Проект на тему метод координат. Методические рекомендации на тему "метод координат"

Международный Университет природы, общества и человека «Дубна»

Проект программы по курсу

Разработка уроков по теме:

«Расстояние от точки до прямой»

«Расстояние между параллельными прямыми»

Дмитров, 2013 год

1. Введение…………………………………………………………………………………......…3

2. Проект программы по курсу

«Метод координат и основы аналитической геометрии на плоскости» ……………………………………………………………………………….......4

3. Разработка уроков:

Урок-лекция «Расстояние от точки до прямой»…………………….…...8

Урок-лекция «Расстояние между параллельными прямыми»…..17

4. Заключение……………………………………………………………………………………..23

5. Список литературы…………………………………………………………………………23

6. Приложения…………………………………………………………………………………….24

1.ВВЕДЕНИЕ

Стратегия развития современного общества на основе знаний и высокоэффективных технологий объективно требует внесения значительных корректив в педагогическую теорию и практику, активизации поиска новых моделей образования.

Изучение геометрии на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей:

- овладение системой знаний и умений , необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

- интеллектуальное развитие , формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;

- формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

- воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

В данном проекте изучение основ аналитической геометрии начинается с 7 класса , что позволит учащимся подойти к решению стереометрических задач с использованием метода координат на более осознанном и качественном уровне.

2.ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Проект программы по курсу

«Метод координат и основы аналитической геометрии на плоскости»

для учащихся 7-8 классов основной школы

(Международный Университет природы, общества и человека «Дубна»)

и слушатели курсов ПК Международного университета «Дубна

1. Идея курса, цели и задачи –

Актуальность данной темы обусловлена тем, что используемые в основной школе содержание и методы преподавания математики в некоторой части не соответствуют современным потребностям подготовки специалистов в технических направлениях.

Цель : Приблизить содержание и методы преподавания математики в основной школе к современным потребностям технологического общества.

Задачи :

1. Проанализировать потребности современного технологического общества и сопоставить аппарат математики, используемый при решении прикладных задач с содержанием математики в основной школе.

2. Создание проекта программы по курсу «Метод координат и основы аналитической геометрии на плоскости»

3. Разработка уроков по теме «Расстояние от точки до прямой», «Расстояние между параллельными прямыми» р аздела «Взаимное расположение объектов на плоскости»

2. Место в программе общеобразовательной школы – 7-9 класс. Объем – 1 урок в неделю, параллельно с основным курсом традиционной геометрии, преподаваемой, например, по учебнику Атанасяна (с соавторами). Общий объём – 70 часов, что составляет 1/3 от общего объема курса по геометрии для 7-9 класса. Рекомендуемые сроки прохождения курса: начало – второе полугодие 7-го класса, окончание – 1-е полугодие 9-го класса. Однако в зависимости от конкретных условий освоения программы в каждой конкретной школе (учебные планы, рабочие программы, базовые учебники, наличие дополнительных часов в учебной сетке на геометрию) возможны другие сроки её освоения. Например, при наличии дополнительных часов срок освоения может быть сокращен за счет увеличения числа часов в неделю

3. Основные разделы и содержание.

Раздел		Часы
Второе полугодие 7 класса
1. Введение	Примеры задач и приложений.	1
2. Вектора на плоскости	Понятие вектора. Равенство векторов. Основные свойства и операции над векторами (сложение и вычитание векторов, умножение на число). Нулевой вектор. Вектора и геометрические фигуры. *Самостоятельная работа.*	4
3. Метод координат	Декартова прямоугольная система координат. Задание точек. Расстояние между точками (теорема Пифагора). Алгебраическое описание вектора. Операции над векторами, заданными в алгебраической форме. Алгебраическое описание многоугольников. *Самостоятельная работа.*	5
4. Скалярное произведение векторов	Угол между векторами. Проекция вектора на вектор. Скалярное произведение (аксиомы). Алгебраическое правило вычисления скалярного произведения. Определение косинуса и синуса угла на круге. Синус и косинусы простейших углов. Косинус угла между векторами и скалярное произведение векторов. Алгебраическое определение вида треугольника. *Контрольная работа.*	8
Первое полугодие 8 класса		17
5. Уравнение прямой на плоскости	Параметрическое уравнение прямой (два способа задания). Деление отрезка в заданном отношении. Описание многоугольников. Частные случаи уравнения прямой: каноническое и явное. Общее уравнение прямой. Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой. Уравнение прямой в отрезках. Направляющие косинусы. *Самостоятельная работа.*	8
6. Взаимное расположение прямых на плоскости	Параллельность прямых на плоскости: формулировка критерия в зависимости от способа задания прямых. Построение прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку. Описание многоугольников с параллельными сторонами. Перпендикулярность прямых на плоскости: формулировка критерия в зависимости от способа задания прямых. Построение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через заданную точку. *Контрольная работа.*	9

Второе полугодие 8 класса	18
7. Взаимное расположение объектов плоскости	Определение вида четырехугольника по координатам. Нахождении точек пересечения прямых. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. *Самостоятельная работа.*	7
8. Симметрии плоскости	Центральная симметрия. Определение и примеры симметрий в простейших многоугольниках. Построение точек и прямых, симметричных данным относительно заданного центра симметрии (геометрическое построение и алгебраическое описание). Осевая симметрия. Определение и примеры симметрий в простейших многоугольниках. Построение точек и прямых, симметричным данным относительно оси симметрии (геометрическое построение и алгебраическое описание). *Контрольная работа.*	11
1 полугодие 9 класса		17
9. Особые точки и отрезки в простейших многоугольниках	Геометрическое построение точки пересечения медиан и его алгебраическое нахождение. Вычисление координат точек пересечения биссектрис, высот и серединных перпендикуляров. Их особые свойства. *Самостоятельная работа.*	6
10. Решение многоугольников	Решение задач по геометрии с использованием метода координат. Теорема косинусов. *Контрольная работа.*	6
*11. Движение, Повторение**	Параллельный перенос, поворот	5

3.РАЗРАБОТКА УРОКОВ

Урок-лекция: «Расстояние от точки до прямой»

Цели: ввести понятия расстояния от точки до прямой, показать, как они применяются при решении задач.

1. Объяснение нового материала

Определение.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой

Следует обратить внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.

Возьмем на прямой a точку Q , не совпадающую с точкой M1 . Отрезок M1Q называют наклонной , проведенной из точки M1 к прямой a . Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M1 к прямой a , меньше любой наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a . Это действительно так: треугольник M1QH1 прямоугольный с гипотенузой M1Q , а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Если же при нахождении расстояния от точки до прямой есть возможность ввести прямоугольную систему координат, то можно воспользоваться методом координат. В этом уроке мы подробно остановимся на двух способах нахождения расстояния от точки M1 до прямой a , которые заданы в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости. В первом случае расстояние от точки M1 до прямой a мы будем искать как расстояние от точки M1 до точки H1 , где H1 – основание перпендикуляра, опущенного из точки M1 на прямую a . Во втором способе нахождения расстояния от точки M1 до прямой a будем использовать нормальное уравнение прямой a .

Итак, поставим перед собой следующую задачу: пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy мы сможем вычислить, используя формулу для нахождения расстояния от точки M1 до точки H1 по их координатам: .

Осталось разобраться с нахождением координат точки H1 .

Мы знаем, что прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy соответствует некоторо уравнение прямой на плоскости. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет написать общее уравнение прямой a ил уравнение прямой с угловым коэффициентом. После этого мы можем составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку М1, перпендикулярно прямой a . Обозначим эту прямую буквой b . Тогда точка H1 – это точка пересечения прямых a a и b , решая систему линейных уравнений font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana;color:#32322E">или ;

4) вычисляем требуемое расстояние от точки M1 до прямой a по формуле .

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

Учебный комплекс авторской физико-математической школы-лицея № 61. ПРОЕКТ «Метод координат в математике и географии» Выполнили: учащиеся 7 Б и 7 В классов УК АФМШЛ № 61 Евлашков Даниил Литтау Роман Хегай Владимир Руководитель: Горборукова Н.В. г. Бишкек – 2012 г.

2 слайд

Описание слайда:

Определение местоположения того или иного предмета на поверхности Земли или какой-либо точки на плоскости – это определение их адреса. «Адрес» в географии – географическая широта; географическая долгота; абсолютная высота. «Адрес» в математике – абсцисса, ордината точки на координатной плоскости

3 слайд

Описание слайда:

Цель проекта: Исследовать и сравнить способы определения «адреса» объекта в географии и математики.

4 слайд

Описание слайда:

Задачи проекта: Ответить на следующие вопросы: Кто, когда и для чего впервые ввел понятие «координаты»? Существует ли генетическая связь между понятиями «географические координаты» и «координатный метод» в математике? Или это слова-омонимы? На развитие каких наук оказал влияние метод координат? Какие еще виды систем координат помимо прямоугольной существуют и используются человеком в настоящее время в практической деятельности?

5 слайд

Описание слайда:

Историческая справка. Во II – III веках до н. э. меридианы и параллели впервые появились на карте Эратосфена. Однако, они еще не представляли собой координатной сетки.

6 слайд

Описание слайда:

7 слайд

Описание слайда:

Во II в. до н. э. Гиппарх впервые разделил круг на 360 частей и предложил опоясать на карте Земной шар меридианами и параллелями. Ввел понятие – экватор, провел параллели и через полюса провел меридианы. Таким образом, была создана картографическая сеть и стало возможным наносить на карту географические объекты.

8 слайд

Описание слайда:

9 слайд

Описание слайда:

Завершил плеяду великих античных астрономов и географов Клавдий Птолемей (190 – 168 г.г. до н. э.). В своем труде «Руководство по географии» в 8 книгах дал описание свыше 8000 географических объектов с указанием их географических координат: широты и долготы.

10 слайд

Описание слайда:

1. География: «geo» – Земля, «grafo» – пишу. 2. Геометрия: «geo» – земля, «metreo» - измерять. Как видно, эти две науки были тесно связаны между собой, их возникновение обусловлено практической деятельностью людей того времени.

11 слайд

Описание слайда:

Почему географические широта и долгота измеряются в градусах? Географическая широта – это величина дуги меридиана от экватора до заданной точки. Из курса геометрии известно, что дуги измеряются как в линейных величинах, так и в угловых: градусах и радианах. Географическая долгота – это величина дуги параллели от нулевого меридиана до заданной точки. Видно, что географические координаты – понятие математическое.

12 слайд

Описание слайда:

Появление алгебры, как ветви математики. В IX веке узбекский математик и астроном Мухаммед аль-Хорезми пишет трактат «Китаб аль-джебр валь-мукабала» , где дал общие правила для решения уравнений 1 степени. Слово «аль-джебр» («восстановление») означало перенос отрицательных членов уравнений из одной его части в другую с изменением знака. От него новая наука получила свое название – алгебра. Долгое время алгебра и геометрия развивались параллельно и представляли собой две ветви математики.

13 слайд

Описание слайда:

В XIV в. французский математик Никола Орезм предложил ввести, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой. Это положило начало созданию метода координат и связало алгебру и геометрию.

14 слайд

Описание слайда:

Метод координат Алгебра Точка плоскости задается парой чисел М (x;y) - алгебраический объект Прямая линия задается уравнением у=ах+в Геометрия Точка плоскости - геометрический объект

15 слайд

Описание слайда:

Рене Декарт (1596-1650) – французский математик, философ, физик и физиолог. Декарт является одним из создателей аналитической геометрии, современной алгебраической символики, а метод задания кривой с помощью уравнения был решающим шагом к понятию функции. В математике именно ему принадлежит основная заслуга в создании метода координат, который был положен в основу аналитической геометрии.

16 слайд

Описание слайда:

1. Нужно отметить, что у Декарта еще не было того, что мы сегодня называем Декартовой системой координат. Декарт начал с того, что перевел на алгебраический язык задачи на построение циркулем и линейкой. 2. Немалой заслугой Декарта было введение удобных обозначений, используемых сегодня: x, y, z – для неизвестных, a, b, с - для коэффициентов, а также обозначение степеней. 3. В настоящее время декартовы координаты представляют собой ортогональные оси с одинаковым масштабом по всем направлениям, т.О является началом координат.

17 слайд

Описание слайда:

Сравним системы координат в математике и географии. 1. Для определения положения объекта на поверхности Земли необходимы 2 координаты: долгота и широта. 2. Для определения положения точки на плоскости необходимы 2 координаты: абсцисса и ордината. 3. Параллели и меридианы взаимно перпендикулярны. 4. Оси OX и OY взаимно перпендикулярны. 5. Для определения точки в пространстве требуется 3 – я координата: абсолютная высота (в географии); аппликата в математике. 6. Экватор и нулевой меридиан делят поверхность земного шара на 4 части 7. Координатные оси делят плоскость на 4 части, а пространство на 8 частей.

18 слайд

Описание слайда:

Полярные и сферические координаты. Полярная система координат включает в себя т.О – полюс и луч – полярную ось. Каждой точке на плоскости соответствует пара чисел Р(r; ф), угол между направлением на объект и полярной осью и расстояние до объекта В географии аналогом полярных координат является азимут. Для определения местоположения объекта требуется знать угол между направлением на предмет и направлением на север и расстояние до объекта.

19 слайд

Описание слайда:

Сферической системой координат пользуются, если необходимо определить положение точки в пространстве. Этот метод используется в аэронавигации. С помощью радара определяют 3 координаты: кратчайшее расстояние по прямой до самолета; угол, под которым самолет виден над горизонтом; угол между направлением на самолет и направлением на север

20 слайд

Описание слайда:

КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ КАРТА География Картография Система координат 1. Прямоугольные - географическая широта - географическая долгота - абсолютная высота 2. Полярные - азимут - расстояние до объекта - абсолютная высота Математика Алгебра Геометрия Метод координат 1. Прямоугольные - абсцисса - ордината - аппликата 2. Полярные - угол поворота - расстояние от начала координат до точки

21 слайд

Министерство Образования Российской Федерации

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школы №18»

РЕФЕРАТ

ПО ГЕОМЕТРИИ

ТЕМА: МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Выполнил ученик 11 класса «C»

Мельник Роман

Руководитель

учитель математики Бакшеева И.К.

Бийск - 2008г

Содержание

Введение ……………………………………………………………..… 3.

Глава 1.

Глава 2.

вектора………………………………………………………………..……..10

4. Глава 3.

4.1. Применение координатного метода к решению стереометрических

задач………………………………………………………..…………….. 19

Заключение. ……………………………………………………………. .26

Список литературы……………………………………………………... 27

Введение

Тема моей работы «Метод координат в пространстве». Данная тема актуальна на сегодняшний момент для любого выпускника средней школы так как:

позволяет многие экзаменационные геометрические задачи решать аналитически, что требует меньшего объема знаний по геометрии и значительно сокращает время выполнения;

данный метод лежит в основе аналитической геометрии, которая изучается в курсе высшей математики.

Цель работы: систематизировать знания по данной теме и рассмотреть применение данного метода при решении различных стереометрических задач.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

Применяемые методы :

метод анализа и синтеза,

метод сравнения.

Глава 1

1. Метод координат: история развития.

Метод координат – это способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Числа, с помощью которых определяется положение точки, называют координатами точки.

Хорошо известные нам географические координаты определяют положение точки на поверхности Земли – каждая точка на земной поверхности имеет две координаты: широту и долготу.

Чтобы определить положение точки в пространстве, нужны три числа. Например, чтобы определить положение спутника, можно указать высоту его над поверхностью Земли, а также широту и долготу точки, над которой он находится.

С помощью метода координат можно изложить почти весь курс школьной геометрии без единого чертежа, используя только числа и алгебраические операции. Например, окружность можно определить как совокупность точек, удовлетворяющих уравнению, а прямую линию как совокупность точек удовлетворяющих уравнению. Таким образом, с помощью данного метода удалось связать между собой, казалось бы, совершенно разные науки алгебру и геометрию. Данное установление связи было, по существу, революцией в математике. Оно восстановило математику как единую науку.

Создателем метода координат считают французского философа и математика Рене Декарта (1596-1650), который в последней части большого философского трактата Декарта, вышедшего в 1637 году, дал описание метода координат и его применение к решению геометрических задач.

Развитие идей Декарта привело к возникновению особой ветви математики, которую теперь называют аналитической геометрией.

Само это название выражает основную идею теории. Аналитическая геометрия – это та часть математики, которая решает геометрические задачи аналитически (т.е. алгебраическими) средствами.

Наряду с Декартом основоположником аналитической геометрии является замечательный французский математик П.Ферма. С помощью метода координат Ферма изучил прямые линии и кривые второго порядка. Изучение аналитической геометрии в пространстве трех измерений существенно продвинул в XVIII веке А.Клеро. Явно и последовательно аналитическую геометрию на плоскости и в трехмерном пространстве изложил Л.Эйлер в 1748 г. в учебнике «Введение в анализ бесконечных».

В XIX веке был сделан еще один шаг в развитии геометрии – изучены многомерные пространства. Основной идеей для творцов теории была аналогия с «Геометрией» Декарта. У него точка на плоскости - это пара чисел , точка в трехмерном пространстве – тройка чисел ; в новой теории точка четырехмерного пространства – это четверка чисел . У Декарта - уравнение окружности на плоскости, - уравнение поверхности шара в трехмерном пространстве; в новой теории поверхность сферы в четырехмерном пространстве. Аналогичным образом в n - мерной геометрии рассматриваются плоскости, прямые, расстояния между точками, углы между прямыми и т.д.

Идеи многомерной геометрии прочно вошли в математику в конце XIX века, а в самом начале XX века, они нашли применение в специальной теории относительности, где к трем пространственным координатам добавляется четвертая – время. Таким образом, идеи геометрии Декарта, развитые учеными последующих поколений, лежат в основе современной науки.

2. Координаты точки в пространстве .

Говорят, что задана прямоугольная (декартовая) система координат, если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат и , и , и , называются координатными плоскостями и обозначаются , ,.

Координатами точки в пространстве называются координаты проекций этой точки на координатные оси.

Координаты точек: , , , , , , .

В пространстве, кроме координатных осей, удобно рассматривать еще координатные плоскости, т.е. плоскости, проходящие через две какие-либо оси. Таких плоскостей три:

Плоскость (проходящая через оси и )- множество точек вида, где и - любые числа;

Плоскость (проходящая через оси и )- множество точек вида , где и - любые числа;

Плоскость (проходящая через оси и )- множество точек вида , где и - любые числа.

Для любой точки М пространства можно найти три числа , которые будут служить ее координатами.

Чтобы найти первое число , проведем через точку М плоскость, параллельную координатной плоскость (перпендикулярную к оси x ).Точка пересечения этой плоскости с осью (точка М 1 ) имеет на этой оси координату .Это число - координата точки М 1 на оси - называется абсциссой точки М.

Чтобы найти вторую координату, через точку М проводят плоскость параллельную плоскости (перпендикулярную к оси y ), находят на оси y точку М 2 . Число y – координата точки М 2 на оси y – называется ординатой точки М.

Третью координату точки М найдем, проведя аналогичные построения, но перпендикулярно оси z . Полученное число z назовем аппликатой точки М.

3. Задание фигур в пространстве.

Также как на плоскости, координаты в пространстве дают возможность задавать с помощью чисел и числовых соотношений не только точки, но и линии, поверхности и другие множества точек. Посмотрим, например, какое множество точек получится, если задать только две координаты, а третью считать произвольной.

(например, ), задают в пространстве прямую, параллельную оси .

Все точки такой прямой имеют одну и ту же абсциссу и одну ординату. Координата может принимать любые значения.

Рассмотрим еще несколько примеров, показывающих как можно задать в

пространстве различные множества с помощью уравнений и других соотношений между координатами.

1). Рассмотрим уравнение .

Поскольку расстояние точки от начала координат задается выражением , то ясно, что в переводе на геометрический язык соотношение означает, что точка с координатами , находится на расстоянии R от начала координат. Значит, множеством всех точек, для которых выполняется соотношение , является поверхность шара - сфера с центром в начале координат и радиусом R .

2). Рассмотрим, где расположены точки, координаты которых удовлетворяют соотношению .

Так как это соотношение означает, что расстояние точки от начала координат меньше единицы, то искомое множество - это множество точек, лежащих внутри шара с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Глава 2

1.Разложение вектора по координатным векторам. Координаты вектора.

Базисом пространства называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , , обозначаемая символом .

Частным случаем является прямоугольный ортонормированный базис , где - единичный вектор оси абсцисс, через - единичный вектор оси ординат и через -единичный вектор оси аппликат, т.е. , , , .

Этот базис и начало отсчета О определяют прямоугольную декартову систему координат в пространстве.

Теорема 1

Любой вектор пространства можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде -

причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Числа называются координатами вектора , т.е. . Так как нулевой вектор можно представить в виде , то все координаты нулевого вектора равны нулю, .

2. Линейные операции над векторами в координатах.

Правило 1.

Координаты равных векторов соответственно равны, т.е. если векторы и равны, то ,и .

Правило 2.

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Другими словами, если и -данные векторы, то вектор имеет координаты .

Правило 3.

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов .

Другими словами, если и -данные векторы, то вектор имеет координаты

Правило 4.

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующих координат вектора на это число.

Другими словами, если -данный вектор, -данное число, то вектор имеет координаты. .

Пример .

Найти координаты вектора , если , , .

Решение.

Вектор имеет координаты , а вектор - координаты .

Так как , то его координаты можно вычислить как: , , Значит вектор имеет координаты .

3.Связь между координатами векторов и координатами точек.

Определение.

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало - с началом координат, называется радиус-вектором данной точки.

Радиус вектор

Правило 5.

Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус - вектора. ,.

Правило 6.

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

4.Условие коллинеарности двух векторов в координатах.

Пусть в системе координат заданы два вектора своими координатами и .

Правило 7.

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, .

Пример.

а) Рассмотрим векторы и .

Координаты вектора пропорциональны соответствующим координатам вектора : Поэтому , и, следовательно векторы коллинеарны.

б) Рассмотрим векторы и .

Координаты вектора не пропорциональны соответствующим координатам вектора , например Значит векторы не являются коллинеарными.

5.Простейшие задачи в координатах .

Задача 1.

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Где , и .

,, ,

б) Вычисление длины вектора по его координатам.

Рассмотрим вектор ,

длина вектора вычисляется по формуле .

Так как ==, ==, ==, и , то из равенства получаем формулу: .

в) Расстояние между двумя точками.

Рассмотрим две произвольные точки: точку и точку . Выразим расстояние d между точками и через их координаты.

Рассмотрим вектор , где .

Но . Таким образом, расстояние между точками и

вычисляется по формуле .

6.Скалярное произведение векторов и вычисление угла между векторами через их координаты.

1) Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

т.е. - острый.

Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами - тупой,

т.е. - тупой.

Для любых векторов , , , и любого числа k справедливы равенства:

1. 0, причем >0 при 0.

2. (переместительный закон).

3. (распределительный закон).

4. (сочетательный закон).

2) Вычисление угла между векторами через их координаты.

Косинус угла между ненулевыми векторами и вычисляется по формуле ,

где

7. Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

1) Угол между прямыми .

Для решения данной задачи введем понятие направляющего вектора прямой.

Определение.

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a , если он лежит, либо на прямой a , либо на прямой, параллельной a .

Пример

Векторы и направляющие прямых a и b , соответственно.

Определение.

Углом между прямыми называется угол между направляющими векторами данных прямых.

Угол между прямыми a и b равен углу между направляющими векторами данных прямых, и .

2).Угол между прямой и плоскостью .

Определение.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между направляющим вектором данной прямой и ненулевым вектором перпендикулярным плоскости (нормаль).

Пусть , ( , а - искомый угол ().

Тогда

Значит .

Глава 3.

Применение координатного метода к решению стереометрических задач.

Задача.1

В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник АВС. , AC =3, BC =5. Ребро АМ перпендикулярно АС, АМ=4, . Найти объем пирамиды.

Решение.

1) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке . Ось направим вдоль ребра АС , а плоскость Ох y вдоль основания пирамиды АВС.

В этой системе координат: , , . Так как по условию , то точка М лежит в плоскости xz и имеет координаты .

2) , .

Найдем высоту пирамиды. Опустим из точки М перпендикуляр М D на плоскость (АВС), тогда , т.к. . Следовательно, и расстояние между точками М и D равно , т.к. .

Найдем значение координаты z используя расстояния между точками, содержащими данную координату: , . , т.е. .

Имеем:

Так как , то Значит высота пирамиды равна . Следовательно .

Ответ: .

Задача.2.

В прямоугольном параллелепипеде , , . Найти: угол между прямыми и .

Решение.

1).Введем систему координат с началом в точке . Оси , и направим вдоль ребер , и соответственно. Так как угол между прямыми изменяется от до , а угол между векторами от до , то угол между прямыми и равен углу между векторами и , если он острый, или смежному с ним, если угол между векторами тупой.

Таким образом,

2).Вычислим угол между векторами и .

Найдем координаты векторов, используя координаты точек и :

, ,, .

Тогда координаты векторов и .

===

Следовательно,

Ответ: .

Задача 3.

Дан прямоугольный параллелепипед . Найти угол между прямой и плоскостью основания .

Решение.

1) Угол между прямой и плоскостью АВ 1 С – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Угол между нормалью к плоскости и прямой дополняет его до 90 0 , поэтому .

Значит для того, чтобы найти угол между прямой и плоскостью (), следует найти угол между прямой и нормалью к плоскости () .

2) Введем систему координат с началом в точке . Оси , и направим вдоль ребер , и соответственно.

Координаты точек:

, , ,

а .

3) Найдем координаты нормали плоскости (). Напишем уравнение плоскости (), подставив координаты точек A , B 1 и С в уравнение плоскости .

Получим систему линейных уравнений:

Следовательно, уравнение плоскости () имеет вид , или , а вектор нормали имеет координаты .

Значит

И .

Ответ: .

Рассмотрим решение задачи двумя способами.

Задача 4. 1 способ: геометрический.

На ребрах , и. . Проведем прямую - средняя линия треугольника и, т.е. и,

Изученный теоретический материал был систематизирован.

При использовании метода к решению задач были выявлены особенности применения метода:

При выполнении работы столкнулся с трудностями:

Список литературы.

Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Л.С.Киселева, Э.Г.Позняк . Геометрия, 10-11.М.,Просвещение, 2003.

В.Н.Литвиненко . Практикум по элементарной математике. Стереометрия: Учебное пособие.-М.:Вербум-М, 2000.

И.М .Гельфанд, Е.Г.Глаголева, А.А.Кириллов. Метод координат.-М.:Наука, 1968.

С.Г.Григорьев. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие по высшей математике.-М.:Информационно-внедренческий центр «Маркетинг», 2000.

И.Иванова, З.Ильченкова. Применение координатного вектора к решению стереометрических задач.//Математика, 2007, №2.

А.В.Дорофеев. Декарт и его геометрия.//Математика, 1992, №4.

Данный проект, являясь дополнением к урочной практике, предоставляет уникальную возможность преодолеть негативное отношение к математике. Суть проекта в том, что его участникам разрешается совершать, с их точки зрения, категорически запрещённые математические действия, на обычном уроке влекущие самые тяжкие последствия (двойку чернилами в журнал и т.п.). С кривыми второго порядка мы встречаемся повсюду – в природе, технике, искусстве, науке, например, эллипс – форма яйца, орбита движения планет, в архитектуре и дизайне различных строений, изгиб железнодорожного полотна, мостостроение.

Как метод координат влияет на нашу жизнь? Проблемные вопросы 1. Какое место «Метод координат» занимает в системе математических знаний. 2. Как древние математики решали геометрические задачи. 3. Как кривые второго порядка расширяют математическое пространство. Учебные предметы: алгебра, геометрия, черчение, информатика. Участники проекта: учащиеся 9 класса.

Методические задачи: - -освоить основные понятия учебной темы; - - научить выводить формулы, строить графики кривых; - - научить проводить исследования в области учебной темы; - -научить оформлять информацию, собранную учащимися, в виде, доступном для помещения в сеть Интернет.

1.Как свойства ЭЛЛИПСА связаны со свойствами других «замечательных» кривых? 2. Как свойства ПАРАБОЛЫ применяются для конкретных задач практики? 3. Как свойства ГИПЕРБОЛЫ используются для конкретных задач практики? Результаты представления исследований: презентация К проекту разработаны: Вводная презентация Критерии оценивания презентации ЗИУ Календарь

1. Л.С.Атанасян «Геометрия»: Учеб.для 7 – 9 кл. 2. Приложение к журналу «Первое сентября» «Математика» 3. Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия.-М.: Педагогика, Хогарт В., Анализ красоты.-М.:Искусство, Саранцев Г.И., Сборник задач на геометрические приобразования.-М., Энциклопедический словарь юного математика.- М.:Педагогика, Виленкин Н.Я., и др. За страницами Учебника математики.-М.:Просвещение,1985.