V aritmetičnem napredovanju XN. Količino aritmetičnega napredovanja

Vsota aritmetičnega napredovanja.

Količina aritmetičnega napredovanja je preprosta. In v smislu in po formuli. Toda naloge na to temo so vse vrste. Iz osnovnega do precej trdnega.

Najprej se bomo ukvarjali s pomenom in zbirno formulo. In potem se britajo. V mojem zadovoljstvu.) Pomen zneska je preprosta kot mila. Če želite najti količino aritmetičnega napredovanja, morate vse svoje člane nežno zložiti. Če so ti člani majhni, lahko brez formul. Ampak, če je veliko, ali zelo veliko ... adicijski sevi.) V tem primeru se formula shrani.

Vsota zneska izgleda preprosto:

Razvijamo, da so kljuns vključeni v formulo. To bo veliko pojasnilo.

S N. - količina aritmetičnega napredovanja. Rezultat dodatka vse Člani, S. najprej jo zadnje. Je pomembno. To je natanko vse Člani zapored, brez preskoka in skokov. In, to je, začenši prvič. Na podlagi nalog, kot je iskanje višine tretjega in osmega člana, ali znesek članov iz petega na dvajsetih - neposredna uporaba formule bo razočarala.)

a 1. - prvič Član napredovanja. Tukaj je vse jasno, to je samo prvič Število vrstic.

n. - Zadnja Član napredovanja. Zadnje število vrstic. Ni zelo znano ime, ampak, v uporabi za znesek, je zelo dobro. Nadalje boste videli.

n. - število zadnjega člana. Pomembno je, da to razumemo v formuli to številko sovpada s številom zloženih članov.

Braniti s konceptom zadnja Član n.. Vprašanje za varnostno kopiranje: Kaj bo član zadnja Če Dana. infinite. Aritmetični napredek?)

Za zanesljiv odgovor morate razumeti osnovni pomen aritmetičnega napredovanja in ... previdno preberite nalogo!)

Pri iskanju vsote aritmetičnega napredovanja se vedno pojavi (neposredno ali posredno) zadnji član kdo bi moral biti omejen na. V nasprotnem primeru končni, konkretni znesek preprosto ne obstaja. Za reševanje je pomembno, da je napredek nastavljen: končni ali neskončni. Pomembno je, da se vpraša: v bližini številk ali formule N-SO.

Najpomembnejša stvar je razumeti, da formula s prvim članom napredovanja do člana s številko n. Pravzaprav, polno ime formule izgleda takole: vsota prvih članov aritmetičnega napredovanja. Število teh prvih članov, i.e. n.določena izključno z nalogo. V nalogi je vse to dragocene informacije pogosto šifrirane, da ... toda nič, v spodnjih primerih, s tem strinjamo te skrivnosti.)

Primeri nalog za količino aritmetičnega napredovanja.

Predvsem, koristne informacije:

Glavna kompleksnost v nalogah na količini aritmetičnega napredovanja je pravilno opredelitev Elementi formule.

Ti zelo elementi prevajalcev nalog so šifrirani z neskončno fantazijo.) Glavna stvar se ne bojim. Razumevanje bistva elementov, dovolj je, da jih dešifriramo. Podrobno analiziramo več primerov. Začnimo z nalogo, ki temelji na resničnem GIA.

1. Aritmetični napredek je podan s pogojem: a \u003d 2N-3.5. Poiščite znesek prvih 10 svojih članov.

Dobra naloga. Svetlobo.) Za nas, da določimo znesek s formulo, kaj morate vedeti? Prvi član a 1., zadnji Dick. n.da število zadnjega člana n.

Kje dobiti številko zadnjega člana n.? Da, tam, v stanju! Piše: Poiščite znesek prvih 10 članov. No, s katero število bo zadnji, Deseti član?) Ne boste verjeli, da je njegovo številko - deseta!) Postala je namesto n. V formuli bomo nadomestili 10.in namesto tega n. - Dozen. Ponavljam, število zadnjega člana sovpada s številom članov.

Ostajamo a 1. in 10.. To se enostavno obravnava s formulo N-TH člana, ki je podana v stanju problema. Ne vem, kako to storiti? Obiščite prejšnjo lekcijo, brez tega - nikakor.

a 1.\u003d 2 · 1 - 3.5 \u003d -1.5

10.\u003d 2 · 10 - 3.5 \u003d 16,5

S N. = 10..

Ugotovili smo vrednost vseh elementov s formulo vsote aritmetičnega napredovanja. Še vedno jih je nadomestiti, vendar štetje:

To je vse. Odgovor: 75.

Druga naloga, ki temelji na GIA. Malo bolj zapleteno:

2. Aritmetični napredek (N) je podana, katerih razlika je 3,7; A 1 \u003d 2.3. Najti znesek prvih 15 svojih članov.

Takoj napišite formulo za povzetek:

Ta formula nam omogoča, da poiščemo vrednost katerega koli člana po njeni številki. Iščemo preprosto zamenjavo:

15 \u003d 2,3 + (15-1) · 3,7 \u003d 54,1

Še vedno je nadomestiti vse elemente v smislu aritmetičnega napredovanja in izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Mimogrede, če je v vsoti zneska namesto tega n. Samo nadomestite formulo N-TH člana, dobimo:

Dajemo podobno, dobimo novo formulo vsote članov aritmetičnega napredovanja:

Kot lahko vidite, ni potrebno n-ti član n.. V nekaterih nalogah ta formula pomaga odličnemu, da ... se spomnite te formule. In lahko preprosto dobite v pravem trenutku, kot tukaj. Navsezadnje je treba spomniti na formulo vsote in formule N-KM.)

Zdaj naloge v obliki kratkega šifriranja):

3. Poiščite vsoto vseh pozitivnih dvomestne številke, več tri.

Kako! Niti vaš prvi član niti zadnji niti napredovanje na splošno ... kako živeti!?

Morate razmišljati svojo glavo in izvleči vse elemente vsote aritmetičnega napredovanja iz stanja. Kaj je dvomestna številka - vemo. Obeh TSIFEROK.) Katera dvomestna številka bo prvič? 10, je treba verjeti.) A zadnja stvar Dvomestno številko? 99, seveda! Za njim že trimestno ...

Tiskanje treh ... Um ... To so številke, ki so razdeljene na tri usmerjene, tukaj! Ducat ni razdeljen na tri, 11 ni razdeljen ... 12 ... razdeljen! Torej, nekaj uparimo. Lahko že posnamete več pogojev nalog:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Ali bo ta razpon aritmetičnega napredka? Seveda! Vsak član se razlikuje od prejšnjega stroga na prvih treh. Če dodate 2, ali 4 članom, recimo, rezultat, t.j. Novo število, ki ni več delnic, namenjenih 3. Pred kupom, lahko takoj in razlika v aritmetičnem napredovanju, da določimo: d \u003d 3. Uresničiti se!)

Torej, lahko varno napišete nekaj napredovanja parametrov:

In kaj bo številka n. zadnji član? Tisti, ki misli, je, da 99 - smrtno napačno ... sobe - vedno gredo v vrsti, in imamo člane - skok čez prvih treh. Ne sovpadajo.

Rešiti dva načina za reševanje. Eden od načinov - za remonge. Lahko pobarvate napredovanje, celotno paleto številk in izračunate število članov s prstom.) Drugi način je za premišljen. Treba je spomniti s formulo N-TH člana. Če formula velja za našo nalogo, dobimo, da je 99 trideseti član napredovanja. Ti. n \u003d 30.

Pogledamo s formulo vsoto aritmetičnega napredovanja:

Izgledamo, in se veselimo.) Izravnali smo nalogo iz pogojev opravila vse, kar potrebujete za izračun zneska:

a 1.= 12.

30.= 99.

S N. = S 30..

Osnovni aritmetični ostanki. Namestimo številko v formuli in verjamemo:

Odgovor: 1665.

Druga vrsta priljubljene naloge:

4. Dana aritmetični napredovanje:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Poiščite znesek članov od dvajsetega do trideset četrtega.

Pogledamo vsoto vsote in ... so razburjene.) Formula, opomni, upošteva znesek od prvega Član. In nalogo je treba upoštevati z dvajsetim ... Formula ne deluje.

Seveda lahko pobarvate celotno napredovanje zapored, vendar objavite člane od 20 do 34. Ampak ... nekako neumno in dolgo se izkaže, kajne?)

Obstaja bolj elegantna rešitev. Vrstico smo prekinili na dva dela. Prvi del bo od prvega člana devetnajstega. Drugi del - od dvajsetega do trideset uporabljenega. Jasno je, da, če najprej upoštevamo znesek članov S 1-19., da, seštejte z vsoto članov drugega dela S 20-34., Prejel bom količino napredovanja od prvega člana tridesetih četrtega S 1-34.. Všečkaj to:

S 1-19. + S 20-34. = S 1-34.

Od tu je mogoče videti, da najdemo znesek S 20-34. Z lahkoto se lahko odštejete

S 20-34. = S 1-34. - S 1-19.

Upoštevajo se oba zneska v desnem delu od prvega Član, t.e. To je povsem velja za standardno povzetek formule. Začeti?

Izvlecite problem problema napredovanja problema:

d \u003d 1.5.

a 1.= -21,5.

Za izračun vsote prvih 19 in prvih 34 članov bomo potrebovali 19. in 34. člane. Menimo, da so po formuli N-TH člana, kot v opravilu 2:

19.\u003d -21,5 + (19-1) · 1,5 \u003d 5.5

a 34.\u003d -21,5 + (34-1) · 1,5 \u003d 28

Nič ni ostalo. Od zneska 34 članov, da sprejmejo znesek 19 članov: \\ t

S 20-34 \u003d S 1-34 - S 1-19 \u003d 110,5 - (-152) \u003d 262.5

Odgovor: 262.5.

Pomembna pripomba! Pri reševanju te naloge je zelo uporabni čip. Namesto neposrednega izračuna kar je potrebno (S 20-34), Šteli smo kaj se zdi potrebno - S 1-19. In nato določi in S 20-34., ki preprečuje polni rezultat nepotrebnega. Takšna "Fint ušesa" pogosto prihrani z zlobnimi nalogami.)

V tej lekciji smo pregledali nalog, za katere je zadostovanja za razumevanje pomena vsote aritmetičnega napredovanja. No, nekaj formul mora vedeti.)

Praktični nasvet:

Pri reševanju kakršne koli naloge na količino aritmetičnega napredovanja priporočam takoj izpraznite obe glavni formuli iz te teme.

Formula n-ti:

Te formule bodo takoj pozvale, da morate iskati, v kateri smeri razmišljati, da bi rešili nalogo. Pomaga.

In zdaj naloge za samozadost.

5. Poiščite vsoto vseh dvomestnih števil, ki jih ne delijo s tremi.

Cool?) Nasvet je skrit v komentarju na nalogo 4. No, naloga 3 bo pomagala.

6. Aritmetični napredek je določen s pogojem: a 1 \u003d -5,5; n + 1 \u003d n +0.5. Poiščite znesek prvih 24 svojih članov.

To je ponavljajoča se formula. O tem se lahko prebere v prejšnji lekciji. Ne prezrite povezave, takšne naloge v GIA se pogosto najdejo.

7. Vasya se je nabrala za počitnice denarja. Celotno 4550 rubljev! In sem se odločil, da bom svojo najljubšo osebo sam (jaz) več dni sreče). Lepo živeti, ne da bi zavrnil. Preživite 500 rubljev na prvi dan in v vsakem naslednjem dnevu porabite 50 rubljev več kot v prejšnjem! Dokler se ne bo končalo zaloga denarja. Koliko dni sreče je prišel vasi?

Težko?) Dodatna formula bo pomagala od naloge 2.

Odgovori (motnje): 7, 3240, 6.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Dostopajte se lahko pri reševanju primerov in izvedite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Naučite se - z obrestmi!)

Seznanite se lahko z značilnostmi in derivati.

Torej, sedite in začnite pisati številke. Na primer:
Lahko napišete številke, in so lahko vsekakor (v našem primeru). Koliko številk nismo napisali, lahko vedno rečemo, katera izmed njih je druga in tako na zadnjem, to je, da jih lahko otrpamo. To je primer numeričnega zaporedja:

Zaporedje številk
Na primer, za naše zaporedje:

Dodeljena številka je značilna samo za eno število zaporedij. Z drugimi besedami, v zaporedju ni tri sekunde. Druga številka (kot številka) je vedno ena.
Število s številko se imenuje član zaporedja.

Običajno imenujemo vse zaporedje (na primer), vsak član tega zaporedja pa je isto pismo z indeksom, ki je enak številu tega člana :.

V našem primeru:

Recimo, da imamo numerično zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi številkami enaka in enaka.
Na primer:

itd.
Takšno numerično zaporedje se imenuje aritmetični napredek.
Izraz "napredovanje" je uvedel rimski avtor Boeziema v 6. stoletju in je bil razumel v širšem smislu kot neskončno numerično zaporedje. Ime "aritmetic" je bilo preneseno iz teorije neprekinjenih razmerjih, ki so se ukvarjale s starimi Grki.

To je numerično zaporedje, katerega je vsak član enak prejšnjemu, zložen z isto številko. Ta številka se imenuje razlika v aritmetičnem napredovanju in je navedena.

Poskusite ugotoviti, katere številske sekvence so aritmetični napredek, in ki niso:

a)
b)
c)
d)

Ugotovljeno? Primerjajte naše odgovore:
Je Aritmetični napredek - B, c.
Ni Aritmetični napredovanje - a, d.

Vrnimo se na dano napredovanje () in poskusite najti pomen - član. Obstaja dva Kako ga najti.

1. Metoda

Dodamo lahko na prejšnjo vrednost števila napredovanja, dokler ne bomo storili pred napredovanjem napredovanja. Dobro je, da moramo povzeti malo levo - samo tri pomene:

Torej je član opisanega aritmetičnega napredovanja enak.

2. Metoda

Kaj pa, če moramo najti pomen člana napredovanja? Povzetek bi vzel z nami ne eno uro in ne dejstvo, da se ne bi motili pri dodajanju številk.
Seveda je matematika prišla do metode, v kateri ni treba dodati razlike v aritmetičnem napredovanju na prejšnjo vrednost. Oglejte si narisano risbo ... zagotovo ste že opazili nekaj pravilnosti, in sicer:

Na primer, poglejmo, kakšna je vrednost člana tega aritmetičnega napredovanja:

Z drugimi besedami:

Poskusite najti pomembnost člana tega aritmetičnega napredovanja na ta način.

Izračuna? Primerjajte svoje zapise z odgovorom:

Upoštevajte, da imate točno enako številko kot v prejšnji metodi, ko smo bili dosledno dodani prejšnji vrednosti članov aritmetičnega napredovanja.
Poskusimo "zaznati" ta formula - Dajemo ga splošnemu pogledu in dobite:

Enačba aritmetičnega napredovanja.

Aritmetični napredek se povečuje in se zmanjšuje.

Povečanje - napredovanje, v katerih je vsaka naknadna vrednost članov več kot prejšnji.
Na primer:

Spust - napredovanje, v katerih je vsaka naknadna vrednost članov manjša od prejšnje.
Na primer:

Izpeljana formula se uporablja pri izračunu članov, tako pri povečevanju in zmanjševanju članov aritmetičnega napredovanja.
Preverite v praksi.
Imamo aritmetično napredovanje, ki ga sestavljajo naslednje številke: Preverite, kakšno je število aritmetičnih napredovanja, če uporabljate našo formulo, ko ga izračunamo:

Od takrat:

Tako smo poskrbeli, da formula deluje tako v padajočem in povečanju aritmetičnega napredovanja.
Poskusite najti svoje člane tega aritmetičnega napredovanja.

Primerjajte dosežene rezultate:

Lastnosti aritmetičnega napredovanja

Izpolnite nalogo - umaknite lastnost aritmetičnega napredovanja.
Recimo, da imamo takšen pogoj:
- aritmetični napredek, poiščite vrednost.
Enostavno, boste rekli in začeli boste razmisliti o formulo, ki je že znano, da vam:

Pusti in nato:

Popolnoma prav. Izkazalo se je, najprej najdemo, nato jo dodamo na prvo številko in dobimo želeno. Če napredovanje predstavljajo majhne vrednosti, v tem ni nič zapletenih in če nam je navedena številka? Strinjam se, da obstaja možnost, da naredimo napako v izračunih.
In zdaj mislijo, da je mogoče rešiti ta problem v enem ukrepanju z uporabo katere koli formule? Seveda, da, in to je, da bomo poskušali pripeljati zdaj.

Označujemo želeni člani aritmetičnega napredovanja, saj nam je formula za njeno lokacijo znana - to je zelo formula, ki nas prinaša na začetku:
, potem:

prejšnji izraz napredovanje je:
naknadni član napredovanja To je:

Povzemamo prejšnje in naslednje člane napredovanja:

Izkazalo se je, da je vsota prejšnjih in naslednjih članov napredovanja dvojna vrednost člana napredovanja, ki je med njimi. Z drugimi besedami, da bi našli vrednost člana napredovanja z znanimi prejšnjimi in zaporednimi vrednostmi, jih je treba dodati in razdeliti.

Tako je, imamo enako številko. Pritrdite material. Izračunajte vrednost za napredovanje sami, ker je precej preprosta.

Dobro opravljeno! Poznaš skoraj vse o napredku! Ostala je izvedela samo eno formulo, ki je na legende brez težav vodila eden največjih matematikov vseh časov, "kralj matematikov" - Karl Gauss ...

Ko je bil Carl Gaussu star 9 let, je učitelj zaposlen, ki je napovedal dela študentov drugih razredov, je na lekciji vprašal naslednjo nalogo: "Preštejte vsoto vseh naravnih števil od do (z drugimi viri do) vključujočega." Kakšno je bilo presenečenje učitelja, ko je eden od njegovih učencev (to je bil Karl Gauss) v minuti, dal pravilen odgovor na opravni nabor, medtem ko je večina mozelcheka sošolcev po dolgem izračunu prejela napačen rezultat ...

Mladi Karl Gauss je opazil nekaj pravilnosti, ki jo lahko opazite.
Recimo, da imamo aritmetično napredovanje, ki ga sestavljajo član: najti moramo znesek teh članov aritmetičnega napredovanja. Seveda, lahko ročno povzamemo vse vrednote, ampak kaj storiti, če bo v tej nalogi potrebno najti znesek njenih članov, kako je iskal Gauss?

Razporedil bom napredek, ki nam ga je dal. Pozorno poglejte namenske številke in poskusite z njimi izdelati različne matematične ukrepe.

Poskusil? Kaj ste opazili? Prav! Njihovi zneski so enaki

In zdaj odgovorite, koliko je takšnih parov v napredovanju, ki nam je dano? Seveda, točno polovica vseh številk, to je.
Na podlagi dejstva, da je vsota dveh članov aritmetičnega napredovanja enaka, in taki enaki pari, smo dobili, da je skupni znesek:
.
Tako bo formula za vsoto prvih članov vsakega aritmetičnega napredovanja taka:

V nekaterih nalogah nam smo neznani, vendar je znana razlika v napredovanju. Poskusite nadomestiti povzetek formulo, člansko formulo.
Kaj si naredil?

Dobro opravljeno! Zdaj se bomo vrnili na nalogo, da je bil Karl Gauss nastavljen: štetje neodvisno, kar je enako količino številk, ki se začne od-gospodar, in količino številk od -jo.

Koliko si naredil?
Gauss se je izkazalo, da je znesek članov enak, in znesek članov. Ste rešili?

Pravzaprav je formula vsote članov aritmetičnega napredovanja dokazala starodavni grški znanstvenik Diophanta v 3. stoletju, v tem času pa so se v tem času umirili duhovni ljudje z lastnostmi aritmetičnega napredovanja.
Na primer, da se pojavi starodavni Egipt in najbolj obsežno gradnjo tega časa - gradnja piramide ... slika prikazuje eno stran tega.

Kje mi je napredovanje? Pozorno pozorno in poiščite vzorec v številu peščenih blokov v vsaki vrstici stene piramide.

Kaj ni aritmetična napredovanje? Izračunajte, koliko blokov je potrebno za izgradnjo ene stene, če so v bazi postavljene opeke za blokiranje. Upam, da ne boste računali, ki bi vodili prst nad monitorjem, se spomnite zadnje formule in vse, kar smo govorili o aritmetičnem napredovanju?

V ta primer Napredovanje izgleda takole :.
Razlika aritmetičnega napredovanja.
Število članov aritmetičnega napredovanja.
Podatke lahko nadomestimo v zadnjih formulah (izračunamo število blokov na 2 načinih).

1. način.

2. način.

In zdaj je mogoče izračunati na monitorju: primerjajte pridobljene vrednosti s številom blokov, ki so v naši piramidi. Predpomnjeno? Dobro opravljeno, obvladate vsoto aritmetičnega aritmetičnega napredovanja.
Seveda, od blokov na dnu piramide ne bo gradil, ampak od? Poskusite izračunati, koliko peščenih opeke je potrebno za izgradnjo stene s takšnim pogojem.
Spopasti?
Pravi odgovor - bloki:

Telovaditi

Naloge:

Masha prihaja poleti. Vsak dan povečuje število čepov. Kolikokrat bo Masha zašiti po tednih, če je na prvem usposabljanju.
Kakšna je vsota vseh lihih številk.
Loggers, ko jih shranite dnevnike, jih položijo na tak način, da vsi zgornji sloj Vsebuje en dnevnik manj kot prejšnji. Koliko hlodov je v enem zidarstvu, če baza zidanja služi hlodov.

Odgovori:

Opredelimo parametre aritmetičnega napredovanja. V tem primeru
(teden \u003d dni).
Odgovor:Dva tedna mora Masha Enkrat na dan.
Prva liho številka, zadnja številka.
Razlika aritmetičnega napredovanja.
Število lihih številk v - polovici pa bo to dejstvo preverilo z uporabo formule interesnega člana aritmetičnega napredovanja:
Številke vsebujejo lihe številke.
Razpoložljivi podatki nadomesteka v formuli:
Odgovor:Vsota vseh lihih številk, ki jih vsebuje, je enaka.
Spomnimo naloge o piramidi. Za naš primer, a, ker se vsaka zgornja plast zmanjšuje na enem dnevniku, nato pa v samo kup plasti, to je.
Nadomestne podatke v formuli:
Odgovor:V zidarstvu so dnevniki.

Povzetek

- zaporedje števila, v katerem je razlika med sosednjimi številkami enaka in enaka. To se zgodi, da raste in se zmanjšuje.
Ostanitev formule "Član aritmetičnega napredovanja se zabeleži s formulo -, kjer - število številk v napredovanju.
Lastnosti članov aritmetičnega napredovanja - - če - število številk v napredovanju.
Vsota članov aritmetičnega napredovanja Najdemo na dva načina:

kjer - število vrednosti.

Aritmetični napredek. Povprečna raven

Zaporedje številk

Pojdimo in začnemo pisati številke. Na primer:

Lahko pišete številke, in tam je lahko kjerkoli. Ampak vedno lahko pravite, kateri od njih, kaj je druga in tako naprej, to je, lahko pridemo na otrpljene. To je primer numeričnega zaporedja.

Zaporedje številk - To je veliko številk, od katerih je vsaka dodeljena edinstvena številka.

Z drugimi besedami, vsaka številka se lahko da v skladu z določeno naravno število, in edino. In to številko ne bomo ustrezno določili nobene druge številke iz tega niza.

Število s številko se imenuje član zaporedja.

Običajno imenujemo vse zaporedje (na primer), vsak član tega zaporedja pa je isto pismo z indeksom, ki je enak številu tega člana :.

Zelo priročno, če je element zaporedja mogoče zaprositi za določeno formulo. Na primer, formula

določa zaporedje:

In formula je tako zaporedje:

Na primer, aritmetični napredek je zaporedje (prvi izraz tukaj je enak, in razlika). Ali (razlika).

Formula n-ti član

Kličemo takšno formulo, v kateri morate vedeti prejšnje ali bolj predhodno znano:

Najdemo za takšno formulo, na primer, član napredovanja, bomo morali izračunati prejšnje devet. Na primer, pustite. Nato:

No, kaj je jasno, kaj formule?

V vsaki vrstici dodamo pomnoženo po številki. Kaj? Zelo preprosto: to je število trenutnega člana minus:

Zdaj veliko bolj priročno, kajne? Preverite:

Delite sebe:

V aritmetičnem napredovanju poiščite formulo N-TH člana in poiščite stotinskega člana.

Sklep:

Prvi član je enak. In kakšna je razlika? Ampak kaj:

(To je zato, ker se imenuje razlika, ki je enaka razlika zaporednih članov napredovanja).

Torej, formula:

Potem je stotin član:

Kakšna je vsota vseh naravnih števil od do?

V skladu z legendo, veliki matematik Karl Gauss, je bil 9-letni fant, ki je ta znesek obravnaval v nekaj minutah. Opozoril je, da je vsota prve in zadnje številke enaka vsoti drugega in predzadnje - tudi vsota tretjega in tretjega od konca je tudi, in tako naprej. Koliko je takšnih parov? Tako je, točno polovica števila vseh številk, to je. Tako,

Splošna formula za vsoto prvih članov vsakega aritmetičnega napredovanja bo taka:

Primer:
Poiščite vsoto vseh dvomestnih števil, večkratnih.

Sklep:

Prva taka številka je. Vsak naslednji je dobil z dodajanjem prejšnje številke. Tako, številke, ki jih zanimajo, tvorijo aritmetično napredovanje s prvim članom in razlika.

Formula -Gom član za to napredovanje:

Koliko članov v napredovanju, če bi vse morali biti dvomestni?

Zelo enostavno: .

Zadnji član napredovanja bo enak. Potem vsota:

Odgovor :.

Zdaj se bom odločil:

Vsak dan tekmovalec deluje na m več kot prejšnji dan. Koliko kilometrov traja en teden, če je prvi dan tekel km m m?
Kolesar vozi vsak dan, da km več kot v prejšnjem. Prvi dan se je odpeljal km. Koliko dni potrebuje za premagovanje km? Koliko kilometrov bo preide na zadnji dan?
Cena hladilnika v trgovini letno zmanjšuje na enak znesek. Ugotovite, koliko se je cena hladilnika vsako leto zmanjšala, če je bila izpostavljena prodaji za rubljev, šest let prodanih za rubljev.

Odgovori:

Tukaj je najpomembnejše prepoznavanje aritmetičnega napredovanja in določiti njegove parametre. V tem primeru (tednov \u003d dni). Treba je določiti znesek prvih članov tega napredovanja: \\ t
.
Odgovor:
Tukaj je podano :, moraš najti.
Očitno morate uporabiti isto povzetek formule kot v prejšnji nalogi:
.
Nameravamo vrednote:
Koren je očitno ni primeren, to pomeni, da je odgovor.
Izračunajte pot, ki je bila prešla v preteklem dnevu s pomočjo formule člana:
(km).
Odgovor:
DANO: Najti: .
Ne se zgodi:
(RUB).
Odgovor:

Aritmetični napredek. Na kratko o glavni stvari

To je numerično zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi številkami enaka in enaka.

Aritmetični napredek se povečuje () in zmanjšuje ().

Na primer:

Formula iskanja n-bus člana aritmetičnega napredovanja

napisana je po formuli, kjer - število številk v napredovanju.

Lastnosti članov aritmetičnega napredovanja

To omogoča enostavno iskanje člana napredovanja, če je njen sosednji člani znan - kje - število številk v napredovanju.

Znesek članov aritmetičnega napredovanja

Znesek je na voljo dva načina:

Kjer - število vrednosti.

Preostali 2/3 člankov so na voljo samo študentom Youclever!

Postanite študent Youclever,

Pripravite se na OGE ali EGE v matematiki po ceni "skodelica kave na mesec",

In tudi za pridobitev neopaznega dostopa do učbenika "Youclever", program usposabljanja (Reshebnik) "100GIA", neomejen testiranje izpit in OGe, 6000 nalog z odločitvami rešitev in drugih storitev Youclever in 100Gia.

Vrsta lekcije: Študij novega materiala.

Lekcija ciljev:

Širitev in poglabljanje študentskih idej o nalogah, rešenih z uporabo aritmetičnega napredovanja; Organizacija iskanja študentov v sklenitvi formule vsote prvega N člana aritmetičnega napredovanja;
razvoj spretnosti za samostojno pridobivanje novega znanja, da bi dosegli nalogo že pridobljenega znanja;
razvoj želje in mora povzeti pridobljene dejstva, razvoj neodvisnosti.

Naloge:

povzemite in sistematizirajte obstoječe znanje o temi "aritmetični napredek";
umakne formulo za izračun zneska n prvih članov aritmetičnega napredovanja;
naučiti uporabo nastalih formul pri reševanju različne naloge;
pri iskanju vrednosti numeričnega izraza narišete pozornost študentov v postopek.

Oprema:

kartice z nalogami za delo v skupinah in parih;
ocenjevalni papir;
predstavitev "Aritmetični napredovanje".

I. Aktualizacija referenčnega znanja.

1. Neodvisno delo V parih.

1. možnost:

Dajte opredelitev aritmetičnega napredovanja. Posnemite ponavljajoča se formulo, s katero je nastavljen aritmetični napredek. Zdravljenje primera aritmetičnega napredovanja in navedite njegovo razliko.

2. možnost:

Zabeležite formulo N-TH član aritmetičnega napredovanja. Poiščite 100. člana aritmetičnega napredovanja ( n.}: 2, 5, 8 …
V tem času dva študenta zadnja stran Plošče pripravijo odgovore na ista vprašanja.
Študenti ocenjujejo delo partnerja, ki so zavijali s tablo. (Listi z odgovori Pass).

2. Isti trenutek.

Vaja 1.

Učitelj. Zamišljal sem nekaj aritmetičnega napredovanja. Vprašajte me samo dve vprašanji, tako da po odgovarjanju na vas hitro lahko poimenujete 7. člani tega napredovanja. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Vprašanja učencev.

Kaj je šesti član napredovanja in kakšna je razlika?
Kaj je osmi član napredovanja in kakšna je razlika?

Če ni več vprašanj, lahko učitelj jih spodbudi - "Ban" na D (razlika), to je, da ni dovoljeno vprašati, kaj je razlika enaka. Lahko postavljate vprašanja: kaj je 6. član napredovanja in kaj je 8. član napredovanja?

Naloga 2.

Na odboru je zabeležil 20 številk: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Učitelj se vrne na tablo. Učenci kličejo številko številke, učitelj pa takoj imenuje številko. Pojasnite, kako ga upravljam?

Učitelj se spomni s formulo N-SA n \u003d 3n - 2in, zamenjavo določenih vrednosti n, najde ustrezne vrednosti n.

II. Uprizoritev učne naloge.

Predlagam rešiti staro nalogo, povezano z II-MU Millennium BC, ki jo najdemo v egiptovskem papirusu.

Naloga: "Naj se reče: razdelil sem 10 ječmen ukrepov med 10 osebami, razlika med vsako osebo in njegovo sosedo je 1/8 ukrepa."

Kako je ta naloga, povezana s temo aritmetičnega napredovanja? (Vsak naslednji prejme 1/8 več ukrepov, to pomeni razliko D \u003d 1/8, 10 oseb, kar pomeni n \u003d 10.)
In kaj mislite, pomeni število 10 ukrepov? (Vsota vseh članov napredovanja.)
Kaj mora še vedeti, da je enostavno in samo split ječmen po opravilnem stanju? (Prvi član napredovanja.)

Lekcija opravila - pridobivanje odvisnosti od vsote napredovanja njihovega števila, prvega roka in razlika, in preverjanje, ali je v starih časih rešil nalogo.

Pred izdelavo izhodila s formulo si oglejte, kako so stari Egipčani rešili nalogo.

In ga rešili na naslednji način:

1) 10 UKREPI: 10 \u003d 1 Ukrep - povprečni delež;
2) 1 ukrep ∙ \u003d 2 ukrepi - dvojni povprečje Deliti
Dvom povprečje Delež je vsota 5. in 6. osebe.
3) 2 Ukrepi - 1/8 Ukrepi \u003d 1 7/8 Ukrepi - podvojila frakcijo pete osebe.
4) 1 7/8: 2 \u003d 5/16 - del petega; In tako naprej, lahko najdete delež vsake prejšnje in poznejše osebe.

Dobimo zaporedje:

III. Reševanje naloge.

1. Delo v skupinah

I-I Group: Poiščite vsoto 20 zaporednih naravnih številk: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Na splošno

II Skupina: Poiščite vsoto naravnih števil od 1 do 100 (legenda o majhnem Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Izhod:

III Skupina: Poiščite vsoto naravnih števil od 1 do 21.

Rešitev: 1 + 21 \u003d 2 + 20 \u003d 3 + 19 \u003d 4 + 18 ...

Izhod:

IV-I Skupina:Poiščite vsoto naravnih števil od 1 do 101.

Izhod:

Ta metoda reševanja obravnavanih nalog se imenuje "Metoda Gauss".

2. Vsaka skupina predstavlja rešitev za nalogo na tabli.

3. Povzetek predlaganih rešitev za samovoljno aritmetično napredovanje: \\ t

a 1, 2, A 3, ..., N-2, N-1, N.
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Ta znesek bomo našli podobno:

4. Odločili smo se na nalogo? (Da.)

IV. Primarno razumevanje in uporaba pridobljenih formul pri reševanju problemov.

1. Preverjanje raztopine stare naloge po formuli.

2. Uporaba formule pri reševanju različnih nalog.

3. Vaje na tvorbo sposobnosti, da uporabijo formulo pri reševanju problemov.

A) №613.

Danajno: ( a n) -aritmetični napredek;

(N): 1, 2, 3, ..., 1500

Najti: 1500.

Sklep: , a 1 \u003d 1 in 1500 \u003d 1500,

B) Glede na: ( a n) -aritmetični napredek;
(N): 1, 2, 3, ...
S n \u003d 210

Najti: n.
Sklep:

V. Neodvisno delo z medsebojnim preskusom.

Denis je odšel na delo s kurirjem. V prvem mesecu je njegova plača znašala 200 rubljev, v vsakem naslednjem pa se je povečala za 30 rubljev. Koliko je zaslužil leto?

Danajno: ( a n) -aritmetični napredek;
a 1 \u003d 200, D \u003d 30, n \u003d 12
Najti: 12.
Sklep:

Odgovor: 4380 rubljev je prejel Denis za leto.

VI. Navodila za prilagoditev.

klavzula 4.3 - Naučite se izhoda formule.
№№ 585, 623 .
Naredite nalogo, ki je bila rešena z uporabo formule n prvih članov aritmetičnega napredovanja.

VII. Povzetek lekcije.

1. Ocenjevalni list

2. Nadaljujte stavke

Danes sem se naučil v lekciji ...
Naučeni formule ...
Mislim, da ...

3. Ali lahko najdete količino številk od 1 do 500? Katero metodo boste rešili to nalogo?

Bibliografija.

1. Algebra, 9. razred. Tutorial za splošne izobraževalne ustanove. Ed. G.v. Dorofeyev. M.: "Razsvetljenje", 2009.

Pri študiju algebre srednja šola (9. razred) Ena od pomembnih tem je študija numeričnih sekvenc, do katerih je napredovanje -ometrični in aritmetični. V tem članku upoštevajte aritmetično napredovanje in primere z rešitvami.

Kaj je aritmetična napredovanje?

Da bi to razumeli, je treba opredeliti napredovanje napredovanja, pa tudi, da se osnovne formule, ki se bodo nadalje uporabile pri reševanju problemov.

Aritmetični ali algebrski napredovanje je tak niz naročenih racionalnih številk, katere od njih se razlikuje od prejšnjega o neki trajni vrednosti. Ta vrednost se imenuje razlika. To pomeni, da poznamo vsakega člana naročene vrste številk in razlika, lahko obnovimo vse aritmetične napredovanje.

Dajmo zgled. Naslednje zaporedje številk bo napredovanje aritmetika: 4, 8, 12, 16, ..., saj je razlika v tem primeru 4 (8 - 4 \u003d 12 - 8 \u003d 16 - 12). Toda nabor številk 3, 5, 8, 12, 17 ni mogoče pripisati vrste obravnavanega napredovanja, saj je razlika za to ni konstantna vrednost (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Pomembne formule

Zdaj predstavljamo osnovne formule, ki bodo potrebni za reševanje problemov z uporabo aritmetičnega napredovanja. Označi s simbolom n n-th član zaporedja, kjer je n celo število. Razlika je označena z latinsko črko d. Potem so pravi izrazi resnični:

Za določitev vrednosti N-tistega člana je formula primerna: N \u003d (N-1) * D + A 1.
Določiti količino prvega n komponent: s n \u003d (a n + a 1) * n / 2.

Da bi razumeli vse primere aritmetičnega napredovanja z odločitvijo v razredu 9, je dovolj, da se spomnite teh dveh formul, saj se na podlagi njihove uporabe gradijo vse naloge obravnavane vrste. Prav tako ne smemo pozabiti, da je razlika v napredovanju določena s formulo: D \u003d a n - a n-1.

Primer №1: Iskanje neznanega člana

Ponujamo preprost primer napredovanja aritmetičnih in formul, ki jih je treba uporabiti za reševanje.

Naj se zaporedje 10, 8, 6, 4, ..., je treba najti pet članov v njem.

Iz stanja problema že sledi, da so znane prve 4 komponente. Peto se lahko opredeli na dva načina:

Izračunajte, da začnete razliko. Imamo: D \u003d 8 - 10 \u003d -2. Podobno lahko vzamete vse druge člane, ki stojijo drug poleg drugega. Na primer, D \u003d 4 - 6 \u003d -2. Ker je znano, da d \u003d a n-a n-1, nato d \u003d a 5 - a 4, od koder dobimo: 5 \u003d 4 + d. Nadomestek znane vrednosti: 5 \u003d 4 + (-2) \u003d 2.
Druga metoda zahteva tudi znanje o razlikah v obravnavanem napredovanju, zato je treba najprej določiti, kot je prikazano zgoraj (D \u003d -2). Vedeti, da je prvi izraz 1 \u003d 10, uporabljamo formulo za n število zaporedja. Imamo: N \u003d (N-1) * D + A 1 \u003d (N - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Zamenjava v zadnjem izrazu N \u003d 5, dobimo: 5 \u003d 12-2 * 5 \u003d 2.

Kot je razvidno, sta obe metodi reševanja privedli do enakega rezultata. Upoštevajte, da je v tem primeru razlika D napredovanja negativna vrednost. Takšne sekvence se imenujejo, saj je vsak naslednji mandat manjši od prejšnjega.

Primer številka 2: Razlika napredovanja

Zdaj otežuje malo naloge, dajemo zgled kot

Znano je, da je v nekaterih prvih članicah 6, 7. člen pa je 18 let. Potrebno je najti razliko in obnoviti to zaporedje do 7 članov.

Formulo uporabljamo za določitev neznanega člana: a \u003d (n - 1) * D + A 1. Nameravamo znane podatke iz stanja, to je, številke A 1 in 7, imamo: 18 \u003d 6 + 6 * D. Iz tega izraza lahko preprosto izračunate razliko: D \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Tako so odgovorili na prvi del problema.

Če želite obnoviti zaporedje do 7 članov, ga je treba uporabiti z opredelitvijo algebrskega napredovanja, to je, 2 \u003d A 1 + D, 3 \u003d A 2 + D in tako naprej. Posledično smo obnovili celotno zaporedje: a 1 \u003d 6, 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, A 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14 , 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, 7 \u003d 18.

Primer 3: Proizvodnja napredovanja

Potegnimo še močnejše stanje naloge. Zdaj je treba odgovoriti na vprašanje, kako najti aritmetično napredovanje. Naslednji primer lahko podate: dve številki, na primer, - 4 in 5. Potrebno je napredovati algebraic, tako da bodo oddane še trije člani.

Pred začetkom reševanja te naloge je treba razumeti, kateri kraj bo določena številka v prihodnjem napredovanju. Ker bodo med njimi še trije poslanci, nato 1 \u003d -4 in 5 \u003d 5. Z namestitvijo, se obrnemo na nalogo, ki je podobna prejšnji. Spet za N-TH člana, ki ga uporabljamo formulo, dobimo: A 5 \u003d A 1 + 4 * D. Lokacija: D \u003d (A5 - A 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Tukaj nismo prejeli celotne vrednosti razlike, vendar je to racionalno številoZato ostajajo formule za algebrski napredek.

Zdaj dodajte razliko, ki jo najdete 1 in obnovi manjkajočega člana napredovanja. Dobimo: a 1 \u003d - 4, 2 \u003d - 4 + 2.25 \u003d - 1,75, 3 \u003d -1.75 + 2.25 \u003d 0,5, 4 \u003d 0,5 + 2.25 \u003d 2,75, 5 \u003d 5, + 2.25 \u003d 5, ki sovpadajo s pogojem problema.

Primer №4: prvi član napredovanja

Še naprej prinašamo primere aritmetičnega napredovanja z rešitvijo. V vseh prejšnjih nalogah je bilo znano prvo število algebrskega napredovanja. Zdaj razmislite o naslednjem tipu: naj se dve številki daje, kjer 15 \u003d 50 in 43 \u003d 37. je potrebno najti, od tega datuma, ko se začne to zaporedje.

Formule, ki so bile uporabljene, kažejo na znanje A 1 in D. V stanju problema teh številk nič ni znano. Kljub temu bomo napisali izraze za vsakega člana, ki so informacije: 15 \u003d 1 + 14 * D in A 43 \u003d A 1 + 42 * D. Prejeli smo dve enačbi, v katerih 2 neznanih vrednosti (A 1 in D). To pomeni, da se naloga zmanjša na reševanje sistema linearnih enačb.

Navedeni sistem je najlažji, da se odločite, ali izraziti v vsaki enačbi A 1 in nato primerjajte pridobljene izraze. Prva enačba: A 1 \u003d 15-14 - 14 * D \u003d 50 - 14 * D; Druga enačba: A 1 \u003d A 43 - 42 * D \u003d 37 - 42 * D. Izenačevanje teh izrazov, dobimo: 50 - 14 * D \u003d 37 - 42 * D, kjer je D \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (42-14) \u003d - 0,464 (samo 3 znake natančnosti po tem, ko so vejica).

Poznavanje D, lahko uporabite katerega koli od dveh izrazov zgoraj za A 1. Na primer, prvi: a 1 \u003d 50 - 14 * D \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Če se pojavijo dvomi, lahko to preverite, na primer, da določimo 43 člana napredovanja, ki je nastavljena v stanju. Pridobivamo: 43 \u003d A 1 + 42 * D \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37.008. Majhna napaka je povezana z dejstvom, da ko izračuni uporabljajo zaokroževanje na tisočinke frakcij.

Primer 5: Znesek

Zdaj razmislite o več primerih z rešitvami za količino aritmetičnega napredovanja.

Naj naslednje napredovanje naslednje oblike: 1, 2, 3, 4, ... ,. Kako izračunati količino 100 teh številk?

Zahvaljujoč razvoju računalniških tehnologij se lahko odločite za to nalogo, to je zaporedno prepognjeno vse številke, ki jih bo računalniški stroj takoj, ko bo oseba pritiska na tipko ENTER. Vendar pa je mogoče nalogo rešiti v mislih, če ste pozorni, da je število predstavljenih številk napredovanje algebraične, in njegova razlika je 1. Uporaba formule za znesek, dobimo: s n \u003d n * (a 1 + AN) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Zanimamo se, da se ta naloga imenuje "Gaussian", odkar je na začetku XVIII stoletja, je znameniti nemški še vedno v starosti 10 let, ga je lahko rešil v mislih v nekaj sekundah. Fant ni poznal formule za količino algebrskega napredovanja, vendar je opazil, da če smo priključili številke v robovih zaporedja, potem je vedno pridobljen rezultat, to je, 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ... in ker bodo ti zneski točno 50 (100/2), potem je dovolj, da pomnožimo 50 do 101, da dobite pravilen odgovor.

Primer №6: Količina članov od n do m

Drugi tipičen primer vsote aritmetičnega napredovanja je naslednji: Dan Takšne številke: 3, 7, 11, 15, ..., morate najti, kakšna je vsota njenih članov od 8 do 14.

Naloga je rešena na dva načina. Prva pomeni ugotovitev neznanih članov od 8 do 14, nato pa njihov dosleden. Ker so izrazi nekoliko, potem ta metoda ni precej težavna. Kljub temu se predlaga, da se ta problem rešite z drugo metodo, ki je bolj vsestranska.

Ideja je pridobiti formulo za vsoto algebrskega napredovanja med člani M in N, kjer je N\u003e M cela števila. Popili smo dva izraza za oba primera:

S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Ker je N\u003e M, je očitno, da količina zneska vključuje prvo. Zadnji zaključek pomeni, da če upoštevate razliko med temi zneski, in ji dodati člana (v primeru razlike, se odšteje od zneska S), potem dobimo potreben odgovor na nalogo. Imamo: S Mn \u003d S N-S M + AM \u003d N * (A 1 + AN) / 2 - M * (A 1 + AM) / 2 + AM \u003d A 1 * (N-M) / 2 + A * N) 2 + AM * (1- m / 2). V tem izrazu je treba zamenjati formulo za n in m. Potem dobimo: S Mn \u003d A 1 * (N-M) / 2 + N * (A1 + (N-1) * D) / 2 + (A1 + (M - 1) * D) * (1 - M / 2) \u003d A 1 * (N - M + 1) + D * N * (N - 1) / 2 + D * (3 * M - M 2 - 2) / 2.

Nastala formula je nekoliko okorna, kljub temu pa je vsota S MN odvisna samo od N, M, 1 in D. V našem primeru, 1 \u003d 3, D \u003d 4, n \u003d 14, M \u003d 8. Zamenjava teh številk, dobimo: S Mn \u003d 301.

Kot je razvidno iz danih rešitev, vse naloge temeljijo na znanju izraza za N-TH člana in formule za količino niza prvih komponent. Preden začnete rešiti katero koli od teh nalog, je priporočljivo, da skrbno preberete stanje, jasno je, da razumemo, kaj je potrebno, ki ga je treba najti, in šele nato nadaljujte do rešitve.

Še en nasvet je v želji po enostavnosti, to je, če lahko odgovorite na vprašanje, ne da bi prijavili kompleksne matematične izračune, je treba na ta način ukrepati, saj je v tem primeru verjetnost manjša od napake. Na primer, v primeru aritmetičnega napredovanja z Odločbo št. 6, bi bilo mogoče, da bi se naleteli na formulo S Mn \u003d N * (A 1 + AN) / 2 - M * (A 1 + AM) / 2 + AM in razdelijo celotno nalogo za posamezne podnapise (v tem primeru, najprej najdejo člane in AM).

Če obstajajo dvomi o rezultatu, je priporočljivo preveriti, kot je bilo storjeno v nekaterih navedenih primerih. Kako najti aritmetičnega napredovanja, ugotovljeno. Če to ugotovite, ni tako težko.

V kakšnem glavno bistvo Formule?

Ta formula vam omogoča, da najdete kaj Na njegovo številko " n " .

Seveda morate poznati drugega člana. A 1. in razlika napredovanja d.No, brez teh parametrov posebno napredovanje in ne bo zapisal.

Za učenje (ali saparchable) ta formula ni dovolj. Potrebno je naučiti njegovo bistvo in pripraviti formulo v različnih nalogah. Da, in ne pozabite v pravem trenutku, da ...) Kako ne pozabi - Ne vem. In tukaj kako se spomniti Po potrebi vam bom natančno povedal. Za tiste, ki so manj kot lekcijo, da bi obvladali.)

Torej, se ukvarjajo s formulo N-TH član aritmetičnega napredovanja.

Kakšna je formula na splošno - predstavljamo si.) Kaj je aritmetična napredovanje, številka člana, razlika v napredku - je na voljo v prejšnji lekciji. Poglej, mimogrede, če ne bere. Vse je preprosto. Še vedno je ugotoviti, kaj n-ti član.

Napredovanje na splošno je mogoče napisati v obliki številnih številk:

a 1, 2, A3, A 4, A 5, .....

a 1. - označuje prvi izraz aritmetičnega napredovanja, \\ t a 3. - tretji kurac, a 4. - Četrtič, in tako naprej. Če nas zanima peti kurac, recimo, da delamo 5.Če sto dvajset - z 120..

In kako določiti na splošno kaj član aritmetičnega napredovanja, z kdorkoli število? Zelo preprosto! Všečkaj to:

To je tisto, kar je n-ti član aritmetičnega napredovanja. Pod črko N, vsi člani članov so skriti naenkrat: 1, 2, 3, 4, in tako naprej.

In kaj nam daje tako rekord? Razmislite, namesto številke, so črke zabeležene ...

Ta vnos nam daje močno orodje za delo z aritmetičnim napredkom. Z uporabo označevanja n.lahko hitro najdemo kaj Član kaj Aritmetični napredek. In tudi kup nalog na napredovanje za reševanje. Sami boste videli.

V formuli n-ti član aritmetičnega napredovanja:

n \u003d a 1 + (n-1) d

a 1. - prvi mandat aritmetičnega napredovanja;

n. - Številka člana.

Formula veže ključne parametre vsakega napredovanja: n; A 1; D. in n.. Okoli teh parametrov se vrtijo vse napredne naloge.

Formula N-TR člana se lahko uporablja za beleženje posebnega napredovanja. Na primer, v nalogi je mogoče reči, da je napredovanje nastavljeno s pogojem:

n \u003d 5 + (n - 1) · 2.

Takšna naloga je lahko dana tudi v slepo ulico ... ni vrstice, brez razlike ... ampak, če primerjamo stanje s formulo, je enostavno ugotoviti, da je v tem napredovanju a 1 \u003d 5 in D \u003d 2.

In se zgodi bolj jezen!) Če vzamete enako pogoj: n \u003d 5 + (n-1) · 2,ali razkrijete oklepaje in podoben? Dobimo novo formulo:

n \u003d 3 + 2n.

to Samo ni na splošno, ampak za posebno napredovanje. Tukaj je podvodni kamen. Nekateri menijo, da je prvi član trojni. Čeprav je prvi član fidder ... tik spodaj bomo delali s tako modificirano formulo.

V nalogah napredovanja je še ena označba - n + 1. To, kot ste uganili, "en plus prvi" član napredovanja. Njen pomen je preprost in neškodljiv.) To je član napredovanja, katerega število je več kot n številk na enoto. Na primer, če vzamemo katero koli nalogo n. Peti kurac n + 1 To bo šesti član. Itd.

Najpogosteje označba n + 1 Najdemo ga v ponavljajočih se formulah. Ne prestrašijte to strašno besedo!) To je samo način izražanja člana aritmetičnega napredovanja skozi prejšnjo. Recimo, da dobimo aritmetični napredek v tem obrazcu z uporabo ponavljajoče se formule:

n + 1 \u003d a n +3

a 2 \u003d A 1 + 3 \u003d 5 + 3 \u003d 8

a 3 \u003d 2 + 3 \u003d 8 + 3 \u003d 11

Četrtič - skozi tretji, peti - skozi četrto, in tako naprej. In kako se takoj izračunati, povejte dvajseti član, 20. \\ T ? Toda!) Medtem ko 19. član ne ve, 20. ne šteje. To je temeljna razlika med ponavljajočim se formule iz formule N-TH. Ponavljajoče se dela samo skozi prejšnji Član in formula N-TH člana - skozi prvič in dovoljuje takoj. Poiščite katerega koli kurca na njegovo številko. Brez izračuna celotnega števila števil v nekaj.

V aritmetičnem napredovanju se ponavljajoča se formula enostavno spremeni v normalno. Izračunajte nekaj zaporednih članov, izračunajte razliko d, Poiščite, če je potrebno, prvi član a 1., Napišite formulo v običajni obliki in delajte z njo. V GIA se takšne naloge pogosto najdejo.

Uporaba formule N-tistega člana aritmetičnega napredovanja.

Za začetek razmislite o neposredni uporabi formule. Na koncu prejšnje lekcije je bila naloga:

Podan je aritmetični napredek (N). Najdi 121, če je 1 \u003d 3 in D \u003d 1/6.

Ta problem je mogoče rešiti brez kakršnih koli formul, ki temeljijo na pomenu aritmetičnega napredovanja. Dodaj, da dodam ... autov-drugo.)

V skladu s formulo bo odločitev trajala manj minute. Lahko preverite čas.) Odločamo se.

Pogoji vsebujejo vse podatke za uporabo formule: a 1 \u003d 3, D \u003d 1/6. Ostaja, da ugotovimo, kaj je enako n. Ni problema! Moramo najti a 121.. Tukaj pišemo:

Prosimo, bodite pozorni! Namesto indeksa n. Pojavila se je betonska številka: 121. Kaj je precej logično.) Zainteresirani smo za člana aritmetičnega napredovanja. število sto dvajset. To bo naša n. To je ta vrednost n. \u003d 121 Namesto bomo nadomestili v formuli, v oklepajih. Nameravamo vse številke v formuli in verjamemo:

121 \u003d 3 + (121-1) · 1/6 \u003d 3 + 20 \u003d 23

To je vse. Prav tako bi bilo mogoče najti petsto desetine in tisoč tretjin. Namesto tega smo dali n. Želeno število v indeksu na črki " a " In v oklepajih in verjamemo.

Spominjam vas na bistvo: ta formula vam omogoča, da najdete kaj Član aritmetičnega napredovanja Na njegovo številko " n " .

Rešil bom nalogo trčenja. Imamo takšno nalogo:

Poiščite prvi izraz aritmetičnega napredovanja (N), če je 17 \u003d -2; D \u003d -0,5.

Če bi bilo težko, vam bom povedal prvi korak. Zapišite s formulo N-TH član aritmetičnega napredovanja! Da Da. Napišite roke, prav v prenosni računalnik:

n \u003d a 1 + (n-1) d

In zdaj, gledamo na črke s formulo, mislimo, kaj so podatki, ki jih imamo, in kaj manjka? Na voljo d \u003d -0,5,je sedemnajsti član ... vse? Če menite, da se vse, naloge ne odloči, da ...

Še vedno imamo sobo n.! V stanju 17 \u003d -2 Skrita dva parametra. To je vrednost sedemnajstega člana (-2) in njegovo število (17). Ti. n \u003d 17. Ta "malenkost" pogosto preskoči mimo glave in brez njega (brez »malo stvari«, ne glave!) Naloga ni rešiti. Čeprav ... in brez glave.)

Zdaj lahko preprosto neumno nadomestite naše podatke v formuli:

17 \u003d a 1 + (17-1) · (-0,5)

Oh ja, a 17. Poznamo to -2. No, nadomestimo:

-2 \u003d a 1 + (17-1) · (-0,5)

Tukaj, v bistvu in to je to. Še vedno je izraziti prvo obdobje aritmetičnega napredovanja iz formule, vendar šteje. Bo odgovor: a 1 \u003d 6.

Tak sprejem je snemanje formule in enostavna zamenjava znanih podatkov - zdravih pomaga pri enostavnih nalogah. No, je potrebno, seveda, da lahko izrazimo spremenljivko iz formule, in kaj storiti!? Brez te spretnosti, matematike ni mogoče preučiti na vseh ...

Druga priljubljena naloga:

Poiščite razliko v aritmetičnem napredovanju (N), če je 1 \u003d 2; 15 \u003d 12.

Kaj počneš? Presenečeni boste, napišite formulo!)

n \u003d a 1 + (n-1) d

Mislimo, da vemo: a 1 \u003d 2; 15 \u003d 12; In (posebej dodeljena!) n \u003d 15. Pogumno nadomestek v formuli:

12 \u003d 2 + (15-1) d

Menimo aritmetiko.)

12 \u003d 2 + 14D

d.=10/14 = 5/7

To je pravilen odgovor.

Torej, naloge na a, a 1in D. Pohvalili so. Še vedno se naučimo številke, da bi našli:

Številka 99 je član aritmetičnega napredovanja (N), kjer je 1 \u003d 12; D \u003d 3. Poiščite ta član.

Nameravamo s formulo N-TH člana, ki nam je znano:

a \u003d 12 + (n-1) · 3

Na prvi pogled obstajata dve neznani vrednosti: n in n. Zvezek n. - To je nekaj član števila napredovanja n.... in vemo, da je ta član napredovanja! 99. Ne poznamo njegovo številke n,zato je to število potrebno. Namestimo člana napredovanja 99 v formuli:

99 \u003d 12 + (n-1) · 3

Izrecno iz formule n., verjeti. Odgovor bomo dobili: n \u003d 30.

In zdaj je naloga na isti temi, vendar bolj ustvarjalna):

Ugotovite, ali bo številka 117 član aritmetičnega napredovanja (N):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Spet napišemo formulo. Kaj, brez parametrov? GM ... in za nas, zakaj smo mislili?) Vidim prvi član napredovanja? Vidimo. To je -3,6. Lahko varno napišete: a 1 \u003d -3,6. Razlika d. Ali lahko določim od številke? Enostavno, če veste, kakšna je razlika v aritmetičnem napredovanju:

d \u003d -2,4 - (-3,6) \u003d 1,2

Torej, najpreprostejši. Ostaja se ukvarjati z neznano številko n. In nerazumljivo število 117. V prejšnjem problemu je bilo vsaj znano, da je bil član napredovanja. In tukaj ne vemo ... kako biti!? No, kako biti, kako biti ... Vključite ustvarjalne sposobnosti!)

smo recimo Ta 117 je navsezadnje član našega napredovanja. Z neznano številko n.. In natanko tako, kot v prejšnji nalogi, poskusimo najti to sobo. Ti. Napišemo formulo (da!)) In nadomestimo naše številke:

117 \u003d -3,6 + (n-1) · 1.2

Ponovno izrastite s formulen., verjamem in dobite:

Ups! Soba se je zgodila fractional! Sto polovica. In delne številke v teku ne more biti. Kakšen zaključek bomo storili? Da! Številka 117. ni Član našega napredovanja. Nekje je med sto prvih in sto drugih članov. Če se je številka izkazala za naravno, t.e. Pozitivna celota, število bi bil član napredovanja z najdeno številko. In v našem primeru bo naloga odgovora: ne.

Na podlagi nalog realna možnost GIA:

Aritmetični napredek je določen s pogojem:

n \u003d -4 + 6,8n

Poiščite člane prvega in desetega napredovanja.

Tukaj napredovanje ni povsem znano. Nekatera vrsta formule ... Vendar pa je ta formula (kot sem napisal zgoraj) - tudi formula n-ti član aritmetičnega napredovanja! Omogoča tudi poiščite člana napredovanja po številki.

Iščemo prvega člana. Kdor misli Prvi član je minus štiri, smrtno napačno!) Ker je formula v problemu spremenjena. Prvi član aritmetičnega napredovanja v njem skrita. Nič, zdaj najdemo.)

Tudi, kot v prejšnjih nalogah, smo nadomestili n \u003d 1. V tej formuli:

a 1 \u003d -4 + 6,8 · 1 \u003d 2.8

Tukaj! Prvi član je 2,8, in ne -4!

Podobno išče desetin:

10 \u003d -4 + 6,8 · 10 \u003d 64

To je vse.

In zdaj, tisti, ki so prebrali te črte - obljubljeni bonus.)

Predpostavimo v kompleksnem bojemnem atmosferi GIA ali EGE, ste pozabili uporabno formulo N-TH član aritmetičnega napredovanja. Nekaj \u200b\u200bse spominja, vendar nesedno nekako ... bodisi n. Tam, potem n + 1, potem n-1 ... Kako biti!?

Trnquity! Ta formula je enostavna za umik. Ne zelo strogo, ampak za zaupanje in desna rešitev Zagotovo!) Za izhod je dovolj, da se spomnite elementarnega pomena aritmetičnega napredovanja in imamo nekaj časa. Samo narisati morate sliko. Zaradi jasnosti.

Narišemo številčno os in praznujemo prvo. drugi, tretji, itd Člani. In opaža razliko d. med člani. Všečkaj to:

Pogledamo sliko in mislimo: kaj je drugi član? Drugič eno d.:

a. 2 \u003d A 1 + 1 · D.

Kaj je tretji kurac? Tretji Član je enak prvemu članu plus dva d..

a. 3 \u003d A 1 + 2 · D.

Ulov? Ne zaman nekaj besed dodeli krepko pisavo. No, v redu, še en korak).

Kaj je četrti kurac? Četrtič Član je enak prvemu članu plus tri d..

a. 4 \u003d A 1 + 3 · D.

Čas je, da ugotovimo, da je število vrzeli, tj. d., nenehno manj kot število želenega člana n.. To., Na številko n, število vrzelibo n-1. Zato bo formula (brez možnosti!):

n \u003d a 1 + (n-1) d

Na splošno so vizualne slike zelo koristne za reševanje številnih nalog v matematiki. Ne zanemarjajte slik. Če pa je slika težko narisati, potem ... samo formula!) Poleg tega vam formula N-TH člana omogoča povezovanje celotnega močnega arzenala matematike na rešitve - enačbe, neenakosti, sistemi itd. Slika ni vstavljena v enačbo ...

Naloge za samopodelek.

Za vadbo:

1. v aritmetičnem napredovanju (N) A 2 \u003d 3; 5 \u003d 5.1. Najdi a 3.

Nasvet: Na sliki je naloga rešena sekunde za 20 ... s formulo - izkaže se težje. Toda za obvladovanje formule - je bolj uporabno.) V oddelku 555 je ta naloga rešena na sliki, in s formulo. Občutite razliko!)

In to ni več vaja.)

2. v aritmetičnem napredovanju (N) 85 \u003d 19,1; 236 \u003d 49, 3. Poiščite 3.

Kaj neradi narišite slike?) Še vedno! Bolje je v formuli, da ...

3. Aritmetični napredek je podan s pogojem:a 1 \u003d -5,5; n + 1 \u003d n +0.5. Poiščite sto petindvajsetega člana tega napredovanja.

V tej nalogi je napredovanje nastavljeno zaradi ponavljajočega se. Ampak, da štejejo do sto petindvajsetih članov ... ne vse take fevd pod močjo.) Ampak formula n-tistih članov sil vsem!

4. Dana aritmetični napredovanje (N):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Poiščite število najmanjšega pozitivnega člana napredovanja.

5. Pod pogojem naloge 4 najdete znesek najmanjših pozitivnih in največjih negativnih članov napredovanja.

6. Produkt petega in dvanajstega člana naraščajočega aritmetičnega napredovanja sta -2,5, vsota tretjega in enajstega člana pa je nič. Najdi 14.

Ne najlažja naloga, da ...) Tukaj se ne bo vrtel "na prstih". Formule bodo morale pisati, da se enačbe odločajo.

Odgovori (v primeru motnje):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Se je zgodilo? Lepo je!)

Ne vse deluje? Zgodi se. Mimogrede, v zadnji nalogi je en subtilen trenutek. Pri branju bo potrebna prebrana naloga. In logika.

Rešitev vseh teh nalog je podrobno razstavljena v poglavju 555. Element fantazije za četrti, in subtilen trenutek za šesto, in splošne pristope za reševanje vseh nalog na N-ti Formula Formula - vse je pobarvano . Priporočite.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Dostopajte se lahko pri reševanju primerov in izvedite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Naučite se - z obrestmi!)

Seznanite se lahko z značilnostmi in derivati.