Sinus 2 na številčnem krogu. Reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb
V tem članku bomo zelo podrobno analizirali definicijo številskega kroga, ugotovili njegovo glavno lastnost in uredili števila 1,2,3 itd. Kako označiti druge številke na krogu (na primer \ (\ frac (π) (2), \ frac (π) (3), \ frac (7π) (4), 10π), - \ frac (29π)) ( 6) \)) razume.
Številčni krog se imenuje krog enotnega polmera, katerega točke ustrezajo urejeno po naslednjih pravilih:
1) Izvor je na skrajni desni točki kroga;
2) V nasprotni smeri urinega kazalca - pozitivna smer; v smeri urinega kazalca - negativno;
3) Če odložimo razdaljo \ (t \) na krogu v pozitivni smeri, bomo prišli do točke z vrednostjo \ (t \);
4) Če odložimo razdaljo \ (t \) na krogu v negativni smeri, bomo prišli do točke z vrednostjo \ (- t \).
Zakaj se krog imenuje številski?
Ker so na njem številke. Pri tem je krog podoben številski osi - na krogu, pa tudi na osi, za vsako število obstaja določena točka.
Zakaj vedeti, kaj je številčni krog?
Številčni krog se uporablja za določanje vrednosti sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov. Zato za poznavanje trigonometrije in opraviti izpit za 60+ točk morate vsekakor razumeti, kaj je številski krog in kako nanj postaviti točke.
Kaj v definiciji pomenijo besede "... polmer enote ..."?
To pomeni, da je polmer tega kroga \ (1 \). In če zgradimo tak krog s središčem v izvoru, se bo sekal z osema v točkah \ (1 \) in \ (- 1 \).
Ni ga treba narisati majhnega, lahko spremenite "velikost" delitev vzdolž osi, potem bo slika večja (glej spodaj).
Zakaj je polmer točno en? To je bolj priročno, saj v tem primeru pri izračunu oboda po formuli \ (l = 2πR \) dobimo:
Dolžina številskega kroga je \ (2π \) ali približno \ (6,28 \).
In kaj pomeni "...čigave točke ustrezajo realnim številkam"?
Kot je navedeno zgoraj, bo na številčnem krogu za katero koli realno število nujno njegovo "mesto" - točka, ki ustreza tej številki.
Zakaj definirati izvor in smeri na številskem krogu?
Glavni namen številskega kroga je enolično določiti točko za vsako številko. Toda kako lahko določite, kam postaviti točko, če ne veste, od kod šteti in kam iti?
Pomembno je, da ne zamenjate izvora na koordinatni črti in na številčnem krogu - to sta dva različna referenčna sistema! In tudi ne zamenjujte \ (1 \) na osi \ (x \) in \ (0 \) na krogu - to so točke na različnih predmetih.
Katere pike ustrezajo številkam \ (1 \), \ (2 \) itd.?
Ne pozabite, da smo domnevali, da je polmer številskega kroga \ (1 \)? To bo naš segment enote (po analogiji s številsko osjo), ki ga bomo položili na krog.
Če želite na številčnem krogu označiti točko, ki ustreza številki 1, morate iti od 0 na razdalji, ki je enaka polmeru v pozitivni smeri.
Če želite označiti točko na krogu, ki ustreza številki \ (2 \), morate iti na razdaljo, ki je enaka dvema polmeroma od izhodišča, tako da je \ (3 \) razdalja, enaka trem polmerom itd.
Ko pogledate to sliko, boste morda imeli 2 vprašanji:
1. Kaj se bo zgodilo, ko se krog »konča« (tj. naredimo popolno revolucijo)?
Odgovor: gremo v drugi krog! In ko je drugega konec, gremo k tretjemu itd. Zato je za krog mogoče uporabiti neskončno število številk.
2. Kje bodo negativna števila?
Odgovor: na istem mestu! Lahko jih postavite tudi tako, da od nič štejete zahtevano število polmerov, vendar zdaj v negativni smeri.
Na žalost je v številskem krogu težko označiti cela števila. To je posledica dejstva, da dolžina številskega kroga ne bo enaka celemu številu: \ (2π \). In na najbolj priročnih mestih (na točkah presečišča z osemi) tudi ne bodo cela števila, ampak ulomki
Na trigonometričnem krogu poleg kotov v stopinjah opazujemo.
Več o radianih:
Radian je opredeljen kot kotna vrednost loka, katerega dolžina je enaka njegovemu polmeru. V skladu s tem, saj je obseg 
, potem je očitno, da radian ustreza krogu, tj
1 rad ≈ 57,295779513 ° ≈ 57 ° 17′44,806 ″ ≈ 206265 ″.
Vsi vedo, da je radian
Torej, na primer, ah. Tako smo mi naučili pretvoriti radiane v kote.
Zdaj ravno nasprotno, pretvorimo stopinje v radiane.
Recimo, da moramo pretvoriti v radiane. Pomagalo nam bo. Nadaljujemo na naslednji način:
Ker, radian, nato izpolnite tabelo:
Vadimo se najti vrednosti sinusa in kosinusa v krogu
Pojasnimo še naslednje.
No, no, če nas prosijo, da izračunamo, recimo, - tukaj običajno ni zmede - vsi najprej začnejo gledati v krog.
In če jih prosimo za izračun, na primer ... Mnogi nenadoma začnejo ne razumeti, kje iskati to ničlo ... Pogosto jo iščejo pri izvoru. Zakaj?
1) Dogovorimo se enkrat za vselej! Kaj sledi ali je argument = kot in vogali se nahajajo na krogu, ne išči jih na osi!(Posamezne točke padejo tako na krog kot na os ...) In vrednosti samih sinusov in kosinusov - iščemo osi!
2) In še več!Če gremo od "začetka" v nasprotni smeri urinega kazalca(glavna smer prečkanja trigonometričnega kroga), potem odložimo pozitivne vrednosti kotov, se vrednosti kotov povečajo, ko se premikate v tej smeri.
Če gremo od "začetka" v smeri urinega kazalca, nato pa negativne vrednosti kotov odložimo.
Primer 1.
Poiščite vrednost.
rešitev:
Najdemo ga na krogu. Točko projiciramo na os sinusa (to pomeni, da narišemo pravokotnico iz točke na os sinusa (oh)).
Prispemo na 0. Torej,.
Primer 2.
Poiščite vrednost.
rešitev:
Najdemo ga na krogu (gremo v nasprotni smeri urinega kazalca in več). Točko projiciramo na os sinusa (in to že leži na osi sinusa).
Zadeli smo -1 na osi sinusa.
Upoštevajte, da so za točko takšne točke kot (lahko gremo do točke, označene kot, v smeri urinega kazalca, kar pomeni, da se pojavi znak minus) in neskončno veliko drugih.
Lahko se poda analogijo:
Predstavimo trigonometrični krog kot tekalna steza stadion.
Konec koncev se lahko znajdete na točki "Zastava", začnete s štarta v nasprotni smeri urinega kazalca, tečete recimo 300 m. Ali pa tečete recimo 100 m v smeri urinega kazalca (dolžino proge štejemo 400 m).
Prav tako ste lahko na točki "Zastava" (po "startu"), ko ste tekli recimo 700 m, 1100 m, 1500 m itd. v nasprotni smeri urinega kazalca. Do točke "Zastava" lahko pridete s tekom 500 m ali 900 m itd. v smeri urinega kazalca od "starta".
Mentalno razširite tekalno stezo na stadionu v številsko črto. Predstavljajte si, kje bodo na tej vrstici na primer vrednosti 300, 700, 1100, 1500 itd. Na številski premici bomo videli točke, ki so enako oddaljene ena od druge. Vrnimo se nazaj v krog. Pike se "zlepijo" v eno.
Tako je s trigonometričnim krogom. Za vsako točko se skriva neskončno veliko drugih.
Recimo koti,,, itd. so prikazani z eno točko. In vrednosti sinusa, kosinusa v njih seveda sovpadajo. (Ali ste opazili, da smo dodali/odšteli ali? To je obdobje za funkcijo sinusa in kosinusa.)
Primer 3.
Poiščite vrednost.
rešitev:
Za preprostost prevedemo v stopinjah
(kasneje, ko se navadiš trigonometrični krog, vam ni treba pretvoriti radianov v stopinje):
Premikali se bomo v smeri urinega kazalca od točke Pojdimo na pol kroga () in več
Razumemo, da vrednost sinusa sovpada s sinusno vrednostjo in je enaka
Upoštevajte, da če bi vzeli na primer ali itd., potem bi dobili enako vrednost sinusa.
Primer 4.
Poiščite vrednost.
rešitev:
Vendar radianov ne bomo pretvorili v stopinje, kot v prejšnjem primeru.
To pomeni, da moramo iti v nasprotni smeri urinega kazalca polovico kroga in še četrtino polkroga in dobljeno točko projicirati na os kosinusa (vodoravna os).
Primer 5.
Poiščite vrednost.
rešitev:
Kako odložiti trigonometrični krog?
Če bomo mimo ali vsaj da, se bomo še vedno znašli na točki, ki smo jo označili kot "start". Zato lahko takoj greste do točke na krogu.
Primer 6.
Poiščite vrednost.
rešitev:
Znašli se bomo na točki (tako nas bo pripeljalo do točke nič). Točko kroga projiciramo na kosinusno os (glej trigonometrični krog), vstopimo vanjo. to je .
Trigonometrični krog - v vaših rokah
Ste že razumeli, da je glavna stvar zapomniti pomene. trigonometrične funkcije prva četrtina. V ostalih četrtinah je vse po starem, le slediti je treba oznakam. In upam, da ne boste pozabili na "verižno lestev" vrednosti trigonometričnih funkcij. 
Kako najti tangentne in kotangensne vrednosti glavni vogali.
Po tem, ko se je seznanil z osnovnimi vrednostmi tangenta in kotangensa, lahko mimo
Na prazni šabloni kroga. Vlak!
Preprosto povedano, to so zelenjava, kuhana v vodi po posebnem receptu. Upošteval bom dve začetni komponenti (zelenjavna solata in voda) in končni rezultat - boršč. Geometrijsko si to lahko predstavljamo kot pravokotnik, pri čemer ena stran predstavlja solato, druga stran pa vodo. Vsota teh dveh strani bo predstavljala boršč. Diagonala in površina takšnega pravokotnika "boršča" sta čisto matematična pojma in se nikoli ne uporabljata v receptih za boršč.
Kako se solata in voda z matematičnega vidika spremenita v boršč? Kako se lahko vsota dveh odsekov črte spremeni v trigonometrijo? Da bi to razumeli, potrebujemo linearne kotne funkcije.
V učbenikih matematike ne boste našli ničesar o funkcijah linearnega kota. Toda brez njih ne more biti matematike. Zakoni matematike, tako kot zakoni narave, delujejo ne glede na to, ali vemo za njihov obstoj ali ne.
Funkcije linearnih kotov so zakoni seštevanja. Poglejte, kako se algebra spremeni v geometrijo in geometrija v trigonometrijo.
Ali je mogoče opustiti linearne kotne funkcije? Lahko, ker matematiki še vedno brez njih. Trik matematikov je v tem, da nam vedno govorijo le o tistih problemih, ki jih sami znajo rešiti, in nikoli ne govorijo o tistih problemih, ki jih ne morejo rešiti. Poglej. Če poznamo rezultat seštevanja in en člen, uporabimo odštevanje, da poiščemo drugi člen. Vse. Drugih nalog ne poznamo in jih ne znamo rešiti. Kaj storiti, če poznamo samo rezultat seštevanja in ne poznamo obeh izrazov? V tem primeru je treba rezultat seštevanja razstaviti na dva člana z uporabo linearnih kotnih funkcij. Nato sami izberemo, kakšen je lahko en člen, linearne kotne funkcije pa pokažejo, kakšen naj bo drugi člen, tako da je rezultat seštevanja točno to, kar potrebujemo. Takih parov izrazov je lahko neskončno število. V Vsakdanje življenje lahko naredimo čisto dobro, ne da bi vsoto razstavili; odštevanje nam zadostuje. Ampak z znanstvena raziskava zakonov narave je lahko razgradnja vsote na izraze zelo koristna.
Drugi zakon seštevanja, o katerem matematiki ne marajo govoriti (še en njihov trik), zahteva, da imajo izrazi enake merske enote. Za solato, vodo in boršč so to lahko merske enote za težo, prostornino, vrednost ali merske enote.
Slika prikazuje dve ravni razlike za matematiko. Prva raven so razlike v polju številk, ki so označene a, b, c... To počnejo matematiki. Druga raven so razlike v površini enot, ki so prikazane v oglatih oklepajih in označene s črko U... To počnejo fiziki. Lahko razumemo tretjo raven - razlike v območju opisanih predmetov. Različni predmeti imajo lahko enako število enakih merskih enot. Kako pomembno je to, lahko vidimo na primeru boršč trigonometrije. Če k isti oznaki merskih enot različnih predmetov dodamo indekse, lahko natančno povemo, katera matematična vrednost opisuje določen predmet in kako se spreminja skozi čas ali v povezavi z našimi dejanji. S pismom W Vodo bom označil s črko S Označil bom solato in črko B- Borsch. Tako bi izgledale linearne kotne funkcije za boršč.
Če vzamemo del vode in del solate, se bosta skupaj spremenila v eno porcijo boršča. Tukaj predlagam, da si odpočijete od boršča in se spomnite svojega daljnega otroštva. Se spomnite, kako so nas učili sestavljati zajčke in race? Treba je bilo najti, koliko živali bo. Kaj so nas potem naučili delati? Učili so nas ločiti enote od števil in seštevati števila. Da, katero koli številko je mogoče dodati kateri koli drugi številki. To je neposredna pot do avtizma sodobne matematike - delamo ni jasno kaj, ni jasno zakaj, in zelo slabo razumemo, kako se to nanaša na realnost, zaradi treh stopenj razlike matematika deluje samo na enem. . Bolj pravilno bi bilo, če bi se naučili preklopiti z ene merske enote na drugo.
In zajčke, race in živali je mogoče prešteti na koščke. Ena skupna merska enota za različne predmete nam omogoča, da jih seštejemo skupaj. To je otroška različica problema. Oglejmo si podoben problem za odrasle. Kaj se zgodi, ko dodate zajčke in denar? Tu sta možni dve rešitvi.
Prva možnost... Določimo tržno vrednost zajčkov in jo prištejemo k razpoložljivemu znesku denarja. Dobili smo celotno vrednost našega bogastva v denarju.
Druga možnost... Število zajčkov lahko prištejete številu bankovcev, ki jih imamo. Prejeli bomo število premičnin v kosih.
Kot lahko vidite, isti zakon o seštevanju daje različne rezultate. Vse je odvisno od tega, kaj točno želimo vedeti.
Toda nazaj k našemu boršu. Zdaj lahko vidimo, kaj se bo zgodilo različne pomene kot linearnih kotnih funkcij.
Kot je nič. Imamo solato, vendar brez vode. Boršča ne moremo kuhati. Količina boršča je tudi nič. To sploh ne pomeni, da je nič boršča enako nič vode. Nič boršča je lahko pri nič solati (pravi kot).
Zame osebno je to glavni matematični dokaz tega. Nič ne spremeni številke, ko je dodana. To je zato, ker je samo seštevanje nemogoče, če obstaja samo en izraz in ni drugega. Lahko se nanašate na to, kot želite, vendar ne pozabite - vse matematične operacije z ničlo so izumili matematiki sami, zato zavrzite svojo logiko in neumno stlačite definicije, ki so si jih izmislili matematiki: "deljenje z nič je nemogoče", "vsako število, pomnoženo z nič, je enako nič" , "za izločilno točko nič" in druge neumnosti. Dovolj je, da se enkrat spomnite, da nič ni število, in nikoli ne boste imeli vprašanja, ali je nič naravno število ali ne, saj takšno vprašanje na splošno izgubi vsak pomen: kako lahko štejemo število, ki ni število. Kot da bi se vprašali, kakšne barve naj bo nevidna barva. Dodajanje nič številki je kot slikanje z barvo, ki ne obstaja. Pomahali smo s suhim čopičem in vsem povedali, da "smo slikali". Ampak malo se oddaljim.
Kot je večji od nič, vendar manjši od petinštirideset stopinj. Imamo veliko solate, a premalo vode. Kot rezultat dobimo debel boršč.
Kot je petinštirideset stopinj. Imamo enake količine vode in solate. To je popoln boršč (ja, kuharji mi bodo oprostili, to je samo matematika).
Kot je večji od petinštirideset stopinj, vendar manjši od devetdeset stopinj. Imamo veliko vode in malo solate. Dobiš tekoči boršč.
Pravi kot. Imamo vodo. Od solate ostanejo le še spomini, saj nadaljujemo z merjenjem kota od črte, ki je nekoč stala za solato. Boršča ne moremo kuhati. Količina boršča je nič. V tem primeru se drži in pij vodo, dokler jo imaš)))
Tukaj. Nekaj podobnega. Tukaj lahko povem druge zgodbe, ki bodo tukaj več kot primerne.
Dva prijatelja sta imela svoj delež v skupnem poslu. Po umoru enega od njih je vse šlo k drugemu.
Pojav matematike na našem planetu.
Vse te zgodbe so pripovedane v jeziku matematike z uporabo linearnih kotnih funkcij. Drugič vam bom pokazal pravo mesto teh funkcij v strukturi matematike. Vmes se vrnimo k trigonometriji boršča in razmislimo o projekcijah.
Sobota, 26. oktober 2019
Sreda, 7. avgusta 2019
Ob zaključku pogovora je treba razmisliti o neskončnem številu. Posledica tega je, da koncept "neskončnosti" deluje na matematike kot boa constrictor na zajca. Trepetajoča groza neskončnosti matematikom odvzame zdrav razum. Tukaj je primer:
Izvirni vir se nahaja. Alfa pomeni realno število. Znak enakosti v zgornjih izrazih kaže, da če dodate število ali neskončnost neskončnosti, se nič ne spremeni, rezultat bo enaka neskončnost. Če vzamemo za primer neskončen niz naravnih števil, potem lahko obravnavane primere predstavimo v naslednji obliki:
Za vizualni dokaz njihove pravilnosti so matematiki pripravili veliko različnih metod. Osebno na vse te metode gledam kot na plesanje šamanov s tamburami. V bistvu se vse strmijo v to, da bodisi nekatere sobe niso zasedene in se vselijo novi gostje, bodisi da nekatere obiskovalce vržejo na hodnik, da naredijo prostor za goste (zelo človeško). Svoj pogled na takšne odločitve sem predstavil v obliki fantastične zgodbe o Blondinki. Na čem temelji moje sklepanje? Premestitev neskončnega števila obiskovalcev traja neskončno veliko časa. Ko zapustimo prvo sobo za gosta, bo eden od obiskovalcev vse do konca stoletja vedno hodil po hodniku od svoje sobe do druge. Seveda lahko časovni faktor neumno zanemarimo, a bo že iz kategorije »zakon ni napisan za bedake«. Vse je odvisno od tega, kaj počnemo: prilagajanje realnosti matematične teorije ali obratno.
Kaj je "neskončni hotel"? Neskončen hotel je hotel, ki ima vedno poljubno število prostih mest, ne glede na to, koliko sob je zasedenih. Če so vse sobe v neskončnem hodniku za obiskovalce zasedene, je s sobami za goste še en neskončen hodnik. Takih koridorjev bo neskončno število. Poleg tega ima »neskončni hotel« neskončno število nadstropij v neskončnem številu zgradb na neskončnem številu planetov v neskončnem številu vesolj, ki jih je ustvarilo neskončno število bogov. Matematiki pa se ne znajo distancirati od vsakdanjih vsakdanjih problemov: Bog-Allah-Buda je vedno samo en, hotel je en, hodnik je samo en. Tukaj so matematiki in poskušajo manipulirati s serijskimi številkami hotelskih sob in nas prepričevati, da je mogoče "potisniti stvari".
Logiko svojega sklepanja vam bom pokazal na primeru neskončnega niza naravnih števil. Najprej morate odgovoriti na zelo preprosto vprašanje: koliko nizov naravnih števil obstaja - ena ali več? Na to vprašanje ni pravilnega odgovora, saj smo si številke izmislili sami, v naravi številk ni. Da, narava je odlična pri štetju, vendar za to uporablja druga matematična orodja, ki nam niso znana. Kot misli Narava, vam bom povedal kdaj drugič. Ker smo izumili števila, se bomo sami odločili, koliko nizov naravnih števil je. Upoštevajte obe možnosti, kot se za pravega znanstvenika spodobi.
Možnost ena. "Naj nam da" en sam niz naravnih števil, ki mirno leži na polici. Ta komplet vzamemo s police. To je to, drugih naravnih številk ni več na polici in jih ni kam vzeti. Temu naboru ga ne moremo dodati, ker ga že imamo. In če res želite? Ni problema. Lahko vzamemo enega iz že vzetega kompleta in ga vrnemo na polico. Po tem lahko s police vzamemo enoto in jo dodamo tistemu, kar nam ostane. Kot rezultat, spet dobimo neskončen nabor naravnih števil. Vse naše manipulacije lahko zapišete takole:
Dejanja sem zabeležil v algebraični sistem notacijo in v sistemu zapisov, sprejetem v teoriji množic, s podrobnim seznamom elementov množice. Podpis označuje, da imamo en in edini niz naravnih števil. Izkazalo se je, da bo nabor naravnih števil ostal nespremenjen le, če od njega odštejemo in dodamo isto enoto.
Druga možnost. Na naši polici imamo veliko različnih neskončnih nizov naravnih števil. Poudarjam – RAZLIČNE, kljub temu, da jih tako rekoč ni mogoče razlikovati. Vzamemo enega od teh sklopov. Nato vzamemo eno iz drugega niza naravnih števil in ga dodamo množici, ki smo jo že vzeli. Lahko celo dodamo dva niza naravnih števil. Takole dobimo:
Podpisa "ena" in "dva" označujeta, da so ti predmeti pripadali različnim sklopom. Da, če neskončnemu nizu dodate eno, bo rezultat tudi neskončen niz, vendar ne bo enak prvotnemu nizu. Če enemu neskončnemu nizu dodamo še eno neskončno množico, je rezultat nova neskončna množica, sestavljena iz elementov prvih dveh množic.
Veliko naravnih števil se uporablja za štetje na enak način kot ravnilo za meritve. Zdaj si predstavljajte, da ravnilu dodate en centimeter. To bo že druga vrstica, ki ni enaka izvirniku.
Lahko sprejmete ali ne sprejmete moje utemeljitve - to je vaša lastna stvar. Če pa kdaj naletite na matematične težave, pomislite, ali ne greste po poti napačnega sklepanja, ki so jo prehodile generacije matematikov. Konec koncev, ukvarjanje z matematiko v nas najprej oblikuje stabilen stereotip razmišljanja in nam šele nato doda miselne sposobnosti (ali, nasprotno, odvzame svobodno razmišljanje).
pozg.ru
Nedelja, 4. avgusta 2019
Pisal sem postscript k članku o in videl to čudovito besedilo na Wikipediji:
Beremo: "...bogat teoretično podlago Babilonska matematika ni imela celostnega značaja in je bila skrčena na niz različnih tehnik brez skupni sistem in bazo dokazov."
Vau! Kako pametni smo in kako dobro vidimo pomanjkljivosti drugih. Ali nam je težko gledati na sodobno matematiko v istem kontekstu? Če nekoliko parafraziram zgornje besedilo, sem osebno dobil naslednje:
Bogata teoretična osnova sodobne matematike ni celostna in je reducirana na niz različnih odsekov brez skupnega sistema in baze dokazov.
Ne bom šel daleč, da bi potrdil svoje besede – ima jezik in konvencije, ki se razlikujejo od jezika in konvencij mnogih drugih vej matematike. Ista imena v različnih vejah matematike imajo lahko različne pomene. Celo vrsto publikacij želim posvetiti najbolj očitnim zmotam sodobne matematike. Se vidiva kmalu.
Sobota, 3. avgusta 2019
Kako razdelite nabor na podmnožice? Za to je potrebno vnesti novo mersko enoto, ki je prisotna za nekatere elemente izbranega sklopa. Poglejmo primer.
Naj jih imamo veliko A sestavljen iz štirih oseb. Ta sklop je bil oblikovan na podlagi "ljudi" Označimo elemente tega niza s črko a, indeks s številko bo označeval redno številko vsake osebe v tem nizu. Predstavimo novo mersko enoto "spol" in jo označimo s črko b... Ker so spolne značilnosti lastne vsem ljudem, pomnožimo vsak element nabora A po spolu b... Upoštevajte, da je zdaj naša množica »ljudi« postala množica »ljudi s spolnimi značilnostmi«. Po tem lahko spolne značilnosti razdelimo na moške bm in ženske bw spolne značilnosti. Zdaj lahko uporabimo matematični filter: izberemo eno od teh spolnih značilnosti, ni pomembno, katera je moški ali ženska. Če ga ima oseba, ga pomnožimo z eno, če tega znaka ni, ga pomnožimo z nič. Nato uporabimo običajno šolsko matematiko. Poglejte, kaj se je zgodilo.
Po množenju, redukciji in prerazporeditvi smo dobili dve podmnožici: podmnožico moških Bm in podskupina žensk Bw... Matematiki razmišljajo približno enako, ko uporabljajo teorijo množic v praksi. Toda ne posvečajo nas detajlom, ampak dajejo končni rezultat - "veliko ljudi je sestavljeno iz podmnožice moških in podmnožice žensk." Seveda se morda sprašujete, kako pravilno je matematika uporabljena v zgornjih transformacijah? Upam vam zagotoviti, da so bile transformacije v resnici opravljene pravilno, dovolj je poznavanje matematične osnove aritmetike, Booleove algebre in drugih vej matematike. kaj je to? O tem vam bom kdaj drugič povedal.
Kar zadeva nadnabore, lahko dva niza združite v en nadnabor tako, da izberete mersko enoto, ki je prisotna za elemente teh dveh nizov.
Kot lahko vidite, merske enote in običajna matematika naredijo teorijo množic preteklost. Indikacija, da teorija množic ni v redu, je, da so za teorijo množic prišli matematiki lastnega jezika in lastne oznake. Matematiki so naredili to, kar so nekoč počeli šamani. Samo šamani znajo "pravilno" uporabiti svoje "znanje". Tega »znanja« nas učijo.
Na koncu vam želim pokazati, kako matematiki manipulirajo z.
Ponedeljek, 7. januarja 2019
V petem stoletju pred našim štetjem je starogrški filozof Zeno iz Eleje oblikoval svoje slavne aporije, med katerimi je najbolj znana aporija "Ahilej in želva". Takole se sliši:
Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče to razdaljo, bo želva lezla sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, bo želva preplezala še deset korakov itd. Proces se bo nadaljeval v nedogled, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.
To sklepanje je bilo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače šteli za Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo v današnjem času, znanstvena skupnost še ni uspela priti do enotnega mnenja o bistvu paradoksov ... matematična analiza, teorija množic, novi fizični in filozofski pristopi; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev vprašanja ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Vsi razumejo, da so prevarani, vendar nihče ne razume, kaj je prevara.
Z vidika matematike je Zenon v svoji aporiji jasno pokazal prehod od velikosti do. Ta prehod pomeni uporabo namesto konstant. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen za Zenonovo aporijo. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Po vztrajnosti mišljenja uporabljamo stalne merske enote časa za recipročno. S fizičnega vidika je videti kot časovna dilatacija, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko je Ahil v ravni z želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.
Če obrnemo logiko, ki smo je vajeni, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji odsek njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. V skladu s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči "Ahilej bo neskončno hitro dohitel želvo."
Kako se lahko izognete tej logični pasti? Ostanite v stalnih časovnih enotah in se ne vračajte nazaj. V Zenonovem jeziku je videti takole:
V času, v katerem bo Ahil tekel tisoč korakov, bo želva lezla sto korakov v isto smer. Za naslednji časovni interval, enak prvi, Ahil bo tekel še tisoč korakov, želva pa bo priplazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.
Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Ampak ni popolna rešitev Težave. Einsteinova izjava o nepremagljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahilej in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitve se ne sme iskati neskončno velike številke in v merskih enotah.
Še ena zanimiva aporia Zeno pripoveduje o leteči puščici:
Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.
V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je, da pojasnimo, da v vsakem trenutku leteča puščica počiva na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba omeniti še eno točko. Iz ene same fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Za določitev dejstva gibanja avtomobila sta potrebni dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar je nemogoče določiti razdaljo od njih. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji, posneti iz različnih točk v prostoru hkrati, vendar iz njih ne morete določiti dejstva gibanja (seveda še vedno potrebujete dodatne podatke za izračune, pomagala vam bo trigonometrija) . Na kar želim posebej opozoriti je, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo zamenjevati, saj dajeta različne možnosti za raziskovanje.
Naj vam pokažem postopek s primerom. Izberemo "rdečo trdno snov v mozolju" - to je naša "celota". Hkrati vidimo, da so te stvari z lokom, lokov pa ni. Po tem izberemo del "celote" in oblikujemo niz "z pentljo". Tako se šamani hranijo tako, da svojo teorijo množic vežejo na realnost.
Zdaj pa naredimo majhen umazan trik. Vzemite "solid v mozolj z pentljo" in združite te "celine" po barvah, pri čemer izberite rdeče elemente. Imamo veliko "rdečih". Sedaj pa vprašanje, ki ga je treba izpolniti: nastala niza "z lokom" in "rdeča" sta enaka ali sta dva različna niza? Odgovor poznajo samo šamani. Natančneje, sami ne vedo ničesar, a kot pravijo, naj bo tako.
Ta preprost primer kaže, da je teorija množic popolnoma neuporabna, ko gre za realnost. Kaj je skrivnost? Oblikovali smo komplet "rdečih trdnih v bulico z pentljo". Nastajanje je potekalo po štirih različnih merskih enotah: barva (rdeča), trdnost (polna), hrapavost (v mozolju), okraski (z pentljo). Le niz merskih enot omogoča ustrezno opisovanje resničnih predmetov v jeziku matematike... Takole je videti.
Črka "a" z različnimi indeksi označuje različne merske enote. V oklepajih so označene merske enote, s katerimi se v predhodni fazi dodeli "celota". Iz oklepajev se vzame merska enota, s katero se tvori niz. Zadnja vrstica prikazuje končni rezultat - element niza. Kot lahko vidite, če za tvorbo niza uporabljamo merske enote, potem rezultat ni odvisen od vrstnega reda naših dejanj. In to je matematika, ne ples šamanov s tamburicami. Šamani lahko »intuitivno« pridejo do enakega rezultata in ga argumentirajo »z dokazi«, ker merske enote niso vključene v njihov »znanstveni« arzenal.
Enote je zelo enostavno uporabiti za razdelitev enega ali združevanje več sklopov v en superset. Oglejmo si podrobneje algebro tega procesa.
Vrednosti sinusa so v intervalu [-1; 1], tj -1 ≤ sin α ≤ 1. Torej, če | a | > 1, potem enačba sin x = a nima korenin. Na primer, enačba sin x = 2 nima korenin.
Obrnimo se na nekaj nalog.
Rešite enačbo sin x = 1/2.
Rešitev.
Upoštevajte, da je sin x ordinata točke na enotnem krogu, ki jo dobimo z vrtenjem točke P (1; 0) za kot x okoli izhodišča.
Ordinata, enaka ½, je prisotna na dveh točkah kroga M 1 in M 2.
Ker je 1/2 = sin π / 6, dobimo točko M 1 iz točke P (1; 0) z obračanjem skozi kot x 1 = π / 6 in tudi za kote x = π / 6 + 2πk, kjer je k = +/- 1, +/- 2, ...
Točko М 2 dobimo iz točke Р (1; 0) kot rezultat vrtenja skozi kot х 2 = 5π / 6, pa tudi skozi kote х = 5π / 6 + 2πk, kjer je k = +/- 1, + /- 2, ... , tj. pri kotih х = π - π / 6 + 2πk, kjer je k = +/- 1, +/- 2,….
Torej, vse korene enačbe sin x = 1/2 lahko najdemo po formulah x = π / 6 + 2πk, x = π - π / 6 + 2πk, kjer je k € Z.
Te formule lahko združimo v eno: x = (-1) n π / 6 + πn, kjer je n € Z (1).
Dejansko, če je n sodo število, tj. n = 2k, potem iz formule (1) dobimo х = π / 6 + 2πk, in če je n liho število, t.j. n = 2k + 1, potem iz formule (1) dobimo х = π - π / 6 + 2πk.
Odgovori. х = (-1) n π / 6 + πn, kjer je n € Z.
Rešite enačbo sin x = -1/2.
Rešitev.
Ordinata -1/2 ima dve točki enotnega kroga M 1 in M 2, kjer je x 1 = -π / 6, x 2 = -5π / 6. Zato lahko vse korene enačbe sin x = -1/2 najdemo po formulah x = -π / 6 + 2πk, x = -5π / 6 + 2πk, k € Z.
Te formule lahko združimo v eno: x = (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).
Dejansko, če je n = 2k, potem s formulo (2) dobimo x = -π / 6 + 2πk, in če je n = 2k - 1, potem s formulo (2) najdemo x = -5π / 6 + 2πk.
Odgovori. x = (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.
Tako ima vsaka enačba sin x = 1/2 in sin x = -1/2 neskončno število korenov.
Na intervalu -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 ima vsaka od teh enačb samo en koren:
x 1 = π / 6 je koren enačbe sin x = 1/2 in x 1 = -π / 6 je koren enačbe sin x = -1/2.
Število π / 6 imenujemo arcsin števila 1/2 in se zapiše: arcsin 1/2 = π / 6; število -π / 6 se imenuje arcsin števila -1/2 in se zapiše: arcsin (-1/2) = -π / 6.
Na splošno ima enačba sin x = a, kjer je -1 ≤ a ≤ 1, samo en koren v intervalu -π / 2 ≤ x ≤ π / 2. Če je a ≥ 0, je koren v intervalu; če< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Tako je arksinus števila a € [–1; 1] takšno število se imenuje € [–π / 2; π / 2], katerega sinus je enak a.
arcsin а = α, če je sin α = а in -π / 2 ≤ х ≤ π / 2 (3).
Na primer, arcsin √2 / 2 = π / 4, saj je sin π / 4 = √2 / 2 in - π / 2 ≤ π / 4 ≤ π / 2;
arcsin (-√3 / 2) = -π / 3, saj sin (-π / 3) = -√3 / 2 in - π / 2 ≤ 
- π / 3 ≤ π / 2.
Podobno kot pri reševanju nalog 1 in 2 je mogoče pokazati, da so korenine enačbe sin x = a, kjer je | a | ≤ 1, so izražene s formulo
х = (-1) n аrcsin а + πn, n € Z (4).
Dokažemo lahko tudi, da je za vsak a € [-1; 1] velja formula arcsin (-a) = -arcsin a.
Iz formule (4) izhaja, da so korenine enačbe
sin x = a za a = 0, a = 1, a = -1 lahko najdemo s preprostejšimi formulami:
sin х = 0 х = πn, n € Z (5)
sin x = 1 x = π / 2 + 2πn, n € Z (6)
sin x = -1 x = -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
strani, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva, je potrebna povezava do vira.
Najpreprostejša rešitev trigonometrične enačbe.
Rešitev trigonometričnih enačb katere koli stopnje kompleksnosti se na koncu spusti na reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb. In v tem najboljši pomočnik spet se izkaže, da je trigonometrični krog.
Spomnimo se definicij kosinusa in sinusa.
Kosinus kota je abscisa (to je koordinata vzdolž osi) točke na enotnem krogu, ki ustreza rotaciji za dani kot.
Sinus kota je ordinata (to je koordinata vzdolž osi) točke na enotnem krogu, ki ustreza rotaciji za dani kot.
Pozitivna smer gibanja v trigonometričnem krogu je gibanje v nasprotni smeri urinega kazalca. Zasuk za 0 stopinj (ali 0 radianov) ustreza točki s koordinatami (1; 0)
Te definicije bomo uporabili za reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb.
1. Rešimo enačbo
To enačbo izpolnjujejo vse takšne vrednosti kota vrtenja, ki ustrezajo točkam kroga, katerih ordinata je enaka.
Na ordinatni osi označimo točko z ordinato:
Narišimo vodoravno črto, vzporedno z abscisno osjo, dokler se ne seka s krogom. Dobimo dve točki, ki ležita na krogu in imata ordinato. Te točke ustrezajo kotom vrtenja za in radianom:
Če zapustimo točko, ki ustreza kotu vrtenja po radianih, obkrožimo cel krog, bomo prišli do točke, ki ustreza kotu vrtenja po radianih in ima enako ordinato. To pomeni, da ta rotacijski kot tudi izpolnjuje našo enačbo. Naredimo lahko toliko "prostih" vrtljajev, kolikor želimo, pri čemer se vrnemo na isto točko in vse te vrednosti kotov bodo zadovoljile našo enačbo. Število "prostih" vrtljajev bo označeno s črko (ali). Ker lahko te vrtljaje naredimo tako v pozitivni kot v negativni smeri, (ali) lahko sprejmemo poljubne celoštevilske vrednosti.
To pomeni, da ima prva serija rešitev prvotne enačbe obliko:
,, je množica celih števil (1)
Podobno je druga serija rešitev:
, kje , . (2)
Kot ste morda uganili, ta serija rešitev temelji na točki kroga, ki ustreza kotu vrtenja za.
Ti dve seriji rešitev je mogoče združiti v en vnos:
Če vzamemo ta zapis (torej celo), dobimo prvo serijo rešitev.
Če vzamemo ta zapis (to je liho), dobimo drugo serijo rešitev.
2. Zdaj pa rešimo enačbo
Ker je abscisa točke enotnega kroga, dobljena z obračanjem skozi kot, označite točko z absciso na osi:
Narišite navpično črto, vzporedno z osjo, dokler se ne seka s krogom. Dobimo dve točki, ki ležita na krogu in imata absciso. Te točke ustrezajo kotom vrtenja za in radianom. Spomnimo se, da pri premikanju v smeri urinega kazalca dobimo negativni kot vrtenja:
Zapišimo dve vrsti rešitev:
,
,
(Pridemo do želene točke, prehajamo iz glavnega polnega kroga, tj.
Združimo ti dve seriji v en vnos:
3. Reši enačbo
Tangentna črta poteka skozi točko s koordinatami (1,0) krožnice enote, vzporedno z osjo OY
Na njej označimo točko z ordinato, enako 1 (iščemo tangento, katere koti so 1):
Povežimo to točko z izhodiščem koordinat z ravno črto in označimo točke presečišča premice z enotnim krogom. Točki presečišča premice in kroga ustrezajo kotom vrtenja na in:
Ker se točke, ki ustrezajo kotom vrtenja, ki izpolnjujejo našo enačbo, nahajajo na razdalji radianov ena od druge, lahko rešitev zapišemo na ta način:
4. Reši enačbo
Kotangensa poteka skozi točko s koordinatami krožnice enote, ki je vzporedna z osjo.
Označimo na premici kotangens točko z absciso -1:
Povežimo to točko z izhodiščem koordinat premice in jo nadaljujmo do presečišča s krogom. Ta črta bo sekala krog v točkah, ki ustrezajo kotom vrtenja po in radianih:
Ker so te točke med seboj ločene z razdaljo, ki je enaka, potem skupna odločitev to enačbo lahko zapišemo na naslednji način:
V danih primerih, ki ponazarjajo rešitev najpreprostejših trigonometričnih enačb, so bile uporabljene tabelarne vrednosti trigonometričnih funkcij.
Če pa na desni strani enačbe ni tabele vrednosti, potem vrednost nadomestimo v splošni rešitvi enačbe:
POSEBNE REŠITVE:
Zabeležite na krogu točke, katerih ordinata je enaka 0:
Označimo na krogu eno samo točko, katere ordinata je enaka 1:
Označimo na krogu edino točko, katere ordinata je enaka -1:
Ker je običajno navesti vrednosti, ki so najbližje nič, zapišemo rešitev na naslednji način:
Zabeležite na krogu točke, katerih abscisa je enaka 0:
5.
Označimo na krogu edino točko, katere abscisa je enaka 1:
Označimo na krogu edino točko, katere abscisa je enaka -1:
In še malo bolj zapletenih primerov:
1.
Sinus je ena, če je argument
Argument našega sinusa je enak, zato dobimo:
Obe strani enakosti delimo s 3:
odgovor:
2.
Kosinus je nič, če je argument kosinusa enak
Argument našega kosinusa je enak, zato dobimo:
Naj izrazimo, za to se najprej premaknemo v desno z nasprotnim predznakom:
Poenostavimo desno stran:
Oba dela delimo z -2:
Upoštevajte, da se predznak ne spremeni pred izrazom, saj lahko k sprejme poljubne cele vrednosti.
odgovor:
In končno, oglejte si video vadnico "Izbira korenin v trigonometrični enačbi s trigonometričnim krogom"
S tem se zaključi pogovor o reševanju najpreprostejših trigonometričnih enačb. Naslednjič se bomo pogovarjali o tem, kako rešiti.