Определяне на разстоянието от точка до дадена права. Разстояние от точка до права - определение

О-о-о-о-о-о... е, трудно е, сякаш си четеше изречение =) Но релаксът ще помогне по-късно, особено след като днес купих подходящите аксесоари. Затова нека да продължим към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще поддържам весело настроение.

Относителното положение на две прави линии

Такъв е случаят, когато публиката пее в хор. Две прави линии могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Помощ за манекени : Моля, запомнете математическия знак за пресичане, той ще се появява много често. Нотацията означава, че правата се пресича с правата в точка .

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има число „ламбда“, така че равенствата да са изпълнени

Нека разгледаме правите линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по –1 (променете знаците) и намалете всички коефициенти на уравнението с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти на променливите са пропорционални: , Но.

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Съвсем очевидно е обаче, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти на променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на „ламбда“, че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще създадем система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , което означава системата е непоследователна(няма решения). Следователно коефициентите на променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

При практически задачи можете да използвате току-що обсъдената схема за решение. Между другото, много напомня на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в клас Концепцията за линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите. Но има по-цивилизована опаковка:

Пример 1

Разберете относителната позиция на линиите:

Решениевъз основа на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .

, което означава, че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък със знаци на кръстопътя:

Останалите прескачат камъка и следват по-нататък, право към Кашчей Безсмъртния =)

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат еднакъв насочващ вектор, което означава, че са успоредни или съвпадащи. Тук няма нужда да броим детерминантата.

Очевидно е, че коефициентите на неизвестните са пропорционални и .

Нека разберем дали равенството е вярно:

по този начин

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадащи.

Коефициентът на пропорционалност „ламбда“ е лесно да се види директно от съотношението на колинеарните вектори на посоката. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение(всяко число обикновено го удовлетворява).

Така линиите съвпадат.

отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате устно обсъждания проблем буквално за секунди. В тази връзка не виждам смисъл да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да поставите друга важна тухла в геометричната основа:

Как да построим права, успоредна на дадена?

За незнание на тази най-проста задача Славеят Разбойник наказва сурово.

Пример 2

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Нека означим неизвестния ред с буквата . Какво казва състоянието за нея? Правата минава през точката. И ако линиите са успоредни, тогава е очевидно, че векторът на посоката на правата линия "tse" също е подходящ за конструиране на правата линия "de".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

отговор:

Примерната геометрия изглежда проста:

Аналитичното тестване се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е опростено правилно, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

В повечето случаи аналитичното изследване може лесно да се извърши устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще определят успоредността на линиите без никакъв чертеж.

Примерите за независими решения днес ще бъдат креативни. Защото все пак ще трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете, е любител на всякакви гатанки.

Пример 3

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Има рационален и не толкова рационален начин за решаването му. Повечето пряк път- в края на урока.

Поработихме малко с успоредни прави и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че нека разгледаме проблем, който ви е добре известен от училищна програма:

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав се пресичат в точка , тогава неговите координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Ето го геометричен смисълсистеми от две линейни уравненияс две неизвестни- това са две пресичащи се (най-често) прави в равнина.

Пример 4

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичният метод е просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените неговите координати във всяко уравнение на линията; С други думи, координатите на точка са решение на системата. По същество разгледахме графично решение системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават по този начин, въпросът е, че ще отнеме време, за да се създаде правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои прави линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да се намира някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно да се търси пресечната точка аналитичен метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения. За да развиете подходящи умения, вземете урок Как се решава система от уравнения?

отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример, който можете да решите сами. Удобно е задачата да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието показва, че е необходимо:
1) Запишете уравнението на правата линия.
2) Запишете уравнението на правата линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.

Цялостно решениеи отговорът в края на урока:

Дори чифт обувки не бяха износени, преди да стигнем до втория раздел на урока:

Перпендикулярни линии. Разстояние от точка до права.
Ъгъл между прави линии

Да започнем с една типична и много важна задача. В първата част се научихме как да изградим права линия, успоредна на тази, а сега колибата на пилешките крака ще се обърне на 90 градуса:

Как да построим права, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение, перпендикулярно на правата, минаваща през точката.

Решение: По условие е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Нека съставим уравнението на права линия с помощта на точка и насочващ вектор:

отговор:

Нека разширим геометричната скица:

Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверка на решението:

1) Изваждаме векторите на посоката от уравненията и с помощта скаларно произведение на вектористигаме до извода, че правите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Тестът отново е лесен за изпълнение устно.

Пример 7

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример, който можете да решите сами. В проблема има няколко действия, така че е удобно решението да се формулира точка по точка.

Нашите вълнуващо пътуванепродължава:

Разстояние от точка до линия

Пред нас е права ивица река и нашата задача е да стигнем до нея по най-краткия път. Няма препятствия и най-оптималният маршрут ще бъде да се движите по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрията традиционно се означава с гръцката буква “rho”, например: – разстоянието от точката “em” до правата линия “de”.

Разстояние от точка до линия изразено с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, което трябва да направите, е внимателно да замените числата във формулата и да извършите изчисленията:

отговор:

Да направим чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако начертаете чертеж върху карирана хартия в мащаб 1 единица. = 1 см (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Нека разгледаме друга задача, базирана на същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точка, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам сами да изпълните стъпките, но ще очертая алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на правата.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на отсечканамираме.

Би било добра идея да проверите дали разстоянието също е 2,2 единици.

Тук може да възникнат трудности при изчисленията, но микрокалкулаторът е голяма помощ в кулата, позволявайки ви да броите обикновени дроби. Съветвал съм ви много пъти и ще ви препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример, който можете да решите сами. Ще ви дам малък намек: има безкрайно много начини за решаване на това. Разбор в края на урока, но е по-добре да се опитате да познаете сами, мисля, че вашата изобретателност е добре развита.

Ъгъл между две прави

Всеки ъгъл е преграда:


В геометрията ъгълът между две прави линии се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащи се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентираникът "малина".

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, от основно значение е посоката, в която ъгълът се „превърта“. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например ако .

Защо ти казах това? Изглежда, че можем да се справим с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че формулите, по които ще намираме ъгли, лесно могат да дадат отрицателен резултат и това не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа, за отрицателен ъгъл, не забравяйте да посочите ориентацията му със стрелка (по часовниковата стрелка).

Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

Решениеи Метод първи

Помислете за две прави линии, дадени от уравненията в общ изглед:

Ако прав не перпендикулярно, Това ориентиранЪгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Нека обърнем внимание на знаменателя - това е точно така точков продуктнасочващи вектори на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата става нула и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще са перпендикулярни. Ето защо е направена уговорка за неперпендикулярността на линиите във формулировката.

Въз основа на горното е удобно решението да се формализира в две стъпки:

1) Нека изчислим скаларното произведение на насочващите вектори на линиите:
, което означава, че линиите не са перпендикулярни.

2) Намерете ъгъла между прави линии по формулата:

С помощта на обратна функцияЛесно е да намерите самия ъгъл. В този случай използваме нечетността на арктангенса (вижте. Графики и свойства на елементарни функции):

отговор:

В отговора посочваме точната стойност, както и приблизителна стойност (за предпочитане в градуси и радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, минус, нищо страшно. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в постановката на задачата първото число е права линия и „отвиването“ на ъгъла започва именно с нея.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените линиите, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .

Разстоянието от точка до права е дължината на перпендикуляра, прекаран от точката до правата. В дескриптивната геометрия се определя графично, като се използва алгоритъмът, даден по-долу.

Алгоритъм

1. Правата линия се премества до позиция, в която ще бъде успоредна на която и да е проекционна равнина. За тази цел се използват методи за трансформиране на ортогонални проекции.
2. От точка се тегли перпендикуляр към права. Тази конструкция се основава на теоремата за проекцията прав ъгъл.
3. Дължината на перпендикуляра се определя чрез трансформиране на неговите проекции или чрез използване на метода на правоъгълния триъгълник.

Следващата фигура показва сложен чертеж на точка M и права b, определени от отсечката CD. Трябва да намерите разстоянието между тях.

Според нашия алгоритъм, първото нещо, което трябва да направите, е да преместите линията в позиция, успоредна на равнината на проекцията. Важно е да се разбере, че след като трансформациите са извършени, действителното разстояние между точката и линията не трябва да се променя. Ето защо тук е удобно да се използва методът за заместване на равнината, който не включва движещи се фигури в пространството.

Резултатите от първия етап на строителството са показани по-долу. Фигурата показва как се въвежда допълнителна фронтална равнина P 4, успоредна на b. В новата система (P 1, P 4) точките C"" 1, D"" 1, M"" 1 са на същото разстояние от оста X 1 като C"", D"", M"" от оста X.

Изпълнявайки втората част на алгоритъма, от M"" 1 спускаме перпендикуляра M"" 1 N"" 1 към правата b"" 1, тъй като правият ъгъл MND между b и MN се проектира върху равнината P 4 в цял размер. С помощта на комуникационната линия определяме позицията на точка N" и извършваме проекцията M"N" на сегмента MN.

включено финален етаптрябва да определите размера на сегмента MN от неговите проекции M"N" и M"" 1 N"" 1. За това строим правоъгълен триъгълник M"" 1 N"" 1 N 0, чийто катет N"" 1 N 0 е равен на разликата (Y M 1 – Y N 1) на разстоянието на точките M" и N" от оста X 1. Дължината на хипотенузата M"" 1 N 0 на триъгълника M"" 1 N"" 1 N 0 съответства на желаното разстояние от M до b.

Второ решение

• Успоредно на CD въвеждаме нова фронтална равнина P 4. Той пресича P 1 по оста X 1 и X 1 ∥C"D". В съответствие с метода на заместване на равнини, ние определяме проекциите на точки C"" 1, D"" 1 и M"" 1, както е показано на фигурата.
• Перпендикулярно на C"" 1 D"" 1 изграждаме допълнителна хоризонтална равнина P 5, върху която права b се проектира към точка C" 2 = b" 2.
• Разстоянието между точка M и линия b се определя от дължината на отсечката M" 2 C" 2, означена в червено.

Подобни задачи:

Нека правоъгълна координатна система е фиксирана в тримерното пространство Oxyz, дадена точка , права линия аи трябва да намерите разстоянието от точката Акъм права линия а.

Ще покажем два метода, които ви позволяват да изчислите разстоянието от точка до линия в пространството. В първия случай намиране на разстоянието от точка М 1 към права линия асе свежда до намиране на разстоянието от точката М 1 до точката з 1 , Къде з 1 - основата на перпендикуляр, пуснат от точка М 1 директно а. Във втория случай ще намерим разстоянието от точката до равнината като височина на успоредника.

Така че да започваме.

Първият начин за намиране на разстоянието от точка до права a в пространството.

Тъй като по дефиниция разстоянието от точка М 1 към права линия ае дължината на перпендикуляра М 1 з 1 , след това, като определи координатите на точката з 1 , можем да изчислим необходимото разстояние като разстоянието между точките и според формулата.

Така задачата се свежда до намиране на координатите на основата на перпендикуляра, построен от точката М 1 към права линия а. Това е доста лесно да се направи: точка з 1 е пресечната точка на линията ас равнина, минаваща през точка М 1 перпендикулярна на правата а.

следователно алгоритъм, който ви позволява да определите разстоянието от точка към права линияа в космоса, е:

Вторият метод ви позволява да намерите разстоянието от точка до линия a в пространството.

Тъй като в изложението на проблема ни е дадена права линия а, тогава можем да определим вектора на посоката му и координатите на някаква точка М 3 , лежащ на права линия а. След това, според координатите на точките и можем да изчислим координатите на вектор: (ако е необходимо, обърнете се към координатите на статията на вектор чрез координатите на началната и крайната му точка).

Нека оставим настрана векторите и от точката М 3 и постройте успоредник върху тях. В този успоредник начертаваме височината М 1 з 1 .

Очевидно височината М 1 з 1 на построения успоредник е равно на търсеното разстояние от точката М 1 към права линия а. Нека го намерим.

От едната страна площта на успоредника (нека го обозначим С) може да се намери чрез кръстосаното произведение на вектори и според формулата . От друга страна, площта на успоредник е равна на произведението на дължината на страната и височината му, т.е. , Къде - дължина на вектора , равна на дължината на страната на въпросния успоредник. Следователно разстоянието от дадена точка М 1 към дадена права линия аможе да се намери от равенството как .

така че за намиране на разстоянието от точка към права линияа в необходимото пространство

Решаване на задачи за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права в пространството.

Нека да разгледаме примерното решение.

Пример.

Намерете разстоянието от точката към права линия .

Решение.

Първи начин.

Нека напишем уравнението на равнината, минаваща през точката М 1 перпендикулярно на дадена линия:

Намерете координатите на точката з 1 - точки на пресичане на равнината и дадена права. За да направим това, нека направим прехода от каноничните уравнения на права линия към уравненията на две пресичащи се равнини

след което решаваме системата от линейни уравнения Методът на Крамер:

По този начин,.

Остава да изчислим необходимото разстояние от точка до права като разстояние между точките И : .

Втори начин.

Числата в знаменателите на дроби в каноничните уравнения на права представляват съответните координати на вектора на посоката на тази права, т.е. - директен вектор . Нека изчислим дължината му: .

Очевидно направо минава през точка , след това вектор с начало в точка и завършват в точка има . Нека намерим векторното произведение на векторите и :
тогава дължината на този векторен продукт е .

Сега имаме всички данни, за да използваме формулата за изчисляване на разстоянието от дадена точка до дадена равнина: .

отговор:

Относителното разположение на линиите в пространството

Формула за изчисляване на разстоянието от точка до права на равнина

Ако е дадено уравнението на правата Ax + By + C = 0, тогава разстоянието от точката M(M x , M y) до правата може да се намери по следната формула

Примерни задачи за изчисляване на разстоянието от точка до права в равнина

Пример 1.

Намерете разстоянието между правата 3x + 4y - 6 = 0 и точката M(-1, 3).

Решение.Нека заместим коефициентите на правата и координатите на точката във формулата

отговор:разстоянието от точката до правата е 0,6.

уравнение на равнина, минаваща през точки, перпендикулярни на вектор Общо уравнение на равнина

Нарича се ненулев вектор, перпендикулярен на дадена равнина нормален вектор (или накратко, нормално ) за този самолет.

Нека следното е дадено в координатно пространство (в правоъгълна координатна система):

а) точка ;

б) ненулев вектор (фиг. 4.8, а).

Трябва да създадете уравнение за равнина, минаваща през точка перпендикулярен на вектора Край на доказателството.

Нека сега да разгледаме различни видовеуравнения на права линия в равнина.

1) Общо уравнение на равнинатаП .

От извеждането на уравнението следва, че в същото време А, Би Вне са равни на 0 (обяснете защо).

Точката принадлежи на равнината Псамо ако неговите координати удовлетворяват уравнението на равнината. В зависимост от коефициентите А, Б, Ви гсамолет Пзаема една или друга позиция:

- равнината минава през началото на координатната система, - равнината не минава през началото на координатната система,

- равнина, успоредна на оста X,

X,

- равнина, успоредна на оста Y,

- равнината не е успоредна на оста Y,

- равнина, успоредна на оста З,

- равнината не е успоредна на оста З.

Докажете сами тези твърдения.

Уравнение (6) се извежда лесно от уравнение (5). Наистина, нека точката лежи на равнината П. Тогава неговите координати удовлетворяват уравнението (7) от уравнение (5) и групирането на членовете, получаваме уравнение (6). Нека сега разгледаме два вектора с координати съответно. От формула (6) следва, че тяхното скаларно произведение е равно на нула. Следователно векторът е перпендикулярен на вектора, съответно в точки, които принадлежат на равнината П. Следователно векторът е перпендикулярен на равнината П. Разстояние от точка до равнина П, чието общо уравнение определена по формулата Доказателството на тази формула е напълно подобно на доказателството на формулата за разстоянието между точка и права (виж фиг. 2).
ориз. 2. Да се ​​изведе формулата за разстоянието между равнина и права.

Наистина разстоянието dмежду права линия и равнина е равно

където е точка, разположена на равнината. От тук, както и в лекция No11, се получава горната формула. Две равнини са успоредни, ако нормалните им вектори са успоредни. От тук получаваме условието за успоредност на две равнини - коефициенти общи уравнениясамолети. Две равнини са перпендикулярни, ако нормалните им вектори са перпендикулярни, следователно получаваме условието за перпендикулярност на две равнини, ако са известни техните общи уравнения

Ъгъл fмежду две равнини равен на ъгълмежду техните нормални вектори (виж Фиг. 3) и следователно може да се изчисли с помощта на формулата
Определяне на ъгъла между равнините.

(11)

Разстояние от точка до равнина и методи за намирането му

Разстояние от точка до самолет– дължината на перпендикуляра, пуснат от точка върху тази равнина. Има поне два начина да намерите разстоянието от точка до равнина: геометричени алгебричен.

С геометричния методПърво трябва да разберете как се намира перпендикулярът от точка към равнина: може би той лежи в някаква удобна равнина, е височина в някакъв удобен (или не толкова удобен) триъгълник или може би този перпендикуляр обикновено е височина в някаква пирамида.

След този първи и най-сложен етап проблемът се разделя на няколко конкретни планиметрични задачи (може би в различни равнини).

С алгебричния методза да намерите разстоянието от точка до равнина, трябва да въведете координатна система, да намерите координатите на точката и уравнението на равнината и след това да приложите формулата за разстоянието от точка до равнина.

Държавен морски технически университет в Санкт Петербург

Отдел компютърна графикаи информационна поддръжка

УРОК 3

ПРАКТИЧЕСКА ЗАДАЧА No3

Определяне на разстоянието от точка до права линия.

Можете да определите разстоянието между точка и права линия, като изпълните следните конструкции (вижте Фиг. 1):

· от точка СЪСспуснете перпендикуляра до права линия А;

· маркирайте точка ДОпресичане на перпендикуляр с права линия;

измерете дължината на сегмента KS, чието начало е дадена точка, а краят е маркираната пресечна точка.

Фиг.1. Разстояние от точка до права.

Основата за решаване на проблеми от този тип е правилото за проекция на прав ъгъл: прав ъгъл се проектира без изкривяване, ако поне една от страните му е успоредна на равнината на проекцията(т.е. заема частна длъжност). Да започнем точно с такъв случай и да разгледаме конструкции за определяне на разстоянието от точка СЪСкъм сегмент от права линия AB.

В тази задача няма тестови случаи, а опции за изпълнение индивидуални задачидадено в таблица1 и таблица2. Решението на проблема е описано по-долу, а съответните конструкции са показани на фиг. 2.

1. Определяне на разстоянието от точка до определена линия.

Първо се построяват проекции на точка и отсечка. Проекция A1B1успоредна на оста X. Това означава, че сегментът ABуспоредна на равнината P2. Ако от точка СЪСначертайте перпендикулярно на AB, тогава правият ъгъл се проектира без изкривяване върху равнината P2. Това ви позволява да начертаете перпендикуляр от точка C2към проекцията A2B2.

Падащо меню Чертеж-сегмент (Начертайте- Линия) . Поставете курсора в точка C2и го фиксирайте като първа точка на сегмента. Преместете курсора в посока на нормалата към сегмента A2B2и фиксирайте втората точка върху нея в момента, в който се появи подсказката Нормално (Перпендикулярен) . Маркирайте изградената точка К2. Активирайте режима ОРТО(ОРТО) , и от точката К2начертайте вертикална свързваща линия, докато се пресече с проекцията A1 B1. Обозначете пресечната точка с К1. Точка ДО, лежащ на сегмента AB, е пресечната точка на перпендикуляра, прекаран от точката СЪС, със сегмент AB. По този начин сегментът KSе необходимото разстояние от точката до правата.

От конструкциите става ясно, че сегментът KSзаема общо положение и следователно неговите проекции са изкривени. Когато говорим за разстояние, винаги имаме предвид истинската стойност на сегмента, изразяваща разстоянието. Следователно трябва да намерим истинската стойност на сегмента KS,като го завъртите до определена позиция, напр. KS|| P1. Резултатът от конструкциите е показан на фиг. 2.

От конструкциите, показани на фиг. 2, можем да заключим: конкретното положение на правата (отсечката е успоредна P1или P2) ви позволява бързо да изградите проекции на разстоянието от точка до линия, но те са изкривени.

Фиг.2. Определяне на разстоянието от точка до определена линия.

2. Определяне на разстоянието от точка до права обща позиция.

Не винаги в начално състояниесегментът заема определена позиция. С обща начална позиция се извършват следните конструкции за определяне на разстоянието от точка до линия:

а) използвайки метода на трансформация на чертежа, преобразувайте сегмент от обща позиция в конкретна - това ще позволи конструирането на проекции на разстояние (изкривени);

б) използвайки отново метода, преобразувайте сегмента, съответстващ на необходимото разстояние, в определена позиция - получаваме проекция на разстоянието по величина, равна на реалната.

Помислете за последователността от конструкции, за да определите разстоянието от точка Акъм сегмент в обща позиция слънце(фиг. 3).

При първо завъртане необходимо е да се получи конкретната позиция на сегмента INВ. За да направите това в слоя TMRтрябва да свържете точките B2, C2и A2. С помощта на командата Промяна-Завъртане (Променете – Завъртете) триъгълник В2С2А2завъртете около точка C2до позицията, където новата проекция B2*C2ще бъдат разположени строго хоризонтално (точка СЪСе неподвижен и следователно новата му проекция съвпада с първоначалната и обозначението C2*и C1*може да не е показано на чертежа). В резултат на това ще се получат нови проекции на сегмента B2*C2и точки: A2*.Следваща от точки A2*и B2*се извършват вертикални, а от точките B1и A1хоризонтални комуникационни линии. Пресечната точка на съответните линии ще определи позицията на точките на новата хоризонтална проекция: сегмента B1*C1и точки A1*.

В получената конкретна позиция можем да конструираме проекции на разстояние за това: от точката A1*нормалното за B1*C1.Точката на тяхното взаимно пресичане е К1*.От тази точка се изчертава вертикална свързваща линия до пресичането й с проекцията B2*C2.Маркира се точка К2*.В резултат на това са получени проекциите на сегмента АК, което е необходимото разстояние от точката Акъм сегмент от права линия слънце.

След това е необходимо да се конструират проекции на разстояние в първоначалното състояние. За да направите това от точката K1*удобно е да начертаете хоризонтална линия, докато се пресече с проекцията В1С1и маркирайте пресечната точка К1.След това се конструира точка К2върху челната проекция на сегмента и се извършват проекции A1K1и A2K2.В резултат на построенията се получиха проекции на разстоянието, но както в първоначалното, така и в новото частично положение на отсечката слънце,сегмент АКзаема обща позиция и това води до факта, че всички негови проекции са изкривени.

На второто завъртане необходимо е да завъртите сегмента АКдо определена позиция, което ще ни позволи да определим истинската стойност на разстоянието – проекция A2*K2**.Резултатът от всички конструкции е показан на фиг. 3.

ЗАДАЧА No3-1. СЪСкъм права линия на определена позиция, определена от сегмент AB. Дайте отговора в mm (Таблица 1).Отстранете прожекционните лещи

Таблица 1

ЗАДАЧА No3-2.Намерете истинското разстояние от точка Мкъм права линия в общо положение, дадено от сегмента ЕД. Дайте отговора в mm (Таблица 2).

Таблица 2

Проверка и преминаване на изпълнена ЗАДАЧА №3.