Права. Уравнение директно

Уравнения Намерени са криви в големи количествапри четене на икономическата литература. Някои от тези криви върби.

Крива безразличие - крива, показваща различни комбинации от два продукта, имащи една и съща потребителска стойност или полезност, за потребителя.

Крива на потребителския бюджет - крива, показваща различни комбинации от броя на два продукта, които потребителят може да купи на дадено ниво на паричния си доход.

Възможности за производство на крива - крива, показваща различни комбинации от два продукта или услуги, които могат да бъдат произведени в заетост на пълно работно време и общо производство в икономиката с постоянни резерви на ресурси и непроменена технология.

Крива инвестиция - крива, показваща динамиката на лихвените проценти и инвестициите в различни лихвени проценти.

Филипс Крива - крива, показваща наличието на устойчива връзка между безработицата и инфлацията.

Крива. - крива, показваща връзката между данъците и данъчните приходи, които откриват такава данъчна ставка, при която данъчните приходи достигат максимум.

Вече един прост списък от термини показва колко важно е умението за икономистите да изграждат графики и анализират уравненията на кривите, които са прави линии и криви втори ред - кръг, елипса, хипербола, парабола. Освен това, когато решават голям клас задачи, е необходимо да се подчертае площта, ограничена от всякакви криви, чиито уравнения са определени. Все по-често тези задачи са формулирани, както следва: Намерете най-добрия производствен план за определени ресурси. Задачата на ресурсите обикновено е вида на неравенствата, чиито уравнения са дадени. Следователно трябва да потърсите най-големия или най-малките значения, приет от някаква функция в региона, определен от уравненията на системата за неравенство.

В аналитична геометрия Линия на самолета Дефинирани като набор от точки, чиито координати отговарят на уравнениетоF (x, y) \u003d 0. В същото време, ограниченията трябва да бъдат наложени на функцията F, така че, от една страна, това уравнение има безкраен набор от решения и, от друга страна, така че този набор от решения не е запълнил "парче от Самолетът". Важен клас линии е тези, за които функцията f (x, y) е полином от две променливи, в този случай линията, определена от уравнението f (x, y) \u003d 0 се нарича Алгебрийски. Алгебрични линии, определени от уравнението от първа степен, стоят направо. Уравнението на втората степен с безкраен набор от разтвори определя елипсата, хипербола, парабола или линия, разпадаща се на две прави линии.

Нека самолетът постави правоъгълната декартайска координатна система. Директен на равнината може да бъде зададен от едно от уравненията:

10. Общо уравнение

AX + by + c \u003d 0. (2.1)

Вектор Н.(A, b) ортогонални директни, номерът А и В не са в същото време нула.

двадесет. Право уравнение с ъглов коефициент

y - Y O \u003d K (x - x O), (2.2)

където k е ъглов коефициент на директен, т.е. k \u003d tgа, където a - величината на ъгъла, образувана от линията с оста на вол, m (x O, Y O), е някаква точка, принадлежаща към права линия.

Уравнение (2.2) приема формата Y \u003d KX + B, ако m (0, b) е точка на пресичане с оста на Oy.

тридесет. Уравнение директно в сегменти

x / A + Y / B \u003d 1, (2.3)

където a и b са стойностите на сегментите, които се отрязват направо върху координатните оси.

4 0. Уравнението на директно преминаване през две точки на точката - A (x 1, y 1) и b (x 2, y2):

. (2.4)

петдесет. Уравнението на директното преминаване през тази точка А (x 1, y 1) е успоредно на този вектор А.(m, n)

. (2.5)

6 0. Нормалното уравнение е директно

rN. O - P \u003d 0, (2.6)

където r. - радиуса-произволна точка m (x, y) на този ред, \\ t Н. o - един вектор, ортогонален този прав и насочен от произхода до права линия; P е разстоянието от началото на координатите към прав.

Нормално в координатна форма има формата:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

къде. - величината на ъгъла, оформен от линията с ос OX.

Уравнението на лъч директно с центъра в точка А (x 1, y 1) има формата:

y-Y 1 \u003d L (x-x 1),

където Л. - параметър на лъча. Ако лъчът е настроен от два пресичащи се прави 1 x + b 1 y + c 1 \u003d 0, 2 х + В2 и + С2 \u003d 0, тогава нейното уравнение има формата:

l (a 1 x + b 1 y + c 1) + m (a 2 x + b2 y + c2) \u003d 0,

където l и m - параметри на лъча, които не обжалват при 0 едновременно.

Мащабът на ъгъла между y \u003d kx + b и y \u003d k 1 x + b1 се дава по формулата:

tg j \u003d.

Равенство 1 + K 1 K \u003d 0 има необходимо и достатъчно състояние Перпендикулярност на прави линии.

С цел две уравнения

A 1 x + b 1 y + c 1 \u003d 0, (2.7)

А2 х + B 2 Y + C2 \u003d 0, (2.8)

те определят същото директно, е необходимо и достатъчно, че техните коефициенти са пропорционални на:

А1 / А2 \u003d В1 / В2 \u003d С1 / С2.

Уравнения (2.7), (2.8) определят две различни паралелни прави линии, ако 1 / a 2 \u003d b 1 / b 2 и b1 / b2¹ C 1 / C 2; Направо пресичане, ако 1 / a 2¹ B 1 / B 2.

Разстоянието d от точката m o (x o, y o) към правилната е дължината на перпендикуляра, изразходвана от точката m o до права линия. Ако директно се дава от нормалното уравнение, тогава d \u003dê r. относно н. O - P. където r. O - радиус-векторна точка m o или, в координатна форма, d \u003dê x o cos a + y o sin a - p ê.

Общото уравнение на кривата на втори ред има формата

a 11 x 2 + 2A 12 XY + A 22 Y2 + 2A 1 X + 2A 2 Y + A \u003d 0.

Предполага се, че сред коефициентите на уравнението a 11, 12, 22 са различни от нула.

Уравнение на кръг с център в точка с (a, b) и радиус, равен на r:

(X - A) 2 + (Y - B) 2 \u003d R2. (2.9)

Елипса Геометричното местоположение на точките се нарича, сумата от разстоянията от двете точки на данни f 1 и F 2 (фокус) е постоянна стойност, равна на 2а.

Канонично (най-простото) уравнение на елипсата

x 2 / A 2 + Y2 / A 2 \u003d 1. (2.10)

Елипсата, дадена по уравнение (2.10), е симетрична по отношение на координатните оси. Параметри а. и б. Наречен Полусъветци елипса.

Нека a\u003e b, след това фокусира f 1 и f2 са на ос Ox на разстояние
C \u003d от началото на координатите. C / a ratio \u003dд. < 1 называется ексцентричност елипса. Разстоянията от точката m (x, y) на елипсата към нейния фокус (фокални радиус-вектори) се определят чрез формули:

r1 \u003d A - E X, R2 \u003d A + E X.

Ако.< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e \u003d c / b,
R1 \u003d B + E X, R2 \u003d B - E X.

Ако a \u003d b, тогава елипсата е кръг с центъра в началото на координатите на радиуса а..

Hyperboloic. Тя се нарича геометрично местоположение на точките, разликата на разстоянията от които от две точки на данни f 1 и F 2 (фокус) е равна на абсолютната стойност този номер 2а.

Канонично уравнение на хиперболе.

x 2 / A 2 - Y 2 / B 2 \u003d 1. (2.11)

Хиперболът, даден по уравнение (2.11), е симетричен по отношение на координатните оси. Пресича оста на OX в точки а (a, 0) и a (-a, 0) - върховете на хиперболите и не пресичат оста на окси. Параметър а. Наречен реален полуос, б. - въображаем полуос. C \u003d параметърът е разстоянието от фокуса преди началото на координатите. C / a ratio \u003dд. \u003e 1 се нарича Ексцентричност Хиперболи. Направо, уравненията, които y \u003d± b / a x извика Асимптотами Хиперболи. Разстоянието от точка m (x, y) hyperbolas към фокуса (фокални радиуси) се определят чрез формули:

r 1 \u003d ê e x - a ê, r 2 \u003d ê e x + a ê.

Хипербола, в която се нарича a \u003d b По равно, неговото уравнение x 2 - y 2 \u003d a 2 и асимптотите уравнение y \u003d± х. Хипербола x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1 и
Y 2 / B 2 - x 2 / a 2 \u003d 1 наречен конюгат.

Парабола Геометричното местоположение на точките се нарича еднакво отдалечено от тази точка (фокус) и този директен (директни директни).

Каноничното уравнение на Parabola има два вида:

1) Y 2 \u003d 2PX - Parabola е симетрична по отношение на ос OX.

2) x 2 \u003d 2RY - Parabola е симетрична по отношение на осите OY.

И в двата случая, р\u003e 0 и горната част на параболата, т.е. в началото на координатите е в началото на координатите.

Parabola, уравнението, което Y 2 \u003d 2px има фокус f (p / 2.0) и директен x \u003d - p / 2, точка на фокусно радиус-вектор m (x, y) върху него r \u003d x + p / 2 .

Parabola, уравнението, което х 2 \u003d 2рия има фокус f (0, p / 2) и директора на y \u003d - p / 2; Фокалния радиус-вектор на точката m (x, y) от парабола е равен на r \u003d y + p / 2.

Уравнението f (x, y) \u003d 0 посочва линията, счупване на равнината на две или повече части. В една от тези части се извършва неравенството f (x, y))<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. С други думи, линията
F (x, y) \u003d 0 разделя част от равнината, където f (x, y)\u003e 0, от част от равнината, където f (x, y)<0.

Директно, уравнението на която AX + с + С \u003d 0 разбива равнината на две полу-самолети. На практика, за да разберем, в която полу-равнина имаме AX + by + c<0, а в какой Ax+By+C>0, прилагайте метода на контролните точки. За да направите това, вземете контролна точка (разбира се, която не лежи по права линия, уравнението на която AX + by + c \u003d 0) и проверете кой знак в тази точка е експресионната AX + BY + C. Същият знак има определен израз и в целия полу-равнина, където е контролната точка. Във втората половин самолет AX + BY + C има обратен знак.

По същия начин са решени и нелинейни неравенства с две неизвестни.

Например, ние решаваме неравенството x 2 -4x + y2 + 6Y-12\u003e 0. Може да бъде пренаписан във формата (X-2) 2 + (Y + 3) 2 - 25\u003e 0.

Уравнение (X-2) 2 + (Y + 3) 2 - 25 \u003d 0 Задава кръга с центъра в точка С (2, -3) и радиуса 5. Кръгът прекъсва равнината на две части - вътрешни и външен. За да разберете коя от тях е неравенството, вземете контролната точка във вътрешния регион, например център C (2, -3) на нашия кръг. Заместването на координатите на точката c в лявата част на неравенството, ние получаваме отрицателно число -25. Така че във всички точки, лежащи в кръга, неравенството се извършва
X 2 -4X + Y 2 + 6Y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Пример 1.5. Направете уравненията на директно преминаване през точката А (3.1) и склонен да насочва 2x + 3y-1 \u003d 0 под ъгъл от 45 ° С.

Решение.Ще търсим във формата y \u003d kx + b. Тъй като директното преминава през точката А, нейните координати отговарят на уравнението на линията, т.е. 1 \u003d 3k + B,Þ B \u003d 1-3k. Величината на ъгъла между права
y \u003d k 1 x + b 1 и y \u003d kx + b се определя от TG формулатай. \u003d. Тъй като ъгловият коефициент k 1 от оригиналния Direct 2x + 3y-1 \u003d 0 е 2/3 и ъгълътй. \u003d 45 o, тогава имаме уравнение за определяне k:

(2/3 + К) / (1 - 2 / 3k) \u003d 1 или (2/3 + к) / (1 - 2 / 3k) \u003d -1.

Имаме две стойности на K: K 1 \u003d 1/5, k 2 \u003d -5. Намиране на съответните стойности на В съгласно формула B \u003d 1-3K, получаваме две желани права, уравненията на които са: X - 5Y + 2 \u003d 0 и
5x + Y - 16 \u003d 0.

Пример 1.6.. С каква стойност на параметъра t. Директно, уравненията на които са 3TX-8Y + 1 \u003d 0 и (1 + t) X-2TY \u003d 0, са успоредни?

Решение.Направо, определено от общите уравнения, са успоредни, ако коефициентите са х.и y.пропорционална, т.е. 3t / (1 + t) \u003d -8 / (- 2t). Решаване на полученото уравнение, ние намираме t.: T 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

Пример 1.7.. Намерете уравнението на общия ход на два кръга:
X 2 + Y 2 \u003d 10 и x 2 + Y 2 -10x-10Y + 30 \u003d 0.

Решение.Намерете точките за пресичане на кръговете, за това решават системата на уравнения:

.

Решаване на първото уравнение, ние намираме стойността x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. от второто уравнение - съответните стойности y.: Y 1 \u003d 1, Y 2 \u003d 3. Сега получаваме уравнението на общия акорд, знаейки две точки a (3.1) и b (1,3), принадлежащи към това директно: (Y - 1) / (3-1) ) \u003d (X-3) / (1-3), или Y + X - 4 \u003d 0.

Пример 1.8.. Както е разположено в равнината на точката, чиито координати отговарят на условията (X-3) 2 + (Y-3) 2< 8, x > y?

Решение.Първото неравенство на системата определя вътрешността на кръга, без да се включва границата, т.е. Кръг с център в точка (3.3) и радиус. Втората неравенство поставя полу-равнината, определена от директното, уравнението на което е X \u003d Y, и тъй като неравенството е строго, точките най-често принадлежат към полу-равнината, и всички точки по-долу принадлежат до полу-равнина. Тъй като търсим точки, които отговарят на двете неравенства, тогава желаната област е вътрешността на полукръга.

Пример 1.9. Изчислява се дължината на страната на квадрата, вписана в елипса, чието уравнение X 2 / A 2 + Y2 / B 2 \u003d 1.

Решение.Нека бъде M (s, s)- горната част на квадрата, лежаща през първото тримесечие. Тогава страната на площада ще бъде 2 от. Като точка М. Принадлежи към елипсата, нейните координати отговарят на уравнението на елипсата C 2 / A 2 + C 2 / B 2 \u003d 1, от където
C \u003d ab /; Така че страната на площада е 2AB /.

Пример 1.10. Знаейки уравнение асимптоти хиперболе y \u003d± 0.5 x и една от неговите точки m (12, 3), направете уравнението на хипербола.

Решение.Ние пиша каноничното хиперболно уравнение: X 2 / A 2 - Y 2 / B 2 \u003d 1. Асимптотите на хиперболите са дадени от уравненията y \u003d± 0.5 х, това означава, b / a \u003d 1/2, от където a \u003d 2b. Дотолкова доколкото М.- Точка на хиперболи, нейните координати отговарят на уравнението на хиперболото, т.е. 144 / A 2 - 27 / b 2 \u003d 1. Като се има предвид, че a \u003d 2b, ние ще намерим b: b 2 \u003d 9Þ B \u003d 3 и a \u003d 6. След това се уравнението на хиперболото - X 2/36 - Y 2/9 \u003d 1.

Пример 1.11. Изчислете дължината на дясната триъгълник ABC, вписана в Parabola с параметъра r., ако приемем, че точката съвпада с върха на парабола.

Решение.Канонично уравнение на Parabola с параметър r.той има формата y 2 \u003d 2px, горната част съвпада с началото на координатите, а параболата е симетрична по отношение на ос абсцисата. Тъй като права линия AB образува ъгъл от 30 o със ос от OX, директното уравнение има формата: y \u003d x. големи графики

Следователно, можем да намерим координатите на точката Б, решаване на системата на уравнения Y 2 \u003d 2px, y \u003d x, от където x \u003d 6p, y \u003d 2 p. Така че, разстоянието между точките а (0,0) и b (6p, 2 p) е 4 p.

Уравнението на директно преминаване през тази точка тази посока. Уравнението е директно преминаване през данните от двете точки. Ъгълът между две права. Състоянието на паралелството и перпендилността на две прави линии. Определяне на точката на пресичане на две директни

Примери за задачи с решения

Намерете уравнението директно преминаване в две точки: (-1, 2) и (2, 1).

Решение.

По уравнение

вярвайки в мен х. 1 = -1, y. 1 = 2, х. 2 = 2, y. 2 \u003d 1 (без разлика, каква точка да разгледа първия, който - втори), ние получаваме

след опростяване получаваме най-накрая желаното уравнение във формата

х. + 3y. - 5 = 0.

Страните на триъгълника са дадени от уравненията: (AB. ) 2 х. + 4 y. + 1 = 0, (Ac. ) х. - y. + 2 = 0, (Пр. Хр. ) 3 х. + 4 y. -12 \u003d 0. Намерете координатите на триъгълните върхове.

Решение.

Координати на върховете А. Ние намираме решаването на системата, съставена от страните AB. и Ac.:

Системата от две линейни уравнения с два неизвестни решаващи метода, известни от елементарната алгебра и получат

Vertex. А. Има координати

Координати на върховете Б. Ние намираме решаването на системата от уравненията на страните AB. и Пр. Хр.:

получаваме.

Координати на върховете ° С. Получаваме системата от уравненията на страните Пр. Хр. и Ac.:

Vertex. ° С. има координати.

А. (2, 5) паралелен Direct 3х. - 4 y. + 15 = 0.

Решение.

Доказваме, че ако два права паралеща, техните уравнения винаги могат да бъдат представени в тази форма, които ще се различават само в свободните членове. Наистина, от състоянието на паралелизма на двете прави линии следва това.

Ободрявам t. Общата величина на тези взаимоотношения. Тогава

и следователно следва това

А. 1 = А. 2 t., Б. 1 = Б. 2 t.. (1)

Ако две прави линии

А. 1 х. + Б. 1 y. + ° С. 1 \u003d 0 и

А. 2 х. + Б. 2 y. + ° С. 2 = 0

паралелно, се извършват условия (1), и замествайки в първата от тези уравнения А. 1 I. Б. 1 по формули (1), ние ще имаме

А. 2 tX. + Б. 2 тю. + ° С. 1 = 0,

или, разделяйки двете части на уравнението, получаваме

Сравняване на полученото уравнение с второто пряко уравнение А. 2 х. + Б. 2 y. + ° С. 2 \u003d 0, ние забелязваме, че тези уравнения се различават само в свободен елемент; Така се оказахме необходими. Сега продължете към решаването на проблема. Уравнението на желаното директно ще запише, така че да се различава от уравнението на това директно само от свободен член: първите два термина в търсеното уравнение ще бъдат взети от това уравнение, а неговият свободен член ще бъде обозначен с ° С.. Тогава желаното уравнение ще бъде записано във формата

3х. - 4y. + ° С. = 0, (3)

и определението подлежи на определение ° С..

Отказване от уравнение (3) ° С. Всички видове валидни стойности, получаваме много директно успоредно с това. По този начин уравнението (3) е уравнение на нито една права линия, а цялото семейство директно, успоредно на това директно 3 х. - 4y. + 15 \u003d 0. От това семейство директно, трябва да подчертаете този, който преминава през точката А.(2, 5).

Ако директното преминава през точката, координатите на тази точка трябва да отговарят на прякото уравнение. И затова определяме ° С.Ако в (3) заменим вместо текущи координати х. и y. Координати на точката А., т.е. х. = 2, y. \u003d 5. Получаваме и ° С. = 14.

Намерена стойност ° С. Ние заменяме (3) и желаното уравнение ще бъде записано, както следва:

3х. - 4y. + 14 = 0.

Същата задача може да бъде решена в противен случай. Тъй като ъгловите коефициенти на паралелни линии са равни един на друг и за този ред 3 х. - 4y. + 15 \u003d 0 ъглов коефициент, тогава ъгловият коефициент на графика също е равен.

Сега използваме уравнението y. - y. 1 = к.(х. - х. 1) куп прави линии. Точка А.(2, 5), чрез които директно се предава, ние сме известни и следователно заместване на уравнението на лъча y. - y. 1 = к.(х. - х. 1) стойности, получат

или след опростено 3 х. - 4y. + 14 \u003d 0, т.е. същото както преди.

Намерете прави уравнения, преминаващи през точкатаА. (3, 4) под ъгъл от 60 градуса към линията 2х. + 3 y. + 6 = 0.

Решение.

За да разрешите проблема, трябва да определим ъглови коефициенти на Direct I и II (виж фигурата). Обозначават тези коефициенти, съответно чрез к. 1 I. к. 2 и коефициента на ъгъла на това директно - чрез к.. Това е очевидно.

Въз основа на определянето на ъгъла между два директора при определяне на ъгъла между този ред и директно I, фракциите трябва да бъдат в цифровата с формула

идентифицирайте коефициента на ъгъла на този ред, тъй като трябва да го включите обратно на часовниковата стрелка около точката ° С. Преди съвпадение с директно I.

Като се има предвид, че получаваме

Определяне на същия ъгъл между директен II и този ред, следва в числителя на една и съща фракция, за да направи коефициента на ъгъла на Direct II, т.е. к. 2, тъй като Direct II трябва да се завърти обратно на часовниковата стрелка около точката Б. преди съвпадение с това директно:

Намерете директното преминаване на уравнението през точкатаА. (5, -1) перпендикулярно на линията 3х. - 7 y. + 14 = 0.

Решение.

Ако две прави линии

А. 1 х. + Б. 1 y. + ° С. 1 = 0, А. 2 х. + Б. 2 y. + ° С. 2 = 0

перпендикулярно, равенство се извършва

А. 1 А. 2 + Б. 1 Б. 2 = 0,

или че същото

А. 1 А. 2 = -Б. 1 Б. 2 ,

и следователно следва това

Общото значение на тези изрази е обозначено с t..

След това от мястото, където следва това

А. 2 = Б. 1 t., Б. 2 = -А. 1 t..

Заместване на тези стойности А. 2 I. Б. 2 и уравнението на второто директно, ние получаваме

Б. 1 tX. - А. 1 тю. + ° С. 2 = 0.

или разделяне t. двете части на равенството ще имаме

Сравняване на полученото уравнение с уравнението на първото директно

А. 1 х. + Б. 1 y. + ° С. 1 = 0,

забелязваме, че те имат коефициенти, когато х. и y. Променихме се на места, а знакът между първия и вторият термин се промени в обратното, свободните членове са различни.

сега продължаваме да решаваме проблема. Желаейки да напиша уравнението на директното перпендикулярно на права линия 3 х. - 7y. + 14 \u003d 0, въз основа на направеното по-горе заключение, ние ще продължим по следния начин: променяме коефициентите на места, когато х. и y.и минус знак между тях ще замени знак плюс, свободен член, който обозначаваме писмото ° С.. Получаваме 7. х. + 3y. + ° С. \u003d 0. Това уравнение е уравнението на семейството директно, перпендикулярно Direct 3 х. - 7y. + 14 \u003d 0. Определете ° С. от условието, че желаното право минава през точката А.(5, -1). Известно е, че ако директно преминава през точката, координатите на тази точка трябва да отговарят на уравнението директно. Заместване в последното уравнение 5 вместо това х. и -1 вместо y.,

Тази стойност ° С. Заместник в последното уравнение и получаване

7х. + 3y. - 32 = 0.

Ние решаваме една и съща задача по друг начин, използвайки уравнението на куп директни

y. - y. 1 = к.(х. - х. 1).

Коефициент на ъгъла на този ред 3 х. - 7y. + 14 = 0

след това ъгловият коефициент на директно, той е перпендикулярно,

Заместване на уравнението на лъча, и вместо това х. 1 I. y. 1 Координати на тази точка А.(5, -1), ние ще намерим или 3 y. + 3 = -7х. + 35, и накрая 7 х. + 3y. - 32 \u003d 0, т.е. същото както преди.

Директно, преминаване през точката k (x 0; y 0) и паралелния прав y \u003d kx + a се намира в съответствие с формулата:

y - Y 0 \u003d K (x - x 0) (1)

Където К е ъглов коефициент директно.

Алтернативна формула:
Директно, преминаване през точка m 1 (x 1; y 1) и паралелна директна брадва + с + c \u003d 0 е представена от уравнението

A (x - x 1) + b (y-y 1) \u003d 0. (2)

Пример номер 1. Направете уравнението на права линия, преминаваща през точка m 0 (-2.1) и в същото време:
а) успоредно на Direct 2x + 3Y -7 \u003d 0;
б) перпендикулярно на права линия 2x + 3Y -7 \u003d 0.
Решение . Представляват уравнение с ъглов коефициент във формата y \u003d kx + a. За да направите това, ние преместваме всички стойности, с изключение на y от дясната страна: 3y \u003d -2x + 7. След това разделяме дясната страна на коефициента 3. Получаваме: y \u003d -2 / 3x + 7/3
Ще открием NK уравнението, преминаващо през точката k (-2; 1), успоредна на права линия y \u003d -2 / 3 x + 7/3
Заместващ x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 получаваме:
y-1 \u003d -2 / 3 (x - (- 2))
или
y \u003d -2 / 3 x - 1/3 или 3Y + 2x +1 \u003d 0

Пример номер 2. Напишете уравнението на права линия, паралелно Direct 2x + 5y \u003d 0 и оформянето на триъгълни координати заедно с координатите на осите, чиято площ е 5.
Решение . Тъй като направо паралелно, уравнението е желаното директно 2x + 5Y + C \u003d 0. област правоъгълен триъгълник където А и Б на неговите карти. Намерете точките за пресичане на желаното директно с осите на координатите:
;
.
Така, a (-C / 2.0), b (0, -C / 5). Заместител във формула за квадрат: . Получаваме две решения: 2x + 5Y + 10 \u003d 0 и 2x + 5Y - 10 \u003d 0.

Пример номер 3. Направете уравнението на права линия, преминаваща през точката (-2; 5) и паралелния Direct 5x-7Y-4 \u003d 0.
Решение. Това директно може да бъде представено от уравнението y \u003d 5/7 x - 4/7 (тук a \u003d 5/7). Уравнението на желаното директно е Y - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)), т.е. 7 (Y-5) \u003d 5 (x + 2) или 5x-7Y + 45 \u003d 0.

Пример номер 4. Режим 3 (А \u003d 5, В \u003d -7) с формула (2), ние намираме 5 (x + 2) -7 (Y-5) \u003d 0.

Пример номер 5. Направете уравнението на директно преминаване през точката (-2; 5) и паралелно Direct 7x + 10 \u003d 0.
Решение. Тук a \u003d 7, b \u003d 0. Формула (2) дава 7 (x + 2) \u003d 0, т.е. x + 2 \u003d 0. Формула (1) не е приложима, тъй като това уравнение не може да бъде разрешено спрямо y (този паралел на ординатата).

Имоти директно в евклидовата геометрия.

Чрез всяка точка можете да прекарате безкрайно много прави линии.

Чрез всякакви две несъгласни точки можете да прекарате единствената права линия.

Две непоследователни права в равнината или се пресичат в една точка, или са

паралелно (следва от предишния).

В триизмерното пространство има три опции за релаксация на две прави линии:

• директно пресичане;

• направо паралел;

• прави кръстосани връзки.

Прав линия - алгебрична крива на първия ред: в картозърската координатна система права линия

поставени в равнината по първото уравнение ( линейно уравнение).

Общото уравнение е прав.

Дефиниция. Всяко директно в равнината може да бъде зададено от уравнението от първия ред

AH + VO + C \u003d 0,

и константа А, Б. Не е еднакво нула едновременно. Това е призованото уравнение на поръчката често срещани

уравнение направо. В зависимост от стойностите на постоянното А, Б. и От Възможни са следните специални случаи:

. C \u003d 0, a ≠ 0, в ≠ 0 - Директните преминавания през произхода на координатите

. A \u003d 0, в ≠ 0, s ≠ 0 (by + c \u003d 0)- Директно успоредно на оста О.

. B \u003d 0, a ≠ 0, c ≠ 0 (ax + c \u003d 0) - Директно успоредно на оста Ou.

. B \u003d c \u003d 0 и ≠ 0 - Директно съвпада с оста Ou.

. A \u003d c \u003d 0, в ≠ 0 - Директно съвпада с оста О.

Директното уравнение може да бъде представено в различна форма. В зависимост от дадени

първоначални условия.

Уравнението е директно върху точката и вектора на нормалното.

Дефиниция. В декартовата правоъгълна координатна система вектор с компоненти (a, b)

перпендикулярно на директно определено уравнение

AH + W + C \u003d 0.

Пример. Намерете директното преминаване на уравнението през точката А (1, 2) Перпендикулярно на вектора (3, -1).

Решение. Ние образуваме при A \u003d 3 и B \u003d -1 уравнението е правилно: 3x - Y + C \u003d 0. За да намерите коефициента

заместител на получения експресия на координата на дадена точка А. Получаваме: 3 - 2 + С \u003d 0, следователно

C \u003d -1. Общо: желаното уравнение: 3x - Y - 1 \u003d 0.

Уравнението е директно преминаване през две точки.

Нека две точки са дадени в пространството M 1 (x 1, y 1, z 1)и M2 (x 2, y2, z2), тогава уравнение директно,

преминаване през тези точки:

Ако някой от знаменателите е нула, съответният числатор трябва да бъде нула. На

самолетът, записан над уравнението, е опростен:

ако x 1 ≠ x 2 и x \u003d x 1 , ако x 1 \u003d x 2 .

Фракция \u003d К. Наречен ъглов коефициент прав.

Пример. Намерете директното преминаване на уравнението през точки А (1, 2) и в (3, 4).

Решение. Прилагайки формулата, записана по-горе, получаваме:

Уравнението е пряко на точката и ъгловия коефициент.

Ако общо уравнение прав AH + VO + C \u003d 0 да доведе до ум:

и уведомяване след това полученото уравнение се нарича

уравнението е права линия с ъглов коефициент k.

Уравнението е направо на точката и водещия вектор.

По аналогия с параграф, разглеждане на уравнението директно чрез вектора на нормалното, можете да въведете задача

директно чрез точката и водещия вектор право.

Дефиниция. Всеки ненулев вектор (α 1, α2)чиито компоненти отговарят на състоянието

Aα 1 + bα 2 \u003d 0 Наречен директен директен вектор.

AH + W + C \u003d 0.

Пример. Намерете уравнението на линията с водещ вектор (1, -1) и преминаване през точка А (1, 2).

Решение. Уравнението е правилната линия, както следва: AX + by + c \u003d 0. В съответствие с определението

коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B \u003d 0, т.е. A \u003d V.

Тогава прякото уравнение приема формата: AX + AY + C \u003d 0, или x + Y + C / A \u003d 0.

за x \u003d 1, y \u003d 2получаване C / a \u003d -3. Желаното уравнение:

x + Y - 3 \u003d 0

Уравнението е направо в сегменти.

Ако при цялостното уравнение на Direct AH + V / C \u003d 0 s ≠ 0, след това, разделяйки на това, получаваме:

или, където

Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът А е координатна точка на пресичане

право с ос О, но б. - координатна точка за пресичане директно с ос Ou.

Пример. Общото уравнение е зададено X - Y + 1 \u003d 0.Намерете уравнението на това право в сегменти.

C \u003d 1 ,, a \u003d -1, b \u003d 1.

Нормалното уравнение е прав.

Ако и двете части на уравнението AH + VO + C \u003d 0 Разделете номера Наречен

нормализиране на множителя, Взимам

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -нормалното уравнение е директно.

Трябва да бъде избран знакът ± нормализиращ мултипликатор, така че μ * S.< 0.

r. - дължината на перпендикуляра, намалена от началото на координатите с директната, \\ t

но φ - ъгъл, образуван от тази перпендикулярна с положителна посока на ос ОН.

Пример. Дадено е общото уравнение 12x - 5 - 65 \u003d 0. Необходими за писане различни видове уравнения

това правилно.

Уравнение на този ред в сегменти:

Уравнение на тази права линия с ъглов коефициент: (Разделяме на 5)

Уравнение директно:

cos φ \u003d 12/13; sin φ \u003d -5/13; P \u003d 5.

Трябва да се отбележи, че не всяко право може да бъде представено от уравнението в сегментите, например, директно,

паралелни оси или преминават през произхода.

Ъгълът между право на самолета.

Дефиниция. Ако две директно y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , след това остър ъгъл между тези права

ще бъдат определени като

Два права паралел, ако k 1 \u003d k 2. Две директно перпендикулярно,

ако k 1 \u003d -1 / k2 .

Теорема.

Прав AH + VO + C \u003d 0и 1 x + в 1 y + c 1 \u003d 0 Паралелно, когато са пропорционални на коефициентите

И 1 \u003d λa, в 1 \u003d λ. Ако днес I. C 1 \u003d λС, след това директно съвпада. Координати на пресечната точка на две директни

разположен като решение на системата на уравненията на тези директни.

Уравнението на директното преминаване през тази точка е перпендикулярно на това директно.

Дефиниция. Направо, минавайки през точката M 1 (x 1, в 1) и перпендикулярно на директен y \u003d kx + b

той е представен от уравнението:

Разстояние от точка до права.

Теорема. Ако точката е зададена M (x 0, y 0), след това разстоянието до стрейт AH + VO + C \u003d 0определено като:

Доказателства. Нека точката M 1 (x 1, в 1) - основата на перпендикуляра, намалена от точката М.на посочен

направо. След това разстоянието между точките М.и M 1.:

(1)

Координати x 1. и в 1. Може да се намери като решение на системата на уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на директно преминаване през посочената точка m 0 перпендикулярна на

посочен директен. Ако конвертирате първото уравнение на системата:

A (x - x 0) + b (y - y 0) + ax 0 + с 0 + c \u003d 0,

това, решаване, получаваме:

Заместване на тези изрази до уравнение (1), ние намираме:

Теорема се доказва.