на една от страните трябва да бъде разделена на 5. Разделяме тази страна и противоположна дължина 5, а другите две страни - по дължината на дължината 1, след това свържете съответните точки от противоположните страни по прави линии. Задача 2: Решете в реалната система на уравнения(А. ~ ХРАБРОВ.)
Решение: Отговор: Системата има единичен разтвор: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d 0. След като се сгъна двете уравнения на системата, получаваме уравнение 8a² + 9B² + 7C² + 4D² \u003d 16AB + 8CD от неравенство 2AB ≤ A² + B² и 2CD ≤ C² + D² трябва да бъде, че дясната страна на това уравнение е не повече от ляво, а равенството може да бъде постигнато само ако b \u003d 0, c \u003d 0, a \u003d b и c \u003d d. Така че единственият възможно решение Тази система е a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d 0.Вторият вариант се решава подобен.
Задача 3: В ABCD Rombe отстрани на AB и BC, съответно, точките e и f са взети, като cf / bf \u003d be / ae \u003d 1994. Оказа се, че de \u003d df. Намерете ъгъла на ЕФР.
От състоянието на проблема (в двете опции) следва това, че е \u003d Вж. Ще отложа на AB страна AK, равен на бъдещето. ADK и CDF триъгълниците са равни на две страни и ъгъл (AD \u003d CD, AK \u003d CF, ∠ dak \u003d ∠ DCF). Така че, dk \u003d df \u003d de, т.е. триъгълникът на DKE е предизвикателство. По-специално, ъглите на DKE и DEK са равни, когато е основана. Следователно, триъгълниците на ADK и BDE са равни (от две страни и ъгъл: ak \u003d be, dk \u003d de, ∠ dka \u003d ∠ debs). Следователно AD \u003d BD, т.е. ABD триъгълник е равностранен. Следователно, ∠ Bad \u003d 60, ∠ ABC \u003d 120.
(А. ~ ХРАБРОВ.)
Решение: Нека екипът и побеждавайки екипа Б в мач с тези правила (може би, като осигуряват победата си преди графика). Това означава, че с какъвто и да е резултат от останалите (предизвикват) наказание, резултатът от екипа А ще бъде по-висок от Б. Отборите си представят, че екипите продължават да пробиват наказанието след края на мача и да ударят цялото остатъчно наказание и екипът и не са вкарали повече топката и екипът никога повече нямаше да пропусне. В същото време общият брой голове отбеляза и все още ще бъде по-голям от тези, отбелязани Б (това е точно това, което думите "победа" на фотьойла "означават). Колко може да бъде повече? Само на 1 или на 2. Всъщност, ако разликата се оказа повече от две, победата на екипа би била неизбежна още по-ранна, преди да се счупи последната група на наказанието.След това отбелязваме, че с продължаването на мача в портата точно половината от всички удари дойдоха при портата. Така и от всичките 129 двойки шокове в портата имаше точно половината, т.е. точно 129. Тези 129 гола са разделени между А и Б, така че на 1 или 2 повече. Това уникално определя броя на поставените цели от екипа A - 65.
Задача 5: Решете уравнението в естествените числа:(Г. ~ Karpov.)
Решение: Това уравнение има един разтвор: x \u003d 2, y \u003d 1, z \u003d 2 (и в двете опции). Фактът, че той е разтвор от общата идентичност A² + (2A + 1) \u003d (A + 1) ² ², използвана в първото изпълнение до А \u003d 105, и във втория - до А \u003d 201.Няма други решения, тъй като ако z\u003e 2, тогава дясната страна на уравнението е разделена на 8, а лявата - не, тъй като 105 х може да даде само остатък 1 и 211 y да бъде само 0 - само остатъци 1 и 3. остава да се забележи, че при z \u003d 1 разтвори също не е и при z \u003d 2, стойностите y \u003d 1 и x \u003d 2 са уникално дефинирани.
Встъпителна дума на учителя:
Малък исторически справочник: Много учени от древни времена са любители на задачите за рязане. Решения на мнозина прости задачи Древните гърци бяха намерени на разрез, но първият систематичен трактат по тази тема принадлежи на Перу Абул-ВЕФА. Геометрите се ангажират сериозно в решаването на задачи за намаляване на цифрите до най-малкия брой части и последващото изграждане на друга цифра в началото на 20-ти век. Един от основателите на този раздел е известният основател на пъзели Хенри Е. Дюдени.
Днес, любителите на пъзела обичат да решават проблеми преди, защото универсалният метод за решаване на такива задачи не съществува и всеки, който ги взема, може напълно да покаже тяхното топене, интуиция и способност за творчество. (В класа ще покажем само един от възможните примери за рязане. Може да се предположи, че учениците могат да изключат друга правилна комбинация - не е необходимо да се страхувате).
Този урок трябва да се държи под формата на практически занятия. Разбийте участниците в групи от 2-3 души. Всяка от групите ще бъде предоставена предварително от фигурите на учителя. Учениците имат владетел (с разделения), молив, ножици. Позволено е да се произвежда с ножици само прави съкращения. Чрез рязане на някаква фигура на парчета, трябва да направите друга фигура от същите части.
Задачи за рязане:
1). Опитайте се да намалите фигурата, показана на фигурата до 3, която е равна под формата на част:
Съвет: Малките цифри са много подобни на буквата Т.
2). Текуща фигура до 4, равна под формата на част:
Съвет: Лесно е да се отгатне, че малки фигури ще се състоят от 3 клетки, а три клетъчни фигури не са толкова много. Има само два вида: ъгъл и правоъгълник.
3). Разделете формата на две идентични части и сгънете шахматната дъска от получените части.
Съвет: Предложете да започнете да изпълнявате задача от втората част, как да получите шахматна дъска. Не забравяйте каква форма има шахматна дъска (квадрат). Изчислете съществуващия брой клетки с дължина по ширина. (Напомняйте, че клетките трябва да бъдат 8).
4). Опитайте три движения на ножа, за да отрежете сиренето на осем равни парчета.
Съвет: опитайте да изрежете сирене.
Задачи за саморешения:
1). Нарежете квадрата на хартията и направете следното:
· Нарежете в такива 4 части, от които могат да бъдат направени две равни по-малки квадратчета.
· Нарежете пет части - четири преследвания триъгълника и един квадрат - и ги сгънете, така че да се окаже три квадрата.
При ниминирането на преподаватели по математика и учители на различни избираеми и кръгове се предлага подбор на забавни и развиващи се геометрични проблеми за рязане. Целта на използването на такива задачи за използване на такива задачи в своите класове е не само да се интересуват от ученика в интересни и ефективни комбинации от клетки и цифри, но и да образуват чувство за линии, ъгли и форми. Зададената задача е насочена главно към деца 4-6 класа, въпреки че използването му не е изключено дори и с ученици от гимназията. Упражненията изискват студенти с концентрации на високо и устройства и са подходящи за развитието и обучението на визуална памет. Препоръчва се за преподаватели по математика, ангажирани в подготовката на учениците входни изпити В математическите училища и класове, които предотвратяват специални изисквания за нивото на независимо мислене и творческите способности на детето. Нивото на задачите съответства на нивото на уводната олимпиада в лицевата "второ училище" (втори математическо училище), Male Mehmat MSU, Курчатовското училище и др.
Забележка Учител по математика:
В някои решения на задачите можете да видите кликване върху подходящия указател, само един от възможните проби от рязане е зададен. Напълно признавам, че можете да получите друга верна комбинация - не трябва да се страхувате от това. Проверете внимателно решението на сапуна и ако отговарят на състоянието, а след това смело вземете следната задача.
1) Опитайте да изрежете фигурата от 3, равна на фигурата на фигурата:
: Малките цифри са много подобни на буквата t
2) Изрежете сега тази цифра на 4, равна под формата на част:
Съвет на математика: Лесно е да се отгатне, че малки фигури ще се състоят от 3 клетки, а три клетъчни фигури не са толкова много. Има само два вида: ъгъл и правоъгълник от 1 × 3.
3) Нарежете тази цифра до 5, равна под формата на части:
Намерете броя на клетките, от които се състои всяка такава фигура. Тези цифри са подобни на писмото G.
4) и сега трябва да изрежете фигура от десет клетки до 4 неравномерно Приятел на правоъгълника (или квадрат).
Индикация на преподавателя по математика: Маркирайте някакъв правоъгълник, а след това в останалите клетки, опитайте се да въведете още три. Ако не работи, променете първия правоъгълник и опитайте отново.
5) Задачата е сложна: цифрата трябва да бъде намалена на 4 различно във формата цифри (не е задължително върху правоъгълниците).
Съвет на математика: Нарисувайте първите отделни всички видове цифри от различни форми (Ще има повече от четири) и ще повтори метода за пренебрегване на варианта, както в предишната задача.
:
6) Нарежете тази фигура на 5 фигури от четири клетки с различни форми, така че във всяка от тях да се боядисва само една зелена клетка.
Учител по математика: Опитайте се да започнете да изрежете от горния край на тази фигура и веднага ще разберете как да действате.
:
7) въз основа на предишната задача. Намерете колко цифри имат различни форми, състоящи се точно от четири клетки? Фигурите могат да бъдат усукани, завъртени, но не можете да вдигнете скок (от повърхността му), върху който се намира. Това означава, че двете над цифри няма да се считат за равни, тъй като не могат да бъдат получени един от друг чрез завъртане.
Учител по математика: Разгледайте решаването на предишната задача и се опитайте да си представите различните позиции на тези цифри, когато се обърнете. Лесно е да се отгатне, че отговорът в нашата задача ще бъде номер 5 или повече. (Всъщност дори повече от шест). Общо, има 7 вида описани фигури.
8) Нарежете квадрата от 16 клетки с 4, равна под формата на частта, така че във всяка от четирите части имаше точно една зелена клетка.
Съвет на математика: Формата на малки фигури не е квадрат, а не правоъгълник, а дори и ъгъл на четири клетки. И така, какви са цифрите, за да се опитат да намалят?
9) Фигура фигурата, нарязана на две части по такъв начин, че квадратът да може да бъде сгънат от получените части.
Matematsky преподавател: Общо, на фигурата на 16 клетки - това означава, че квадратът ще бъде с размер 4 × 4. И някак си трябва да запълните прозореца в средата. Как да го направим? Може би някаква промяна? След това, защото дължината на правоъгълника е равна на нечетните клетки, рязането трябва да се извърши чрез вертикално рязане, но с счупена линия. Така че горната част да се отреже от едната страна от средните клетки и долната от другата.
10) Нарежете правоъгълника от 4 × 9 на две части с такова изчисление, така че квадратът да може да бъде сгънат в резултат на тях.
Съвет на математика: Общо в правоъгълник 36 клетки. Следователно, квадрата ще бъде 6 × 6. Така че страната KA планина се състои от девет клетки, след това три от тях трябва да бъдат отрязани. Как ще продължи този разрез?
11), плен от пет клетки, показани на фигурата, е необходима за намаляване (можете да изрежете клетките) на такива части, от които квадратът може да бъде сгънат.
Съвет на математика: Ясно е, че сякаш не намаляваме клетките на линиите - няма да получа квадрат, тъй като клетките са само 5. Това е единствената задача, в която е позволено да се намали не от клетки. Въпреки това, те все още ще бъдат оставени като отправна точка. Например, си струва да се отбележи, че по някакъв начин трябва да премахнем задълбочаването, което имаме - а именно, във вътрешните ъгли на нашия кръст. Как да го направим? Например, отрежете някои открити триъгълници от външните ъгли на кръста ...