Uzdevumi par trigonometrisko funkciju praktisko pielietošanu. Par praktisko apmācību

Pašlaik katrs matemātikas skolotājs nosaka uzdevumu ne tikai informēt skolēnus noteiktu zināšanu daudzumu, aizpildīt savu atmiņu ar dažiem faktiem un teorēmiem, bet arī mācīt studentiem domāt, attīstīt savu domu, radošo iniciatīvu, neatkarību.

Funkciju un to īpašību izpēte ir veltīta nozīmīgai algebras daļai. Un tas nav nejauši. Skolēnu iegūtās prasmes, studējot funkcijas, tiek izmantotas un praktiskas. Tos plaši izmanto gan matemātikas, gan citu skolu priekšmetu pētījumā - fizika, ķīmija, ģeogrāfija, bioloģija, tiek plaši izmantotas cilvēku praktiskajā darbībā. No tā, kā studenti ir iemācījušies atbilstošās prasmes, ir atkarīga no daudzu skolas matemātikas kursa asimilācijas panākumiem. Teorētiskās un uzdevumu materiāla analīze ļauj izcelt divas prasmju grupas, kuru veidošana ir rūpīgi jāuzrauga, pētot visu veidu īpašās funkcijas, - spēja strādāt ar formulu, kas nosaka funkciju, un spēju strādāt ar šīs funkcijas grafiku. Svarīgākā nozīme studentu funkcionālajā apmācībā ir grafisko prasmju veidošanās.

Grafiks ir redzamības līdzeklis, ko plaši izmanto, pētot daudzus jautājumus skolā. Funkcijas grafiks darbojas kā pamata atsauces veids vairāku koncepciju veidošanā - palielinot un dilstošā funkciju, paritāti un dīvainību, funkcijas atgriezeniskumu, ekstrēmuma koncepciju. Bez skaidru un apzinātu ideju par studentiem pēc grafika, nav iespējams piesaistīt ģeometrisko redzamību, veidojot tādus centrālos efektus par algebras kursu un sāka analīzi, kā nepārtrauktību, atvasinājumu, integrālu. Skolēniem jāsagatavo spēcīgas prasmes gan būvniecībā, gan funkciju grafiku lasīšanā.

Nepieciešamā bāze turpmākai funkcionālā materiāla izmantošanai ir ilgstoša neatkarīga skolēnu prasme, lasot funkciju grafikus. Viņiem vajadzētu būt iespējai droši un brīvi atbildēt ar vairāku jautājumu grafiku:

saskaņā ar konkrētu vērtību vienu no mainīgajiem lielumiem X vai Y nosaka vērtību cita;
noteikt nepilnības pieauguma un dilstošā funkciju;
noteikt alternatenes intervālus;
norādiet vērtību argumentu, kurā funkcija ņem augstāko (mazāko) vērtību, kā arī nosaka šo vērtību.

Studentiem jāattiecas uz iepriekš uzskaitīto funkciju grafiku vienādojumu grafiskiem risinājumiem, vienādojumu sistēmām, nevienlīdzībai.

Lai izveidotu spēcīgu prasmi ēku un lasīšanas funkcijās, pārliecinieties, ka katrs students var veikt galvenos uzdevumu veidus neatkarīgi, tas ir iespējams tikai tad, ja studenti veic pietiekamu skaitu mācību vingrinājumus.

Šis materiāls ļauj atcerēties grafiku pamatfunkcijas mācību gada absolventiem, gatavojoties eksāmeniem vai lieto ar skaidrojumu par šo tēmu. Atsauksmes par Graph Transforms ir skaidri parādīts.

Nepārtrauktības īstenošana apmācībā ir noteikt nepieciešamās attiecības un pareizās attiecības starp izglītības priekšmeta daļām dažādos tās pētījuma posmos. Izturīgs pamats matemātikas pētījumam tiek likts kursā algebra un ģeometrijas galvenās skolas. No kādām zināšanām saņems studentus pamatskolā, kādas prasmes un prasmes tiks ražotas, matemātikas kursa sasniegumi vidusskolās ir atkarīga, un tāpēc apzināta zināšanu izmantošana, kas gūta, risinot konkrētus uzdevumus. Šis jautājums ir sarežģīts pedagoģiskais uzdevums, viņa lēmums, jo pieredze rāda, ir jāapsver un pilnveidojot visu mācību procesu, un, stabilizēt matemātikas saturu, un ar orientāciju mācību uz pieteikumu no matemātikas kursa, un, jo īpaši, uzlabojot secīgus savienojumus, kas pakāpeniski pētīti matemātikas.

Funkciju izpēte un to īpašības ir veltīta nozīmīgai pamatskolas algebras gaitai. Un tas nav nejauši. Funkcijas jēdzienam ir milzīga pielietotā vērtība. Daudzi no fiziskajām, ķīmiskajām, bioloģiskie procesiAr kuru dzīvi nav iedomājama, ir laika funkcijas. Ekonomiskie procesi ir arī funkcionālas atkarības. Funkcijām ir svarīga loma programmēšanā un kriptogrāfijā, dažādu mehānismu projektēšanā, apdrošināšanā, izturības aprēķināšanā utt.

Algebras gaitā un matemātiskās analīzes sākumā 10-11 klasēs ir paredzēta turpmākai pamatfunkciju izpētei un to īpašībām. Funkcionālo pārstāvniecību veidošanās ir galvenā stieņa programma un konsultācijas Šīm klasēm.

Studentu praktiskie darbi Algebra ir sava veida radoša darbība. Tie ļauj apzināti izpētīt ieviestos koncepcijas un apstiprinājumu, tas ir labāk atcerēties tos, ietver visu veidu atmiņas procesā un veicināt pieaugošo interesi par šo tēmu. Uz tēmu: "pārvērst logaritmiskās (pieaugošās) funkcijas grafikus."

Pokropayeva O.B.

matemātiskais skolotājs

Gbou Sosh №47 Sanktpēterburga

Uzdevumi mutiskam darbam uz tēmu

"Trigonometriskās funkcijas"

Viena no galvenajām iezīmēm, ko pašlaik īstenojusi skolas sistēmas pārveidošana, ir tās koncentrēšanās uz katra studenta personības visaptverošu attīstību. Un tas prasa būtisku atjauninājumu no iepriekšējām formām, metodēm, mācību līdzekļiem, pazīmēm, kuras galvenais mērķis ir mācīt skolēnus uz citu veidu, kā atrisināt jebkāda veida uzdevumus vai iepazīstināt tos ar citu, nekādā veidā nav saistīts ar Visa iepriekšējā, jauna koncepcija.

Skolas matemātiskās izglītības galvenais mērķis ir attīstīt ne veidni un loģisko, radošo domāšanu studentiem. Un galvenais šā mērķa sasniegšanas līdzeklis ir uzdevumi. Patiesībā viens no galvenajiem uzdevumu un vingrinājumu iecelšanas ir pastiprināt studentu garīgo aktivitāti stundā. Matemātiskiem uzdevumiem vispirms ir pamodināt studentu ideju, lai piespiestu to strādāt, attīstīt, uzlabot.

Tāpēc šī darba mērķis bija izveidot mutvārdu uzdevumu sistēmu, lai izpētītu tēmu "trigonometriskās funkcijas", kas atbilst visām iepriekš minētajām prasībām.

TextBook "Algebra- 10 "(Alimova Sh.A.) vairāk Uzdevumi ir vērsti uz skaitļošanas darbībām atbildei, savukārt uzdevumi ar pētniecības elementiem un matemātisko koncepciju asimilāciju uzdevumu ir nepietiekami daudzumos. Saistībā ar šo manitika izstrādātas mutvārdu uzdevumu sistēma, kas papildina mācību grāmatas uzdevumus, saskaņā ar nozīmīgākajām tēmas "trigonometrisko funkciju", kas tiek prezentētas darbā. Katrs sistēmas uzdevums nodrošina metodiskos komentārus (kurā mācību situācijas ir ieteicams to izmantot, tostarp, ņemot vērā profila diferenciāciju).

Uzdevumi mutiskam darbam un metodiskiem komentāriem par tiem

Viens no līdzekļiem, kas veicina vislabāko matemātikas asimilāciju, ir mutiski uzdevumi (nedrīkst sajaukt ar mutisks konts). Ar viņu palīdzību studenti ir skaidrāk saprotami ar matemātisko koncepciju, teorēmu, matemātisko transformāciju būtību.

Mutes uzdevumi aktivizē studentu garīgo aktivitāti, attīstīt uzmanību, novērošanu, atmiņu, runu, reakcijas ātrumu, palielina interesi par pētīto materiālu. Tie ļauj uzzināt lielu materiālu ziņā apjoma uz īsāku laika periodu, ļauj skolotājs spriest gatavību klases mācīties jauno materiālu, par asimilācijas pakāpi, palīdz identificēt studentu kļūdas.

Mācību sākumā notika mutes mācības palīdzības studentiem, kas ātri ieslēdzu darbu, nodarbības vidū vai beigās kalpo kā sava veida izlāde pēc rakstiska vai praktiska darba spriedzes un noguruma. Veicot šos uzdevumus, studenti biežāk nekā citos mācību posmos var mutiski reaģēt, kas, savukārt, veicina veidošanos savu kompetento matemātisko runu. Tajā pašā laikā viņi nekavējoties pārbauda viņu atbildes pareizību. Atšķirībā no rakstiskajiem uzdevumiem, mutes saturs ir tas, ka lēmums to neprasa liels skaits Pamatojums, transformācijas, apgrūtinoša skaitļošana. Bet tikmēr tie atspoguļo svarīgus kursa elementus.

Organizējot mutes priekšējos vingrinājumus, lai ietaupītu laiku stundā, ir ieteicams izmantot projektoru vai citu multimediju tehniku.

Šeit tiks iesniegta mutvārdu uzdevumu sistēma, papildinot mācību grāmatas uzdevumus, saskaņā ar nozīmīgākajām tēmas "trigonometriskajām funkcijām". Tie ietver:

1. Pagrieziet punktu ap koordinātu izcelsmi.

2. Sinusa, kosinas un pieskares definīcijas.

3. Prasījumu formulas.

4. Vienkāršākais trigonometriskie vienādojumi un nevienlīdzība.

6. grafiku pārveidošana trigonometriskās funkcijas.

7. Inversās trigonometriskās funkcijas.

8. Atvasinātas trigonometriskās funkcijas

Šī sistēma ietver:

Kvalitatīvi jautājumi;

Uzdevumi.

Pirmais var tikt izmantots ne tikai frontālam mutiskajam darbam, bet arī pašpateiļa un grupu darbam.

Ierosinātos uzdevumus var izmantot skolotājs un gatavojoties pētījumam jaunu materiālu, un primārajā iepazīšanā, konsolidācijā, un, likvidējot nepilnības studentu zināšanām.

Veidojot sistēmas uzdevumus, apgrieztās uzdevumi bieži tika izmantoti, ja objekts jāiesniedz ar lēmumu. Piemēram, risinot vienādojumu, paša vienādojums ir konstruēts. Šādi uzdevumi veicinās labāku informētību par izskatāmajiem studentiem.

Turklāt daudzi uzdevumi izmanto vizuālos attēlus, kas arī ļauj uztvert objektu, kas tiek pētīts kā holistiska parādība un kā tās īpašību kopums. Tas arī būtu jāveicina labākā realizācija jēdzieniem pētīta, īpašības, parādības.

Uzdevumi, kas veido sistēmu atbilst dažādam sarežģītības līmenim. Uzdevuma sarežģītību norāda kapitāla latīņu burti A, B vai C. Attiecīgi uzdevums ar indeksu C ir visvairāk augsts līmenis grūtības.

Sistēmas uzdevumi ir iesniegti saskaņā ar izvēlētajām sadaļām. Un katras sadaļas uzdevumos tiek dota metodoloģiskie komentāri (kurā mācību situācijas ir ieteicams tos izmantot, tostarp, ņemot vērā profila diferenciāciju).

1. Pagrieziet punktu ap koordinātu sākumu

Kvalitatīvi jautājumi:

1. Kāds jautājums ir jāpiešķir apstiprinoša atbilde:

A) Vai AOS lielums var būt vienāds ar 2 radiāniem?

B) Vai loka vērtība var būt vienāda ar 0 radians?

C) vai r ir taisnība11 π \u003d R -10 π?

D) Vai tas ir taisnība, ka r9 π \u003d R -7 π?

2. Kurš no apgalvojumiem ir nepatiesa:

A) ja t 2 \u003d t 1 + π , tad punktu punkti pt2 un P T1 - pretēji numuriem.

B) ja t 2 \u003d t 1 + π , tad abscisijas punkti pt2 un P T1 - pretēji numuriem.

C) ja t 1 \u003d π-α, t 2 \u003d π + α, kur α , tad punktu punkti pt1 un p t2 - pretēji numuriem.

D) ja p t1 un p t2 punkti sakrīt, skaitļi t1 un t 2 ir vienādi.

Mutes uzdevumi:

3. Nosakiet viena apļa punktu koordinātas:

A) P 90; b) p 180; c) P 270; d) P-90; e) p -180; e) R -270.

4. Ļaujiet a (1; 0), in (0; 1), C (-1; 0), D (0; -1). Kurus no šiem punktiem iegūst, pagriežot punktu (1; 0) leņķī:

A) 450 O; b) 540 O; in) -720 o?

Komentāri:

3. un 4. uzdevumi (A grūtības)mēs esam apmācīti dabā, un tos var piedāvāt studentiem tūlīt pēc šīs tēmas izpētes. Turklāt 3. uzdevums var tikt izmantots, gatavojoties studijai par "sine, cosino un Tangent" tēmas "sākumā nodarbības (ja definīcijas tiek ievadītas, izmantojot vienu apli).

1. un 2. jautājumi - grūtības ar - tāpēc tie nav piemēroti, lai izturētu perorālo priekšējo darbu vispārējās izglītības klasē. Bet tos var izmantot kā papildu jautājumus par tēmas "trigonometrijas elementiem" vispārināšanu. Tomēr matemātiskajā klasē šādus jautājumus var izmantot priekšā darbā ar studentiem tūlīt pēc tēmas izpētes.

2. Sinusa, kosine un pieskares definīcijas

Kvalitatīvi jautājumi:

1. Vai sine leņķis var būt vienāds ar:

A) -3,7; b) 3.7; in in) ; d) ?

2. Vai stūris var būt vienāds ar:

A) 0,75; b) ; c) -0,35; d) ?

3. Kādas vērtībasa un B. taisnīgi šādas vienlīdzības:

Cos. grēks. Tg.

Grēks. Ctg. cos. ?

4. Vai ir iespējami līdzvērtīgi:

2 - grēks \u003d 1,7 tg.

Mutes uzdevumi:

5. Meklējot zīmējumu, definējiet burtu, kas atbilst:

A) Sin 220 O

Cos.

b) cos 80 o sin80 o

Cos (-280 o) sin800 o

Cos 380 o grēks (-340 o)

Komentāri:

Uzdevumi 1-5 (sarežģītībaattiecīgi, A, un C, B, B) ir ieteicams piedāvāt studentiem tūlīt pēc galveno trigonometrisko funkciju noteikšanas vienā lokā. Uzdevums3 var izraisīt grūtības vidusskolā, jo tas ir nepieciešams darboties parametrosa un B, Tāpēc nav nepieciešams izturēt to mutvārdu darbā, bet jūs varat, pārkāpjot vienu piemēru uz kuģa, iekļaujiet norādīto uzdevumu rakstiski darba stundā.

Uzdevuma metodiskā vērtība5 , bet sastāv no vairākkārtējas izvēles pareizo atbildi. Uzdevums5 , B, turklāt šo tēmu var izmantot, sagatavojot pētījumu par tēmu "Prasības formula":

cos 80 o \u003d cos (80 o -2 π) \u003d cos (-280 O)

sin 80 O \u003d grēks (80 o +4 π) \u003d sin 800 o

Sakarā ar uzdevumu redzamību un pieejamību5 To var izmantot, strādājot ar humāno klasi.

3. Prasījumu formulas

Mutes uzdevumi:

1. Atrast α, ja 0 o α o I.

A) sin 182 o \u003d - sin α; b) cos 295 o \u003d cos α.

2. Atrodiet vairākas vērtībasα, ja:

a) Sin α \u003d grēks 20 O; b) cos α \u003d - cos 50 o; c) TG α \u003d TG 70 O.

Komentāri:

Ierosinātie uzdevumi (grūtības) nepiemērota formulu izmantošana nestandarta situācijā. Šajā sakarā studenti var ierosināt studenti šīs tēmas fiksācijas posmā. Turklāt,tos var izmantot, pētot tēmu "Periodiskums". Par humanitāro uzdevumu klasi 1, jūs varat vienkāršot, izmantojot vienu apli:

Līdzīgi 1, a). Līdzīgi 2, b), b).

4. Vienkāršākās trigonometriskās vienādojumi un nevienlīdzība

Mutes uzdevumi:

1.1. Zvaniet vismaz vienam vienādojumam, kuru risinājums ir numuri:

A) π n, n ; in in) ; e) π +2 π n, n

B) 2 π n, n ; d) ;

1.2. Risinājumi, kuru trigonometriskie vienādojumi ir attēloti šādās shēmās:

2. Vai numurs ir numursπ Vienādojuma sakne:

Bet) ; b) ?

3. Pierakstiet ar nevienlīdzības palīdzību visu punktu kopux. atrodas uz loka:

A) BMC; c) bcd;

B) CND; d) CDA.

4. Risinājumi, kas ir attēloti trigonometriskā nevienlīdzība šādās shēmās:

Komentāri:

Uzdevumi 1.1, 1.2 ( grūtības a) ir reproduktīvā, un to var izmantot, lai uzraudzītu studentu zināšanas pēc tēmas "vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu" studiju. Par humanitāro klasi, ir vairāk lietderīgi izmantot uzdevumu 1.2 sakarā ar tās redzamību. 1.2. Uzdevums ir atsauce uz tipa uzdevumiem: "Atrisināt vienādojumu:sin x \u003d -1 esošās mācību grāmatās. Tas veido studentus spēju lasīt līdzīgas shēmas un atklāj trigonometrisko vienādojumu nozīmi vienā lokā.

2. uzdevums (grūtības) to var izmantot noteiktā tēmas primārajā konsolidācijā matemātiskajā klasē vai vispārējā nodarbībā vispārējā izglītībā (vai humanitārajā) klasē.

3. uzdevums (grūtības a) var piedāvāt studenti mācību stundu sākumā tieši pirms tēmas "vienkāršākā trigonometriskā nevienlīdzība".

4. uzdevums (QU sarežģītība) ir atsauce uz tipa uzdevumiem: "Atrisināt nevienlīdzību: sinx ≤ 0,5"Tas ir pieejams mācību grāmatās, tas veido studentus spēju lasīt līdzīgas shēmas un atklāj trigonometriskās nevienlīdzības nozīmi vienā lokā. No šiem uzdevumiem jūs varat sākt mācīties tēmu " Trigonometriskā nevienlīdzība"Gan humānās un matemātiskās klasēs.

5. Trigonometrisko funkciju izpēte.

5.1. Periodiskums.

Kvalitatīvi jautājumi:

Vai šī plaisa (vai nepilnību integrācija) ir periodiskās funkcijas noteikšanas joma:

bet) (- ; in in) ; e) ?

b) ; d) ;

2. Vai apstiprinājums ir taisnība:

a) periodiskajai funkcijai var būt ierobežots skaits periodu;

b) Ja numurs t ir funkcijas periodsf (x), tad 2. numurs ir arī šīs funkcijas periods;

c) ja t 1 un t 2 - funkciju periodif (x), tad numurs t 1 + t 2 arī šīs funkcijas periods?

Norādiet nepatiesu paziņojumu:

a) pieaugošā funkcija nevar būt periodiska;

b) samazinājuma funkcija nevar būt periodiska;

c) periodiskā funkcija ir bezgalīga sakņu kopa;

d) periodiskā funkcija nevar būt galīgais komplekts saknes.

Mutes uzdevumi:

4. Kuras no funkcijām nav periodiska:

bet) in in) e) ;

b) ; d) ; e) ?

5. Kāda funkcija ir vismazāk pozitīvs periods vairāk nekā 2π :

bet)

in in)

d) ?

6. Nosakiet funkcijas funkciju, kas attēlota attēlā:

Komentāri:

Jautājumi 1-3 (grūtības C) var piedāvāt studentiem matemātiskās klases tūlīt pēc ieviešanas periodiskas funkcijas. Skolotājs ar viņu palīdzību var izrēķināt šīs koncepcijas studentu izpratnes pakāpi.

4. uzdevums (sarežģītība c) apkopo, un tāpēc parastās klases studenti var ierosināt par tēmas "trigonometrisko funkciju biežumu".

5. uzdevumu (CO) var izmantot mutvārdu darbam tikai matemātiskajā klasē. Vispārējās izglītības klasē šis uzdevums jāveic, rakstot darbu.

6. uzdevums (A) ir paredzēta humānās klases studentiem. Tā ir apmācība un to var piedāvāt studentiem tūlīt pēc šīs tēmas izpētes.

5.2. Paritāte

Kvalitatīvi jautājumi:

Kāda veida paziņojums ir nepatiess:

a) abu summaR. Funkcijas ir izmērīta funkcija;

b) divu atšķirība patR. funkcijām ir pat funkcija;

c) divu darbu darbsR. funkcijām ir pat funkcija;

d) Jebkura funkcija ir zināma vai nepāra.

Mutes uzdevumi:

Norādiet nepāra funkciju grafiku:

Kuras no norādītajām funkcijām ir nepāra:

; ;

; ?

Prasmes:

4. Izmantojiet tāmi un uzbrukumu praktiskajos aprēķinos.

Laika kurss: 6

Progresu.

1.1 apzinās I. racionāli numuri

1. 4064,5: 5,5 – 7,6 89,6

3. 82,8 0,54 – 7,54: 6,5

4. 25,3 5,3 – 556,272: 4,8

5. 32,6 15,6 – 7230,912: 5,2

6. 4976,748: 8,7 – 5,8 97,3

7. ,75

1.2 faktiskie skaitļi

Atrodiet izteiksmes vērtību

1. A 3 - BA 2 pie A \u003d 6, B \u003d 0.4

2. 3a 3 - 6ba 2 pie A \u003d -1, B \u003d 0.8

3. x 2 + bx pie x \u003d -6, b \u003d 0.4

4. BA 3 - B 2 A pie A \u003d 6, B \u003d -4

5. pie x \u003d -5; y \u003d 3.

6. A 2 - BA 3 pie A \u003d 4, B \u003d 0.4

7. Pie x \u003d 4; y \u003d 8.

8. pie x \u003d 8; y \u003d -3.

1.3 Aptuvenie aprēķini

Noapaļoti skaitļi līdz simtiem, vienībām, desmitdaļām, simtdaļām, tūkstošiem tūkstošu: 3620,80745; 208,4724; 82 30065; 0,03472.

Veidlapas ziņošana.Papīru darbs.

Kontroles jautājumi.

Kādus skaitļus sauc par veseliem skaitļiem?
Kādus skaitļus sauc par dabīgiem?
Kādus skaitļus sauc par racionālu?
Kādus skaitļus sauc par neracionāliem?
Kādus numurus sauc par derīgu?
Kādus skaitļus sauc par sarežģītu?

Literatūra.

Darba rezultātu novērtējums.Ievades kontroles darbi

Praktiskā nodarbība Nr. 2

Temats:Trigonometriskās izpausmes

Mērķis:Uzziniet, kā pārveidot trigonometriskos izteiksmes, izmantojot pamatformulas.

Laika kurss: 10

Izglītības iekārtas Darba vieta:atsauces tabulas, izplatīšanas materiāls.

Progresu.

2. 1. Trigonometriskās funkcijas. Stūrī.

1. Aprēķiniet, izmantojot tabulu:

2. Nosakiet izteiksmes zīmi:

Express grādos:

2. izteikt radiānus;

135 0 ; 210 0 ; 36 0 ; 150 0 ; 240 0 ; 300 0 ; -120 0 ;

225 0 ;10 0 ;18 0 ; 54 0 ;200 0 ; 390 0 ;-45 0 ; -60 0

3. Aprēķināt:

a) 2 sin + tg; b) cos - grēks ; c) cos. π - 2 grēks; d) 2 cos + tg π ;

e) grēks 2 + grēks 2; e) cos 2 - cos 2; g) tg 2 grēks tg 2; h) tg cos 2 grēks; un) cos + grēks 2.

4. Atrodiet vārda vērtību:

a) 2 grēks π -2 cos. + 3 TG - CTG; b) grēks (-) + 3 cos - tg + ctg; c) 2 SIN - 3 TG + CTG (- ) - TG. π ; d) 2 tg (-) + 2 sin - 3 tg 0 - 2 CTG; e) 5 sin + 4 cos 0 - 3 grēks + Cos. π ; e) grēks (- π) -2 cos (- ) + 2 grēks 2 π. - tg. π ; g) 3 - grēks 2 + 2 cos 2 - 5 tg 2; h) 3 Sin 2 - 4Tg 2 - 3 cos 2 + 3 CTG 2

Cast formulas

Nomainiet leņķa trigonometrisko funkciju

2. Pievienojiet izteiksmes vērtību

a) Sin 240 0 b) cos (-210 0)

c) TG 300 0 g) Sin 330 0

e) CTG (-225 0) e) Sin 315 0

3. Vienkāršojiet izteiksmi

a) grēks (α -) b) cos ( α – π )

c) CTG (α - 360 0) d) tg (-α + 270 0)

4. Pārvērst izteiksmi

a) grēks 2 ( π + α); b) tg 2 (+ α); c) cos 2 ( - α)

5. Vienkāršojiet izteiksmi

a) Sin (90 0 - α) + cos (180 0 + α) + TG (270 0 + α) + CTG (360 0 + α)

b) grēks (+ α) - cos ( α – π ) + TG ( π - α) + CTG (- α)

c) Sin 2 (180 0 - α) + grēks 2 (270 0 - α)

d) grēks ( π - α) cos ( α – ) - grēks (α +) cos ( π –α)

Formulas papildinājums

1. Izmantojot formulas, pārvērst izteiksmes

a) cos (; b) grēks (c) cos (; d) grēks (;

e) cos (60 0 + α) e) grēks (60 0 + α) g) cos (((30 0 - α) h) grēks (30 0 - α)

2. Sagatavojiet 105 0 kā 60 0 + 45 0 un atrast cos 105 0, SIN105 0

3. Ievietojiet 75 0 kā 30 0 + 45 0 summu un atrodiet COS 75 0, SIN75 0

4. Atrodiet izteiksmes vērtību

a) cos107 0 cos17 0 + sin107 0 sin17 0 b) cos24 0 cos36 0 - sin24 0 sin36 0 c) cos18 0 cos63 0 + sin18 0 sin63 0

D) SIN63 0 COS27 0 + COS63 0 SIN27 0 D) SIN51 0 COS21 0 - COS51 0 SIN21 0 E) SIN32 0 COS58 0 + COS32 0 SIN58 0

5. Vienkāršojiet izteiksmi

a) grēks (- α) - cos α b) sinβ + cos (α -)

c) Cosα - 2cos (α -) d) grēks (+ α) - cos α

6. Pierādiet, ka

a) Sin (α + β) + grēks (α - β) \u003d 2 sin α cos β

b) cos (α - β) + cos (α + β) \u003d 2 sin α grēks β

c) grēks (α + β) · grēks (α - β) \u003d grēks 2 α - grēks 2 β

d) cos (α - β) · cos (α + β) \u003d cos 2 α - cos 2 β

Dubultā stūra formulas.

Vienkāršojiet izteiksmi

a) b)

c) d) cos2α + grēks 2 α

e) cos 2 α - cos2α e)

2. Samazināt frakciju

a b c) d)

3. Vienkāršojiet

a) b) in in) d) Sin 2 α + cos2α

4. Vienkāršojiet izteiksmi

5. Aprēķināt

a) 2 sin15 0 cos15 0 b) 4 sin105 0 cos105 0 c) 2 sin cos

d) cos 2 15 0 - sin 2 15 0 d) 4cos 2 - 4sin 2

e) cos 2 - sin 2 g) 2 sin165 0 cos165 0 z) cos 2 75 0 - Sin 2 75 0

6. Ļaujiet Sinα \u003d un α leņķis otrajā ceturksnī. Atrast cos2α; sin2α; Tg2α.

7. Ļaujiet Sinα \u003d -0,6 un α leņķis trešajā ceturksnī. Atrast cos2α; sin2α; Tg2α.

8. Ļaujiet Cosα \u003d -0,8 un α otrā ceturkšņa leņķim. Atrast cos2α; sin2α; Tg2α.

9. Pierādīt identitāti

2. 7. Trigonometrisko izpausmju pārveidošana.

1. -TG 2 α - grēks 2 α +

3. -CTG 2 α - cos 2 α +

5. TG 2 α + grēks 2 α -

6. CTG 2 α + cos 2 α -

7. (Sinα + Cosα) 2 - Sin2α

10. Sin 4 α - cos 4 α + cos 2 α

11. (3 + sinα) (3 - sinα) + (3 + cos α) (3 - cos α)

13.

14. (CTGα + TGα) (1 + Cosα) (1 - Cosα)

Veidlapas ziņošana.Papīru darbs. Patstāvīgais darbs Katrai sadaļai.

Kontroles jautājumi.

1. Norādiet galvenās trigonometriskās funkcijas definīcijas.

2. Ierakstiet formulas, kas savieno viena argumenta trigonometriskās funkciju vērtības

3. Kā trigonometrisko funkciju pazīmes ir atkarīgas no koordinātu ceturkšņa.

4. Galveno stūri trigonometrisko funkciju vērtības.

5. Galvenā trigonometriskā identitāte, pieskare un kosine savienojums, kotangens un sinusa savienojums, pieskares un kotangens darbs.

6. Prasījumu formulas

7. Dubultā stūra formulas.

8. Trigonometrisko izpausmju summas un atšķirības formulas

9. Formulas papildinājums.

Literatūra. lekcija

https://www.akademia-moskow.ru/ mācību grāmata M.I. Bashmakov "Matemātika" apmācība, uzdevums.

Darba rezultātu novērtējums.

Praktiskā nodarbība numurs 3

Temats:Trigonometriskās funkcijas un vienādojumi

Mērķis:apsverot visu veidu veidus, kā pārveidot funkciju grafikus, iemācīties atrisināt trigonometriskos vienādojumus, izmantojot apgriezto trigonometrisko funkciju un formulu īpašības trigonometrisko vienādojumu risināšanai.

Prasmes:

noteikt funkcijas vērtību ar argumenta vērtību dažādās funkcijas noteikšanas metodēs;
veidot funkciju grafikus y \u003d kompi x, y \u003d sin x, y \u003d tg x (pēc punktiem); Saskaņā ar grafiku, lai izsauktu nepilnības pieaugumu (dilstošā secībā), pastāvīgo pazīmju intervāli, lielākais un mazākās nozīmes Funkcijas Y \u003d COMPI X, Y \u003d SIN X;
atrodiet funkciju definīcijas un vērtību jomas, atrodiet funkcijas funkcijas krustpunktus ar koordinātu asīm, nosaka, kuras no šīm funkcijām ir pat, kas nepāra;
piemērot trigonometrisko funkciju biežuma īpašības, lai izveidotu grafikus;
veidot funkciju grafikus y \u003d mf (x), y \u003d f (kx), harmoniskas svārstības;
aprakstiet pēc grafika un vienkāršākajos gadījumos pēc funkciju uzvedības un īpašību formulas, atrodiet funkciju grafikas lielākās un mazākās vērtības;

7. atrisināt vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus, to sistēmas, kā arī dažus trigonometrisko vienādojumu veidus (kvadrātveida salīdzinājumā ar vienu no trigonometriskajām funkcijām, vienoti vienādojumi pirmais un otrais grāds salīdzinājumā ar cos x un grēku);

Laika kurss: 9

Darba izglītības un metodiskās iekārtas:atsauces tabulas, materiālu izplatīšana, darba mapes.

Progresu.

1. Trigonometrisko funkciju grafiku pārveidošana.

Izveidojiet funkciju grafiku

a) y \u003d -2sin (x +) -1

b) y \u003d 2sin (x +) +1

c) y \u003d 2cos (x +) -1

d) y \u003d -2cos (x +) - 1

e) y \u003d -2cos (x +) -1

f) y \u003d -2sin (x +) -1

g) y \u003d 2cos (x +) + 1

h) y \u003d -2sin (x +) +1

i) y \u003d 2sin (x +) -1

2.
Pat es. citas funkcijas. Periodiskums.

Noteikt funkcijas paritāti

a) F (x) \u003d x 2 + 3x + 1

c) f (x) \u003d sin x

d) F (x) \u003d 2x 2 - 3x 4

e) f (x) \u003d 4x 2 + x - 9

e) f (x) \u003d x + 3x 3

un) f (x) \u003d sin x +3

3. Arksinus, Arkkosinus, arctangent numuri

Aprēķināt:

Atrodiet vārda vērtību:

1. ARCSIN 0 + ARCCOS 0

2. ARCSIN + ARCCOS

3. ARCSIN (-) + Arccos

4. ARCSIN (-1) + Arccos

5. ARCCOS 0.5 + ARCSIN 0.5

6. ARCCOS (-) - ARCSIN (-1)

7. ARCCOS (-) + ARCSIN (-)

8. Arccos - ARCSIN

9. 4 Arccos (-) - Arctg + ARCSIN

10. 2arccos - ARCSIN (-) + 3 Commissiong 1

11. 3arcsin + Arccos - 2arctg 1

12. ARCSIN + 6 Arccos (-) + 9arctg

13. -2 Arccos (-) - ArcStg + Arcsin

14. ARCCOS + ARCSIN + ARSTG

15.

16.

Salīdziniet izteiksmes

a) ARCSIN vai ARCSIN 0,82

b) Arccos (-) vai Arccos

4. Trigonometrisko vienādojumu risinājums

Izlemiet vienādojumus:

1. Sin x - 2 cos x \u003d 0.

2. Sin 2 x - 6 sin x cos x + 5 cos 2 x \u003d 0.

3. cos 2 x + sin x · cos x \u003d 1

4. Sin 3x + sin x \u003d grēks 2x

5. COS2X + SINX COSX \u003d 1

6. 4 xin 2 x- cosx-1 \u003d 0

7. 2 xin 2 x + 3 cosx \u003d 0

8. 2COS2X - 3SINX \u003d 0

9. 2 Sin 2 x + sinx - 1 \u003d 0

10. 6sin 2 x + 5cosx - 2 \u003d 0

Veidlapas ziņošana.Papīru darbs.

Kontroles jautājumi.

1. Grafiki, kurās trigonometriskās funkcijas notiek, izmantojot koordinātu izcelsmi?

2. Kura no trigonometriskajām funkcijām ir pat?

3. Kā veikt nodošanu gar asi OH?

4. Kā veikt nodošanu pa Ou asi?

5. Ko sauc par arxinus numuriem bet?

6. Kādi trigonometriskie vienādojumi nav risinājumu?

7. Uzskaitiet īpašos vienādojuma gadījumus.

8. Pierakstiet vispārējā formula Vienādojuma saknes.

Literatūra. lekcija

informācija - meklētājprogrammu internets

https://www.akademia-moskow.ru/ mācību grāmata M.I. Bashmakov "Matemātika" apmācība

Darba rezultātu novērtējums:Selektīvais novērtējums. Pārbaude par šo tēmu

Praktiskā nodarbība Nr. 4

Progresu.

Paralēlisms kosmosā

Uzdevumu risināšana tiešo un lidmašīnu savstarpējā atrašanās vietā.

Atbildiet uz jautājumu un veiciet zīmējumu.

1. Mainīgais m un n atrodas vienā un tajā pašā plaknē. Vai šīs tiešās vajāšanas var būt paralēli, vai viņi var šķērsot?

2. Taisni B un C krustojas. Kā tas atrodas taisni b par Direct D, ja c || D?

3. Tiešās C un D gracing tiek dots. Kā tas var būt taisni ar salīdzinoši m, ja m d?

4. Taisni b un d krustojas. Kā tiešais B salīdzinājums ar c, ja C un D krustojas?

5. Danged taisnas līnijas M un N. Kā var atrasties taisni m attiecībā pret tiešo c, ja C un N krustojas?

II. Palaidiet zīmējumu un aizpildiet tabulu.

AVSDA 1 1 S 1 D 1 - Kubika. punkti l, n, t - ribu vidū 1 C 1, C 1 D 1 un DD 1. K ir AA 1 BB sejas diagonu krustošanās punkts 1. Aizpildiet atrašanās vietu tabulu:

Krustojas;

II - paralēli;

Saspiest

Tetrahedra AVSD veidojiet šķērsgriezumu, kas iet cauri punktam, kas atrodas uz ab un paralēliem tiešajiem runātājiem un VD

Perpendikulārība kosmosā

Uzdevumu risināšana tiešās un plaknes perpendikulāritātei

1. Atbildēt uz kontroles jautājumi:

viens). Uzrakstiet taisnas un plaknes perpendikulāritātes definīciju (ar modeli).

2). Ierakstiet taisnas un plaknes perpendikulāritātes zīmi (ar modeli).

3). Uzrakstiet teoriju apmēram 3 perpendikulas (ar modeli).

četri). Uzrakstiet plakņu perpendikulārijas definīciju.

Uzdevuma numurs 2.

1 opcija

1. Punkti k, eUn OH atrodas uz taisnas līnijas perpendikulāra α plaknei, un punkti O, B, A un M atrodas plaknē α. Kurš no šiem leņķiem ir vienkārša: ∠ in, ∠ka un ∠Kve.

3. Tetrahedra DAVAS EDRO AD⊥ΔABC. ΔABC ir taisnstūra, ∠c \u003d 90 °. Veidot (atrast) lineāru leņķi pundurzivis leņķis ∠dvgsa.

4. Izgrieziet VM⊥ uz AVD taisnstūra plakni. Nosakiet veidlapu ΔDmc.

5. Direct BD ir perpendikulāri plaknē ΔAVs. Ir zināms, ka bd \u003d 9 cm, ac \u003d 10 cm, saule \u003d va \u003d 13 cm. Atrodiet attālumu no D punkta taisnā AC.

2. variants

1. norāda uz, e, un OH atrodas uz taisnas līnijas, perpendikulāri plaknei α, un punktus O, B, A un M atrodas plaknē α. Kurš no šiem leņķiem ir vienkārša: ∠mok, ∠okv un ∠ae.

2. Atrodiet taisnstūra diagonāli paralēlo, ja tās mērījumi ir vienādi.

3. Taisnstūrveida paralēlajā ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 diagonāli bija pa diagonāli 1 d un 1 C. Build (Find) lineārā leņķis punduris 1 dcb.

4. CD⊥ segments uz taisnstūra ΔAV plakni, kur ∠ in \u003d 90 °. Nosakiet veidlapu ΔAVD.

5. Tiešā sa ir perpendikulāra AVD taisnstūra plaknei. Ir zināms, ka SC \u003d 5 cm, reklāma \u003d 2 cm, un sānu AB ir 2 reizes vairāk nekā reklāma. Atrodiet attālumu no punkta uz taisnu DC.

Veidlapas ziņošana.Papīru darbs

Kontroles jautājumi.

1. Kādas ir tiešās telpās, tiek saukta paralēli?

2. Vārds ir tieša paralēlisms.

3. Ko tas nozīmē: taisni un plakne ir paralēli?

4. Izveidojiet tiešās un plaknes paralēlisma zīmi.

5. Kādas lidmašīnas sauc paralēli?

6. Izveidojiet lidmašīnu paralēles zīmi.

7. Uzskaitiet paralēlās dizaina īpašības.

8. Paralēlo plakņu īpašības.

9. Kādas ir tiešās telpās, sauc par perpendikulāri?

10. Kas ir perpendikulārs, no šī punkta uz plakni nolaiž?

11. Ko sauc par attālumu no punkta uz lidmašīnu?

12. Kas ir slīpi, kas veikta no šī punkta uz lidmašīnu? Kas ir projekcijas slīpums?

13. formulēt teorēmu apmēram trīs perpendikulāri.

Literatūra. lekcija

informācija - meklētājprogrammu internets

https://www.akademia-moskow.ru/ mācību grāmata M.I. Bashmakov "Matemātika" apmācība

Darba rezultātu novērtējums:Selektīvais novērtējums. Pārbaude par tēmu

Praktiskā nodarbība Nr. 5

Temats:Saknes. Jauda. Logaritms.

Mērķis:uzziniet, kā veikt neracionālu, jaudu, logaritmisko izteiksmju transformācijas; Vienkāršāko neracionālu, indikatīvo un logaritmisko vienādojumu risināšana, vienādojumu sistēmas, nevienlīdzība.

Zināšanas:

jauni noteikumi matemātiskā valoda: Grāds ar racionālu indikatoru, jaudas funkciju, neracionālu izteiksmi;
jaudas funkcijas īpašības, tā grafiks.
jauna matemātiskā valoda: indikatīva funkcija, indikatīvs vienādojums, indikatīvā nevienlīdzība, logaritms, bāze logaritma, logaritmiskā funkcija, logaritmiskais vienādojums, logaritmiskā nevienlīdzība, eksponents, logaritmiskā līkne;
galvenās īpašības un grafikus logaritmiskā un indikatīvās funkcijas;
formulas, kas saistītas ar logaritmu, indikatīvo un logaritmisko funkciju jēdzienu.

Prasmes

piemērot definīcijas saknes un aritmētiskā saknes N veida būtiska no vienas no vienkāršajiem aprēķiniem; veidot aritmētisko sakni no n-būtiskas grādu un tādā veidā ar racionālu rādītāju, pakāpi ar daļēju rādītājs formā aritmētisko saknes starp skaitu;
veikt atbilstoši pazīstamiem formulām un noteikumiem par alfabētisko izpausmju pārveidošanu, tostarp grādiem, radikāļiem, logaritmiem;
aprēķināt skaitlisko un burtu izteiksmju vērtības, veicot nepieciešamos aizvietojumus un pārveidojumus;
atrisināt vienkāršākos neracionālos vienādojumus.

5. Izveidojiet norādīto bāzes indikatīvo un logaritmisko funkciju grafikus;

6. Aprakstiet pēc grafika un vienkāršākajos gadījumos pēc indikatīvo un logaritmisko funkciju uzvedības un īpašību formulām;

; ;

2. ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Neracionāli vienādojumi

Izlemt vienādojumu

Sahalinas reģiona Izglītības ministrija

GBPOU "Celtniecības tehniskā skola"

Praktiskais darbs jautājumā "Matemātika"

Sadaļa: Trigonometrijas pamati. Trigonometriskās funkcijas.

(didaktiskais materiāls)

Sasniedza:

Skolotājs

Kazantseva n.a.

YUZHNO-SAKHALINSK-2017

Praktiskais darbs matemātikāpēc sadaļas ""Un metodisksvadlīnijas to īstenošanai ir paredzētas studentiemGBPou "Sahalin Celtniecības tehniskā skola"

Sastādīt : Kazantseva N. A., Matemātikas skolotājs

Materiāls satur praktisku darbu matemātikāpēc sadaļas "Trigonometrijas pamati. Trigonometriskās funkcijas» un vadlīnijas to īstenošanai. Metodiskie norādījumi tiek apkopoti saskaņā ar darba programma matemātikā un paredzēts studentiemSahalin būvniecības tehniskā skola, studentiem vispārējās izglītības programmas.

Praktiskā nodarbība Nr. 1 .Raded stūra mērs. Rotācijas kustība ................................................ .............................. 3

Praktiskā aktivitātes numurs 2. Sinusa, Kosinus, pieskares un cotangent numuri .......................................... ....................................... ... 3

Praktiskā aktivitātes numurs 3. Trigonometrijas galvenās formulas un to izmantošana .......................................... ............................................... 4

Praktiskā nodarbība Nr. 4. . Sinusa, kosine un tangentas summas un divu leņķu atšķirības ....................................... .................................................. ......

Praktiskā nodarbība Nr. 5. . 6 .......... formulas piemērošana

Praktiskā nodarbība Nr. 6 . Sinusa, kosines, pieskares dubultās leņķa aprēķins ......................................... ............................... .7

Praktiskā nodarbība Nr. 7 . Trigonometrisko funkciju biežums ............................................. ................................. ..7

Praktiskā nodarbība Nr. 1.

Stūrī. Rotācijas kustība.

Mērķi: nodrošiniet problēmas un prasmes risināt problēmas par tēmu: "Radian leņķa pasākums. Rotācijas kustība. "

Aprīkojums:

Norāde. Pirmkārt, teorētiskais materiāls jāatkārto uz tēmu: "Radian leņķa pasākums. Rotācijas kustība ", pēc kura jūs varat sākt veikt praktisko daļu.

1. Izsakiet stūri Radicia: 2. Leņķu pakāpes palielināšana:

Praktiskā aktivitātes numurs 2.

Sinusa, kosines, pieskares un katangenes numuri.

Mērķi: nodrošiniet prasmes un prasmes risināt problēmas uz tēmu: "sinusa, kosine, pieskare un catangent".

Aprīkojums: Piezīmjdators praktiskajam darbam, rokturim, pamatnostādnes Veiktspējai

Norāde. Pirmkārt, teorētiskais materiāls jāatkārto uz tēmu: "sinusa, kosine, pieskare un catangent skaits", pēc kura jūs varat sākt veikt praktisko daļu.

Neaizmirstiet par pareizu lēmuma apdari.

Uzdevumi praktiskais darbs:

a) 4. grēks. + - tg.; b) 3. grēks. + - tg.;

pie 5 grēks. +3 tg. -5 – 10 ctg.; d) grēks.∙ − tg.;

e); e) grēks.∙ - grēks.∙ ;

g).

Atrodiet ciparu vērtību izteiksmes:

bet) grēks. + -; b) 3. grēks. + - ;

6 grēks. - 2+; d) 3. tg. - + ;

d 2.

Praktiskā aktivitātes numurs 3.

Trigonometrijas galvenās formulas un to piemērošana.

Mērķi: nodrošiniet prasmes un prasmes, lai risinātu problēmas par tēmu: "Trigonometrijas pamatformulas".

Aprīkojums: Piezīmju grāmatiņa praktiskajam darbam, pildspalva, darba vadlīnijas

Norāde. Pirmkārt, teorētiskais materiāls jāatkārto uz tēmu: "Trigonometrijas pamatformulas", pēc kura to var apstrādāt praktiskās daļas veikšanai.

Neaizmirstiet par pareizu lēmuma apdari.

Praktiskā darba uzdevumi:

ja cos.α = , < α < 2 π

Aprēķināt citu trīs trigonometrisko funkciju vērtības, \\ t

ja grēks.α = , π < α <

Vienkāršojiet:

a) (1 )(1+)

b) 1 +

Vienkāršojiet:

a) (1+)

b) 1 +

Praktiskā nodarbība Nr. 4.

Sine, kosine un pieskares summas un atšķirības divos leņķos.

Mērķi: nodrošiniet prasmes un prasmes risināt problēmas uz tēmu: "sine, cosine un tangentas summas un atšķirības divu leņķi."

Aprīkojums: Piezīmju grāmatiņa praktiskajam darbam, pildspalva, darba vadlīnijas

Norāde. Pirmkārt, teorētiskais materiāls jāatkārto uz tēmu: "sine, cosine un tangentas summas un divu leņķu atšķirības", pēc kura jūs varat sākt veikt praktisko daļu.

Neaizmirstiet par pareizu lēmuma apdari.

Praktiskā darba uzdevumi:

I. Praktiskā darba iespēja

Atrodiet ciparu vērtību izteiksmes: a) s s.135 0 ;

b) grēks. 150 0 ;

in in) tg. 240 0 .

a) s s.240 0 ;

b) grēks. 120 0 ;

in in) tg. 135 0 .

II. Praktiskā darba iespēja

Atrodiet izteiksmes vērtību:

cos107. 0 ∙ cos17. 0 + SIN107. 0 ∙ sin17. 0 ;

36. 0 ∙ cos 24. 0 ˗ Sin 36. 0 ∙ sin 24. 0 ;

sin 63. 0 ∙ cos. 2 7 0 + Cos6.3 0 ∙ grēks. 2 7 0 ;

sin51 0 ∙ Cos 21. 0 ˗COS 51. 0 ∙ sin 21. 0 .

Atrodiet vārda vērtību:

cos.∙ cos + grēks∙ grēks;

cos.∙ cos˗in.∙ grēks;

grēks.∙ Cos + cos.∙ grēks;

grēks. 0 ∙ cos˗cos.∙ grēks.

Aprēķināt:

A); b);

In); d).

Vienkāršojiet izteiksmi:

a); b); in).

Praktiskā nodarbība Nr. 5.

Veidošanas formulas izmantošana.

Mērķi: nodrošināt problēmu risināšanas prasmes un prasmes