Формула за намиране на площта на правоъгълен триъгълник с помощта на синус. Игри с линийка и молив
В живота често ще трябва да се справяме с математически проблеми: в училище, в университета и след това да помагаме на детето си да завърши домашна работа. Хората в определени професии ще се сблъскват с математиката ежедневно. Следователно е полезно да запомните или да си припомните математическите правила. В тази статия ще анализираме един от тях: намирането на крака правоъгълен триъгълник.
Какво е правоъгълен триъгълник
Първо, нека си припомним какво е правоъгълен триъгълник. Правоъгълен триъгълник е геометрична фигураот три сегмента, които свързват точки, които не лежат на една и съща права линия, а един от ъглите на тази фигура е 90 градуса. Страните, образуващи прав ъгъл, се наричат крака, а страната, която лежи срещу него прав ъгъл– хипотенуза.
Намиране на катета на правоъгълен триъгълник
Има няколко начина да разберете дължината на крака. Бих искал да ги разгледам по-подробно.
Питагорова теорема за намиране на страната на правоъгълен триъгълник
Ако знаем хипотенузата и катета, тогава можем да намерим дължината на неизвестния катет с помощта на Питагоровата теорема. Звучи така: „Квадрат на хипотенузата равно на суматаквадрати от крака." Формула: c²=a²+b², където c е хипотенузата, a и b са катетите. Преобразуваме формулата и получаваме: a²=c²-b².
Пример. Хипотенузата е 5 см, а катетът е 3 см. Преобразуваме формулата: c²=a²+b² → a²=c²-b². След това решаваме: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; а=√16; а=4 (cm).
Тригонометрични съотношения за намиране на катета на правоъгълен триъгълник
Можете също така да намерите неизвестен катет, ако са известни друга страна и всеки остър ъгъл на правоъгълен триъгълник. Има четири опции за намиране на крака тригонометрични функции: по синус, косинус, тангенс, котангенс. Таблицата по-долу ще ни помогне да разрешим проблемите. Нека разгледаме тези опции.
Намерете катета на правоъгълен триъгълник с помощта на синус
Синусът на ъгъл (sin) е отношението на срещуположната страна към хипотенузата. Формула: sin=a/c, където a е катет срещу дадения ъгъл, а c е хипотенузата. След това трансформираме формулата и получаваме: a=sin*c.
Пример. Хипотенузата е 10 см, ъгъл А е 30 градуса. Използвайки таблицата, изчисляваме синуса на ъгъл А, той е равен на 1/2. След това, използвайки преобразуваната формула, решаваме: a=sin∠A*c; а=1/2*10; а=5 (cm).
Намерете катета на правоъгълен триъгълник, като използвате косинус
Косинусът на ъгъл (cos) е отношението на съседния катет към хипотенузата. Формула: cos=b/c, където b е катетът, съседен на даден ъгъл, а c е хипотенузата. Нека трансформираме формулата и получаваме: b=cos*c.
Пример. Ъгъл А е равен на 60 градуса, хипотенузата е равна на 10 см. Използвайки таблицата, изчисляваме косинуса на ъгъл А, той е равен на 1/2. След това решаваме: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Намерете катета на правоъгълен триъгълник с помощта на допирателната
Тангенс на ъгъл (tg) е отношението на срещуположната страна към съседната страна. Формула: tg=a/b, където a е противоположната страна на ъгъла, а b е съседната страна. Нека трансформираме формулата и получаваме: a=tg*b.
Пример. Ъгъл А е равен на 45 градуса, хипотенузата е равна на 10 см. Използвайки таблицата, изчисляваме тангенса на ъгъл А, той е равен на Решете: a=tg∠A*b; а=1*10; а=10 (cm).
Намерете катета на правоъгълен триъгълник с котангенс
Котангенс на ъгъл (ctg) е съотношението на съседната страна към противоположната страна. Формула: ctg=b/a, където b е катетът, съседен на ъгъла, и е срещуположният катет. С други думи, котангенсът е „обърнат допирателна“. Получаваме: b=ctg*a.
Пример. Ъгъл А е 30 градуса, противоположният катет е 5 см. Според таблицата тангенсът на ъгъл А е √3. Изчисляваме: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Така че сега знаете как да намерите катет в правоъгълен триъгълник. Както можете да видите, не е толкова трудно, основното е да запомните формулите.
Синусът е една от основните тригонометрични функции, чието използване не се ограничава само до геометрията. Таблици за изчисляване на тригонометрични функции, като инженерни калкулатори, не винаги е под ръка и понякога е необходимо да се реши изчисляването на синуса различни задачи. Като цяло, изчисляването на синуса ще помогне за консолидиране на уменията за рисуване и знанията за тригонометричните идентичности.
Игри с линийка и молив
Проста задача: как да намерите синуса на ъгъл, начертан на хартия? За да решите, ще ви трябва обикновена линийка, триъгълник (или пергел) и молив. Най-простият начин за изчисляване на синуса на ъгъл е чрез разделяне на далечния крак на триъгълник с прав ъгъл на дългата страна - хипотенузата. По този начин първо трябва да завършите острия ъгъл до формата на правоъгълен триъгълник, като начертаете линия, перпендикулярна на един от лъчите на произволно разстояние от върха на ъгъла. Ще трябва да поддържаме ъгъл от точно 90 °, за което се нуждаем от чиновнически триъгълник.
Използването на компас е малко по-точно, но ще отнеме повече време. На един от лъчите трябва да маркирате 2 точки на определено разстояние, да зададете радиус на компаса, приблизително равен на разстоянието между точките, и да нарисувате полукръгове с центрове в тези точки, докато се получат пресечните точки на тези линии. Свързвайки пресечните точки на нашите кръгове една с друга, получаваме строг перпендикуляр към лъча на нашия ъгъл; остава само да удължим линията, докато се пресече с друг лъч.
В получения триъгълник трябва да използвате линийка, за да измерите страната срещу ъгъла и дългата страна на един от лъчите. Съотношението на първото измерение към второто ще бъде желаната стойност на синуса остър ъгъл.
Намерете синуса за ъгъл, по-голям от 90°
За тъп ъгъл задачата не е много по-трудна. Трябва да начертаем лъч от върха в обратна посока с помощта на линийка, за да образуваме права линия с един от лъчите на ъгъла, който ни интересува. Полученият остър ъгъл трябва да се третира, както е описано по-горе; синусите на съседни ъгли, които заедно образуват обратен ъгъл от 180°, са равни.
Изчисляване на синус с помощта на други тригонометрични функции
Също така, изчисляването на синуса е възможно, ако са известни стойностите на други тригонометрични функции на ъгъла или поне дължините на страните на триъгълника. Тригонометричните идентичности ще ни помогнат с това. Нека да разгледаме общи примери.
Как да намерим синуса с известен косинус на ъгъл? Първата тригонометрична идентичност, основана на Питагоровата теорема, гласи, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на един и същ ъгъл е равна на единица.
Как да намерим синуса с известен тангенс на ъгъл? Тангенсът се получава чрез разделяне на далечната страна на близката страна или разделяне на синуса на косинуса. Така синусът ще бъде произведението на косинуса и тангенса, а квадратът на синуса ще бъде квадратът на този продукт. Заменяме квадратния косинус с разликата между единица и квадратния синус според първата тригонометрична идентичност и чрез прости манипулации намаляваме уравнението до изчисляването на квадратния синус през тангенса; съответно, за да изчислите синуса, ще трябва да извлечете корена на получения резултат.
Как да намерим синуса с известен котангенс на ъгъл? Стойността на котангенса може да се изчисли чрез разделяне на дължината на най-близкия до ъгъла крак на дължината на далечния, както и разделяне на косинуса на синуса, т.е. котангенсът е функция, обратна на тангенса относително към числото 1. За да изчислите синуса, можете да изчислите тангенса по формулата tg α = 1 / ctg α и да използвате формулата във втората опция. Можете също да изведете директна формула по аналогия с тангенса, която ще изглежда така.
Как да намерите синуса на трите страни на триъгълник
Има формула за намиране на дължината на неизвестната страна на всеки триъгълник, не само на правоъгълен триъгълник, от две известни страни, като се използва тригонометричната функция на косинуса на противоположния ъгъл. Тя изглежда така.
Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на страните му и синуса на ъгъла между тях.
Доказателство:
Да разгледаме произволен триъгълник ABC. Нека страна BC = a, страна CA = b и S е площта на този триъгълник. Това е необходимо да се докаже S = (1/2)*a*b*sin(C).
Като начало, нека въведем правоъгълна координатна система и поставим началото на координатите в точка C. Нека позиционираме нашата координатна система така, че точка B да лежи в положителната посока на оста Cx, а точка A да има положителна ордината.
Ако всичко е направено правилно, трябва да получите следния чертеж.
Квадрат даден триъгълникможе да се изчисли по следната формула: S = (1/2)*a*h, където h е височината на триъгълника. В нашия случай височината на триъгълника h е равна на ординатата на точка A, тоест h = b*sin(C).
Като се вземат предвид получените резултати, формулата за площта на триъгълник може да бъде пренаписана, както следва: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.
Разрешаване на проблем
Задача 1. Намерете площта триъгълник ABC, ако a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, ъгъл A = 60 градуса b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, ъгъл B = 45 градуса c) AC = 14 cm, CB = 7 см, ъгъл С = 48 градуса.
Съгласно доказаната по-горе теорема площта S на триъгълник ABC е равна на:
S = (1/2)*AB*AC*sin(A).
Нека направим изчисленията:
а) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.
b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.
в) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.
Изчисляваме стойността на синуса на ъгъл на калкулатор или използваме стойностите от таблицата със стойности на тригонометричните ъгли. Отговор:
а) 12*√6 cm^2.
в) приблизително 36,41 cm^2.
Задача 2. Площта на триъгълник ABC е 60 cm^2. Намерете страната AB, ако AC = 15 cm, ъгъл A = 30˚.
Нека S е площта на триъгълника ABC. По теоремата за площта на триъгълник имаме:
S = (1/2)*AB*AC*sin(A).
Нека заместим стойностите, които имаме в него:
60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.
От тук изразяваме дължината на страната AB: AB = (60*4)/15 = 16.
Ако задачата дава дължините на две страни на триъгълник и ъгъла между тях, тогава можете да приложите формулата за площта на триъгълник през синуса.
Пример за изчисляване на площта на триъгълник с помощта на синус. Дадените страни са a = 3, b = 4 и ъгъл γ = 30°. Синусът на ъгъл от 30° е 0,5 
Площта на триъгълника ще бъде 3 квадратни метра. см.
Може да има и други условия. Ако са дадени дължината на едната страна и ъглите, тогава първо трябва да изчислите липсващия ъгъл. защото сумата от всички ъгли на триъгълник е 180°, тогава:
Площта ще бъде равна на половината от квадрата на страната, умножена по фракцията. Числителят му е произведението на синусите на съседните ъгли, а знаменателят е синусът на противоположния ъгъл. Сега изчисляваме площта, като използваме следните формули:
Например, даден е триъгълник със страна a=3 и ъгли γ=60°, β=60°. Изчислете третия ъгъл: 
Заместване на данните във формулата
Откриваме, че площта на триъгълника е 3,87 квадратни метра. см.
II. Площ на триъгълник през косинус
За да намерите площта на триъгълник, трябва да знаете дължините на всички страни. Използвайки косинусовата теорема, можете да намерите неизвестни страни и едва след това да ги използвате.
Според косинусовата теорема квадратът на неизвестната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на останалите страни минус удвоеното произведение на тези страни и косинуса на ъгъла между тях.
От теоремата извличаме формули за намиране на дължината на неизвестната страна:
Знаейки как да намерите липсващата страна, като имате две страни и ъгъла между тях, можете лесно да изчислите площта. Формулата за площта на триъгълник през косинуса помага за бързо и лесно намиране на решения на различни проблеми.
Пример за изчисляване на формулата за площта на триъгълник с помощта на косинус
Даден е триъгълник с известни страни a = 3, b = 4 и ъгъл γ = 45°. Първо, нека намерим липсващата страна с. Косинус 45°=0,7. За да направим това, заместваме данните в уравнението, получено от косинусовата теорема.
Сега използвайки формулата, намираме
странатриъгълник може да бъде открит не само по периметъра и площта, но и по дадена страна и ъгли. За това се използват тригонометрични функции - синуситеи ко синусите. Проблеми, свързани с тяхното използване, се откриват в училищен курсгеометрия, както и в университетския курс по аналитична геометрия и линейна алгебра.
Инструкции
1. Ако знаете една от страните на триъгълник и ъгъла между нея и другата му страна, използвайте тригонометрични функции - синусите om and co синуситеом Представете си правоъгълен триъгълник, NBC, чийто ъгъл е? равен на 60 градуса. Триъгълникът NBC е показан на фигурата. Защото синусите, както е добре известно, е отношението на противоположната страна към хипотенузата и синусите– съотношението на прилежащия катет към хипотенузата; за да разрешите проблема, използвайте следната връзка между тези параметри: sin ? = НB/BC Съответно, ако искате да намерите катета на правоъгълен триъгълник, изразете го чрез хипотенузата по следния начин: НB = BC*sin?
2. Ако в постановката на задачата, напротив, е даден катет на триъгълник, намерете неговата хипотенуза, като се ръководите от по-нататъшната връзка между дадените количества: BC = НB/sin По аналогия намерете страните на триъгълника и използвайки co синуситеи промяна на предишния израз, както следва: cos ? = HC/BC
3. В елементарната математика има представяне на теоремата синуситеов. Водени от фактите, които описва тази теорема, също е възможно да се открият страните на триъгълника. В допълнение, той ви позволява да откриете страните на триъгълник, вписан в кръг, ако знаете радиуса на последния. За да направите това, използвайте връзката, дадена по-долу: a/sin ?=b/sin b=c/sin y=2RТази теорема е приложима, когато са известни две страни и ъгъл на триъгълник или един от ъглите на триъгълник и радиусът на описаната около него окръжност е даден.
4. Освен теоремата синусите ov, има и теорема, която по същество е подобна на него синусите ov, който, подобно на предишния, е приложим и за триъгълници от всичките 3 разновидности: правоъгълен, остър и тъп. Водени от фактите, които доказват тази теорема, е възможно да се намерят неизвестни величини, като се използват следните зависимости между тях: c^2=a^2+b^2-2ab*cos?
Геометрична фигура, състояща се от три точки, които не принадлежат на една линия, наречени върхове, и три свързващи ги по двойки сегменти, наречени страни, се наричат триъгълник. Има много проблеми за намиране на страните и ъглите на триъгълник при ограничен брой първоначални данни, един от тези проблеми е намирането на страната на триъгълник при дадена една от страните му и две ъгли .
Инструкции
1. Нека е построен триъгълник?ABC и известната страна BC и ъгли?? и??.Известно е, че сборът от ъглите на всеки триъгълник е 180?, следователно в триъгълника?ABC ъгъл?? ще са равни?? = 180? – (?? + ??).Страните AC и AB могат да бъдат намерени с помощта на синусовата теорема, която гласи AB/sin?? = BC/sin?? = AC/sin?? = 2 * R, където R е радиусът на окръжността, описана около триъгълника? ABC, тогава получаваме R = BC/sin??, AB = 2 * R * sin??, AC = 2 * R * sin?? , Синусовата теорема може да се използва, когато всички видове данни на 2 ъгъла и страни.
2. Страните на даден триъгълник могат да бъдат намерени чрез изчисляване на неговата площ по формулата S = 2 * R? *грях?? *грях?? * sin??, където R се изчислява по формулата R = BC/sin??, R е радиусът на описания триъгълник? ABC от тук След това страна AB може да бъде открит чрез изчисляване на височината, спусната върху ith = BC * sin??, след което с помощта на формулата S = 1/2 * h * AB имаме AB = 2 * S/h По подобен начин е възможно да се изчисли страна AC.
3. Ако външните ъгли на триъгълник са дадени като ъгли?? и??, тогава е възможно да се открият вътрешни ъгли с подкрепата на съответните отношения?? = 180? – ??,?? = 180? – ??,?? = 180? – (?? + ??) След това процедираме подобно на първите две точки.
Разбирането на триъгълниците се извършва от математиците от няколко хиляди години. Науката за триъгълниците - тригонометрията - използва специални величини: синус и косинус.
Правоъгълен триъгълник
Първоначално синусът и косинусът възникват от необходимостта да се изчисляват количества в правоъгълни триъгълници. Беше отбелязано, че ако градусната мярка на ъглите в правоъгълен триъгълник не се промени, тогава съотношението на страните, без значение колко се променят тези страни по дължина, остава неизменно идентично.Така са въведени представянията на синус и косинус. Синусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположната страна към хипотенузата, а косинусът е съотношението на страната, съседна на хипотенузата.
Теореми за косинуси и синуси
Но косинусите и синусите могат да се използват за нещо повече от правоъгълни триъгълници. За да откриете стойността на тъп или остър ъгъл, страната на всеки триъгълник, е достатъчно да приложите теоремата за косинусите и синусите.Косинусовата теорема е доста примитивна: „Квадратът на една страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите 2 страни минус двойното произведение на тези страни по косинуса на ъгъла между тях.“ Има две интерпретации на синусовата теорема: малка и разширена. Според минор: „В триъгълник ъглите са пропорционални на противоположните страни.“ Тази теорема често се разширява поради свойството на описаната окръжност на триъгълника: „В триъгълника ъглите са пропорционални на противоположните страни и тяхното съотношение е равно на диаметъра на описаната окръжност.“
Деривати
Производната е математически инструмент, който показва колко бързо се променя функцията по отношение на метаморфозата на нейния аргумент. Производните се използват в алгебрата, геометрията, икономиката и физиката, редица технически дисциплини. Когато решавате проблеми, трябва да знаете табличните стойности на производните на тригонометричните функции: синус и косинус. Производната на синус е косинус, а косинусът е синус, но със знак минус.
Приложение в математиката
Синусите и косинусите се използват особено често при решаване на правоъгълни триъгълници и задачи, свързани с тях. Удобството на синусите и косинусите се отразява и в технологията. Беше примитивно да се оценяват ъгли и страни, като се използват теоремите за косинусите и синусите, като се разделят трудни форми и обекти на „примитивни“ триъгълници. Инженерите и архитектите, които често се занимават с изчисления на аспектни съотношения и градуси, прекарват много време и усилия в изчисляване на косинусите и синусите на нетабличните ъгли. Тогава на помощ дойдоха таблиците на Bradis, съдържащи хиляди стойности на синуси, косинуси, тангенси и котангенси на различни ъгли. IN съветско временякои учители принуждаваха учениците си да учат наизуст страници от таблиците на Брадис.