Синус 2 в числовия кръг. Решаване на най-простите тригонометрични уравнения

В тази статия ще анализираме много подробно дефиницията на числовия кръг, ще разберем основното му свойство и ще подредим числата 1,2,3 и т.н. Как да маркирате други числа в кръг (например \ (\ frac (π) (2), \ frac (π) (3), \ frac (7π) (4), 10π), - \ frac (29π)) ( 6) \)) разбира.

Цифров кръг се нарича окръжност с единичен радиус, чиито точки съответстват на подредени по следните правила:

1) Началото е в крайната дясна точка на окръжността;

2) Обратно на часовниковата стрелка - положителна посока; по посока на часовниковата стрелка - отрицателен;

3) Ако отложим разстоянието \ (t \) на окръжността в положителна посока, тогава ще стигнем до точката със стойност \ (t \);

4) Ако отложим разстоянието \ (t \) върху окръжността в отрицателна посока, тогава ще стигнем до точката със стойност \ (- t \).

Защо кръгът се нарича числов?
Защото на него има цифри. При това кръгът е подобен на числова ос - на окръжност, както и на ос, за всяко число има определена точка.

Защо да знаете какво е числов кръг?
Числовият кръг се използва за определяне на стойността на синусите, косинусите, тангентите и котангентите. Следователно за познаване на тригонометрията и полагане на изпитас 60+ точки, определено трябва да разберете какво е числов кръг и как да поставите точки върху него.

Какво означават в определението думите "...единичен радиус ..."?
Това означава, че радиусът на тази окръжност е \ (1 \). И ако построим такъв кръг с център в началото, тогава той ще се пресича с осите в точките \ (1 \) и \ (- 1 \).

Не е необходимо да го рисувате малко, можете да промените "размера" на деленията по осите, тогава картината ще бъде по-голяма (вижте по-долу).

Защо радиусът е точно един? Това е по-удобно, тъй като в този случай, когато изчисляваме обиколката по формулата \ (l = 2πR \), получаваме:

Дължината на числовия кръг е \ (2π \) или приблизително \ (6,28 \).

И какво означава "... чиито точки отговарят на реални числа"?
Както бе споменато по-горе, върху числовия кръг за всяко реално число, задължително ще има неговото "място" - точка, която съответства на това число.

Защо да дефинирате началото и посоките на числов кръг?
Основната цел на числовия кръг е еднозначно да определи неговата точка за всяко число. Но как можете да определите къде да поставите точка, ако не знаете откъде да броите и накъде да отидете?

Важно е да не бъркате началото на координатната права и на числовия кръг - това са две различни референтни системи! И също така не бъркайте \ (1 \) по оста \ (x \) и \ (0 \) по окръжността - това са точки върху различни обекти.

Какви точки отговарят на числата \ (1 \), \ (2 \) и т.н.?

Не забравяйте, че приехме, че радиусът на числовата окръжност е \ (1 \)? Това ще бъде нашият единичен сегмент (по аналогия с оста на числата), който ще поставим върху кръга.

За да маркирате точката, съответстваща на числото 1 в числовия кръг, трябва да преминете от 0 на разстояние, равно на радиуса в положителна посока.

За да маркирате точка от окръжността, съответстваща на числото \ (2 \), трябва да изминете разстояние, равно на два радиуса от началото, така че \ (3 \) да е разстояние, равно на три радиуса и т.н.

Когато гледате тази снимка, може да имате 2 въпроса:
1. Какво ще стане, когато кръгът "свърши" (т.е. направим пълен оборот)?
Отговор: да отидем на втори тур! И като свърши второто, да преминем към третото и т.н. Следователно, безкраен брой числа могат да бъдат приложени към кръг.

2. Къде ще бъдат отрицателните числа?
Отговор: на същото място! Те също могат да се поставят, като се брои от нула необходимия брой радиуси, но вече в отрицателна посока.

За съжаление е трудно да се обозначават цели числа в числов кръг. Това се дължи на факта, че дължината на числовия кръг няма да бъде равна на цяло число: \ (2π \). И на най-удобните места (в точките на пресичане с осите) също ще има не цели числа, а дроби

На тригонометричния кръг, освен ъгли в градуси, наблюдаваме.

Повече за радианите:

Радианът се определя като ъгловата стойност на дъга, чиято дължина е равна на нейния радиус. Съответно, тъй като обиколката е , тогава е очевидно, че радианът се вписва в окръжността, т.е

1 rad ≈ 57,295779513 ° ≈ 57 ° 17′44,806 ″ ≈ 206265 ″.

Всеки знае, че радиан е

Така, например, ах. Ето как ние се научи да преобразува радиани в ъгли.

Сега напротив, нека преобразуваме градусите в радиани.

Да кажем, че трябва да преобразуваме в радиани. Ще ни помогне. Процедираме по следния начин:

Тъй като, радиан, след това попълнете таблицата:

Обучаваме се да намираме стойностите на синуса и косинуса в кръг

Нека допълнително изясним следното.

Е, добре, ако ни помолят да изчислим, да речем, - тук обикновено няма объркване - всеки първо започва да гледа кръга.

И ако бъдат помолени да изчислят, например, ... Мнозина изведнъж започват да не разбират къде да търсят тази нула ... Те често я търсят в произхода. Защо?

1) Да се ​​съгласим веднъж завинаги!Това, което идва след или е аргумент = ъгъл и ъглите са разположени на кръга, не ги търси по осите!(Просто отделните точки падат както върху окръжността, така и върху оста ...) И стойностите на самите синуси и косинуси - търсим осите!

2) И още!Ако тръгнем от "началото" обратно на часовниковата стрелка(основната посока на преминаване на тригонометричния кръг), след това отлагаме положителните стойности на ъглите, стойностите на ъглите се увеличават при движение в тази посока.

Ако тръгнем от "началото" по посока на часовниковата стрелка, след това отлагаме отрицателните стойности на ъглите.

Пример 1.

Намерете стойността.

Решение:

Намираме го на кръга. Проектираме точка върху оста на синуса (тоест начертаваме перпендикуляр от точката към оста на синуса (oh)).

Стигаме до 0. Следователно,.

Пример 2.

Намерете стойността.

Решение:

Намираме го на кръга (вървим обратно на часовниковата стрелка и повече). Проектираме точка върху синусовата ос (и тя вечележи върху оста на синусите).

Удряме -1 по оста на синуса.

Имайте предвид, че зад точката има такива точки като (можем да отидем до точката, отбелязана като, по посока на часовниковата стрелка, което означава, че се появява знак минус), и безкрайно много други.

Може да се даде аналогия:

Нека представим тригонометричния кръг като бягаща пътекастадион.

В крайна сметка можете да се озовете в точката „Флаг“, като започнете от старта обратно на часовниковата стрелка, бягайки, да речем, 300 м. Или бягайки, да речем, 100 м по часовниковата стрелка (броим дължината на пистата 400 м).

И също така можете да се озовете на точката "Флаг" (след "старта"), като сте пробягали, да речем, 700 m, 1100 m, 1500 m и т.н. обратно на часовниковата стрелка. Можете да стигнете до точката "Флаг", като бягате 500 м или 900 м и т.н. по часовниковата стрелка от "старт".

Разширете мислено бягащата пътека на стадиона в числова права. Представете си къде на тази линия ще има например стойностите 300, 700, 1100, 1500 и т.н. Ще видим точки на числовата права, еднакво отдалечени една от друга. Нека се върнем в кръг. Точките се "слепват" в едно.

Така е и с тригонометричния кръг. Има безкрайно много други, скрити зад всяка точка.

Да кажем ъгли,,, и т.н. са изобразени с една точка. И стойностите на синуса, косинуса в тях, разбира се, съвпадат. (Забелязахте ли, че сме добавили/извадили или? Това е периодът за функцията синус и косинус.)

Пример 3.

Намерете стойността.

Решение:

Нека преведем за простота в градуси

(по-късно, когато свикнеш тригонометричен кръг, не е нужно да преобразувате радиани в градуси):

Ще се движим по посока на часовниковата стрелка от точката Да отидем на половин кръг () и повече

Разбираме, че стойността на синуса съвпада със стойността на синуса и е равна на

Забележете, ако вземем например или и т.н., тогава ще получим една и съща стойност на синусите.

Пример 4.

Намерете стойността.

Решение:

Ние обаче няма да преобразуваме радиани в градуси, както в предишния пример.

Това означава, че трябва да преминем обратно на часовниковата стрелка половин кръг и още една четвърт от половин кръг и да проектираме получената точка върху оста на косинус (хоризонтална ос).

Пример 5.

Намерете стойността.

Решение:

Как да отложим тригонометричния кръг?

Ако преминем или поне да, пак ще се окажем в точката, която сме определили като „старт“. Следователно можете веднага да отидете до точка от кръга.

Пример 6.

Намерете стойността.

Решение:

Ще се окажем в точката (това така или иначе ще ни доведе до точка нула). Проектираме точката на окръжността върху оста на косинус (виж тригонометричен кръг), влизаме в. Това е .

Тригонометричен кръг - във вашите ръце

Вече разбрахте, че основното е да запомните значенията. тригонометрични функциипърва четвърт. В останалите квартали всичко е същото, просто трябва да следвате знаците. И се надявам, че няма да забравите „верижната стълба“ на стойностите на тригонометричните функции.

Как да намеря тангенс и котангенс стойностиглавни ъгли.

След това, след като се запознаете с основните стойности на тангенса и котангенса, можеш да минеш

На празен шаблон на кръг. Влак!

Просто казано, това са зеленчуци, приготвени във вода по специална рецепта. Ще разгледам два първоначални компонента (зеленчукова салата и вода) и крайния резултат - борш. Геометрично, това може да се разглежда като правоъгълник, като едната страна представлява маруля, а другата страна представлява вода. Сборът от тези две страни ще представлява борш. Диагоналът и площта на такъв правоъгълник "борш" са чисто математически понятия и никога не се използват в рецептите за борш.

Как марулята и водата се превръщат в борш от математическа гледна точка? Как може сборът от две отсечки да се превърне в тригонометрия? За да разберем това, се нуждаем от линейни ъглови функции.

Няма да намерите нищо за линейните ъглови функции в учебниците по математика. Но без тях не може да има математика. Законите на математиката, както и законите на природата, работят независимо от това дали знаем за тяхното съществуване или не.

Функциите на линейните ъгли са закони за събиране.Вижте как алгебрата се превръща в геометрия, а геометрията се превръща в тригонометрия.

Могат ли да се освободят функциите на линейни ъгли? Можете, защото математиците все още се справят без тях. Номерът на математиците се крие във факта, че те винаги ни казват само за онези проблеми, които самите те знаят как да решат, и никога не говорят за онези проблеми, които не могат да решат. Виж. Ако знаем резултата от събирането и един член, използваме изваждане, за да намерим другия член. Всичко. Не знаем други задачи и не сме в състояние да ги решим. Какво да правим, ако знаем само резултата от събирането и не знаем и двата термина? В този случай резултатът от събирането трябва да се разложи на два члена с помощта на линейни ъглови функции. След това ние сами избираме какъв може да бъде един член, а функциите на линейния ъгъл показват какъв трябва да бъде вторият член, така че резултатът от събирането да е точно това, от което се нуждаем. Може да има безкраен брой такива двойки термини. V Ежедневиетоможем да се справим добре, без да разлагаме сумата; изваждането е достатъчно за нас. Но със научно изследванезаконите на природата, разлагането на сумата в термини може да бъде много полезно.

Друг закон за събиране, за който математиците не обичат да говорят (друг тяхна хитрост), изисква термините да имат еднакви мерни единици. За салата, вода и борш това могат да бъдат мерни единици за тегло, обем, стойност или мерни единици.

Фигурата показва две нива на разлика за математиката. Първото ниво са разликите в полето на числата, които са посочени а, б, ° С... Това правят математиците. Второто ниво са разликите в площта на единиците, които са показани в квадратни скоби и обозначени с буквата У... Това правят физиците. Можем да разберем третото ниво - разлики в площта на описаните обекти. Различните обекти могат да имат еднакъв брой еднакви мерни единици. Колко важно е това, можем да видим на примера с борш тригонометрията. Ако добавим индекси към едно и също обозначение на мерни единици на различни обекти, можем да кажем точно коя математическа стойност описва конкретен обект и как се променя във времето или във връзка с нашите действия. С писмо УЩе обознача вода с буквата СЩе посоча салатата и буквата Б- Борш. Ето как биха изглеждали линейните ъглови функции за борш.

Ако вземем част от водата и част от салатата, заедно ще се превърнат в една порция борш. Тук ви предлагам да си починете от борш и да си спомните далечното детство. Спомняте ли си как ни учеха да сглобяваме зайчета и патици? Трябваше да се намери колко животни ще има. Какво тогава ни научиха да правим? Научиха ни да отделяме единиците от числата и да събираме числа. Да, всеки номер може да се добави към всеки друг номер. Това е директен път към аутизма на съвременната математика - ние правим не е ясно какво, не е ясно защо и много слабо разбираме как това е свързано с реалността, поради трите нива на разлика, математиката оперира само едно . Би било по-правилно да се научите как да превключвате от една мерна единица към друга.

И зайчетата, и патиците, и животните могат да се преброят на парчета. Една обща мерна единица за различни обекти ни позволява да ги събираме заедно. Това е детска версия на проблема. Нека да разгледаме подобен проблем за възрастни. Какво се случва, когато добавите зайчета и пари? Тук има две възможни решения.

Първи вариант... Определяме пазарната стойност на зайчетата и я добавяме към наличната сума пари. Получихме общата стойност на нашето богатство в парично изражение.

Втори вариант... Можете да добавите броя на зайчетата към броя на банкнотите, които имаме. Ще получим броя на движимото имущество на парчета.

Както можете да видите, един и същ закон за събиране дава различни резултати. Всичко зависи от това какво точно искаме да знаем.

Но да се върнем към нашия борш. Сега можем да видим какво ще стане кога различни значенияъгъл на линейни ъглови функции.

Ъгълът е нула. Имаме салата, но няма вода. Не можем да готвим борш. Количеството борш също е нула. Това изобщо не означава, че нулев борш е равен на нула вода. Нулев борш може да бъде при нула салата (прав ъгъл).

За мен лично това е основното математическо доказателство за това, че. Нулата не променя номера при добавяне. Това е така, защото самото добавяне е невъзможно, ако има само един член и няма втори член. Можете да се отнасяте към това, както искате, но запомнете - всички математически операции с нула са измислени от самите математици, така че изхвърлете вашата логика и глупаво натъпчете дефинициите, измислени от математиците: "деление на нула е невъзможно", "всяко число, умножено по нула, е равно нула" , "за нокаут точка нула" и други глупости. Достатъчно е да запомните веднъж, че нулата не е число и никога няма да имате въпрос дали нулата е естествено число или не, защото такъв въпрос обикновено губи всякакво значение: как можем да разглеждаме число, което не е число. Все едно да питате какъв цвят трябва да бъде един невидим цвят. Добавянето на нула към число е като рисуване с боя, която не съществува. Махахме със суха четка и казахме на всички, че „рисувахме“. Но се отклонявам малко.

Ъгълът е по-голям от нула, но по-малък от четиридесет и пет градуса. Имаме много салата, но недостатъчно вода. В резултат на това получаваме дебел борш.

Ъгълът е четиридесет и пет градуса. Имаме равни количества вода и салата. Това е перфектният борш (да, готвачите ще ми простят, това е просто математика).

Ъгълът е по-голям от четиридесет и пет градуса, но по-малък от деветдесет градуса. Имаме много вода и малко салата. Получавате течен борш.

Прав ъгъл. Имаме вода. От салатата остават само спомени, като продължаваме да измерваме ъгъла от линията, която някога е стояла за салатата. Не можем да готвим борш. Количеството борш е нула. В такъв случай се дръжте и пийте водата, докато я имате)))

Тук. Нещо като това. Тук мога да разкажа други истории, които ще са повече от подходящи тук.

Двама приятели имаха дялове в общия бизнес. След като уби единия, всичко отиде при другия.

Появата на математиката на нашата планета.

Всички тези истории са разказани на езика на математиката с помощта на линейни ъглови функции. Някой друг път ще ви покажа истинското място на тези функции в структурата на математиката. Междувременно да се върнем към тригонометрията на борша и да разгледаме проекциите.

събота, 26 октомври 2019 г

сряда, 7 август 2019 г

Завършвайки разговора за, има безкраен брой, който трябва да се разгледа. Резултатът е, че концепцията за "безкрайност" действа на математиците като боа на заек. Трепетният ужас от безкрайността лишава математиците от здравия разум. Ето един пример:

Първоначалният източник се намира. Алфа означава реално число. Знакът за равенство в горните изрази показва, че ако добавите число или безкрайност към безкрайност, нищо няма да се промени, резултатът ще бъде същата безкрайност. Ако вземем за пример безкраен набор от естествени числа, тогава разглежданите примери могат да бъдат представени в следния вид:

За нагледно доказателство за тяхната коректност, математиците са измислили много различни методи. Лично аз гледам на всички тези методи като на танцуващи шамани с тамбури. По същество всички те се свеждат до факта, че или някои от стаите не са заети и се нанасят нови гости, или че някои от посетителите са изхвърлени в коридора, за да направят място за гостите (много човешки). Изложих виждането си за подобни решения под формата на фантастична история за Блондинката. На какво се основават моите разсъждения? Преместването на безкраен брой посетители отнема безкрайно много време. След като освободим първата стая за гост, един от посетителите винаги ще върви по коридора от стаята си до следващата до края на века. Разбира се, факторът време може да бъде глупаво игнориран, но той вече ще е от категорията "законът не е писан за глупаци". Всичко зависи от това, което правим: коригираме реалността, за да пасне математически теорииили обратното.

Какво е "безкраен хотел"? Безкраен хотел е хотел, който винаги има произволен брой свободни места, без значение колко стаи са заети. Ако всички стаи в безкрайния коридор за посетители са заети, има друг безкраен коридор със стаите за гости. Ще има безкраен брой такива коридори. Освен това „безкрайният хотел“ има безкраен брой етажи в безкраен брой сгради на безкраен брой планети в безкраен брой вселени, създадени от безкраен брой богове. Математиците обаче не могат да се дистанцират от обикновените ежедневни проблеми: Бог-Аллах-Буда винаги е само един, хотелът е един, коридорът е само един. Ето математиците и се опитват да манипулират серийните номера на хотелските стаи, убеждавайки ни, че е възможно да „набутаме нещата“.

Ще ви демонстрирам логиката на разсъжденията си на примера на безкраен набор от естествени числа. Първо, трябва да отговорите на много прост въпрос: колко набора от естествени числа има - едно или много? Няма правилен отговор на този въпрос, тъй като сами сме измислили числата, в природата няма числа. Да, природата е отлична в броенето, но за това тя използва други математически инструменти, които не са ни познати. Както си мисли Природата, ще ти кажа друг път. Тъй като сме измислили числата, ние сами ще решим колко набора от естествени числа има. Обмислете и двата варианта, както подобава на истински учен.

Вариант първи. „Нека ни бъде даден“ един единствен набор от естествени числа, който лежи спокойно на рафта. Взимаме този комплект от рафта. Това е, на рафта не са останали други естествени числа и няма къде да се вземат. Не можем да добавим такъв към този набор, тъй като вече го имаме. И ако наистина искаш? Няма проблем. Можем да вземем един от комплекта, който вече сме взели, и да го върнем на рафта. След това можем да вземем единица от рафта и да я добавим към това, което ни е останало. В резултат на това отново получаваме безкраен набор от естествени числа. Можете да напишете всички наши манипулации така:

Записах действията в алгебрична системанотация и в нотационна система, възприета в теорията на множествата, с подробен списък на елементите на множеството. Индексът показва, че имаме един и единствен набор от естествени числа. Оказва се, че множеството от естествени числа ще остане непроменено само ако се извади от него и добави същата единица.

Вариант две. Имаме много различни безкрайни набори от естествени числа на нашия рафт. Подчертавам - РАЗЛИЧНИ, въпреки че на практика не се различават. Взимаме един от тези комплекти. След това вземаме едно от друго множество естествени числа и го добавяме към множеството, което вече сме взели. Можем дори да добавим два набора от естествени числа. Ето какво получаваме:

Индексите "едно" и "две" показват, че тези елементи принадлежат към различни набори. Да, ако добавите едно към безкрайния набор, резултатът също ще бъде безкраен набор, но няма да е същият като оригиналния набор. Ако добавим още едно безкрайно множество към едно безкрайно множество, резултатът е нов безкраен набор, състоящ се от елементите на първите две множества.

Много естествени числа се използват за броене по същия начин като линийка за измервания. Сега си представете, че добавяте един сантиметър към линийката. Това вече ще бъде различен ред, който не е равен на оригинала.

Можете да приемете или да не приемете моите разсъждения - това е ваша лична работа. Но ако някога се сблъскате с математически проблеми, помислете дали не следвате пътя на фалшивите разсъждения, утъпкани от поколения математици. В края на краищата, правенето на математика, на първо място, формира в нас стабилен стереотип на мислене и едва след това ни добавя умствени способности (или, напротив, ни лишава от свободно мислене).

pozg.ru

неделя, 4 август 2019 г

Пишех постскриптум към статия за и видях този прекрасен текст в Уикипедия:

Четем: „...богат теоретична основаматематиката на Вавилон не е имала холистичен характер и е била сведена до набор от различни техники, лишени от обща системаи доказателствената база."

Еха! Колко сме умни и колко добре виждаме недостатъците на другите. Трудно ли ни е да погледнем съвременната математика в същия контекст? Леко перифразирайки горния текст, аз лично получих следното:

Богатата теоретична основа на съвременната математика не е холистична и се свежда до набор от различни раздели, лишени от обща система и база от доказателства.

Няма да отивам далеч, за да потвърдя думите си - има език и условности, които са различни от езика и конвенциите на много други клонове на математиката. Едни и същи имена в различните клонове на математиката могат да имат различни значения. Искам да посветя цяла поредица от публикации на най-очевидните гафове на съвременната математика. Ще се видим скоро.

събота, 3 август 2019 г

Как разделяте набор на подмножества? За да направите това, е необходимо да въведете нова мерна единица, която присъства за някои от елементите на избрания набор. Нека да разгледаме един пример.

Нека имаме много Асъстоящ се от четирима души. Това множество е формирано на базата на "хора" Нека да обозначим елементите на това множество с буквата а, индекс с цифра ще посочи поредния номер на всяко лице в този набор. Нека въведем нова мерна единица "пол" и да я обозначим с буквата б... Тъй като сексуалните характеристики са присъщи на всички хора, ние умножаваме всеки елемент от набора Апо пол б... Забележете, че сега нашето множество „хора“ се превърна в множество „хора с полови характеристики“. След това можем да разделим половите характеристики на мъжки bmи жените bwсексуални характеристики. Сега можем да приложим математически филтър: избираме една от тези полови характеристики, няма значение коя е мъжка или женска. Ако човек го има, тогава го умножаваме по едно, ако няма такъв знак, го умножаваме по нула. И тогава прилагаме обичайната училищна математика. Вижте какво се случи.

След умножение, редукция и пренареждане получихме две подмножества: подмножеството на мъжете Bmи подгрупа жени Bw... Математиците мислят за същото, когато прилагат теорията на множествата на практика. Но те не ни посвещават на детайлите, а дават завършен резултат – „много хора се състоят от подгрупа мъже и подгрупа жени“. Естествено, може да се чудите колко правилно е приложена математиката в горните трансформации? Смея да ви уверя, че всъщност трансформациите са направени правилно, достатъчно е да знаете математическата основа на аритметиката, булевата алгебра и други клонове на математиката. Какво е? Някой друг път ще ви разкажа за това.

Що се отнася до супернаборите, можете да комбинирате два набора в един супернабор, като изберете мерната единица, която присъства за елементите на тези два набора.

Както можете да видите, мерните единици и общата математика правят теорията на множествата нещо от миналото. Показател, че теорията на множествата не е наред е, че за теорията на множествата математиците са измислили собствен езики собствени обозначения. Математиците са правили това, което някога са правили шаманите. Само шаманите знаят как "правилно" да прилагат своите "знания". Те ни учат на това "знание".

Накрая искам да ви покажа как математиците манипулират с.

понеделник, 7 януари 2019 г

През V век пр. н. е. древногръцкият философ Зенон от Елея формулира своите известни апории, най-известната от които е апория „Ахил и костенурката“. Ето как звучи:

Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурка и е на хиляда крачки зад нея. През времето, необходимо на Ахил да избяга това разстояние, костенурката ще изпълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил избяга стотина крачки, костенурката ще изпълзи още десет стъпки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение дойде като логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Всички те, по един или друг начин, са считали за апориите на Зенон. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават в момента, научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение за същността на парадоксите ... математически анализ, теория на множествата, нови физически и философски подходи; нито един от тях не се превърна в общоприето решение на въпроса ...„[Уикипедия“, „Апории на Зенон“]. Всички разбират, че са заблудени, но никой не разбира каква е измамата.

От гледна точка на математиката Зенон в своите апории ясно демонстрира прехода от величина към. Този преход предполага приложение вместо константи. Доколкото разбирам, математическият апарат за използване на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апорията на Зенон. Прилагането на обичайната ни логика ни води в капан. Ние, по инерция на мисленето, прилагаме постоянни мерни единици за време към реципрочното. От физическа гледна точка изглежда като забавяне на времето, докато не спре напълно в момента, в който Ахил се изравни с костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да изпревари костенурката.

Ако обърнем логиката, с която сме свикнали, всичко си идва на мястото. Ахил работи с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да се каже „Ахил безкрайно бързо ще настигне костенурката“.

Как можете да избегнете този логичен капан? Останете в постоянни времеви единици и не се връщайте назад. На езика на Зенон това изглежда така:

През времето, през което Ахил ще избяга хиляда крачки, костенурката ще изпълзи стотина стъпки в същата посока. За следващия интервал от време, равно на първото, Ахил ще тича още хиляда крачки, а костенурката ще изпълзи стотина крачки. Сега Ахил е осемстотин крачки пред костенурката.

Този подход адекватно описва реалността без никакви логически парадокси. Но не е така цялостно решениеПроблеми. Твърдението на Айнщайн за непреодолимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон "Ахил и костенурката". Все още трябва да проучим, преосмислим и решим този проблем. И решението не трябва да се търси безкрайно големи числаи в мерни единици.

Друга интересна апория Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от време тя е в покой и тъй като е в покой във всеки момент от време, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки момент от времето летяща стрела почива в различни точки от пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на движението му, нито разстоянието до него. За да се определи фактът на движението на автомобила, са необходими две снимки, направени от една и съща точка в различни моменти от време, но е невъзможно да се определи разстоянието от тях. За да определите разстоянието до колата, имате нужда от две снимки, направени едновременно от различни точки в пространството, но те не могат да определят факта на движение (разбира се, все още са необходими допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне). Това, на което искам да обърна специално внимание, е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не трябва да се бъркат, защото предоставят различни възможности за изследване.
Нека ви покажа процеса с пример. Избираме "червено твърдо вещество в пъпка" - това е нашето "цяло". В същото време виждаме, че тези неща са с лък, но няма лъкове. След това избираме част от "цялото" и оформяме комплект "с лък". Ето как шаманите се хранят, като обвързват своята теория на множеството с реалността.

Сега нека направим малък мръсен трик. Вземете "твърдо в пъпка с лък" и комбинирайте тези "цели" по цвят, като изберете червените елементи. Имаме много "червени". Сега един въпрос за попълване: получените комплекти "с лък" и "червено" са един и същи набор или са два различни комплекта? Само шаманите знаят отговора. По-точно, самите те не знаят нищо, но както се казва, така да бъде.

Този прост пример показва, че теорията на множеството е напълно безполезна, когато става въпрос за реалност. Каква е тайната? Оформили сме набор от "червени твърди в бум с лък". Оформянето става по четири различни мерни единици: цвят (червен), здравина (твърд), грапавост (в пъпка), орнаменти (с лък). Само набор от мерни единици дава възможност да се опишат адекватно реални обекти на езика на математиката... Ето как изглежда.

Буквата "а" с различни индекси означава различни мерни единици. Мерните единици са маркирани в скоби, чрез които "цялото" се разпределя на предварителния етап. Мерната единица, с която се формира комплектът, се изважда от скобите. Последният ред показва крайния резултат - елементът от комплекта. Както можете да видите, ако използваме мерни единици, за да образуваме набор, тогава резултатът не зависи от реда на нашите действия. И това е математика, а не танците на шамани с тамбури. Шаманите могат "интуитивно" да стигнат до същия резултат, като го аргументират "с очевидността", тъй като мерните единици не са включени в техния "научен" арсенал.

Много е лесно да използвате единици, за да разделите един или да комбинирате няколко комплекта в един супернабор. Нека разгледаме по-отблизо алгебрата на този процес.

Стойностите на синусите са затворени в интервала [-1; 1], т.е -1 ≤ sin α ≤ 1. Следователно, ако | a | > 1, то уравнението sin x = a няма корени. Например, уравнението sin x = 2 няма корени.

Нека се обърнем към някои задачи.

Решете уравнението sin x = 1/2.

Решение.

Забележете, че sin x е ордината на точка от единичната окръжност, която се получава чрез завъртане на точката P (1; 0) на ъгъл x около началото.

Ордината, равна на ½, присъства в две точки от окръжността M 1 и M 2.

Тъй като 1/2 = sin π / 6, точката M 1 се получава от точка P (1; 0) чрез завъртане през ъгъл x 1 = π / 6, а също и чрез ъгли x = π / 6 + 2πk, където k = +/- 1, +/- 2, ...

Точка М 2 се получава от точка Р (1; 0) в резултат на завъртане през ъгъл х 2 = 5π / 6, както и през ъгли х = 5π / 6 + 2πk, където k = +/- 1, + /- 2, ... , т.е. при ъглите х = π - π / 6 + 2πk, където k = +/- 1, +/- 2,….

И така, всички корени на уравнението sin x = 1/2 могат да бъдат намерени по формулите x = π / 6 + 2πk, x = π - π / 6 + 2πk, където k € Z.

Тези формули могат да бъдат комбинирани в една: x = (-1) n π / 6 + πn, където n € Z (1).

Наистина, ако n е четно число, т.е. n = 2k, то от формула (1) получаваме х = π / 6 + 2πk, а ако n е нечетно число, т.е. n = 2k + 1, то от формула (1) получаваме х = π - π / 6 + 2πk.

Отговор. х = (-1) n π / 6 + πn, където n € Z.

Решете уравнението sin x = -1/2.

Решение.

Ордината -1/2 има две точки от единичната окръжност M 1 и M 2, където x 1 = -π / 6, x 2 = -5π / 6. Следователно всички корени на уравнението sin x = -1/2 могат да бъдат намерени по формулите x = -π / 6 + 2πk, x = -5π / 6 + 2πk, k € Z.

Можем да комбинираме тези формули в една: x = (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).

Наистина, ако n = 2k, тогава по формула (2) получаваме x = -π / 6 + 2πk, а ако n = 2k - 1, тогава по формула (2) намираме x = -5π / 6 + 2πk.

Отговор. x = (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.

По този начин всяко от уравненията sin x = 1/2 и sin x = -1/2 има безкраен брой корени.

На интервала -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 всяко от тези уравнения има само един корен:
x 1 = π / 6 е коренът на уравнението sin x = 1/2 и x 1 = -π / 6 е коренът на уравнението sin x = -1/2.

Числото π / 6 се нарича арксинус на числото 1/2 и се записва: arcsin 1/2 = π / 6; числото -π / 6 се нарича арксинус на числото -1/2 и се записва: arcsin (-1/2) = -π / 6.

Като цяло, уравнението sin x = a, където -1 ≤ a ≤ 1, има само един корен в интервала -π / 2 ≤ x ≤ π / 2. Ако a ≥ 0, тогава коренът се съдържа в интервала; ако< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

По този начин арксинусът на числото a € [–1; 1] такова число се нарича € [–π / 2; π / 2], чийто синус е равен на a.

arcsin а = α, ако sin α = а и -π / 2 ≤ х ≤ π / 2 (3).

Например arcsin √2 / 2 = π / 4, тъй като sin π / 4 = √2 / 2 и - π / 2 ≤ π / 4 ≤ π / 2;
arcsin (-√3 / 2) = -π / 3, тъй като sin (-π / 3) = -√3 / 2 и - π / 2 ≤ - π / 3 ≤ π / 2.

Подобно на начина, по който е направено при решаването на задачи 1 и 2, може да се покаже, че корените на уравнението sin x = a, където | a | ≤ 1, се изразяват с формулата

х = (-1) n аrcsin а + πn, n € Z (4).

Можем също да докажем, че за всяко a € [-1; 1] формулата arcsin (-a) = -arcsin a е валидна.

От формула (4) следва, че корените на уравнението
sin x = a за a = 0, a = 1, a = -1 може да се намери с помощта на по-прости формули:

sin х = 0 х = πn, n € Z (5)

sin x = 1 x = π / 2 + 2πn, n € Z (6)

sin x = -1 x = -π / 2 + 2πn, n € Z (7)

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Най-простото решение тригонометрични уравнения.

Решаването на тригонометрични уравнения от всяко ниво на сложност в крайна сметка се свежда до решаването на най-простите тригонометрични уравнения. И в това най-добрият помощникотново се оказва тригонометричен кръг.

Нека си припомним определенията за косинус и синус.

Косинусът на ъгъла е абсцисата (тоест координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане под даден ъгъл.

Синусът на ъгъла е ординатата (тоест координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане под даден ъгъл.

Положителната посока на движение в тригонометричния кръг е движение обратно на часовниковата стрелка. Завъртане от 0 градуса (или 0 радиана) съответства на точка с координати (1; 0)

Ще използваме тези дефиниции за решаване на най-простите тригонометрични уравнения.

1. Да решим уравнението

Това уравнение се удовлетворява от всички такива стойности на ъгъла на въртене, които съответстват на точките на окръжността, чиято ордината е равна на.

Нека отбележим върху оста на ординатата точка с ордината:

Нека начертаем хоризонтална линия, успоредна на оста на абсцисата, докато се пресече с окръжността. Получаваме две точки, лежащи върху окръжност и с ордината. Тези точки съответстват на ъглите на завъртане от и радиани:

Ако, напускайки точката, съответстваща на ъгъла на завъртане по радиани, заобиколим пълен кръг, тогава ще стигнем до точката, съответстваща на ъгъла на завъртане по радиани и имаща същата ордината. Тоест този ъгъл на въртене също удовлетворява нашето уравнение. Можем да правим толкова "неактивни" обороти, колкото искаме, връщайки се към същата точка и всички тези стойности на ъглите ще задоволят нашето уравнение. Броят на оборотите на празен ход ще бъде обозначен с буквата (или). Тъй като можем да правим тези обороти както в положителна, така и в отрицателна посока, (или) можем да приемем всякакви цели числа.

Тоест първата серия от решения на оригиналното уравнение има формата:

,, е наборът от цели числа (1)

По същия начин, втората серия от решения е:

, където , . (2)

Както може би се досещате, тази серия от решения се основава на точката на окръжността, съответстваща на ъгъла на завъртане.

Тези две серии от решения могат да бъдат комбинирани в един запис:

Ако вземем този запис (тоест, четен), тогава получаваме първата серия от решения.

Ако вземем този запис (тоест нечетен), тогава получаваме втората серия от решения.

2. Сега нека решим уравнението

Тъй като е абсцисата на точката на единичната окръжност, получена чрез завъртане под ъгъл, маркирайте точката с абсцисата на оста:

Начертайте вертикална линия, успоредна на оста, докато се пресече с окръжността. Получаваме две точки, лежащи върху окръжност и с абсцис. Тези точки съответстват на ъглите на завъртане от и радиани. Припомнете си, че при движение по часовниковата стрелка получаваме отрицателен ъгъл на въртене:

Нека запишем две серии от решения:

,

,

(Стигаме до желаната точка, преминавайки от основния пълен кръг, т.е.

Нека комбинираме тези две серии в един запис:

3. Решете уравнението

Допирателната минава през точката с координати (1,0) на единичната окръжност, успоредна на оста OY

Отбелязваме точка върху нея с ордината, равна на 1 (търсим тангенса на чийто ъгли е 1):

Нека свържем тази точка с началото на координатите с права линия и маркираме точките на пресичане на правата линия с единичния кръг. Пресечните точки на правата линия и окръжността съответстват на ъглите на въртене върху и:

Тъй като точките, съответстващи на ъглите на въртене, които удовлетворяват нашето уравнение, лежат на разстояние от радиани една от друга, можем да запишем решението по този начин:

4. Решете уравнението

Котангенсната права минава през точката с координати на единичната окръжност, успоредна на оста.

Нека отбележим на линията на котангентите точка с абсцис -1:

Нека свържем тази точка с началото на координатите на права линия и я продължим до пресечната точка с окръжността. Тази линия ще пресича окръжността в точките, съответстващи на ъглите на завъртане от и радиани:

Тъй като тези точки са разделени една от друга на разстояние, равно на, тогава общо решениеможем да запишем това уравнение, както следва:

В дадените примери, илюстриращи решението на най-простите тригонометрични уравнения, са използвани таблични стойности на тригонометричните функции.

Въпреки това, ако няма таблична стойност от дясната страна на уравнението, тогава ние заместваме стойността в общото решение на уравнението:

СПЕЦИАЛНИ РЕШЕНИЯ:

Нека отбележим върху окръжността точките, чиято ордината е равна на 0:

Нека отбележим върху окръжността една точка, чиято ордината е равна на 1:

Нека отбележим върху кръга единствената точка, чиято ордината е равна на -1:

Тъй като е обичайно да се посочват стойностите, които са най-близки до нула, ние пишем решението, както следва:

Забележете върху окръжността точките, чиято абциса е равна на 0:

5.
Нека отбележим върху окръжността единствената точка, чиято абциса е равна на 1:

Нека отбележим върху окръжността единствената точка, чиято абциса е равна на -1:

И малко по-сложни примери:

1.

Синусът е единица, ако аргументът е

Аргументът на нашия синус е равен, така че получаваме:

Разделете двете страни на равенството на 3:

Отговор:

2.

Косинусът е нула, ако аргументът на косинуса е

Аргументът на нашия косинус е равен, така че получаваме:

Нека изразим, за това първо се движим надясно с противоположен знак:

Нека опростим дясната страна:

Разделете двете части на -2:

Обърнете внимание, че знакът не се променя пред термина, тъй като k може да приеме всякакви цели числа.

Отговор:

И накрая, гледайте видеоурока "Избор на корени в тригонометрично уравнение с помощта на тригонометричен кръг"

С това приключваме разговора за решаването на най-простите тригонометрични уравнения. Следващия път ще говорим как да го решим.