Жизнени ресурси 

Дължината на средната му линия. средна линия

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

  • Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

  • Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
  • От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
  • Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
  • Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

  • При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
  • В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

В тази статия ще се опитаме да отразим свойствата на трапеца възможно най-пълно. По-специално ще говорим за общи признации свойства на трапец, както и за свойствата на вписан трапец и за окръжност, вписана в трапец. Ще се докоснем и до свойствата на равнобедрения и правоъгълен трапец.

Пример за решаване на проблем с помощта на обсъжданите свойства ще ви помогне да го сортирате на места в главата си и да запомните по-добре материала.

Трапец и всички-всички-всички

Като начало, нека си припомним накратко какво е трапец и какви други понятия са свързани с него.

И така, трапецът е четириъгълна фигура, две от чиито страни са успоредни една на друга (това са основите). И двете не са успоредни - това са страните.

В трапец височината може да се спусне - перпендикулярно на основите. Централната линия и диагоналите са начертани. Също така е възможно да се начертае ъглополовяща от всеки ъгъл на трапеца.

Сега ще говорим за различните свойства, свързани с всички тези елементи и техните комбинации.

Свойства на диагоналите на трапец

За да стане по-ясно, докато четете, начертайте трапеца ACME върху лист хартия и начертайте диагонали в него.

  1. Ако намерите средните точки на всеки от диагоналите (нека наречем тези точки X и T) и ги свържете, ще получите сегмент. Едно от свойствата на диагоналите на трапеца е, че отсечката HT лежи на средната линия. А дължината му може да се получи, като разликата на основите се раздели на две: ХТ = (а – б)/2.
  2. Пред нас е същият трапец ACME. Диагоналите се пресичат в точка O. Да разгледаме триъгълниците AOE и MOK, образувани от отсечки на диагоналите заедно с основите на трапеца. Тези триъгълници са подобни. Коефициентът на сходство k на триъгълниците се изразява чрез отношението на основите на трапеца: k = AE/KM.
    Отношението на площите на триъгълниците AOE и MOK се описва с коефициента k 2 .
  3. Същият трапец, същите диагонали, пресичащи се в точка О. Само че този път ще разгледаме триъгълниците, които сегментите на диагоналите образуват заедно със страните на трапеца. Повърхнините на триъгълници АКО и ЕМО са еднакви по големина – повърхнините им са еднакви.
  4. Друго свойство на трапеца включва изграждането на диагонали. Така че, ако продължите страните на AK и ME в посока на по-малката основа, тогава рано или късно те ще се пресекат в определена точка. След това начертайте права линия през средата на основите на трапеца. Тя пресича основите в точки X и T.
    Ако сега удължим правата XT, тогава тя ще свърже заедно точката на пресичане на диагоналите на трапеца O, точката, в която се пресичат продълженията на страните и средата на основите X и T.
  5. През точката на пресичане на диагоналите ще начертаем сегмент, който ще свързва основите на трапеца (T лежи на по-малката основа KM, X на по-голямата AE). Пресечната точка на диагоналите разделя този сегмент в следното съотношение: TO/OX = KM/AE.
  6. Сега, през точката на пресичане на диагоналите, ще начертаем сегмент, успореден на основите на трапеца (a и b). Пресечната точка ще го раздели на две равни части. Можете да намерите дължината на сегмента с помощта на формулата 2ab/(a + b).

Свойства на средната линия на трапец

Начертайте средната линия в трапеца, успоредна на основите му.

  1. Дължината на средната линия на трапец може да се изчисли, като се съберат дължините на основите и се разделят наполовина: m = (a + b)/2.
  2. Ако начертаете произволен сегмент (например височина) през двете основи на трапеца, средната линия ще го раздели на две равни части.

Свойство за ъглополовяща трапец

Изберете произволен ъгъл на трапеца и начертайте ъглополовяща. Да вземем, например, ъгъла KAE на нашия трапец ACME. След като завършите конструкцията сами, можете лесно да проверите дали ъглополовящата отрязва от основата (или нейното продължение на права линия извън самата фигура) сегмент със същата дължина като страната.

Свойства на ъглите на трапеца

  1. Която и от двете двойки ъгли, съседни на страната, да изберете, сумата от ъглите в двойката винаги е 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0.
  2. Нека свържем средите на основите на трапеца с отсечка TX. Сега нека разгледаме ъглите при основите на трапеца. Ако сумата от ъглите за някой от тях е 90 0, дължината на сегмента TX може лесно да се изчисли въз основа на разликата в дължините на основите, разделена наполовина: TX = (AE – KM)/2.
  3. Ако през страните на трапецовиден ъгъл се начертаят успоредни прави, те ще разделят страните на ъгъла на пропорционални сегменти.

Свойства на равнобедрен (равностранен) трапец

  1. В равнобедрен трапец ъглите при всяка основа са равни.
  2. Сега отново изградете трапец, за да можете по-лесно да си представите за какво говорим. Погледнете внимателно основата AE - върхът на противоположната основа M се проектира към определена точка на правата, която съдържа AE. Разстоянието от върха A до проекционната точка на върха M и средната линия на равнобедрения трапец са равни.
  3. Няколко думи за свойството на диагоналите на равнобедрен трапец - дължините им да са равни. И също така ъглите на наклона на тези диагонали към основата на трапеца са еднакви.
  4. Само около равнобедрен трапец може да се опише окръжност, тъй като сборът от противоположните ъгли на четириъгълник е 180 0 – необходимо условиеза това.
  5. Свойството на равнобедрен трапец следва от предходния абзац - ако близо до трапеца може да се опише окръжност, той е равнобедрен.
  6. От характеристиките на равнобедрен трапец следва свойството на височината на трапец: ако неговите диагонали се пресичат под прав ъгъл, тогава дължината на височината е равна на половината от сбора на основите: h = (a + b)/2.
  7. Отново начертайте сегмента TX през средите на основите на трапеца - в равнобедрен трапец той е перпендикулярен на основите. И в същото време TX е оста на симетрия на равнобедрен трапец.
  8. Този път намалете височината от противоположния връх на трапеца върху по-голямата основа (да я наречем a). Ще получите два сегмента. Дължината на едно може да се намери, ако дължините на основите се добавят и разделят наполовина: (a + b)/2. Получаваме втората, когато извадим по-малката от по-голямата основа и разделим получената разлика на две: (а – б)/2.

Свойства на трапец, вписан в окръжност

Тъй като вече говорим за трапец, вписан в кръг, нека се спрем на този въпрос по-подробно. По-специално, къде е центърът на кръга спрямо трапеца. И тук е препоръчително да отделите време да вземете молив и да нарисувате това, за което ще стане дума по-долу. Така ще разберете по-бързо и ще запомните по-добре.

  1. Местоположението на центъра на кръга се определя от ъгъла на наклона на диагонала на трапеца към неговата страна. Например, диагоналът може да се простира от върха на трапец под прав ъгъл към страната. В този случай по-голямата основа пресича центъра на описаната окръжност точно в средата (R = ½AE).
  2. Диагоналът и страната също могат да се срещат под остър ъгъл– тогава центърът на окръжността е вътре в трапеца.
  3. Центърът на описаната окръжност може да е извън трапеца, отвъд по-голямата му основа, ако има тъп ъгъл между диагонала на трапеца и страната.
  4. Ъгълът, образуван от диагонала и голямата основа на трапеца ACME (вписан ъгъл), е половината от централния ъгъл, който му съответства: MAE = ½ MOE.
  5. Накратко за два начина за намиране на радиуса на описана окръжност. Първи метод: погледнете внимателно рисунката си - какво виждате? Лесно можете да забележите, че диагоналът разделя трапеца на два триъгълника. Радиусът може да се намери чрез съотношението на страната на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл, умножено по две. Например, R = AE/2*sinAME. По подобен начин формулата може да бъде написана за всяка от страните на двата триъгълника.
  6. Метод втори: намерете радиуса на описаната окръжност през площта на триъгълника, образуван от диагонала, страната и основата на трапеца: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Свойства на трапец, описан около окръжност

Можете да поставите кръг в трапец, ако е изпълнено едно условие. Прочетете повече за това по-долу. И заедно тази комбинация от фигури има редица интересни свойства.

  1. Ако окръжност е вписана в трапец, дължината на средната му линия може лесно да се намери чрез добавяне на дължините на страните и разделяне на получената сума наполовина: m = (c + d)/2.
  2. За трапеца ACME, описан около окръжност, сборът от дължините на основите е равен на сбора от дължините на страните: AK + ME = KM + AE.
  3. От това свойство на основите на трапец следва обратното твърдение: в трапец може да се впише окръжност, чийто сбор от основи е равен на сбора от страните му.
  4. Допирателната точка на окръжност с радиус r, вписана в трапец, разделя страната на два сегмента, нека ги наречем a и b. Радиусът на кръг може да се изчисли по формулата: r = √ab.
  5. И още един имот. За да избегнете объркване, нарисувайте сами и този пример. Имаме добрия стар трапец ACME, описан около окръжност. Той съдържа диагонали, които се пресичат в точка O. Триъгълниците AOK и EOM, образувани от отсечките на диагоналите и страничните страни, са правоъгълни.
    Височините на тези триъгълници, спуснати до хипотенузите (т.е. страничните страни на трапеца), съвпадат с радиусите на вписаната окръжност. А височината на трапеца съвпада с диаметъра на вписаната окръжност.

Свойства на правоъгълен трапец

Трапецът се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е прав. И свойствата му произтичат от това обстоятелство.

  1. Една от страните на правоъгълен трапец е перпендикулярна на основата му.
  2. Височина и странична страна на трапеца в съседство с прав ъгъл, са равни. Това ви позволява да изчислите площта на правоъгълен трапец ( обща формула S = (a + b) * h/2) не само през височината, но и през страната, съседна на правия ъгъл.
  3. За правоъгълен трапец общите свойства на диагоналите на трапец, вече описани по-горе, са от значение.

Доказателство за някои свойства на трапеца

Равенство на ъглите при основата на равнобедрен трапец:

  • Вероятно вече се досетихте, че тук отново ще ни трябва трапецът AKME - начертайте равнобедрен трапец. Начертайте права линия MT от върха M, успоредна на страната на AK (MT || AK).

Полученият четириъгълник AKMT е успоредник (AK || MT, KM || AT). Тъй като ME = KA = MT, ∆ MTE е равнобедрен и MET = MTE.

AK || MT, следователно MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Къде е AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Сега, въз основа на свойството на равнобедрен трапец (равенство на диагоналите), доказваме това трапецът ACME е равнобедрен:

  • Първо, нека начертаем права линия MX – MX || KE. Получаваме успоредник KMHE (основа – MX || KE и KM || EX).

∆AMX е равнобедрен, тъй като AM = KE = MX и MAX = MEA.

МЗ || KE, KEA = MXE, следователно MAE = MXE.

Оказа се, че триъгълниците AKE и EMA са равни един на друг, защото AM = KE и AE – обща странадва триъгълника. И също MAE = MXE. Можем да заключим, че AK = ME, а от това следва, че трапецът AKME е равнобедрен.

Задача за преглед

Основите на трапеца ACME са 9 cm и 21 cm, страничната страна KA, равна на 8 cm, сключва ъгъл 150 0 с по-малката основа. Трябва да намерите площта на трапеца.

Решение: От върха K спускаме височината до по-голямата основа на трапеца. И нека започнем да разглеждаме ъглите на трапеца.

Ъглите AEM и KAN са едностранни. Това означава, че общо те дават 180 0. Следователно KAN = 30 0 (въз основа на свойството на трапецовидни ъгли).

Нека сега разгледаме правоъгълника ∆ANC (вярвам, че тази точка е очевидна за читателите без допълнителни доказателства). От него ще намерим височината на трапеца KH - в триъгълник това е крак, който лежи срещу ъгъл от 30 0. Следователно KH = ½AB = 4 cm.

Намираме площта на трапеца по формулата: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Послеслов

Ако сте внимателно и замислено изучавали тази статия, не сте били твърде мързеливи, за да нарисувате трапец за всички дадени свойства с молив в ръцете си и да ги анализирате на практика, трябва да сте усвоили добре материала.

Разбира се, тук има много информация, разнообразна и понякога дори объркваща: не е толкова трудно да се объркат свойствата на описания трапец със свойствата на вписания. Но вие сами виждате, че разликата е огромна.

Сега имате подробно описание на всички общи свойства на трапец. Както и специфични свойства и характеристики на равнобедрените и правоъгълните трапеци. Много е удобно да се използва за подготовка за контролни и изпити. Опитайте сами и споделете връзката с приятелите си!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

клас: 8

Цели на урока:

1) запознайте учениците с концепцията за средната линия на трапец, разгледайте неговите свойства и ги докажете;

2) научи как да строиш средна линиятрапец;

3) развиват способността на учениците да използват дефиницията на средната линия на трапец и свойствата на средната линия на трапец при решаване на проблеми;

4) продължават да развиват способността на учениците да говорят компетентно, като използват необходимите математически термини; докажете своята гледна точка;

5) развивам логично мислене, памет, внимание.

По време на часовете

1. Домашната работа се проверява по време на урока. Домашното беше устно, запомнете:

а) определение на трапец; видове трапец;

б) определяне на средната линия на триъгълника;

в) свойство на средната линия на триъгълник;

г) признак на средната линия на триъгълника.

2. Изучаване на нов материал.

а) На таблото е изобразен трапец ABCD.

б) Учителят ви моли да запомните определението за трапец. Всяко бюро има подсказка, която да ви помогне да запомните основните понятия в темата „Трапец“ (вижте Приложение 1). Към всяко бюро се издава Приложение 1.

Учениците чертаят в тетрадките си трапеца ABCD.

в) Учителят ви моли да си спомните в коя тема се среща понятието средна линия („Средна линия на триъгълник“). Учениците си припомнят определението за средна линия на триъгълник и нейните свойства.

д) Запишете дефиницията на средната линия на трапеца, като я начертаете в тетрадка.

Средна линияТрапецът е отсечка, свързваща средните точки на страните му.

Свойството на средната линия на трапец остава недоказано на този етап, така че следващият етап от урока включва работа по доказване на свойството на средната линия на трапец.

Теорема. Средната линия на трапеца е успоредна на основите му и е равна на тяхната полусума.

дадени: ABCD – трапец,

MN – средна линия ABCD

Докажи, Какво:

1. пр.н.е. || MN || от н.е.

2. MN = (AD + BC).

Можем да запишем някои следствия, които следват от условията на теоремата:

AM = MB, CN = ND, BC || от н.е.

Невъзможно е да се докаже това, което се изисква само въз основа на изброените свойства. Системата от въпроси и упражнения трябва да доведе учениците до желанието да свържат средната линия на трапец със средната линия на някакъв триъгълник, чиито свойства вече знаят. Ако няма предложения, тогава можете да зададете въпроса: как да конструирате триъгълник, за който сегментът MN ще бъде средната линия?

Нека запишем допълнителна конструкция за един от случаите.

Нека начертаем права BN, пресичаща продължението на страната AD в точка K.

Появяват се допълнителни елементи - триъгълници: ABD, BNM, DNK, BCN. Ако докажем, че BN = NK, тогава това ще означава, че MN е средната линия на ABD и тогава можем да използваме свойството на средната линия на триъгълник и да докажем необходимото.

Доказателство:

1. Помислете за BNC и DNK, те съдържат:

а) CNB =DNK (свойство на вертикалните ъгли);

б) BCN = NDK (свойство на вътрешните напречни ъгли);

в) CN = ND (последствие от условията на теоремата).

Това означава BNC =DNK (отстрани и два съседни ъгъла).

Q.E.D.

Доказателството може да се направи устно в час, а може да се възстанови и запише в тетрадка у дома (по преценка на учителя).

Необходимо е да се каже за други възможни начини за доказване на тази теорема:

1. Начертайте един от диагоналите на трапеца и използвайте знака и свойството на средната линия на триъгълника.

2. Извършете CF || BA и разгледайте успоредника ABCF и DCF.

3. Извършете EF || BA и разгледайте равенството на FND и ENC.

ж) На този етап се уточнява домашна работа: параграф 84, учебник изд. Атанасян Л.С. (доказателство за свойството на средната линия на трапец чрез векторен метод), запишете го в тетрадката си.

з) Решаваме задачи, като използваме определението и свойствата на средната линия на трапец, като използваме готови чертежи (виж Приложение 2). Приложение 2 се дава на всеки ученик, а решението на задачите се изписва на същия лист в кратка форма.

  1. Отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапец, е равна на половината от разликата на основите
  2. Триъгълниците, образувани от основите на трапец и отсечките на диагоналите до пресечната им точка, са подобни
  3. Триъгълниците, образувани от сегменти на диагоналите на трапец, чиито страни лежат на страничните страни на трапеца - са еднакви по размер (имат еднаква площ)
  4. Ако разширите страните на трапеца към по-малката основа, тогава те ще се пресичат в една точка с правата линия, свързваща средните точки на основите
  5. Сегмент, свързващ основите на трапеца и минаващ през точката на пресичане на диагоналите на трапеца, се разделя от тази точка в пропорция, равна на съотношението на дължините на основите на трапеца
  6. Отсечка, успоредна на основите на трапеца и прекарана през точката на пресичане на диагоналите, е разделена наполовина от тази точка и нейната дължина е равна на 2ab/(a + b), където a и b са основите на трапец

Свойства на отсечка, свързваща средината на диагоналите на трапец

Нека свържем средите на диагоналите на трапеца ABCD, в резултат на което ще имаме отсечка LM.
Отсечка, свързваща средните точки на диагоналите на трапец лежи на средната линия на трапеца.

Този сегмент успоредни на основите на трапеца.

Дължината на отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапец, е равна на половината от разликата на неговите основи.

LM = (AD - BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства на триъгълниците, образувани от диагоналите на трапец


Триъгълници, образувани от основите на трапеца и пресечната точка на диагоналите на трапеца - са подобни.
Триъгълниците BOC и AOD са подобни. Тъй като ъглите BOC и AOD са вертикални, те са равни.
Ъгли OCB и OAD са вътрешни ъгли, лежащи на кръст с успоредни прави AD и BC (основите на трапеца са успоредни една на друга) и секуща AC, следователно са равни.
Ъглите OBC и ODA са равни по същата причина (вътрешни на кръст).

Тъй като и трите ъгъла на един триъгълник са равни на съответните ъгли на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са подобни.

Какво следва от това?

За решаване на проблеми в геометрията сходството на триъгълниците се използва, както следва. Ако знаем дължините на два съответни елемента подобни триъгълници, тогава намираме коефициента на подобие (делим едното на другото). Откъдето дължините на всички други елементи са свързани помежду си с точно същата стойност.

Свойства на триъгълници, лежащи на странична страна и диагонали на трапец


Да разгледаме два триъгълника, лежащи на страничните страни на трапеца AB и CD. Това са триъгълници AOB и COD. Въпреки факта, че размерите на отделните страни на тези триъгълници могат да бъдат напълно различни, но площите на триъгълниците, образувани от страничните страни и пресечната точка на диагоналите на трапеца, са равни, тоест триъгълниците са еднакви по размер.


Ако разширим страните на трапеца към по-малката основа, тогава точката на пресичане на страните ще бъде съвпадат с права линия, която минава през средата на основите.

Така всеки трапец може да бъде разширен в триъгълник. при което:

  • Триъгълниците, образувани от основите на трапец с общ връх в точката на пресичане на разширените страни, са подобни
  • Правата линия, свързваща средните точки на основите на трапеца, в същото време е медианата на построения триъгълник

Свойства на отсечка, свързваща основите на трапец


Ако начертаете сегмент, чиито краища лежат върху основите на трапец, който се намира в точката на пресичане на диагоналите на трапеца (KN), тогава съотношението на неговите съставни сегменти от страната на основата до точката на пресичане на диагоналите (KO/ON) ще бъде равно на отношението на основите на трапеца(пр. н. е./сл. н. е.).

KO/ON = BC/AD

Това свойство следва от сходството на съответните триъгълници (виж по-горе).

Свойства на отсечка, успоредна на основите на трапец


Ако начертаем сегмент, успореден на основите на трапеца и минаващ през точката на пресичане на диагоналите на трапеца, тогава той ще има следните свойства:

  • Определено разстояние (км) разполовена от пресечната точка на диагоналите на трапеца
  • Дължина на секцията, минаваща през точката на пресичане на диагоналите на трапеца и успоредни на основите, е равно KM = 2ab/(a + b)

Формули за намиране на диагонали на трапец


а, б- трапецовидни основи

c,d- страни на трапеца

d1 d2- диагонали на трапец

α β - ъгли с по-голяма основа на трапеца

Формули за намиране на диагоналите на трапец през основите, страните и ъглите в основата

Първата група формули (1-3) отразява едно от основните свойства на диагоналите на трапеца:

1. Сборът от квадратите на диагоналите на трапец е равен на сбора от квадратите на страните плюс два пъти произведението на неговите основи. Това свойство на диагоналите на трапеца може да се докаже като отделна теорема

2 . Тази формулаполучено чрез трансформиране на предишната формула. Квадратът на втория диагонал се прехвърля през знака за равенство, след което квадратният корен се извлича от лявата и дясната страна на израза.

3 . Тази формула за намиране на дължината на диагонала на трапец е подобна на предишната, с тази разлика, че друг диагонал е оставен от лявата страна на израза

Следващата група формули (4-5) са близки по смисъл и изразяват подобна връзка.

Групата формули (6-7) ви позволява да намерите диагонала на трапец, ако са известни по-голямата основа на трапеца, едната страна и ъгълът при основата.

Формули за намиране на диагоналите на трапец по височина

Забележка. Този урок предоставя решения на геометрични задачи за трапеци. Ако не сте намерили решение на геометрична задача от вида, който ви интересува, задайте въпрос във форума.

Задача.
Диагоналите на трапеца ABCD (AD | | BC) се пресичат в точка O. Намерете дължината на основата BC на трапеца, ако основата AD = 24 cm, дължина AO = 9 cm, дължина OS = 6 cm.

Решение.
Решението на този проблем е идеологически абсолютно идентично с предишните проблеми.

Триъгълниците AOD и BOC са подобни в три ъгъла - AOD и BOC са вертикални, а останалите ъгли са равни по двойки, тъй като се образуват от пресичането на една права и две успоредни прави.

Тъй като триъгълниците са подобни, всичките им геометрични размери са свързани помежду си, точно както геометричните размери на познатите ни сегменти AO и OC според условията на задачата. Това е

AO/OC = AD/BC
9 / 6 = 24 / пр.н.е
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Отговор: 16 см

Задача .
В трапеца ABCD е известно, че AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Намерете площта на трапеца.

Решение .
За да намерим височината на трапец от върховете на по-малката основа B и C, спускаме две височини към по-голямата основа. Тъй като трапецът е неравен, означаваме дължина AM = a, дължина KD = b ( да не се бърка с обозначението във формулатанамиране на площта на трапец). Тъй като основите на трапеца са успоредни и сме пуснали две височини, перпендикулярни на по-голямата основа, тогава MBCK е правоъгълник.

Средства
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Триъгълниците DBM и ACK са правоъгълни, така че техните прави ъгли се образуват от височините на трапеца. Нека означим височината на трапеца с h. Тогава по Питагоровата теорема

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
И
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Нека вземем предвид, че a = 16 - b, тогава в първото уравнение
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Нека заместим стойността на квадрата на височината във второто уравнение, получено с помощта на Питагоровата теорема. Получаваме:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Така че KD = 12
Където
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Намерете площта на трапеца през неговата височина и половината от сбора на основите
, където a b - основата на трапеца, h - височината на трапеца
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2

Отговор: площта на трапеца е 80 cm2.

средна линияфигури в планиметрията - отсечка, свързваща средите на две страни на дадена фигура. Понятието се използва за следните фигури: триъгълник, четириъгълник, трапец.

Енциклопедичен YouTube

    1 / 3

    ✪ 8. клас, урок 25, Средна линия на триъгълник

    ✪ геометрия СРЕДНА ЛИНИЯ НА ТРИЪГЪЛНИК Атанасян 8 клас

    ✪ Средна линия на триъгълник | Геометрия 7-9 клас #62 | Информационен урок

    субтитри

Средна линия на триъгълника

Имоти

  • средната линия на триъгълника е успоредна на основата и равна на половината от нея.
  • когато и трите средни линии се пресичат, се образуват 4 равен триъгълник, подобен (дори хомотетичен) на оригиналния с коефициент 1/2.
  • средната линия отрязва триъгълник, който е подобен на този, и неговата площ е равна на една четвърт от площта на оригиналния триъгълник.
  • Трите средни линии на триъгълника го разделят на 4 еднакви (еднакви) триъгълника, подобни на оригиналния триъгълник. Всичките 4 такива еднакви триъгълника се наричат ​​медиални триъгълници. Централният от тези 4 еднакви триъгълника се нарича допълнителен триъгълник.

Знаци

  • ако сегмент е успореден на една от страните на триъгълника и свързва средата на едната страна на триъгълника с точка, разположена от другата страна на триъгълника, тогава това е средната линия.

Средна линия на четириъгълник

Средна линия на четириъгълник- сегмент, свързващ средината на противоположните страни на четириъгълник.

Имоти

Първата линия свързва 2 противоположни страни. Вторият свързва другите 2 противоположни страни. Третият свързва центровете на два диагонала (не във всички четириъгълници диагоналите са разделени наполовина в точката на пресичане).

  • Ако в изпъкнал четириъгълник средната линия образува равни ъглис диагоналите на четириъгълник, тогава диагоналите са равни.
  • Дължината на средната линия на четириъгълник е по-малка от половината от сумата на другите две страни или равна на нея, ако тези страни са успоредни и само в този случай.
  • Средите на страните на произволен четириъгълник са върхове на успоредник. Площта му е равна на половината от площта на четириъгълника, а центърът му е в пресечната точка на средните линии. Този успоредник се нарича успоредник на Вариньон;
  • Последната точка означава следното: В изпъкнал четириъгълник можете да начертаете четири средни линии от втори вид. Средни линии от втори вид- четири сегмента вътре в четириъгълник, минаващи през неговите среди съседни страниуспоредни на диагоналите. Четири средни линии от втори видна изпъкнал четириъгълник, разрежете го на четири триъгълника и един централен четириъгълник. Този централен четириъгълник е успоредник на Вариньон.
  • Пресечната точка на средните линии на четириъгълник е тяхната обща среда и разполовява отсечката, свързваща средите на диагоналите. Освен това тя е