Учебна литература 

Намаляване на дроби до общ знаменател 5. Намаляване на дроб до най-малък общ знаменател: правило, примери за решения

Тема на урока: Привеждане на дроби към общ знаменател

    Цели:

    образователен: да формират способността да привеждат дроби към най-малкия общ знаменател и да намерят допълнителен фактор в повече трудни случаи; да формират способността да превеждат обикновени дроби в десетични;

    развитие: развиват се логично мислене, памет,компютърни умения на учениците

    Образователни: култивиране на познавателен интерес към темата

По време на часовете

аз Организиране на времето

II. Устно броене

1. Намерете най-голям общ делител и най-малко общо кратно на числата: 10 и 12; 12 и 8; 15 и 9; 6 и 4; 6 и 8; 12 и 15; 12 и 10; 16 и 20; 11 и 7.

2. Двама туристи напуснаха една и съща точка едновременно в различни посоки. Скоростта на първия турист е 6 км/ч, скоростта на втория е 7 км/ч. Колко далеч ще бъдат един от друг след 3 часа?

3. Помпата пълни басейна за 48 минути. Каква част от басейна ще напълни помпата за 1 минута?

4. В семейството има пет сина, всеки от тях има по една сестра. Колко деца има в семейството? (6 деца.)

III . Съобщение за темата на урока

- В последния урок доведохме дроби до нов знаменател. Днес ще намерим общ знаменател за няколко дроби и ще разберем кой е най-малкият общ знаменател на дробите.

IV. Учене на нов материал

1. Всякакви 2 дроби могат да бъдат сведени до един и същ знаменател или, с други думи, до общ знаменател.

- Намерете някои общи знаменатели на дроби. Назовете техния най-малък общ знаменател.

Общият знаменател на дробите може да бъде всяко общо кратно на техните знаменатели. .

В същото време, като правило, те се опитват да изберат най-малкия общ знаменател (LCD) - тогава изчисленията с дроби се оказват по-лесни. Най-малкият общ знаменател е равен на най-малкото общо кратно на знаменателите на дадените дроби.

2. Нека да разгледаме примери как да намерим NOZ на дроби.

1) Нека сведем дробите 7/21 и 2/7 до общ знаменател.

- Какво е особеното на числата 21 и 7? (21 се дели равномерно на 7.)

(Разсъждението води учителя.)

- По-големият знаменател - числото 21 - се дели на по-малкия знаменател 7, следователно може да се приеме за общ знаменател на тези дроби. Този общ знаменател е възможно най-малкият.

Това означава, че трябва само да намалите дробта 2/7 до знаменателя 21. За да направите това, ще намерим допълнителен фактор: 21: 7 = 3.

- Какъв извод може да се направи? (Ако един знаменател на дроб се дели на друг, тогава NOZ ще има по-голям знаменател.)

2) Нека сведем дробите 3/4 и 2/5 до общ знаменател.

- Какво можете да кажете за числата 4 и 5? (Числата са относително прости.) Общият знаменател на тези дроби трябва да се дели както на 4, така и на 5, т.е. е тяхното общо кратно. Има безкрайно много общи кратни на 4 и 5: 20, 40, 60, 80 и т.н. Най-малкото кратно на 20 е произведението на 4 и 5.

И така, трябва да приведете всяка от дробите към знаменателя 20:

- Какъв извод може да се направи? (Ако знаменателите на дробите са взаимно прости числа, тогава най-малкият общ знаменател е техният продукт.)

V. Физическо възпитание

VI. Работа по задача

VII. Затвърдяване на изучения материал

1. № 279 стр. 45 (устно). Работете по двойки.

Някой от двойката отговаря на учителя.

- Защо дробта 3/5 не може да бъде намалена до знаменател 36? (36 не е кратно на 5.)

2. № 283 (а-е) стр. 46 (с подробен коментарна дъската и в тетрадките, а) б) запишете решението подробно, след това го произнесете устно, запишете само дроби с нов знаменател).

Решение:

Допълнителни множители: 24:6 = 4, 24:8 = 3.

Допълнителни множители: 45:9 = 5, 45:15 = 3.

3. Назовете числата, които:

а) повече от 4/7, но по-малко от 5/7; б) повече от 1/6, но по-малко от 2/6; в) повече от 5/8, но по-малко от 3/4.

- Какво трябва да се направи, за да се изпълни задачата? (Приведете дробите към нов знаменател.)

4. № 281 стр. 46 (c) (по един ученик на обратна странадъски, останалите в тетрадки, самопроверка).

Решение:


VIII. Самостоятелна работа

Вариант I

1. Привеждане на дроби към нов знаменател 24:

2. Приведете дробта 3/5 към нов знаменател: 15; 25; 40; 55; 250; 300.

Вариант II

1. Приведете дроби към нов знаменател 48:

2. Приведете дробта 4/7 към нов знаменател: 14; 28; 49; 70; 210; 350.

3. Изразете в стотни от част:

Вариант III (за по-напреднали)

1. Приведете дроби към нов знаменател 84:

2. Приведете дробта 5/8 към нов знаменател: 16; 24; 56; 80; 240; 3200.

3. Изразете в стотни от част:

IX. Затвърдяване на изучения материал

1. № 290 стр. 47 (устно). Работете по двойки.

- Какво е използвано в разтвора? (Основното свойство на дроб.)

- Формулирайте основното свойство на дроб.

(Отговор: а) х = 3, б) х = 5, в) х = 5, г) х = 7.)

2. № 289 (c, d) стр. 47 (самостоятелно, взаимна проверка).

- Кой е най-големият общ делител на числителя и знаменателя?

X. Обобщаване на урока

- Кое число може да бъде общият знаменател на две дроби?

- Как да приведем дроби към най-малкия общ знаменател?

- Какво е правилото за свеждане на дроби до общ знаменател?

Домашна работа:

Тази статия обяснява как да сведете дроби до общ знаменател и как да намерите най-малкия общ знаменател. Дадени са дефиниции, дадено е правило за привеждане на дроби към общ знаменател и са разгледани практически примери.

Какво е редуциране на дроб до общ знаменател?

Обикновените дроби се състоят от числител - горната част и знаменател - долната част. Ако дробите имат еднакъв знаменател, се казва, че имат общ знаменател. Например, дроби 11 14 , 17 14 , 9 14 имат един и същ знаменател 14 . С други думи, те се свеждат до общ знаменател.

Ако дробите имат различни знаменатели, тогава те винаги могат да бъдат намалени до общ знаменател с помощта на прости действия. За да направите това, трябва да умножите числителя и знаменателя по определени допълнителни фактори.

Очевидно е, че дробите 4 5 и 3 4 не се привеждат към общ знаменател. За да направите това, трябва да използвате допълнителни фактори 5 и 4, за да ги доведете до знаменател 20. Как точно да направите това? Умножете числителя и знаменателя на 45 по 4 и умножете числителя и знаменателя на 34 по 5. Вместо дроби 4 5 и 3 4 получаваме съответно 16 20 и 15 20.

Привеждане на дроби към общ знаменател

Свеждането на дроби до общ знаменател е умножаването на числителите и знаменателите на дроби с множители, така че резултатът да е еднакви дроби с еднакъв знаменател.

Общ знаменател: определение, примери

Какво е общ знаменател?

Общ знаменател

Общият знаменател на дроб е всяко положително число, което е общо кратно на всички дадени дроби.

С други думи, общият знаменател на някакъв набор от дроби ще бъде такова естествено число, което се дели без остатък на всички знаменатели на тези дроби.

Множеството от естествени числа е безкрайно и следователно по дефиниция всяко множество обикновени дробиима безкраен брой общи знаменатели. С други думи, има безкрайно много общи кратни за всички знаменатели на оригиналния набор от дроби.

Общият знаменател за няколко дроби е лесен за намиране с помощта на определението. Нека има дроби 1 6 и 3 5 . Общият знаменател на дробите ще бъде всяко положително общо кратно на числата 6 и 5. Такива положителни общи кратни са 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и т.н.

Помислете за пример.

Пример 1. Общ знаменател

Могат ли дифракциите 1 3, 21 6, 5 12 да бъдат сведени до общ знаменател, който е равен на 150?

За да разберете дали това е така, трябва да проверите дали 150 е общо кратно на знаменателите на дробите, тоест за числата 3, 6, 12. С други думи, числото 150 трябва да се дели на 3, 6, 12 без остатък. Да проверим:

150 ÷ ​​​​3 = 50 , 150 ÷ ​​​​6 = 25 , 150 ÷ ​​​​12 = 12 , 5

Това означава, че 150 не е общ знаменател на посочените дроби.

Най-малък общ знаменател

Най-малкото естествено число от множеството общи знаменатели на някакво множество дроби се нарича най-малък общ знаменател.

Най-малък общ знаменател

Най-малкият общ знаменател на дробите е най-малкото число сред всички общи знаменатели на тези дроби.

Най-малкият общ делител на даден набор от числа е най-малкото общо кратно (LCM). LCM на всички знаменатели на дроби е най-малкият общ знаменател на тези дроби.

Как да намерим най-малкия общ знаменател? Намирането му се свежда до намирането на най-малкото общо кратно на дроби. Да разгледаме един пример:

Пример 2: Намерете най-малкия общ знаменател

Трябва да намерим най-малкия общ знаменател за дробите 1 10 и 127 28 .

Търсим LCM на номера 10 и 28. Нека ги разделим на основни фактории получи:

10 \u003d 2 5 28 \u003d 2 2 7 N OK (15, 28) = 2 2 5 7 \u003d 140

Как да приведем дроби към най-малкия общ знаменател

Има правило, което обяснява как да сведете дроби към общ знаменател. Правилото се състои от три точки.

Правилото за привеждане на дроби към общ знаменател

  1. Намерете най-малкия общ знаменател на дробите.
  2. За всяка дроб намерете допълнителен фактор. За да намерите множителя, трябва да разделите най-малкия общ знаменател на знаменателя на всяка дроб.
  3. Умножете числителя и знаменателя по намерения допълнителен фактор.

Помислете за прилагането на това правило на конкретен пример.

Пример 3. Привеждане на дроби към общ знаменател

Има дроби 3 14 и 5 18. Нека ги доведем до най-малкия общ знаменател.

По правило първо намираме LCM на знаменателите на дробите.

14 \u003d 2 7 18 \u003d 2 3 3 НОК (14, 18) = 2 3 3 7 \u003d 126

Ние изчисляваме допълнителни фактори за всяка фракция. За 3 14 допълнителният множител е 126 ÷ 14 = 9 , а за дробта 5 18 допълнителният множител е 126 ÷ 18 = 7 .

Умножаваме числителя и знаменателя на дробите с допълнителни множители и получаваме:

3 9 14 9 \u003d 27 126, 5 7 18 7 \u003d 35 126.

Привеждане на множество дроби към най-малкия общ знаменател

Според разгледаното правило не само двойки дроби, но и повече от тях могат да бъдат приведени към общ знаменател.

Да вземем друг пример.

Пример 4. Привеждане на дроби към общ знаменател

Приведете дробите 3 2 , 5 6 , 3 8 и 17 18 към най-малкия общ знаменател.

Изчислете LCM на знаменателите. Намерете LCM на три или повече числа:

N O C (2, 6) = 6 N O C (6, 8) = 24 N O C (24, 18) = 72 N O C (2, 6, 8, 18) = 72

За 3 2 допълнителният множител е 72 ÷ 2 =   36 , за 5 6 допълнителният множител е 72 ÷ 6 =   12 , за 3 8 допълнителният множител е 72 ÷ 8 =   9 , накрая за 17 18 допълнителният множител е 72 ÷ 18 =   4 .

Умножаваме дробите с допълнителни множители и отиваме до най-малкия общ знаменател:

3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Тема: Привеждане на дроби към общ знаменател. Клас: 5 УМК: Математика. 5 клас / Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шаригин и други, издателство "Просвещение" Мястото на урока в системата от уроци: първият урок в блока, урокът за запознаване с типологията на задачите Цел: организиране на дейности за възприемане , разбиране и първично запаметяване на нови знания и начини на дейност. Задачи: Образователни:  - да се затвърди умението да се намира най-малкото общо кратно на числа;  - въведе понятието допълнителен фактор;  - да развият способността да намират допълнителен множител и да привеждат дроби към нов общ знаменател;  - да се затвърдят знанията за основното свойство на дроб и умението да се съкращават дроби. Развиващи:  - разширяване на кръгозора на учениците;  - развитие на методи на умствена дейност, памет, внимание, способност за сравняване, анализиране, правене на изводи;  - промоция информационна култураученици, интерес към предмета;  - развитие на познавателна активност, положителна мотивация за предмета;  - развиват потребност от самообразование. Възпитателни:  - възпитание на отговорност, самостоятелност, умение за работа в екип;  - покажете математиката как интересна наука, превърнете дейността в необичаен уроккъдето всеки ученик може да изрази себе си.  Планирани резултати:  Лични:  - проявяват интерес към изучаване на темата;  - да проявяват желание да прилагат знанията си на практика;  - изразявайте мислите си правилно;  - разбират смисъла на задачата;  - адекватно възприемат оценката на учителя и съучениците. Метасубект:  . Когнитивна UUD:  - способност за трансформиране на модели с цел идентифициране на общи закони, които определят предметната област;  - продължете формирането на умението да намирате най-малкото общо кратно;  . Регулаторни UUD:  - самостоятелно зададени нови Цели на обучениеточрез задаване на въпроси за неизвестното;  - изпълнявам учебни задачив съответствие с предназначението;  Свържете придобитите знания с Истински живот;  - изпълнявам учебно действиев съответствие с плана, планират собствените си дейности. Комуникативни УУД:  - за формулиране на твърдение, мнение;  - способност за обосноваване, защита на своето мнение;  - координирайте позициите с партньор и намерете общо решение ;  - компетентно да използват речеви средства за представяне на резултата. Предмет:  - привеждане на дроб към нов знаменател;  - да се изведе понятието допълнителен множител  - да се изведе правило: как да приведем дроб към най-малкия общ знаменател. Структурата и хода на урока Етап на урока Задачи на етапа Дейност на учителя Дейност на учениците Време (в минути) 1 1. Организационен етап Създаване на благоприятно психологическо настроение за работа Включва се в деловия ритъм на урока. 2. Актуализиране на знанията Актуализиране на опорни знания и методи на действие. Поздрав, проверка на готовността за урока, организиране на вниманието на децата. Организация на устното броене Участвайте в работата на повторението: в разговор с учителя те отговарят на поставените въпроси. 7 3. Поставяне на целта и задачите на урока. Мотивация на учебната дейност на учениците. Осигуряване на мотивация за учене от децата, тяхното приемане на целите на урока. Мотивира учениците, заедно с тях определя целта на урока; насочва вниманието на учениците към важността на темата. определяне на темата и целта на урока. 4 Сформиран UUD Комуникативен: планиране на образователно сътрудничество с учителя и връстниците. Регулаторни: организиране на собствени учебни дейности Лични: мотивация за учене Когнитивни: структуриране на собствените знания. Комуникативен: организира и планира образователно сътрудничество с учителя и връстниците. Регулаторни: контрол и оценка на процеса и резултатите от дейността. Лични: оценка на усвоения материал. Когнитивни: способността за съзнателно и доброволно изграждане на речево изявление в устна форма. Лични: самоопределение. Регулаторни: целеполагане. Комуникативен: способността да влизате в диалог, да участвате в колективно обсъждане на проблема. 4. Първично консолидиране на нови знания Покажете разнообразие от задачи 5. Физическо възпитание промяна на дейността. 6. Затвърдяване на нови знания и умения 6. Контрол на усвояването, обсъждане на допуснатите грешки и коригирането им. 7. Рефлексия (обобщаване на урока) 8. Информация за домашната работа Организация и контрол върху процеса на решаване на задачите. Работа по двойки, самостоятелно и съвместно с учителя по задачите. 10 Променете дейностите, осигурете емоционално облекчение на учениците. Практически умения Организация и контрол върху процеса на решаване на задачите. Учениците смениха дейностите и са готови да продължат да работят. 2 Работа по двойки, самостоятелно и съвместно с учителя по задачите. 10 Дайте качествена оценка на работата на класа и отделните ученици. Той разкрива качеството и нивото на усвояване на знанията, както и установява причините за идентифицираните грешки. 4 Количествено определяне на работата на учениците Гарантиране, че децата разбират съдържанието и методите за попълване на домашната работа Обобщава работата на класа като цяло. Учениците анализират работата си, изразяват трудностите си на глас и обсъждат правилността на решаването на проблеми. Учениците изпращат зададени задачи. Коментира домашната работа Учениците записват задачата в дневниците си. 4 3 Когнитивни: формиране на интерес към тази тема. Лични: формиране на готовност за самообучение. Комуникативност: умеят да формулират мислите си устно; слушайте и разбирайте речта на другите. Регулаторен: планиране на вашите дейности за решаване на задачата и контрол на резултата. Когнитивна: формирането на интерес към тази тема. Лични: формиране на готовност за самообучение. Комуникативност: умеят да формулират мислите си устно; слушайте и разбирайте речта на другите. Регулаторен: планиране на вашите дейности за решаване на задачата и контрол на резултата. Личност: формиране на положителна самооценка Комуникативна: Регулаторна: способност за самостоятелно адекватно анализиране на правилността на изпълнението на действията и извършване на необходимите корекции. Регулаторни: оценка на собствената дейност в урока Етап на урока Задачи на етапа Дейност на учителя Дейност на учениците Вр Формирана UUD 1. Организационен етап Създаване на благоприятно психологическо отношение към работата Учителят приветства учениците, проверява тяхната готовност за урока, организация на детското внимание. Включен в деловия ритъм на урока. 1 Комуникативен: планиране на образователно сътрудничество с учителя и връстниците. Регулаторни: организиране на собствени учебни дейности Личностни: мотивация за учене Актуализиране на основни знания и методи на действие. - Преди да започнем да изучаваме нова тема, ще повторим материала, изучен в предишните уроци. За да направим това, ще играем играта Вярно/Невярно. Вземете работния лист на бюрото. Моля, отговорете на въпроса: Игра Вярно/Невярно 7 Когнитивна: структуриране на вашите собствени знания. Комуникативен: организира и планира образователно сътрудничество с учителя и връстниците. Регулаторни: контрол и оценка на процеса и резултатите от дейността. Лични: оценка на усвоения материал. 2. Актуализиране на знанията „Без познания за дроби никой не може да бъде признат за знаещ в аритметиката“ Т. Цицерон „+“ Вярно / „-“ неправилно Въпрос 3 5 1. Вярно ли е, че дробите и имат различни 4 6 знаменатели? 2. Вярно ли е, че числото 12 е най-малкото общо кратно на числата 4 и 6? 3 Изпълнение на задачи; - отговорете устно на въпрос 5 3. Вярно ли е, че дроби 4 и 6 могат да се сведат до знаменател 12? 3 9 5 10 4. Вярно ли е, че дробите 4 и 12 са равни? 5. Вярно ли е, че дробите 6 и 12 са равни? - Момчета, какви основни понятия трябваше да запомните, за да отговорите на въпросите? (ОК, Основно свойство на дробите) - отбелязват върху координатната права на дробта: Маркират посочените точки върху координатната права, като обсъждат коя е необходима а) ; 1 5 3 9 2 1 б) 3 ; дефинирайте единичен сегмент 2 изход от проблема: как да бъдем? (Намерете NOC). А сега запишете дробите, така че веднага да стане ясно кой сегмент от единица трябва да изберете 3. Поставяне на целта и задачите на урока. Мотивация на учебната дейност на учениците. 4. Изучаване на нов материал Осигуряване на мотивация за учене от децата, тяхното приемане на целите на урока. Какво правило използвахте? Какво е? Вижте дробите и ми кажете какво се е случило? Как са се променили? Намалете дробите до общ знаменател. Произнасят основното свойство на дробта - учителят задава поредица от въпроси, необходими за: 1) формулиране на темата на урока; 2) формулиране на целта на урока; 3) индивидуални задачи. - Запишете датата в тетрадка, определете темата и целта на урока. Можете ли да познаете темата на урока? Посочете темата и целта на урока. Каква задача за днешния урок ще си постави всеки от вас? Начертайте стълба от 5 стъпала в полетата и маркирайте на кое се намирате на този етап от урока по тази тема. Формиране на идеи за решаване на проблеми на части. Разсъждават, отговарят на въпроси, правят изводи Какво е необходимо за по-добро и по-лесно усвояване на тази тема? Защо трябва да знаете как да сведете дроби до общ знаменател? Може ли някой от вас сега да назове стъпките на алгоритъма? Опитайте се да хвърлите 7 1 3 1 ; ; дроби с общ знаменател: ; 8 4 16 2 И така, какви са стъпките на алгоритъма? Свеждане на дроби до най-малкия общ знаменател (LCD) За да приведете няколко дроби до най-малкия общ знаменател, имате нужда от: 4 Когнитивни: способността съзнателно и произволно да изграждате речево изявление в устна форма. Лични: самоопределение. Регулаторни: целеполагане. Комуникативна: способност за влизане в диалог, участие в колективна дискусия по въпроса Способност за изразяване на собствена гледна точка и аргументиране 10 Когнитивна: формиране на интерес към тази тема. Лични: формиране на готовност за самообучение. Комуникативност: умеят да формулират мислите си устно; слушайте и разбирайте речта на другите. Регулаторен: планиране на вашите дейности за решаване на задачата и контрол на резултата. - Изградете монологична история в съответствие с поставените въпроси; формулирайте темата и целите на урока. - Отговорете на въпроси Създайте алгоритъм. Отговорете на въпроси, опитайте се да изпълните задачата. Самостоятелно, взаимен контрол Участвайте в съставянето на алгоритъма, Запишете алгоритъма в тетрадка 1) намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби, то ще бъде техният най-малък общ знаменател; 2) разделете най-малкия общ знаменател на знаменателите на тези дроби, т.е. намерете допълнителен фактор за всяка дроб; 3) умножете числителя и знаменателя на всяка дроб по нейния допълнителен коефициент. 5. Физическо възпитание 6. Приложение на знанията и уменията в нова ситуация Променете дейностите, осигурете емоционално разтоварване на учениците. Променете дейностите, осигурете емоционално разтоварване на учениците. Покажете разнообразие от задачи И така, формулирахме алгоритъм за редуциране на дроби към обща основа, проверете написаното в учебника и съвпада ли текстът с нашия алгоритъм? А сега да изпълним няколко задачи от учебника. № 806 „Вярно/Невярно“ № 807 (a-e), според формулировката на задачата, какво може да се каже за общите знаменатели? 6. Контрол на усвояването, обсъждане на допуснатите грешки и коригирането им. Способност за самостоятелно прилагане на знанията в стандартна, но нова ситуация, самоконтрол, самопроверка Карти със задачи 1 125 28 а) , ; 2 150 63 в) 4 16 17 б) , ; 21 56 35 7 5 444 120 . 12 18 777 720 Учениците смениха дейността си и са готови да продължат работа. 2 Работете по двойки по задачата, направете изводи. - учениците изпълняват задачата, 10 Работа по двойки Учениците изпълняват в тетрадките, един на дъската. Извършете кръстосана проверка. Само оценка. 5 Когнитивна: формирането на интерес към тази тема. Лични: формиране на готовност за самообучение. Комуникативност: умеят да формулират мислите си устно; слушайте и разбирайте речта на другите; взаимодействие на учениците при работа по двойки. Регулаторен: планиране на вашите дейности за решаване на задачата и контрол на резултата. Личност: формиране на положителна самооценка Комуникативна: Регулаторна: способност за самостоятелно адекватно анализиране на правилността на изпълнението на действията и извършване на необходимите корекции. 7. Рефлексия (обобщаване на урока) Оценка (подбор и осъзнаване от учениците на вече наученото и това, което предстои да се усвои, осъзнаване на качеството и нивото на усвояване); За какво говорихме днес? Каква е нашата цел днес? Постигнахме ли тази цел? Всичко ясно ли беше, всички имаха ли време? Защо е важно да знаете как да сведете дроби до най-малкия общ знаменател? А сега в тетрадките си нарисувайте стълба от пет стъпала и отбележете кое стъпало по тази тема сте сега, изкачили ли сте го ?. Как да стигнем до най-високото стъпало? Искам да завърша урока със следното твърдение: „Не е достатъчно само да разбереш проблема, необходимо е желанието да го решиш. Невъзможно е да решите труден проблем без силно желание, но с такова желание е възможно. Където има желание, има и начин” Д. Поя Учениците отговарят на въпроси 3 Когнитивни: рефлексия върху методите и условията на действие, адекватно разбиране на причините за успех и неуспех, контрол и оценка на процеса и резултатите от дейностите Комуникативна : умение да изразяваш мислите си, аргументация Урокът свърши! Всички сте страхотни! Благодаря ви за труда! 8. Информация за домашното Уверете се, че децата разбират целта, съдържанието и методите за изпълнение на домашното Запишете го домашна работа: съставете и решете задачата по части. No 807 (ж-к) Регулаторна: оценка на собствената дейност в урока Учениците записват задачата в дневниците си. 2

Първоначално исках да включа методите на общия знаменател в параграфа „Събиране и изваждане на дроби“. Но имаше толкова много информация и нейното значение е толкова голямо (в края на краищата не само числовите дроби имат общи знаменатели), че е по-добре този въпрос да се проучи отделно.

Да кажем, че имаме две дроби с различни знаменатели. И искаме да сме сигурни, че знаменателите стават еднакви. На помощ идва основното свойство на дробта, което, нека ви напомня, звучи така:

Една дроб не се променя, ако нейният числител и знаменател се умножат по едно и също ненулево число.

Така, ако изберете факторите правилно, знаменателите на дробите ще бъдат равни - този процес се нарича редуциране до общ знаменател. А желаните числа, "изравняващи" знаменателите, се наричат ​​допълнителни множители.

Защо трябва да приведете дроби към общ знаменател? Ето само няколко причини:

  1. Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели. Няма друг начин за извършване на тази операция;
  2. Сравнение на дроби. Понякога редуцирането до общ знаменател значително опростява тази задача;
  3. Решаване на задачи за дялове и проценти. Процентите всъщност са обикновени изрази, които съдържат дроби.

Има много начини да намерите числа, които правят знаменателите равни, когато се умножат. Ще разгледаме само три от тях - по ред на нарастване на сложността и в известен смисъл на ефективността.

Умножение "кръстосано"

Най-простият и надежден начин, който гарантирано изравнява знаменателите. Ще действаме "напред": умножаваме първата дроб по знаменателя на втората дроб, а втората - по знаменателя на първата. В резултат на това знаменателите на двете дроби ще станат равни на произведението на първоначалните знаменатели. Погледни:

Като допълнителни фактори помислете за знаменателите на съседните дроби. Получаваме:

Да, толкова е просто. Ако тепърва започвате да учите дроби, по-добре е да работите с този метод - така ще се застраховате от много грешки и гарантирано ще получите резултата.

Единственият минус този метод- трябва да броите много, защото знаменателите се умножават "навсякъде" и в резултат можете да получите много големи числа. Това е цената на надеждността.

Метод на общия делител

Тази техника помага значително да намали изчисленията, но, за съжаление, рядко се използва. Методът е както следва:

  1. Погледнете знаменателите, преди да преминете "през" (т.е. "кръстосано"). Може би единият от тях (този, който е по-голям) се дели на другия.
  2. Числото, получено в резултат на такова разделяне, ще бъде допълнителен фактор за дроб с по-малък знаменател.
  3. В същото време дроб с голям знаменател изобщо не трябва да се умножава по нищо - това е спестяването. В същото време вероятността от грешка рязко намалява.

Задача. Намерете стойностите на израза:

Обърнете внимание, че 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Тъй като и в двата случая единият знаменател се дели на другия без остатък, използваме метода на общите множители. Ние имаме:

Обърнете внимание, че втората дроб изобщо не е умножена по нищо. Всъщност намалихме количеството изчисления наполовина!

Между другото, взех дробите в този пример с причина. Ако се интересувате, опитайте да ги преброите по метода на кръстосване. След намалението отговорите ще бъдат същите, но ще има много повече работа.

Това е силата на метода. общи делители, но, повтарям, може да се използва само ако единият от знаменателите се раздели на другия без остатък. Което се случва доста рядко.

Метод за най-малко често срещано множество

Когато редуцираме дроби до общ знаменател, по същество се опитваме да намерим число, което се дели на всеки от знаменателите. След това привеждаме знаменателите на двете дроби към това число.

Има много такива числа и най-малкото от тях не е непременно равно на прякото произведение на знаменателите на оригиналните дроби, както се предполага в метода "кръстосано".

Например за знаменатели 8 и 12 числото 24 е доста подходящо, тъй като 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Това число е много по-малко от произведението 8 12 = 96 .

Най-малкото число, което се дели на всеки от знаменателите, се нарича тяхното най-малко общо кратно (LCM).

Забележка: Най-малкото общо кратно на a и b се означава с LCM(a ; b ) . Например LCM(16; 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Ако успеете да намерите такова число, общият размер на изчисленията ще бъде минимален. Вижте примерите:

Задача. Намерете стойностите на израза:

Обърнете внимание, че 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Фактори 2 и 3 са взаимно прости (нямат общи делители освен 1), а фактор 117 е общ. Следователно LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

По същия начин 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Фактори 3 и 4 са относително прости, а фактор 5 е често срещан. Следователно LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Сега нека приведем дробите към общи знаменатели:

Обърнете внимание колко полезна се оказа факторизацията на оригиналните знаменатели:

  1. След като намерихме едни и същи фактори, веднага стигнахме до най-малкото общо кратно, което, най-общо казано, е нетривиална задача;
  2. От полученото разширение можете да разберете кои фактори „липсват“ за всяка от фракциите. Например 234 3 \u003d 702, следователно за първата дроб допълнителният фактор е 3.

За да оцените каква печалба дава методът с най-малко често срещани множества, опитайте да изчислите същите примери, като използвате метода „на кръст“. Разбира се, без калкулатор. Мисля, че след това коментарите ще са излишни.

Не мислете, че такива сложни дроби няма да бъдат в реални примери. Те се срещат през цялото време и горните задачи не са ограничението!

Единственият проблем е как да намерите този NOC. Понякога всичко се намира за няколко секунди, буквално „на око“, но като цяло това е сложен изчислителен проблем, който изисква отделно разглеждане. Тук няма да засягаме това.