Olimpijade, logične in zabavne naloge v matematiki. Naloge za rezanje
a) Izrežite poljuben trikotnik na več kosov, tako da se lahko pravokotnik zloži iz njih.
b) Odrežite poljuben pravokotnik na več kosov, da se kvadrat lahko zloži.
c) Dva poljubne kvadrate razrežite na več kosov, tako da se lahko zloži en velik kvadrat.
Nasvet 1.
b) Prvič, sestavljajo tak pravokotnik iz poljubnega pravokotnika, razmerje glavne strani, katerih ne presega štiri.
c) Uporabite izrek Pythagore.
Nasvet 2.
a) Preživite višino ali srednja vrstica.
b) Preverite pravokotnik na kvadratu, ki naj se izkaže, in potegnite "diagonalno".
c) nanesite kvadratke drug drugemu, na strani večjega kvadrata, izmerite segment, ki je enak dolžini manjšega kvadrata, nato pa ga priključite z "nasprotnimi" vozlišči vsakega kvadrata (glejte sliko 1).
Sklep
a) Naj mu daje poljuben trikotnik Abc. Odrežite srednjo črto Mn. Vzporedna stran Ab.in na nastalega trikotnika Cmn. Spustite višino Cd.. Poleg tega se znižajo neposredno Mn. Perpendiculary. AK. in BL.. Potem je lahko videti, da δ Akm. = ∆CDM. in δ. BLN. = ∆CDN. sodišče pravokotne trikotnikeki so enaki ustreznemu par strankam in parnim vogalom.
Zato je metoda rezanja tega trikotnika in poznejše prestavne dele. To je, da bomo zreželi po segmentih Mn. in Cd.. Po tem postavite trikotnike CDM. in CDN. namesto trikotnikov Akm. in BLN. V skladu s tem, kot je prikazano na sl. 2. Imamo pravokotnik AKLB.Tako kot je potrebno v opravilu.
Upoštevajte, da ta metoda ne bo delovala, če je eden od vogalov CAB. ali CBA. - Neumno. To je posledica dejstva, da v tem primeru višine Cd. Ne leže znotraj trikotnika Cmn.. Toda to ni preveč strašljivo: če preživite srednjo linijo vzporedno najdaljšo stran prvotnega trikotnika, nato pa v cut-off trikotniku bomo znižali višino neumnega kota, in bo zagotovo ležala v trikotniku.
b) Naj da pravokotnik ABCD.čigar Auges. Ad in Ab. enako a. in b. Zato in. a. > b.. Potem bi moral biti kvadrat trga, ki ga želimo na koncu, enako ab.. Posledično je dolžina strani trga √ ab.Kaj je manj kot Advendar več Ab..
Zgradimo kvadrat APQR.enako želeno, tako da je točka B. leži na rezanju Ap.in točka R. - na rezanem Ad. Naj bo. PD. Prečkanje segmentov BC. in QR. V točkah M. in N. oziroma. Potem je lahko videti, da trikotniki PBM., PAD. in NRD. kot, in poleg BP. = (√ab. – b.) JAZ. RD. = (a. – √ab.). To pomeni
Posledično δ. PBM. = ∆NRD. Na dveh straneh in vogal med njimi. Tudi od tu je enostavno umakniti enakost Pq. = MC. in Nq. = Cd.Torej, δ. PQN. = ∆MCD. Tudi na dveh straneh in vogal med njimi.
Od vse zgornje obrazložitve sledi metoda rezanja. Najprej se odložimo na straneh Ad in BC. Segmentih Ar. in Cm., katerih dolžine so enake √ ab. (o tem, kako zgraditi segmente obrazca √ ab.Za nalogo "pravi poligoni" - vstavite v poglavje "Sklep"). Nato obnovimo pravokotno na segment Ad Na točki R.. Zdaj le rezajo trikotnike MCD. in NRD. In jih premika, kot je prikazano na sl. 3.
Upoštevajte, da je to metodo, ki jo je treba uporabiti, je treba sprejeti točko M. Izkazalo se je v segmentu BK. (drugače ne celotni trikotnik NRD.povezan znotraj pravokotnika ABCD.). To je potrebno
Če se ta pogoj ne izvede, potem morate najprej narediti ta pravokotnik širši in manj dolg. To storiti, je dovolj, da ga razrežemo na polovico in prestavljanje kosov, kot je prikazano na sl. 4. Jasno je, da se po tej operaciji razmerje glavne strani do manjšega zmanjša štirikrat. Torej, to delam dovolj velika številka Enkrat, na koncu dobimo pravokotnik, na katerega se uporablja rezanje z rižem. 3.
c) Razmislite o dveh kvadratnih podatkih ABCD. in DPQR., ki jih pritrdite drug drugemu, da se med sekajo na strani Cd. manjši kvadrat in imel skupno vozlišče D.. Predvidevamo to PD. = a. in Ab. = b., poleg tega, kot smo že ugotovili, a. > b.. Potem stran Dr. Večji trg se lahko šteje za takšno točko M., kaj Gospod. = Ab.. Glede na Theorem Pythagore.
Naj neposredno prehaja skozi točke B. in Q. Vzporedno Mq. in BM. V skladu s tem se preselite na točki N.. Potem kvadrigal. BMQN. je paralelogram, in ker ima vse stranke enake, potem je to romb. Ampak δ. Bam. = ∆Mrq. Po treh strankah, od kod sledi (glede na to, da koti Bam. in Mrq. naravnost) to. V to smer, BMQN. - Trg. In ker je njeno območje enako ( a. 2 + b. 2), potem je to kvadrat, ki ga moramo dobiti.
Da bi se nadaljevali, je treba opaziti, da δ Bam. = ∆Mrq. = ∆Bcn. = ∆Npq.. Po tem, kaj je treba storiti, postane očitno: potrebno je zmanjšati trikotnike Bam. in Mrq. In jih premika, kot je prikazano na sl. pet.
Po besedah
Upočasnitev ponujenih nalog, bralca, je povsem mogoče, razmišlja o takem vprašanju: in kdaj se lahko en poligon reže z ravnimi črtami na končno število takih kosov, od katerih se razvija drug poligon? Rahlo razmislek, to bo razumelo, da je vsaj potrebno, da je področje teh poligonov enako. Tako se vprašanje izvor spremeni v naslednje: Ali je res, da če imata dva poligona isto območje, potem je eden od njih mogoče razrezati na koščke, od katerih se drugi razvija (ta lastnost dveh poligonov se imenuje enakovredna)? Izkazalo se je, da je to res, in to nam pove teorema Boyii-Gervin, dokazano v tridesetih letih 20. stoletja XIX. Natančneje, njegovo besedilo je sestavljeno iz.
Boiii-Guerin Therem. Dva poligona izometrična, če in samo, če sta enakovredna.
Zamisel o dokazih tega čudovitega rezultata je naslednja. Prvič, ne bomo dokazali odobritve izreka, vendar dejstvo, da je vsak od obeh podatkov enak poligonom, se lahko razreže na koščke, iz katerih je kvadrat istega območja zložen. Če želite to narediti, najprej prekinemo vsakega poligona na trikotnikih (taka particija se imenuje triangulacije). In potem se bo vsak trikotnik spremenil v kvadrat (na primer s pomočjo metode, opisane v odstavkih a) in b) te naloge). Ostajamo je treba prepogniti iz velikega števila majhnih kvadratov, ena velika - to lahko storimo zahvaljujoč točki b).
Podobno vprašanje za polihedro je eden od znanih problemov Davida Hilbert (tretjič), ki so jim predloženi v poročilu na mednarodnem kongresu Matematike II v Parizu leta 1900. Značilnost je, da se je odgovor nanj izkazal za negativen. Že razmišljajo o dveh takšnih preprostih polihrih, kot kocka in pravilen tetraeder, kaže, da se nobena od njih izkaže, da se izkaže v končno število delov, tako da je druga drugačna. In to ni naključje - preprosto ne obstaja.
Odločitev tretjega problema Hilbert je dobila eden od njegovih študentov - Max den - že leta 1901. Den je našel invariantno vrednost, ki se ni spremenila pri rezanju polihedre na koščke in zlaganje iz novih številk. Vendar pa je bila ta vrednost drugačna za nekatere polihedre (zlasti na Kubi in pravilen tetraedran). Slednja okoliščina izrecno kaže na dejstvo, da ta poliedra niso enakovredna.
Naloga 1: Pravokotnik, katerih strani so izražene s cela števila, se lahko razrežejo na obrazcih (stran celice na sliki je enaka enemu). Dokaži, da se lahko razreže na 1 × 5 pravokotnikov.
(D. ~ Karpov.)
Sklep: Območje tega pravokotnika je razdeljeno s poudarkom na območju določene figure, to je s 5. Območje pravokotnika je enako proizvodu dolžin strani. Ker so dolžine strank števil, in 5 - preprosto število, potem je treba dolžino ene od strank razdeliti s 5. To stran razdelimo in nasprotno dolžino dolžine 5, druga dve strani - na dolžini dolžine 1, nato priključite ustrezne točke na nasprotnih straneh po ravnih črt. Naloga 2: Odločite se v sistemu realnih številk enačb(A. ~ Khrabrov.)
Sklep: Odgovor: Sistem ima eno samo rešitev: A \u003d B \u003d C \u003d D \u003d 0. Ko je prepognil dve enačbi sistema, dobimo enačbo 8A² + 9b² + 7c² + 4d² \u003d 16ab + 8cd iz neenakosti 2ab ≤ A² + B² in 2cd ≤ C² + D² mora biti, da je desna stran te enačbe ni večja od leve, enakost pa je mogoče doseči le, če je B \u003d 0, C \u003d 0, A \u003d B in C \u003d D. Tako edina možna rešitev Ta sistem je \u003d B \u003d C \u003d D \u003d 0.Druga možnost je rešena podobno.
Naloga 3: V ABCD Rombe na straneh AB in BC, so točke E in F, kot so CF / BF \u003d BE / AE \u003d 1994. Izkazalo se je, da je DE \u003d DF. Poiščite kot ERS.
Iz stanja problema (v obeh možnostih) izhaja, da je \u003d CF. Odložil bom na strani AB, ki je enaka. Trikotnik ADK in CDF sta enaka dve strani in kotom (AD \u003d CD, AK \u003d CF, ∠ dak \u003d ∠ DCF). Torej, DK \u003d DF \u003d DE, to je DKE trikotnik izziv. Zlasti koti DKE in DEK so enaki, ko je ustanovljeno. Posledično sta Triangle ADK in BDE enaka (na dveh straneh in kotu: AK \u003d BE, DK \u003d DE, ∠ DKA \u003d ∠ DEB). Zato je AD \u003d BD, to je, je Trikotnik ABD enakostranični. Posledično, ∠ slabo \u003d 60, ∠ abc \u003d 120.
(A. ~ Khrabrov.)
Sklep: Pustite ekipo in premagati ekipo B v tekmi s takimi pravili (morda, kar zagotavlja njegovo zmago pred urnikom). To pomeni, da bi bila s katerim koli miselnim izidom preostalega (induciranja) kazni, rezultat ekipe A bi bila višja od B. Ekipe Predstavlja si, da so ekipe še naprej zlomile kazen po koncu tekme in udarila vso preostalo kazen , in ekipo in ni več dosegel več žogo in ekipa ne bi nikoli zamudila več. Hkrati je skupno število doseženih ciljev in bo še vedno večje od tistih, ki so doseženi b Koliko je lahko več? Samo na 1 ali na 2. dejansko, če se je razlika izkazala za več kot dve, bi bila zmaga ekipe neizogibna še prej, pred prekinitvijo zadnjega sklepa o kazni.Nato ugotovimo, da z nadaljevanjem tekme v vratih, točno polovica vseh udarcev prišel na vrata. Tako in iz vseh 129 parov šokov v vratih dobimo točno polovico, to je točno 129. Ti 129 ciljev so razdeljeni med A in B, tako da pri 1 ali 2 več. To edinstveno določa število ciljev, ki jih je dosegla ekipa A - 65.
Naloga 5: Odločite se enačbo v naravnih številkah:(D. ~ Karpov.)
Sklep: Ta enačba ima eno samo rešitev: x \u003d 2, y \u003d 1, z \u003d 2 (v obeh možnostih). Dejstvo, da je rešitev izhaja iz splošne identitete A² + (2a + 1) \u003d (A + 1) ² ², ki se uporablja v prvi izvedbi za A \u003d 105, in v drugem - do A \u003d 201.Ni drugih rešitev, saj če Z\u003e 2, potem desna stran enačbe je razdeljena na 8, levo - ne, ker 105 x lahko daje le ostanek 1, in 211 y, da so 0 samo ostanki 1 in 3. Ostajamo je treba opozoriti, da je na Z \u003d 1 rešitev tudi ne, in pri z \u003d 2, vrednosti y \u003d 1 in x \u003d 2 so edinstveno definirana.
Uvodna beseda učitelja:
Majhna zgodovinsko referenco: Mnogi znanstveniki iz starodavnih časov so imeli radi nalog za rezanje. Rešitve mnogih preproste naloge Starodavni Grki so bili na voljo na rezanju, vendar je prva sistematična razprava na to temo pripada Perubu Abul-Vefa. Geometri resno ukvarjajo z reševanjem nalog za rezanje osebnosti najmanjšemu številu delov in naknadno izgradnjo druge številke na začetku 20. stoletja. Eden od ustanoviteljev tega razdelka je bil znani ustanovitelj Henryja E. Dyudeni uganke.
Dandanes, ljubitelji puzzle so radi reševanje problemov, saj je univerzalna metoda reševanja takšnih nalog ne obstaja, in vsi, ki jih odpeljejo, lahko v celoti pokažejo svoje taljenje, intuicijo in sposobnost ustvarjalnega razmišljanja. (V razredu bomo pokazali le enega od možnih primerov rezanja. Predpostavlja se lahko, da lahko študenti izkažejo nekaj druge pravilne kombinacije - ni treba gariti).
Ta lekcija naj bi bila v obliki praktični razredi. Udeležence razbijte v skupine 2-3 ljudi. Vsako od skupin bo vnaprej zagotovljena s strani učiteljev. Študenti imajo ravnilo (z oddelki), svinčnikom, škarje. Dovoljeno je izdelati s škarjami le ravne reze. Z rezanjem nekakšne vrste na koščke morate narediti še eno številko iz istih delov.
Naloge za rezanje:
1). Poskusite zmanjšati sliko, prikazano na sliki na 3, enako v obliki dela:
Nasvet: Malo številke so zelo podobne črki T.
2). Trenutno je ta številka enaka v obliki dela:
Namig: Enostavno je uganiti, da bodo majhne številke sestavljene iz 3 celic, trije celični podatki pa niso toliko. Obstaja le dve vrsti: vogal in pravokotnik.
3). Razdelite obliko v dva enake dele in zložite šahovnico iz prejetih delov.
Nasvet: Predlagajte, da začnete opravljati nalogo iz drugega dela, kako dobiti šahovnico. Ne pozabite, kateri obliki ima šahovnico (kvadrat). Izračunajte obstoječe število celic v širini. (Opozarjajte, da morajo biti celice 8).
4). Poskusite tri gibanje nožev, da rezate sir na osem enakih kosov.
Namig: Poskusite rezati sir.
Naloge za samopomoč:
1). Izrežite kvadrat papirja in naredite naslednje:
· Izrežite na takšne 4 dele, iz katerih se lahko izvede dva enaka manjši kvadrati.
· Izrežite pet delov - štiri zasnove trikotnikov in enega kvadrata - in jih zložite, da izkaže tri kvadrate.
Pri izvajanju mentorjev v matematiki in učiteljev različnih izbirnih in krogov je na voljo izbor zabavnih in razvijajočih se geometrijskih problemov za rezanje. Namen uporabe takšnih nalog za uporabo takšnih nalog v svojih razredih ni le za zanimanje študenta v zanimivih in učinkovitih kombinacijah celic in številk, ampak tudi oblikovanje občutka linij, kotov in oblik. Nalaga se v glavnem usmerjena na otroke 4-6 razredov, čeprav njegova uporaba ni izključena niti z srednješolci. Vaje zahtevajo študente z visokimi in napravami in so primerni za razvoj in usposabljanje vizualnega spomina. Priporočeno za mentorje matematike, ki se ukvarjajo s pripravo študentov vhodni izpiti V matematičnih šolah in razredih, ki preprečujejo posebne zahteve za raven neodvisnega razmišljanja in ustvarjalnih sposobnosti otroka. Stopnja nalog ustreza stopnji uvodne olimpijede v lyceum "drugi šoli" (drugi matematična šola), Moški Mehmat MSU, Kurchatov šola itd.
Opomba Mutor v matematiki:
V nekaterih rešitvah nalog, da si lahko ogledate klik na ustrezen kazalec, je podan samo eden od možnih vzorcev rezanja. Popolnoma priznavam, da lahko dobite kakšno drugo zvesto kombinacijo - jih ni treba bati. Previdno preverite raztopino mila in če izpolnjuje stanje, potem pogumno prevzamete naslednjo nalogo.
1) Poskusite rezati številko 3, ki je enaka na sliki na sliki:
: Majhne številke so zelo podobne črki T
2) Odrežite to številko na 4 enako v obliki dela:
Matematika TIP.: Enostavno je uganiti, da bodo majhne številke sestavljene iz 3 celic, trije celični podatki pa niso toliko. Obstaja samo dve vrsti: vogal in 10 × 3 pravokotnik.
3) Izrežite to številko na 5 enako v obliki delov:
Poiščite število celic, iz katere je sestavljena vsaka taka. Te številke so podobne črki G.
4) in zdaj morate zmanjšati sliko desetih celic na 4 neenak Prijatelj pravokotnika (ali kvadratnega).
Navedba mentorja v matematiki: Označite nekaj pravokotnika in nato v preostalih celicah, poskusite vnesti tri več. Če ne deluje, potem spremenite prvi pravokotnik in poskusite znova.
5) Naloga je zapletena: številka je treba razrezati 4 drugačen v obliki Številke (ne nujno na pravokotnikih).
Matematika TIP.: Narišite najprej ločiti vse vrste številk različnih oblik (Več kot štiri) bo ponovilo metodo s pogledom na različice kot v prejšnji nalogi.
:
6) Izrežite to številko na 5 številk štirih celic različnih oblik, tako da je v vsakem od njih pobarvana samo ena zelena celica.
Nasmer v matematiki: Poskusite začeti razrezati od zgornjega roba te številke in takoj boste razumeli, kako ukrepati.
:
7) Na podlagi prejšnje naloge. Poiščite, koliko številk imajo različne oblike, ki sestojijo natanko iz štirih celic? Številke se lahko zvijejo, zavrtijo, vendar ne morete dvigniti konice (s njene površine), na kateri leži. To pomeni, da dve zgoraj navedeni podatki ne bodo enaki, saj jih ni mogoče pridobiti drug od drugega z obračanjem.
Nasmer v matematiki: Preglejte rešitev prejšnje naloge in poskusite si predstavljati različne položaje teh številk, ko se obrnete. To je enostavno uganiti, da bo odgovor v naši nalogi številka 5 ali več. (Pravzaprav, celo več kot šest). Skupaj je opisanih 7 vrst številk.
8) Izrežite kvadrat 16 celic za 4 enako v obliki dela, tako da je bilo v vsakem od štirih delov natančno ena zelena celica.
Matematika TIP.: Oblika majhnih številk ni kvadrat in ne pravokotnik, in ne celo vogal štirih celic. Torej, kaj so številke, da bi poskušali rezati?
9) Slika na sliki, narežemo na dva dela na tak način, da se kvadrat lahko zloži iz dobljenih delov.
Matematsky mentor Tutor.: Skupaj, na sliki 16 celic - to pomeni, da bo trg velikost 4 × 4. In nekako morate napolnite okno na sredini. Kako narediti? Mogoče nekaj premika? Potem, ker je dolžina pravokotnika enaka nenavadnih celicah, mora rezanje izvesti z navpično rezanje, vendar z zlomljeno črto. Tako, da je zgornji del odrezan od ene strani od srednjih celic in nižji na drugi strani.
10) Izrežite velikost pravokotnika 4 × 9 na dva dela s takšnim izračunom, tako da se kvadrat lahko zloži zaradi njih.
Matematika TIP.: Skupaj v pravokotniku 36 celic. Zato bo trg 6 × 6. Torej, KA gorska stran je sestavljena iz devetih celic, nato pa jih je treba odrezati. Kako bo ta rez še dodatno?
11) Zapornik iz petih celic, prikazanih na sliki, je potrebna za rezanje (lahko prerežete celice sami) na take dele, iz katerih bi se kvadrat zložen.
Matematika TIP.: Jasno je, da kot da ne prerežemo celic na proge - ne bom dobil kvadrata, saj so celice le 5. To je edina naloga, v kateri je dovoljeno zmanjšati ne s celicami. Vendar pa bodo še vedno prav kot referenčna točka. Na primer, vredno je omeniti, da moramo nekako odstraniti poglabljanje, ki ga imamo, in sicer, v notranjih vogalih našega križa. Kako narediti? Na primer, odrezati nekaj Odkrijte trikotnike iz zunanjih vogalov križa ...