Уравнение на равнина, минаваща през дадена точка и успоредна на дадена равнина онлайн. Уравнение на равнина, която минава през дадена права и дадена точка Ъгъл между равнините
Тази статия съдържа информацията, необходима за решаване на проблема за съставяне на уравнение на равнина, минаваща през дадена права и дадена точка. След решаването на този проблем в общ изгледЩе дадем подробни решения на примери за съставяне на уравнение на равнина, която минава през дадена права и точка.
Навигация в страницата.
Намиране на уравнението на равнина, минаваща през дадена права и дадена точка.
Нека Oxyz е фиксирано в триизмерното пространство, дадени са права a и точка, която не лежи на правата a. Нека си поставим задачата: да получим уравнението на равнината, минаваща през правата a и точката M 3.
Първо, ще покажем, че има една равнина, за която трябва да съставим уравнение.
Нека си припомним две аксиоми:
- една равнина минава през три различни точки в пространството, които не лежат на една и съща права линия;
- ако две различни точки от една права лежат в определена равнина, тогава всички точки от тази права лежат в тази равнина.
От тези твърдения следва, че една единствена равнина може да бъде начертана през права линия и точка, която не лежи върху нея. Така в задачата, която поставихме, една равнина минава през права линия a и точка M 3 и трябва да напишем уравнението на тази равнина.
Сега нека започнем да намираме уравнението на равнина, минаваща през дадена права линия a и точка .
Ако правата a е дадена чрез задаване на координатите на две различни точки M 1 и M 2, лежащи върху нея, тогава нашата задача се свежда до намиране на уравнението на равнината, минаваща през три дадени точки M 1, M 2 и M 3.
Ако правата a е дадена различно, тогава първо трябва да намерим координатите на две точки M 1 и M 2, лежащи на права a, и след това да напишем уравнението на равнината, минаваща през три точки M 1, M 2 и M 3, което ще бъде желаното уравнение на равнината, минаваща през правата a и точката M 3.
Нека да разберем как да намерим координатите на две различни точки M 1 и M 2, лежащи на дадена линия a.
В правоъгълна координатна система в пространството всяка права линия съответства на някои уравнения на права линия в пространството. Ще приемем, че методът за определяне на права линия a в постановката на задачата ни позволява да получим нейните параметрични уравнения на права линия в пространството на формата 
. Тогава, след като сме приели, имаме смисъла 
, лежащ на правата a. Като направим параметъра различен от нула реална стойност, от параметричните уравнения на права a можем да изчислим координатите на точка M 2, също лежаща на права a и различна от точка M 1.
След това ще трябва само да напишем уравнението на равнина, минаваща през три различни и не лежащи на една и съща права линия точки и , във формата 
.
И така, получихме уравнението на равнина, минаваща през дадена права a и дадена точка M 3, която не лежи на правата a.
Примери за съставяне на уравнение на равнина, минаваща през дадена точка и права.
Ще покажем решения на няколко примера, в които ще анализираме разглеждания метод за намиране на уравнението на равнина, минаваща през дадена права линия и дадена точка.
Да започнем с най-простия случай.
Пример.
Решение.
Нека вземем две различни точки на координатната права Ox, например, и .
Сега получаваме уравнението на равнина, минаваща през три точки M 1, M 2 и M 3: 
Това уравнение е желаното общо уравнение на равнината, минаваща през дадената права Ox и точката 
.
отговор:
.
Ако е известно, че равнина минава през дадена точка и дадена права и трябва да напишете уравнение на равнината в сегменти или нормално уравнение на равнината, тогава първо трябва да получите общото уравнение на дадената равнина, и от него преминете към уравнението на равнината от желания тип.
Пример.
Напишете нормално уравнение за равнина, която минава през правата 
и точка 
.
Решение.
Първо, нека напишем общото уравнение на дадена равнина. За да направите това, намерете координатите на две различни точки, лежащи на права линия . Параметричните уравнения на тази линия имат формата 
. Нека точка М 1 съответства на стойността, а точка М 2 -. Изчисляваме координатите на точките M 1 и M 2: 
Сега можем да напишем общото уравнение на права, минаваща през точка и директно :
Остава да се получи необходимата форма на уравнението на равнината чрез умножаване на двете страни на полученото уравнение с нормализиращ фактор 
.
отговор:
.
И така, намирането на уравнението на равнина, минаваща през дадена точка и дадена права, зависи от намирането на координатите на две различни точки, лежащи на дадена права. Често това е основната трудност при решаването на подобни проблеми. В заключение ще анализираме решението на примера, като съставим уравнението на равнина, минаваща през дадена точка и права, което се определя от уравненията на две пресичащи се равнини.
Пример.
В правоъгълната координатна система Oxyz са дадени точка и права a, която е пресечната линия на две равнини 
И 
. Напишете уравнението на равнината, минаваща през правата a и точката M3.
Нека разгледаме равнината Q в пространството, като определяме вектора N, перпендикулярен на тази равнина, и някаква фиксирана точка, лежаща в равнината Q, перпендикулярна на равнината Q, се нарича нормален вектор на тази равнина. Ако означим с A, B и C проекциите на нормалния вектор N, тогава
Нека изведем уравнението на равнината Q, минаваща през дадена точка и имаща даден нормален вектор. За да направите това, разгледайте вектор, свързващ точка с произволна точка от равнината Q (фиг. 81).
За всяко положение на точка M в равнината Q, векторът MHM е перпендикулярен на нормалния вектор N на равнината Q. Следователно, скаларното произведение. Нека запишем скаларното произведение по отношение на проекции. Тъй като , и е вектор, тогава
и следователно
Показахме, че координатите на всяка точка в равнината Q отговарят на уравнение (4). Лесно е да се види, че координатите на точките, които не лежат на равнината Q, не удовлетворяват това уравнение (в последния случай). Следователно получихме търсеното уравнение на равнината Q. Уравнение (4) се нарича уравнение на равнината, минаваща през дадена точка. Тя е на първа степен спрямо текущите координати
И така, ние показахме, че всяка равнина има съответно уравнение от първа степен по отношение на текущите координати.
Пример 1. Напишете уравнението на равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на вектора.
Решение. Тук. Въз основа на формула (4) получаваме
или, след опростяване,
Като дадем различни стойности на коефициентите A, B и C на уравнение (4), можем да получим уравнението на всяка равнина, минаваща през точката. Множеството от равнини, преминаващи през дадена точка, се нарича сноп от равнини. Уравнение (4), в което коефициентите A, B и C могат да приемат всякакви стойности, се нарича уравнение на куп равнини.
Пример 2. Съставете уравнение за равнина, минаваща през три точки (фиг. 82).
Решение. Нека напишем уравнението за куп равнини, минаващи през точката
Лекция 5. Решаване на задачи по темата "Аналитична геометрия в пространството"
1. Създайте уравнение за равнина, минаваща през точка М 0 (1, -2, 5) успоредно на равнина 7 х-г-2z-1=0.
Решение.Нека означим с Рдаден самолет, нека Р 0 – желаната успоредна равнина, минаваща през точката М 0 (1, -2, 5).
Помислете за нормалния (перпендикулярен) вектор 
самолет Р. Координатите на нормалния вектор са коефициентите на променливите в уравнението на равнината 
.
Още от самолета РИ Р 0
са успоредни, тогава векторът 
перпендикулярна на равнината Р 0
, т.е. 
- нормален вектор на равнината Р 0
.
Уравнение на равнина, минаваща през точка М 0 (х 0 ,
г 0 , z 0) с нормално 
:
Заменете координатите на точката М 0 и нормални вектори 
в уравнение (1):
Отваряйки скобите, получаваме общото уравнение на равнината (окончателен отговор):
2. Съставете канонични и параметрични уравнения на права, минаваща през точка М 0 (-2, 3, 0) успоредна на правата линия 
.
Решение.Нека означим с Лдадена права линия, нека Л 0 – желаната успоредна права, минаваща през точката М 0 (-2,3,0).
Водещ вектор 
директен Л(ненулев вектор, успореден на тази права) също е успореден на правата Л 0
. Следователно векторът 
е векторът на посоката на правата Л 0
.
Координати на вектора на посоката 
са равни на съответните знаменатели в каноничните уравнения на дадена линия 
.
Канонични уравнения на права в пространството, минаваща през точка М 0 (х 0 , г 0 , z 
{л, м, п}
.
(2)
Заменете координатите на точката М 0 и вектор на посоката 
в уравнение (2) и получете каноничните уравнения на линията:
.
Параметрични уравнения на права в пространството, минаваща през точка М 0 (х 0 , г 0 , z 0) успореден на ненулев вектор 
{л, м, п), имат формата:
(3)
Заменете координатите на точката М 0 и вектор на посоката 
в уравнения (3) и да получим параметричните уравнения на правата линия:
3. Намерете точка 
, симетричен на точката 
, спрямо: а) права 
б) самолети
Решение.а) Нека създадем уравнение за перпендикулярната равнина П, проектираща точка 
към този ред:
За да намерите 
използваме условието за перпендикулярност на дадената права и проектиращата равнина. Вектор на посоката прав 
перпендикулярен на равнината вектор 
е нормалният вектор 
към равнината Уравнението на равнина, перпендикулярна на дадена права, има вида или 
Да намерим проекцията Рточки Мкъм правата линия. Точка Ре пресечната точка на права и равнина, т.е. нейните координати трябва едновременно да удовлетворяват както уравненията на правата, така и уравнението на равнината. Нека решим системата:
.
За да го решим, записваме уравнението на линията в параметрична форма:
Заместване на изрази за 
в уравнението на равнината, получаваме:
От тук намираме Намерените координати са координатите на средата Ротсечка, свързваща точка
и симетрична на него точка 
IN училищен курсгеометрия е формулирана теорема.
Координатите на средата на сегмента са равни на половината от сбора на съответните координати на неговите краища.
Намиране на координатите на точката 
от формулите за координатите на средата на отсечката:
Получаваме: И така, 
.
Решение.б) Да се намери точка, симетрична на точка 
спрямо дадена равнина П, пуснете перпендикуляр от точката 
към този самолет. Нека създадем уравнение на права линия с насочващ вектор 
, минаваща през точката
:
Перпендикулярност между права и равнина означава, че векторът на посоката на правата е перпендикулярен на равнината 
. Тогава уравнението на правата, проектираща точката 
към дадена равнина има формата:
След като решихме уравненията заедно 
И 
нека намерим проекцията Рточки 
до самолета. За да направим това, пренаписваме уравненията на правата линия в параметрична форма:
Нека заместим тези стойности 
в уравнението на равнината: Подобно на стъпка а), използвайки формули за координатите на средата на сегмента, намираме координатите на симетричната точка 
:
Тези. 
.
4. Напишете уравнение за равнина, минаваща a) през права линия 
успореден на вектора 
; б) през две пресичащи се прави
И 
(след като преди това е доказано, че се пресичат); в) през две успоредни прави 
И 
; г) чрез пряк 
и точка 
.
Решение.а) Тъй като дадената права лежи в желаната равнина, а желаната равнина е успоредна на вектора 
, тогава нормалният вектор на равнината ще бъде перпендикулярен на насочващия вектор на правата 
и вектор 
.
Следователно като нормален вектор на равнината можем да изберем векторното произведение на векторите 
И 
:
Получаваме координатите на нормалния вектор на равнината 
.
Нека намерим точка на права. Приравняване на съотношенията в каноничните уравнения на правата линия към нула:
,
намираме 
,
,
. Дадената права минава през точката 
, следователно равнината също минава през точката 
. Използване на уравнението на равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на вектора 
, получаваме уравнението на равнината , или , или накрая, 
.
Решение.б) Две прави в пространството могат да се пресичат, пресичат или да са успоредни. Дадени прави линии
И 
(4)
не са успоредни, тъй като техните насочващи вектори 
И 
не е колинеарен: 
.
Как да проверите дали линиите се пресичат? Можете да решите система (4) от 4 уравнения с 3 неизвестни. Ако системата има уникално решение, тогава получаваме координатите на пресечната точка на линиите. Въпреки това, за да решим нашия проблем - построяването на равнина, в която лежат и двете прави, не е необходима точката на тяхното пресичане. Следователно е възможно да се формулира условие за пресичане на две неуспоредни прави в пространството, без да се намери пресечната точка.
Ако две неуспоредни прави се пресичат, тогава векторите на посоката 
,
и свързващи точки, лежащи на прави линии 
И 
вектор лежи в една и съща равнина, т.е. копланарен смесеното произведение на тези вектори е равно на нула:
. (5)
Приравняваме съотношенията в каноничните уравнения на линиите на нула (или на 1, или произволно число)
И 
,
и намерете координатите на точки на прави линии. Първата линия минава през точката 
, а втората права минава през точката 
. Насочващите вектори на тези прави са съответно равни 
И 
. получаваме
Равенство (5) е изпълнено, следователно дадените прави се пресичат. Това означава, че има една равнина, минаваща през тези две прави.
Да преминем към втората част на задачата - съставяне на уравнението на равнината.
Като нормален вектор на равнината можете да изберете векторен продукттехните насочващи вектори 
И 
:
Координати на нормалния вектор на равнината 
.
Разбрахме това направо 
преминава през 
, следователно желаната равнина също минава през тази точка. Получаваме уравнението на равнината, или 
или накрая, 
.
в) Тъй като са прави 
И 
са успоредни, тогава векторният продукт на техните насочващи вектори не може да бъде избран като нормален вектор; той ще бъде равен на нулевия вектор.
Да определим координатите на точките 
И 
, през които минават тези линии. Нека 
И 
, Тогава 
,
. Нека изчислим координатите на вектора. вектор 
лежи в желаната равнина и не е колинеарен на вектора 
, тогава като негов нормален вектор 
можете да изберете кръстосаното произведение на вектор 
и вектора на посоката на първата права линия 
:
така че 
.
Самолетът минава през линията 
, което означава, че минава през точката 
. Получаваме уравнението на равнината: , или .
г) Приравняване на съотношенията в каноничните уравнения на правата на нула 
, намираме 
,
,
. Следователно правата минава през точката 
.
Нека изчислим координатите на вектора. вектор 
принадлежи на желаната равнина, като неин нормален вектор 
изберете векторното произведение на насочващия вектор на правата линия 
и вектор 
:
Тогава уравнението на равнината има формата: , или .
Три точки в пространството, които не лежат на една права линия, определят една равнина. Нека съставим уравнение за равнина, която минава през три дадени точки М 1 (X 1 ; при 1 ; z 1), М 2 (X 2 ; при 2 ; z 2), М 3 (X 3 ; при 3 ; z 3). Нека вземем произволна точка от равнината М(X; при; z) и съставяне на вектори = ( х – х 1 ; при– при 1 ; z–z 1), = (X 2 - X 1 ; при 2 – при 1 ; z 2 – з 1), = (X 3 - X 1 ; при 3 – при 1 ; z 3 – з 1). Тези вектори лежат в една и съща равнина, следователно са компланарни. Използвайки условието за копланарност на три вектора (смесеното им произведение е равно на нула), получаваме ∙ ∙ = 0, т.е.
= 0. (3.5)
Уравнение (3.5) се нарича уравнение на равнина, минаваща през дадени три точки.
Взаимна позициясамолети в космоса
Ъгъл между равнините
Нека са дадени два самолета
А 1 X + IN 1 при + СЪС 1 z + D 1 = 0,
А 2 X + IN 2 при + СЪС 2 z + D 2 = 0.
За ъгъл между равнинитевземаме ъгъла φ между всеки два вектора, перпендикулярни на тях (което дава два ъгъла, остър и тъп, допълващи се един друг спрямо π). Тъй като нормалните вектори на равнините = ( А 1 , IN 1 , СЪС 1) и = ( А 2 , IN 2 , СЪС 2) са перпендикулярни на тях, тогава получаваме
cosφ = 
.
Условие за перпендикулярност на две равнини
Ако две равнини са перпендикулярни, тогава нормалните вектори на тези равнини също са перпендикулярни и тяхното скаларно произведение е равно на нула: ∙ = 0. Това означава, че условието за перпендикулярност на две равнини е
А 1 А 2 + IN 1 IN 2 + СЪС 1 СЪС 2 = 0.
Условие за успоредност на две равнини
Ако равнините са успоредни, тогава техните нормални вектори също ще бъдат успоредни. Тогава координатите на едноименните нормални вектори са пропорционални. Това означава, че условието за успоредни равнини е
= = .
Разстояние от точкатаМ 0 (х 0 , г 0 , z 0) да рендосвам о + Ву + Cz + D = 0.
Разстояние от точка М 0 (х 0 , г 0 , z 0) да рендосвам Ax + Ву + Cz + D= 0 е дължината на перпендикуляра, прекаран от тази точка към равнината и се намира по формулата
d = 
.
Пример 1. Р(– 1, 2, 7) перпендикулярно на вектора = (3, – 1, 2).
Решение
Съгласно уравнение (3.1) получаваме
3(x + 1) – (y – 2) + 2(z – 7) = 0,
3X – при + 2z – 9 = 0.
Пример 2.Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка М(2; – 3; – 7) успоредни на равнина 2 X – 6при – 3z + 5 = 0.
Решение
Вектор = (2; – 6; – 3), перпендикулярен на равнината, също е перпендикулярен на успоредната равнина. Това означава, че желаната равнина минава през точката М(2; – 3; – 7) перпендикулярно на вектора = (2; – 6; – 3). Нека намерим уравнението на равнината, използвайки формула (3.1):
2(X - 2) – 6(y + 3) – 3(z + 7) = 0,
2X – 6при – 3z – 43 = 0.
Пример 3.Намерете уравнението на равнината, минаваща през точките М 1 (2; 3; – 1) и М 2 (1; 5; 3) перпендикулярна на равнина 3 X – при + 3z + 15 = 0.
Решение
Вектор = (3; – 1; 3), перпендикулярен на дадената равнина, ще бъде успореден на желаната равнина. Така равнината преминава през точките М 1 и М 2 е успореден на вектора .
Нека М(х; г; z) произволна точка от равнината, тогава вектори = ( X – 2; при – 3; z+ 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) са компланарни, което означава, че тяхното смесено произведение е нула:
= 0.
Нека изчислим детерминантата, като разширим елементите на първия ред:
(X – 2) – (при – 3) + (z + 1) = 0,
10(X - 2) – (– 15)(y – 3) + (– 5)(z + 1) = 0,
2(X - 2) + 3(y – 3) – (z + 1) = 0,
2x + 3при – z– 14 = 0 – уравнение на равнина.
Пример 4.Напишете уравнение за равнина, минаваща през началото перпендикулярно на равнини 2 X – при + 5z+ 3 = 0 и X + 3при – z – 7 = 0.
Решение
Нека е нормалният вектор на желаната равнина. По условие равнината е перпендикулярна на тези равнини, което означава и , където = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). Това означава, че като вектор можем да вземем векторното произведение на векторите и , тоест = ×.
= = – 14 + 7 + 7 .
Заместване на координатите на вектора в уравнението на равнината, минаваща през началото о + Ву + Сz= 0, получаваме
– 14X + 7при + 7z = 0,
2X – при – z = 0.
Въпроси за самопроверка
1 Запишете общото уравнение на равнината.
2 Какво е геометричен смисълкоефициенти за X, y, z V общо уравнениесамолет?
3 Запишете уравнението на равнината, минаваща през точката М 0 (х 0 ; г 0 ; z 0) перпендикулярна на вектора = ( А; IN; СЪС).
4 Запишете уравнението на равнината в сегменти по осите и посочете геометричното значение на параметрите, включени в него.
5 Запишете уравнението на равнината, минаваща през точките М 1 (X 1 ; при 1 ; z 1), М 2 (X 2 ; при 2 ; z 2), М 3 (X 3 ; при 3 ; z 3).
6 Запишете формулата, използвана за намиране на ъгъла между две равнини.
7 Запишете условията за успоредност на две равнини.
8 Запишете условието за перпендикулярност на две равнини.
9 Запишете формулата, която изчислява разстоянието от точка до равнина.
Задачи за независимо решение
1 Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка М(2; – 1; 1) перпендикулярно на вектора = (1; – 2; 3). ( отговор: X – 2при + 3z – 7 = 0)
2 Точка Р(1; – 2; – 2) е основата на перпендикуляра, прекаран от началото към равнината. Напишете уравнение за тази равнина. ( отговор: X – 2при – 2z – 9 = 0)
3 Дадени две точки М 1 (2; – 1; 3) и М 2 (– 1; 2; 4). Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка М 1 е перпендикулярна на вектора . ( отговор: 3X – 3при – z – 6 = 0)
4 Напишете уравнение за равнина, минаваща през три точки М 1 (3; – 1; 2), М 2 (4; – 1; – 1), М 3 (2; 0; 2). (отговор: 3X + 3при + z – 8 = 0)
5 М 1 (3; – 1; 2) и М 2 (2; 1; 3) успоредно на вектора = (3; – 1; 4). ( отговор: 9X + 7при – 5z – 10 = 0)
6 Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка М 1 (2; 3; – 4) успоредни на векторите = (3; 1; – 1) и = (1; – 2; 1). ( отговор: X + при + 7z + 14 = 0)
7 Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка М(1; – 1; 1) перпендикулярни на равнини 2 X – при + z– 1 = 0 и X + 2при – z + 1 = 0. (отговор: X – 3при – 5z + 1 = 0)
8 Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките М 1 (1; 0; 1) и М 2 (1; 2; – 3) перпендикулярна на равнината X – при + z – 1 = 0. (отговор: X + 2при + z – 2 = 0)
9 Намерете ъгъла между равнините 4 X – 5при + 3z– 1 = 0 и X – 4при – z + 9 = 0. (отговор: φ = arccos0.7)
10 Намерете разстоянието от точка М(2; – 1; – 1) към равнина 16 X – 12при + 15z – 4 = 0. (отговор: d = 1)
11 Намерете пресечната точка на три равнини 5 X + 8при – z – 7 = 0, X + 2при + 3z – 1 = 0, 2X – 3при + 2z – 9 = 0. (отговор: (3; – 1; 0))
12 Напишете уравнение за равнина, която минава през точките М 1 (1; – 2; 6) и М 2 (5; – 4; 2) и отрязва равни сегменти по осите оИ о. (отговор: 4X + 4при + z – 2 = 0)
13 Намерете разстоянието между равнините X + 2при – 2z+ 2 = 0 и 3 X + 6при – 6z – 4 = 0. (отговор: d = )
С помощта на този онлайн калкулатор можете да намерите уравнението на равнина, минаваща през дадена точка и успоредна на дадената равнина. Дадено е подробно решение с обяснения. За да намерите уравнението на равнина, въведете координатите на точката и коефициентите на уравнението на равнината в клетките и щракнете върху бутона "Решаване".
×
Предупреждение
Изчистване на всички клетки?
Затвори Изчисти
Инструкции за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични знаци (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена във формата a/b, където a и b (b>0) са цели числа или десетични числа. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.
Уравнение на равнина, минаваща през дадена точка и успоредна на дадена равнина - теория, примери и решения
Нека се даде точка М 0 (х 0 , г 0 , z 0) и уравнение на равнината
Всички успоредни равнини имат колинеарни нормални вектори. Следователно, за да се построи равнина, успоредна на (1), минаваща през точката М 0 (х 0 , г 0 , z 0) трябва да се приеме като нормален вектор на желаната равнина, нормален вектор п=(А, Б, В) равнина (1). След това трябва да намерите такава стойност г, в който момент М 0 (х 0 , г 0 , z 0) отговаря на уравнението на равнината (1):
Заместване на стойността гот (3) до (1), получаваме:
Уравнение (5) е уравнението на равнината, минаваща през точката М 0 (х 0 , г 0 , z 0) и успоредна на равнината (1).
Намерете уравнението на равнината, минаваща през точката М 0 (1, −6, 2) и успоредна на равнината:
Заместване на координатите на точките М 0 и координатите на нормалния вектор в (3), получаваме.