Trigonometrične neenakosti z zamenjavo. Rešitev trigonometričnih neenakosti
Metode za reševanje trigonometričnih neenakosti
Ustreznost. V preteklosti so trigonometrične enačbe in neenakosti plačale posebno mesto v šolskem tečaju. Lahko rečemo, da je trigonometrija eden najpomembnejših oddelkov Šolski tečaj in vse matematična znanost na splošno.
Trigonometrične enačbe In neenakosti zasedajo eno od osrednjih mest v teku matematike srednje šole kot vsebine izobraževalni materialin glede na metode izobraževalnih dejavnosti, ki se lahko oblikujejo pri študiju in uporabi na odločbo velika številka Naloge teoretične in uporabne narave.
Raztopina trigonometričnih enačb in neenakosti ustvarja predpogoje za sistematizacijo znanja študentov, povezane z vsemi gradivami za usposabljanje na trigonometriji (na primer lastnosti trigonometričnih funkcij, preoblikovanje trigonometričnih izrazov itd.) In omogoča vzpostavitev učinkovitih obveznic Študiran material na algebri (enačba, enakost enačb, neenakosti, enake transformacije algebrskih izrazov itd.).
Z drugimi besedami, ob upoštevanju tehnik reševanja trigonometričnih enačb in neenakosti vključuje nekakšno prenos teh spretnosti na novo vsebino.
Pomen teorije in njegovih številnih aplikacij so dokaz pomembnosti izbrane teme. To pa vam omogoča, da določite cilje, cilje in predmet študije dela tečaja.
Namen študije: Če želite povzeti vrste trigonometričnih neenakosti, glavne in posebne metode njihove rešitve, izberite niz nalog za reševanje trigonometričnih neenakosti s šolarji.
Raziskovalne naloge:
1. Na podlagi analize obstoječe literature o temi raziskave za sistematizacijo gradiva.
2. Ustvarite niz nalog, potrebnih za utrditev teme "Trigonometric Neenakosti".
Raziskovanje predmeta so trigonometrične neenakosti v šolskem letu matematike.
Predmet študija: Vrste trigonometričnih neenakosti in metod za njihovo reševanje.
Teoretični pomen v sistematizaciji materiala.
Praktični pomen: uporaba teoretično znanje pri reševanju problemov; Analiza glavnih pogostih metod rešitev trigonometričnih neenakosti.
Raziskovalne metode : Analiza znanstvene literature, sinteza in posploševanje pridobljenih znanja, analiza rešitev odločanja, iskanje optimalnih metod za reševanje neenakosti.
§One. Vrste trigonometričnih neenakosti in osnovne metode za njihovo rešitev
1.1. Najenostavnejši trigonometrični neenakosti
Dva trigonometrične izraze, povezane med seboj ali\u003e, se imenujejo trigonometrične neenakosti.
Reševanje trigonometrične neenakosti pomeni najti številne vrednosti neznank, ki so vključene v neenakosti, v kateri se izvaja neenakost.
Glavni del trigonometričnih neenakosti je rešen s spremembo njih, da bi rešil najenostavnejši:
To je lahko metoda razgradnje multiplikatorjev, zamenjave izmeničnega ( 
, 
itd.), Kjer je navadna neenakost prva rešena, in potem neenakost vrste 
ali druge načine.
Najenostavnejše neenakosti so rešene na dva načina: z uporabo enega samega kroga ali grafično.
Naj bo.f (x.
- Ena od glavnih trigonometričnih funkcij. Rešiti neenakost 
dovolj je najti svojo odločitev na enem obdobju, t.j. Na katerem koli segmentu, katerega dolžina je enaka obdobju delovanjaf.
x.
. Potem bo z odločbo začetne neenakosti vseenox.
, kakor tudi te vrednote, ki se razlikujejo od najdenih za vsa obdobja celovitega delovanja. Primerno je uporabiti grafično metodo.
Dajmo primer algoritma za neenakost rešitve 
(
) JAZ. 
.
Algoritem neenakosti rešitev (
).
1. Beseda definicija SION številkex. Na enem krogu.
3. Na orgunatih oseh označite točko s koordinatoa. .
4. Preživite neposredno, vzporedno os Ox in označite križične točke s krogom.
5. Označite obrok obodu, vse, od katerih imajo navedite, manja. .
6. Določite smer obvoda (v nasprotni smeri urinega kazalca) in zabeležite odgovor z dodajanjem funkcije funkcije na konce2πn.
,
.
Algoritem neenakosti rešitev .
1. Beseda opredelitev številke tangentax. Na enem krogu.
2. Narišite en krog.
3. Preživite črto tangente in označite naročilo z oreditvijoa. .
4. To točko povežite s začetkom koordinat in označite presečišče nastalega segmenta z enim krogom.
5. Označite krog loka, vse točke, ki imajo na liniji tangentov, manjšea. .
6. Določite smer obvoda in zapišite odziv na polje definiranja funkcije z dodajanjem obdobjaπn.
,
(Številka v levem zapisu je vedno manjša od števila, ki stoji na desni).
Grafična interpretacija rešitev najpreprostejših enačb in formul za reševanje neenakosti so na splošno navedena v dodatku (Dodatek 1 in 2).
Primer 1.
Rešite neenakost 
.
Na enem krogu porabi ravne črte 
ki prečka krog na točkah A in B.
Vse vrednotey.
V intervalu NM več
Vse točke AMB ARC izpolnjujejo to neenakost. Na vseh vogalih obračanja velikega 
Ampak manjša 
,
bo trajalo več
(Vendar nič več enotnosti).
Smo.1.
Tako bo raztopina neenakosti vse vrednosti v intervalu 
. 
. Da bi dobili vse rešitve te neenakosti, je dovolj, da se dodamo koncem te vrzeli 
kje 
. 
,
.
Upoštevajte vrednote 
in 
so korenine enačbe 
,
ti. 
;
.
Odgovor: 
, .
1.2. Grafična metoda
V praksi je grafični način reševanja trigonometrične neenakosti precej koristno. Razmislite o bistvu metode na primeru neenakosti 
:
1. Če je argument zapleten (drugačen odh. ), Ga zamenjamt. .
2. Zgradite v enem koordinata ravnine
igrače
Funkcije grafike 
in 
.
3. Našli smo takšnedve sosednji točki presečitve grafovMed katerimisinusno se nahajanad
Ravno . Našli smo izstop iz teh točk.
4. Za evidentiranje dvojne neenakosti za argumentt. Glede na obdobje Kosinusa (t. med ugotovljenimi izvlečki).
5. Naredimo zamenjavo (vrnitev v prvotni argument) in izrecno pomembnosth. Dvojne neenakosti, napišite odgovor v obliki številčne vrzeli.
Primer 2. Rešite neenakost :.
Pri reševanju neenakosti mora grafična metoda čim natančneje ustvariti grafike funkcij. Pretvorimo neenakost v mislih:
Zgradili bomo v enem sistemu koordinat grafov funkcij 
in 
(Sl. 2).
Sl.2.
Grafi funkcij sekajo na točkiZvezek
S koordinatami 
; 
. V intervalu 
Grafične točke 
Pod grafiki 
. In za funkcije funkcije sovpadajo. zato za 
.
Odgovor: 
.
1.3. ALGEBRAIČNA METODA
Pogosto se lahko začetna trigonometrična neenakost z dobro izbrano zamenjavo zmanjša na algebrsko (racionalno ali iracionalno) neenakost. Ta metoda To pomeni pretvorbo neenakosti, uvedbo zamenjave ali zamenjave spremenljivke.
Razmislite o posebni primeri Uporabo te metode.
Primer 3.
Odnos do najpreprostejših 
.
(Sl. 3)
Slika 3.
, 
.
Odgovor: 
,
Primer 4. Rešite neenakost:
OTZ: 
, 
.
Uporaba formul: 
, 
pišemo neenakost v obliki: 
.
Ali, verjeli 
Po preprostih transformacijah dobimo
,
,
.
Reševanje zadnje neenakosti metode intervala, dobimo:
Sl.4.
oz 
. Potem s sl. 4 Sledi 
kje 
.
Sl.5.
Odgovor: 
, 
.
1.4. Intervalna metoda
Splošna shema za reševanje trigonometričnih neenakosti po intervalih: \\ t
S pomočjo trigonometričnih formul, razgradnjo na multiplikatorje.
Poiščite točke odmora in ničla funkcij, jih postavite na krog.
Vzemite katero koli točkoTO (Vendar prej ni bilo mogoče najti) in ugotovite znak dela. Če je delo pozitivno, postavite točko za enoto kroga na žarka, ki ustreza vogalu. V nasprotnem primeru postavite točko v krog.
Če se točka pojavi celo število časa, jo imenujemo točko celo množice, če je neparno število časov - točka lihe množice. Ravnanje oblokov na naslednji način: Začnite s točkoTO Če je naslednja točka lihe množice, potem lok prečka krog na tej točki, če je točka celo množica, se ne seka.
Arcs za krogom - pozitivnimi intervali; Znotraj kroga - negativne vrzeli.
Primer 5. Rešite neenakost
, 
.
Točke prve serije: 
.
Točke druge serije: 
.
Vsaka točka se pojavi neparno število časov, to je vse točke lihe množice.
Poiščite delovni znak, ko 
:.. Upoštevamo vse točke na enem samem krogu (Sl. 6):
Sl. 6.
Odgovor: 
, 
; 
, 
; 
, 
.
Primer 6. . Rešite neenakost.
Sklep:
Poišči Zeros izrazov .
ZahtevatiaE.m. :
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
V enem krogu, vrednosti serijeh.
1
predstavljajo točke 
. Serijah.
2
daje točko 
. Iz serijeh.
3
dobimo dve točki 
. Končno, serijah.
4
predstavljajo točko 
. Vse te točke bomo uporabili na en krog, ki kažejo v oklepajih poleg vsakega od njih njegova množica.
Zdaj je številka 
To bo enako. Na znaku naredimo rtis:
TorejA.
izberete na žarku, ki tvorijo kot 
Z žarkomOH,
zunaj enega samega kroga. (Upoštevajte, da pomožni žarekPribližno
A.
na sliki ni potrebno. TočkaA.
izbrana je približno.)
Zdaj od točkeA.
za vse označene točke nosimo nenehno linijo, podobno valovi. In v točkah Naša linija se premika z enega območja v drugo: če je zunaj enemu obodu, se premika v njem. Do točke 
Linija se vrne v notranjo regijo, saj je množica te točke celo. Podobno kot točka 
(s celo multiplicatity) se mora črpati v zunanjo regijo. Torej, narišejo določeno sliko, prikazano na sl. 7. Pomaga dodeliti iskalna območja na enem krogu. Označeni so z znakom "+".
Sl.7.
Končni odgovor:
Opomba. Če je podoben liniji valov po obisku vseh točk, označenih na enem obodu, se točke ne morejo vrniti v točkoA. , ne prečka kroga v "nezakonitemu" mestu, potem to pomeni, da je v raztopini dovoljena napaka, in sicer liho število korenin.
Odgovor: .
§2. Kompleksne naloge pri reševanju trigonometričnih neenakosti
V procesu oblikovanja šolarjev za reševanje trigonometričnih neenakosti, se lahko uvrščajo tudi tri faze.
1. Pripravljalna,
2. Oblikovanje sposobnosti reševanja najenostavnejših trigonometričnih neenakosti;
3. Uvedba trigonometričnih neenakosti drugih vrst.
Namen pripravljalne faze je, da je treba oblikovati trigonometrični krog ali urnik šolarjev, ki uporabljajo neenakost za reševanje neenakosti, in sicer:
Sposobnost reševanja najenostavnejših neenakosti obrazca ,
, ,
,
z uporabo lastnosti funkcij sinusa in kosina;
Sposobnost sestavljanja dvojnih neenakosti za loke numeričnega kroga ali za loke grafov funkcij;
Sposobnost izvajanja različnih transformacij trigonometričnih izrazov.
Priporočljivo je, da ta faza izvaja v procesu sistematizacije znanja šolarjev na lastnosti trigonometričnih funkcij. Glavna sredstva lahko služijo kot naloge, ki jih ponujajo študenti, in izvedejo bodisi pod vodstvom učitelja ali neodvisno, pa tudi spretnosti, pridobljene pri reševanju trigonometričnih enačb.
Naredimo primere takšnih nalog:
1
. Označi na eni točki kroga 
, če
.
2.
Katera četrtina je koordinatna letala točka , če 
Prav tako: 
3.
Označi na trigonometričnem obodu , če:
4. Dajte izraz trigonometrične funkcijeJAZ. Četrtina.
vendar) 
,
b) 
,
v) 
5. DANA ARC MR.M. - sredi.JAZ.Četrt,R. - sredi.II.Četrtina. Omeji vrednost spremenljivket. Za: (narediti dvojno neenakost) a) ARC MR; b) Arc Rm.
6. Zabeležite dvojno neenakost za označene dele razporeda:
Sl. eno
7.
Odločite se neenakost 
, 
, 
, 
.
8. Pretvarjanje izraza .
V drugi fazi usposabljanja lahko odločitev trigonometričnih neenakosti ponudi naslednja priporočila, povezana z metodologijo za organizacijo dejavnosti učencev. Hkrati se je treba osredotočiti na študente, ki že obstajajo v študenti, delajo s trigonometričnim krogom ali urnikom, ki je nastal med raztopino najpreprostejših trigonometričnih enačb.
Prvič, motivirajte izvedljivost prejemanja splošni sprejem Rešitve najenostavnejših trigonometričnih neenakosti je mogoče obravnavati, na primer, na neenakosti vrst 
.
Uporaba znanja in spretnosti, pridobljenih pripravljalna fazaŠtudenti bodo vodili predlagano neenakost 
Vendar je težko najti različne rešitve, dobljene neenakosti, ker Samo z uporabo lastnosti sinusne funkcije za reševanje je nemogoče. To težavo se je mogoče izogniti, če se sklicujete na ustrezno sliko (reševanje enačbe grafično ali z uporabo enega kroga).
Drugič, učitelj bi moral opozoriti študente na različne načine za izvedbo naloge, dati ustrezen vzorec raztopine neenakosti in grafično in z uporabo trigonometričnega kroga.
Razmislite o teh možnostih za rešitev neenakosti .
1. Raztopina neenakosti s pomočjo enega samega kroga.
V prvi lekciji, z reševanjem trigonometričnih neenakosti, bomo študentom ponudili podroben algoritem odločanja, ki v postopnem predložitvi kažejo vse osnovne spretnosti, potrebne za reševanje neenakosti.
Korak 1. Narišite en krog, opazimo Dock na osi 
In porabili bodo neposredno, vzporedno Ascisso osi. To neposredno prečkajte krog enote na dveh točkah. Vsaka od teh točk prikazuje številko, katerega sinus je enak .
2. korak. Ta neposredni razdeljen krog na dva loka. Izpostavljamo enega izmed njih, na katerem so prikazane številke, ki imajo velik sinus . Seveda se ta lok nahaja nad ravno črto.
Sl. 2. \\ T
3. korak.Izberite enega od koncev označenega loka. Pišemo eno od številk, ki je prikazana s to točko enega samega kroga. 
.
4. korak. Da bi izbrali številko, ki ustreza drugemu koncu dodeljenega ARC, "Pass" vzdolž tega loka iz imenovanega konca do drugega. Hkrati se spomnim, da se pri premikanju proti puščici v smeri urinega kazalca, številke, ki jih bomo prenašali, povečajo (pri segajo v nasprotni smeri bi se zmanjšala). Napišemo številko, ki je upodobljena na enem krogu na drugem koncu označenega loka 
.
Torej vidimo to neenakost izpolnjujejo številke, za katere je neenakost poštena 
. Odločili smo se neenakosti za številke, ki se nahajajo na enem obdobju sinusne funkcije. Zato se lahko vse neenakost rešitve zabeležijo kot 
Učenci morajo skrbno razmisliti o risbi in ugotoviti, zakaj vse rešitve neenakosti lahko zabeležimo v obliki 
, 
.
Sl. 3.
Pozornost študentov je treba opozoriti na dejstvo, da pri reševanju neenakosti za funkcijo kosina, porabimo neposredno izvajanje ordinatnih osi.
Grafični način za reševanje neenakosti.
Zgradite graf 
in 
, glede na to 
.
Sl. štiri
Nato napišite enačbo 
In njegovo odločitev 
, 
, 
najdemo z uporabo formula 
, 
, 
.
(Dajanjen.
vrednosti 0, 1, 2, najdemo tri koren sestavljene enačbe). Vrednote 
tri zaporedne izvleke presečitve grafov in . Očitno je vedno v intervalu 
neenakost je izvedena 
in v intervalu 
- Neenakost 
. Zainteresirani smo v prvem primeru, nato pa dodamo številko koncem te vrzeli, večkratno obdobje sinusa, dobimo rešitev neenakosti Kot: 
, .
Sl. pet
Povzetek. Rešiti neenakost , Potrebno je, da se ustrezno enačbi in reši. Iz nastale formule najdejo korenine 
in 
in zapišite odgovor neenakosti v obliki: , .
Tretjič, dejstvo o nizu korenin ustrezne trigonometrične neenakosti je zelo vizualno potrjeno z grafično reševanjem.
Sl. 6.
Študentom je treba dokazati, da se na vrsti, ki je raztopina neenakosti, ponovi skozi isto vrzel, ki je enaka obdobju trigonometrične funkcije. Upoštevate lahko tudi podobno ilustracijo za grafiko funkcije Sinusa.
Četrtič, priporočljivo je, da delajo na aktuaciji pri učencih metod preoblikovanja zneska (razlika) trigonometričnih funkcij v delo, da se usmerijo šolarske pozornosti na vlogo teh tehnik pri reševanju trigonometričnih neenakosti.
Možno je organizirati takšno delo z neodvisnim izvajanjem študentov, ki jih je predlagal učitelj, med katerimi bomo ugotovili naslednje:
Petič, od študentov je treba zahtevati obvezno ilustracijo raztopine vsake preproste trigonometrične neenakosti z uporabo grafa ali trigonometričnega kroga. Opozoriti je treba na njegovo izvedljivost, zlasti pri uporabi kroga, saj pri reševanju trigonometričnih neenakosti, ustrezna ilustracija je zelo priročno sredstvo za določanje niza raztopin te neenakosti
Poznavanje študentov z jemanjem trigonometričnih neenakosti, ki niso najenostavnejši, je priporočljivo izvesti naslednjo shemo: Pritožba na posebno trigonometrično neenakost pritožbo na ustrezno trigonometrično skupno iskanje enačbo (učitelja - študenti), ki sprejemajo rešitve za neodvisen prenos ugotovljenega sprejema na druge neenakosti iste vrste.
Da bi sistematizirali znanje študentov o trigonometriji, priporočamo posebej, da izberemo takšne neenakosti, katerih rešitev zahteva različne transformacije, ki se lahko izvajajo v postopku svoje odločitve, poudarjajo pozornost študentov na njihovih značilnostih.
Kot takšne produktivne neenakosti, je mogoče ponuditi, na primer naslednje:
Skratka, dajemo primer kompleksa nalog z reševanjem trigonometričnih neenakosti.
1. Odločite se neenakosti:
2. Odločite se neenakosti: 3. Poiščite vse rešitve neenakosti: 4. Poišči vse rešitve neenakosti:vendar) 
Zadovoljivo stanje 
;
b) 
Zadovoljivo stanje 
.
5. Poiščite vse rešitve neenakosti:
vendar) ;
b) ;
v) 
;
d) 
;
e) 
.
6. Odločite se neenakost:
vendar) ;
b) ;
v);
d) 
;
e);
e);
g) 
.
7. Odločite se neenakosti: \\ t
vendar) 
;
b) ;
v);
d).
8. Odločite se neenakosti:
vendar) ;
b) ;
v);
d) 
;
e) 
;
e);
g) 
;
h).
Naloge 6 in 7 Priporočljivo je, da študentom učenja matematike na povišani ravni, naloga 8 - učenci razredov z poglobljena študija matematika.
§3. Posebne metode za reševanje trigonometričnih neenakosti
Posebne metode za reševanje trigonometričnih enačb - to je metode, ki se lahko uporabljajo samo za reševanje trigonometričnih enačb. Te metode temeljijo na uporabi lastnosti trigonometričnih funkcij, kot tudi o uporabi različnih trigonometričnih formul in identitet.
3.1. Metoda sektorjev
Razmislite o metodi sektorjev za reševanje trigonometričnih neenakosti. Rešitev neenakosti 
kjeStr.
(
x.
)
inQ.
(
x.
)
- Racionalno trigonometrične funkcije (Sinusi, Cosines, tangenti in katazi so racionalno v njih), podobno kot rešitev racionalnih neenakosti. Racionalne neenakosti so primerne za rešitev intervala na številski osi. Njen analogni pri reševanju racionalnih trigonometričnih neenakosti je metoda sektorjev v trigonometrični krogzasinx.
incOSX.
(
) ali trigonometrični polkrogtGX.
incTGX.
(
).
V intervalno metodo, vsak linearni množitelj številke in imenovalca vrste 
na številski osi ustreza točki 
in pri prehodu skozi to točko Spremeni znak. Pri metodi sektorjev, vsak dejavnik vrste 
kje 
- Ena od funkcijsinx.
alicOSX.
in 
Dva kota ustrezata trigonometrični krogi 
in 
ki delite krog v dva sektorja. Med premikanjem in funkcija Spremeni znak.
Potrebno je spomniti naslednje:
a) Multiplikatorji obrazca 
in 
kje 
, shranite znak za vse vrednosti 
. Takšno multiplikatorji številke in imenovalca se zavržejo s spremembo (če 
) Z vsakim takšnim zavržem znaka neenakosti na nasprotno.
b) Multiplikatorji obrazca 
in 
Tudi zavrže. Hkrati, če gre za neenakosti sistem neenakosti, se neenakosti oblike dodajo enakovrednemu sistemu neenakosti 
in 
. Če so ti multiplikatorji števca, nato v enakovrednem sistemu omejitev ustrezajo neenakostim in V primeru strogega vira neenakosti in enakost 
in 
v primeru ne-stroge začetne neenakosti. Ko zavržete multiplikator 
ali 
Znak neenakosti se spremeni v nasprotno.
Primer 1.
Rešite neenakosti: a) 
b) 
.
imamo funkcijo, b). Rešite neenakost Imamo
3.2. Metoda koncentričnih krogov
Ta metoda je analogna metodi vzporednih numeričnih osi pri reševanju racionalnih neenakosti.
Razmislite o primeru sistema neenakosti.
Primer 5.
Rešite sistem preprostih trigonometričnih neenakosti 
Prvič, rešimo vsako neenakost posebej ločeno (slika 5). V zgornjem desnem kotu slike označujemo, kateri argument je trigonometrični krog.
Sl.5.
Nato gradimo sistem koncentričnih krogov za argumenth. . Narišemo krog in zlomilo v skladu z odločitvijo prve neenakosti, nato pa narišemo obseg večjega polmera in v skladu z drugo odločbo, nato pa gradimo krog za tretjo neenakost in osnovni krog. Od središča sistema skozi konce obložečih žarkov, tako da so prečkali ves obseg. Na osnovnem krogu tvorimo rešitev (slika 6).
Sl.6.
Odgovor:
, 
.
Zaključek
Vse naloge tečaja so bile izvedene. Teoretični material je sistematiziran: predstavljene so glavne vrste trigonometričnih neenakosti ter osnovne metode njihove raztopine (grafične, algebraične, intervalne metode, sektorji in način koncentričnih krogov). Vsaka metoda je dobila primer rešitve neenakosti. Teoretični del je sledil praktičen. Vsebuje niz nalog za reševanje trigonometričnih neenakosti.
Ta menjalni tečaj lahko uporabijo študenti neodvisno delo. Šolski otroci lahko spremljajo stopnjo asimilacije te teme, prakso pri izpolnjevanju nalog različnih zapletenosti.
Popravila je ustrezno literaturo ta težavaOčitno je, da je mogoče sklepati, da so znanje in spretnosti za reševanje trigonometričnih neenakosti v šolskem poduštvu algebre in začeli analizirati, da so razvoj, ki zahteva pomembna prizadevanja učitelja matematike.
Zato bo to delo koristno za učitelje matematike, saj omogoča učinkovito organiziranje priprave študentov na temo "Trigonometrske neenakosti".
Raziskave se lahko nadaljujejo s širitvijo kvalifikacij kvalifikacij..
Seznam rabljenih literatura
Bogomolov, N.V. Zbiranje nalog v matematiki [Besedilo] / N.V. Bogomolov. - M.: Kapljica, 2009. - 206 str.
Dobičkonosna, M.A. Imenik osnovne matematike [Besedilo] / M.YA. Dobičkonosna. - M.: Kapljica, 2006. - 509 str.
ZHurBenko, L.N. Matematika v primerih in ciljih [Besedilo] / L.N. Jubrenko. M.: Infra-M, 2009. - 373 str.
Ivanov, O.A. Osnovna matematika za šolarje, študente in učitelje [Besedilo] / O.A. Ivanov. - M.: MCNMO, 2009. - 384 str.
Karp, A.P. Naloge na algebri in izvor o organizaciji končnega ponavljanja in certificiranja v razredu 11 [Besedilo] / A.P. Krap. M.: Razsvetljenje, 2005. - 79 str.
Kulan, E.D. 3000 konkurenčnih nalog v matematiki [Besedilo] / ED. Kulan. - M.: IRIS-PRESS, 2007. - 624 str.
Leibson, K.L. Zbirka praktične naloge v matematiki [Besedilo] / K.L. Leibson. - M.: Kapljica, 2010. - 182 str.
Komolec, V.V. Naloge s parametri in njihovo rešitev. Trigonometrija: enačbe, neenakosti, sistemi. 10. razred [Besedilo] / V.V. Komolec. M.: ARCTA, 2008. - 64 str.
Manova, a.n. Matematika. Hitri mentor za pripravo na izpit: Uch. Priročnik [Besedilo] / A.N. Manova. - ROSTOV-ON-DON: PHOENIX, 2012. - 541 str.
Morkkovich, a.g. ALGEBRA IN START. matematična analiza. 10-11 razredov. Učbenik za študente splošne izobraževalne ustanove [Besedilo] / a.g. Morkkovič. M.: Iiris Press, 2009. - 201 str.
Novikov, A.I. Trigonometrične funkcije, enačbe in neenakosti [Besedilo] / A.I. Novikov. - M.: FIZMATLIT, 2010. - 260 s.
Oganesyan, V.A. Metoda poučevanja matematike srednja šola: Splošna tehnika. Študije. Priročnik za študente Piz. - Mat. Dejstvo PED. V-tov. [Besedilo] / V.A. Oganesyan. - M.: Razsvetljenje, 2006. - 368 str.
Ololand, S.N. Enačbe in neenakosti. Nestandardne metode rešitev [Besedilo] / S.N. Olochnik. - M.: Založniška hiša Factorial, 1997. - 219 str.
Sevrukov, str.f. Trigonometrični, indikativni in logaritmične enačbe in neenakosti [Besedilo] / P.F. Sevrukov. M .: Popular Izobraževanje, 2008. - 352 str.
Sergeev, i.n. Ege: 1000 nalog z odgovori in rešitvami v matematiki. Vse naloge skupine z [Besedilo] / I.N. Sergeev. - M.: Izpit, 2012. - 301 str.
Sobolev, A.B. Osnovna matematika [Besedilo] / A.B. Sobolev. - Ekaterinburg: Gou VPO UPI, 2005. - 81 str.
Fenko, l.m. Intervalna metoda pri reševanju neenakosti in raziskovalnih funkcij [Besedilo] / L.M. Pieneko. - M.: Kapljica, 2005. - 124 str.
Friedman, l.m. Teoretične temelje metodologije učne matematike [Besedilo] / L.M. Friedman. - M.: Knjižni hiši "Livis", 2009. - 248 str.
Priloga 1.
Grafična interpretacija rešitev najpreprostejših neenakosti
Sl. eno
Sl. 2. \\ T
Slika 3.
Sl.4.
Sl.5.
Sl.6.
Sl.7.
Sl.8.
Dodatek 2.
Rešitve najenostavnejših neenakosti
Opredelitev
Trigonometrične neenakosti so neenakosti, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom trigonometrične funkcije.
Rešitev trigonometričnih neenakosti
Raztopina trigonometričnih neenakosti se pogosto zmanjša na reševanje najenostavnejših trigonometričnih neenakosti v obliki: \\ t \\ t \\ t ), (operaterja (CTG) x\u003e a \\ _ \\ t \\ \\S), \\ t \\ t LEQ A \\ t, \\ t (operaterja (CTG) X LEQ A \\ t, \\ t \\ t (TG) X GEQ A), \\ t (operatorname (tg) x geq a \\ t
Najpreprostejše trigonometrične neenakosti so rešene grafično ali z uporabo enega trigonometričnega kroga.
Po definiciji je sine kota (alfa \\ _) je ordinatna točka (x, y) (x, y) abscisa te točke. To dejstvo se uporablja pri reševanju najpreprostejših trigonometričnih neenakosti s kosinom in sinusnim z enim krogom.
Primeri trigonometričnih neenakosti
Rešite neenakost (Sin x Leq Frac (sqrt (3)) (2) \\ t
Ker (levo | Frac (SQRT (3)) (2) Pravica | Ta neenakost ima rešitev in se lahko reši na dva načina.
Na prvi način. To neenakost odločam grafično. Če želite to narediti, zgraditi sinusni graf v enem koordinatnem sistemu (Y \u003d Sin X) (sl. 2) in naravnost \\ t
Osvetlimo vrzeli, na katerih se sinusoid nahaja pod ravno črto (\\ _ \u003d \\ t \u003d \\ t \u003d \\ t Poiščite abscissas (X_ (1)) in (x_ (2)) točke križišča teh grafov: \\ t ) (2) \u003d pi- frac (pi) (3) \u003d frac (2 pi) (3) x_ (2) \u003d arcsin \\ t Frac (sqrt (3)) (2) +2 \\ t PI \u003d FRAC (PI) (3) +2 PI \u003d FRAC (7 PI) (3) \\ t
Dobimo se interval (levo (4 PI) (3); Frac (PI) (3) Pravica], vendar od funkcije \\ t Periodično in ima obdobje (\\ 2 PI), odgovor bo odgovorni interval: \\ t \\ T \\ \\ th Frac (2 \\ t pi) (3) +2 \\ t \\ t PI) (3) + 2 PI K Pravico], \\ t
Drugi način. Zgradili smo en krog in naravnost (R \u003d \\ T \u003d \\ T \u003d \\ t4RT (3)) (2)), njihove križišče so označene (p_ (x_ (1)) in \\ t x_ (2)) (Sl. 3). Raztopina začetne neenakosti bo niz ordinatnih točk, ki so manj (STQRT (3)) (2). Poiščite vrednost (Blansymbol (I) _ (1)) in (Blansymbol (I) _ (2)), tako, da gremo okoli v nasprotni smeri urinega kazalca, \\ t (1)
(\\ _ (1) \u003d pi- arcsin \\ t Frac (SQRT (3)) (2) \u003d Pi- Frac (PI) (3) \u003d Frac (2 \\ t pi) (3) x_ \\ t (2) \u003d Arcsin Frac (SQRT (3)) (2) +2 PI \u003d FRAC (PI) (3) +2 PI \u003d FRAC (7 PI)
Glede na pogostost funkcije sinus, smo končno pridobili intervale (levo [10 PI) (3) +2 pi K; Frac (7 PI) (3) +2 PI \\ t ], \\ _ \\ t
Rešite neenakost (Sin x\u003e 2)
Sinus - omejena funkcija: \\ t Sin X | Leq 1), in desna stran te neenakosti je bolj združena, tako da ni rešitev.
Rešite neenakost (CO X\u003e Frac (1) (2) \\ t
To neenakost je mogoče rešiti na dva načina: grafično in z uporabo enega kroga. Upoštevajte vsakega načina.
Na prvi način. Slike v enem koordinatnem sistemu Značilnosti, ki opisujejo levi in \u200b\u200bdesni deli neenakosti, to je, ki je (R \u003d COS X) in \\ t Osvetlimo vrzeli, na katerih je graf kozinske funkcije (Y \u003d COS X), ki se nahaja nad urnikom Direct (R \u003d Frac (1) (2) (slika 4).
Poiščite izvzame točk (Blandsymbol (x) _ (1)) in (x_ (2)) - točke presečišča grafov funkcij \\ t in \\ t (y \u003d frac (1) (2), ki so konci ene od vrzeli, na katerih se izvede določena neenakost. (x_ (1) \u003d - arccos Frac (1) (2) \u003d - Frac (PI) (3) \\ t; \\ t (x_ (1) \u003d arccos Frac (1) (2) \u003d Frac (PI) (3) \\ t
Glede na to, da je kosin periodična funkcija, z obdobjem (PI), bo odgovor vrednost iz vrzeli (\\ t \\ t 3) +2 PI K; \\ Trac (pi) (3) +2 pin desno)), \\ _ \\ t
Drugi način. Zgradili smo en krog in naravnost (1) (1) (2) (2) (ker je os abcisa ustreza kosinu v krogu enote). Označena (X_ (1)) in (p_ (x_ (2)) (sl. 5) - križične točke neposrednega in enotnega kroga. Raztopina začetne enačbe bo niz abscisa točk, ki so manj (Frac (1) (2)). Poiščite vrednost (1) in \\ _ (1) in \\ t - Frac (PI) (3) +2 PI K; Frac (PI) (3) +2 PI K Prava), \\ _ \\ t
Rešite neenakost (operaterja (CTG) X LEQ- FRAC (SQRT (3)) (3) \\ t
Zgradili smo v enem sistemu koordinat funkcij funkcij (\\ _ \u003d \\ _ \u003d \\ _ \u003d \\ _ \u003d \\ _ \u003d \\ t
Označujemo vrzeli, na katerih je graf funkcije (R \u003d \\ T-operaterja (CTG) X) ni višja od ravni črte (\\ _ \u003d - \\ t ) (Sl. 6).
Poiščite abscissa točke (X_ (0), ki je konec enega od intervalov, na katerih je neenakost (0) \u003d \\ T Sqrt (3)) (3) desno) \u003d pi- operaterja (ARCCTG) levo (Frac (SQRT (3)) (3) \\ t 3) \u003d FRAC (2 PI) (3) \\ t
Drugi konec te vrzel je točka (PI) in funkcija (CTG) (CTG) X) na tej točki je negotova. Tako je ena od rešitev te neenakosti je interval (FRAC (2 PI) (3) LEQ X
Trigonometrične neenakosti s kompleksnim argumentom
Trigonometrične neenakosti s kompleksnim argumentom se lahko zmanjša na najpreprostejše trigonometrične neenakosti z zamenjavo. Po rešitvi se zamenjava zamenjava in izvirno neznano je izraženo.
Rešite neenakost (2 x + 100 ^ (cik) \\ t
Izrazite kosini v desnem delu te neenakosti: \\ t levo (2 x + 100 ^ (cik) \\ t
Izvajamo zamenjavo (\\ t \u003d 2 x + 100 ^ (\\ t \u003d \\ t )
Rešujem ga z enim krogom. Zgradili smo en krog in naravnost (x \u003d - frac (1) (2). Označuje (1) in \\ _ (1) - križične točke ravnega in enotnega kroga (sl. 7).
Raztopina začetne neenakosti bo niz abscisa točk, ki niso večja od \\ t (1) (1) (2)). TOČKA (P_ (1)) ustreza kotu (\\ 120 ^ (cik)) in točka \\ t Torej, glede na obdobje kosina, dobimo (120 ^ (cik) +360 ^ (\\ t ), \\ _ \\ t
Naredimo povratne zamenjave (\\ t \u003d 2 x + 100 ^ (cik) 120 ^ (cik) +360 ^ (cik) CDOT n leq 2 x + 100 ^ (Cik) +360 ^ (cik) CDOT N), \\ t
Express \\ t (X), za prvo od tega iz vsakega dela neenakosti odštevanja \\ t (100 ^ (cik) 120 ^ (cik) -100 ^ (cik) +360 ^ \\ t (Cik) cdot n leq 2 x + 100 ^ (cik) -100 ^ (cik) \\ leq 240 ^ (cik) -100 ^ (cik) +360 ^ (\\ t ), \\ _ \\ t (20 ^ (\\ t) +360 ^ (\\ t) cdot n leq 2 x leq 140 ^ (\\ t) +360 ^ (cik) cdot n \\ t Z)
potem pa delite z 2 (20 ^ (ciktorij) +360 ^ (cik) CDOT N) (2) LEQ Frac (2 x) (2) Leq Frac ( 140 ^ (Circ) +360 ^ (Cir) CDOT N) (2), \\ _ \\ t (10 ^ (Cir) +180 ^ (\\ t) CDOT N LEQ X LEQ 70 ^ (Cir) +180 ^ (Cir) CDOT N), \\ _ \\ t Žastnik
Dvojno trigonometrične neenakosti
Rešite dvojno trigonometrično neenakost (Frac (1) (2)
Predstavimo zamenjavo (x) (x) (2), nato pa bo začetna neenakost vzela obrazec (Frac (1) (2)
Rešujem ga z enim krogom. Ker Sinusna os ustreza sinusu v krogu enote, dodelimo sklope ordinate, od katerih več (1) Frac (1) (2) (2)) in manj ali enako (\\ t Sqrt (2)) (2)). Na sliki 8 se bodo te točke nahajajo na lokih (P_ (T_ (1)), \\ _ (t_ (2)) in \\ _ (T_ (2)) \\ t , (P_ (T_ (4)). Poiščite vrednost (1), \\ _ (3), \\ _ (4), \\ t (4), \\ t (4)), tako, da gremo okoli v smeri urinega kazalca in (\\ T (1) \\ t (3) \u003d pi- arcsin \\ t Frac (sqrt (2)) (2) \u003d pi- frac (pi) (4) \u003d \\ t PI) (4); (4) \u003d pi- arcsin Frac (1) (2) \u003d Pi- Frac (PI) (6) \u003d Frac (5 \\ t PI) (6) \\ t
Tako dobimo dva intervala, ki se lahko glede na pogostost funkcije sinusne funkcije zapišemo na naslednji način \\ t (6) +2 \\ t ) +2 PI K QUAD FRAC (3 PI) (4) +2 PI K Naredimo povratno zamenjavo (T \u003d \\ t \u003d \\ t \u003d \\ t \u003d \\ t +2 PI K KI KM LEQ FRAC (X) (2) FRAC (PI) (4) +2 PI K Kisimi \\ t (X), za to, za to bom pomnožil vse strani ozadje za 2 neenakosti, dobimo (Frac (PI) (3) +4 pi k
Na The praktična lekcija Ponavljamo glavne vrste nalog iz teme "Trigonometrija", ki bo dodatno analizirala naloge povečane kompleksnosti in preučila primere reševanja različnih trigonometričnih neenakosti in njihovih sistemov.
Ta lekcija vam pomaga pripraviti eno od vrst Q5, B7, C1 in C3 nalog.
Začnimo s ponavljanjem glavnih vrst nalog, ki smo jih pregledali v temi "Trigonometrija" in rešili več nestandardnih nalog.
Naloga številka 1.. Izvedite prevod kotov v radiane in stopnje: a); b).
a) Uporabljamo formulo za prevajanje za stopenj v radiane
Namestite določeno vrednost v njej.
b) Uporabite formulo za prevajanje radiana na stopinje
Namestite nadomestitev 
.
Odgovor. vendar); b).
Naloga številka 2.. Izračunajte: a); b).
a) Ker kot kot presega okvir tabele, ga zmanjšuje z odštevanjem obdobja sinusa. Ker Kot je naveden v radianih, potem bomo obravnavali obdobje kot.
b) B. ta primer Podobno je stanje. Ker je kota določen v stopinjah, se bo obdobje tangentov štelo za.
Nastali kot, čeprav manj kot obdobje, vendar več, in to pomeni, da ni glavna, ampak na podaljšan del tabele. Da ne bi še enkrat trenirali svoj spomin s pomnilnikom razširjene tabele vrednosti trigaofunkcij, ponovno odštejemo obdobje tangenta:
Uporabili smo nenavadnost funkcije tangenta.
Odgovor. a) 1; b).
Številka opravila 3.. Izračunajte 
, če .
Vsega izraza dajemo na tangente, delitev števec in imenovalca frakcije. Hkrati se ne moremo bati, ker V tem primeru vrednosti tangenta ne bi obstajala.
Naloga številka 4.. Poenostavite izraz.
Te izraze pretvorijo s formulami. Preprosto so nenavadno napisane z uporabo stopinj. Prvi izraz je na splošno številka. Poenostavimo vse trigufunkcije v zameno:
Ker , funkcija se spremeni v cofunction, t.e. Na Kotencu in kot pade v drugo četrtletje, v katerem je začetni tangent negativen znak.
Iz istih razlogov kot prejšnji izraz, funkcija se spremeni v Cofunction, t.e. Na Kothannzu in kot pade v prvo četrtletje, v katerem ima začetni tangent pozitiven znak.
Nameravali bomo vse v poenostavljenem izrazu:
Naloga številka 5.. Poenostavite izraz.
Odrežite tangento dvojnega kota v skladu z ustrezno formulo in poenostavi izraz:
Zadnja identiteta je ena od formul za univerzalno zamenjavo za kosine.
Naloga številka 6.. Izračunajte.
Glavna stvar ni, da ne naredite standardne napake in ne odgovorite, da je izraz enak. Nemogoče je uporabiti glavno lastnino Arctgence, dokler ni multiplikatorja v obliki dvojčka. Da bi se znebili izraza na tangentno formulo dvojnega kota, medtem ko se v zvezi z običajnim argumentom.
Zdaj lahko že uporabljate glavno lastnino arangenta, ne pozabite, da ni omejitev njegovega numeričnega rezultata.
Naloga številka 7.. Rešite enačbo.
Pri reševanju frakcijska enačba, ki je enaka nič, vedno kaže, da je števec nič, in ni imenovalca, ker Nemogoče je deliti na nič.
Prva enačba je poseben primer najpreprostejše enačbe, ki je rešena s pomočjo trigonometričnega kroga. Ne pozabite na to metodo rešitev. Druga neenakost je rešena kot najpreprostejša enačba na splošno formulo korenin tangenta, vendar le z znakom znaka neenake.
Kot lahko vidite, ena družina korenin izključuje drugačno enako vrsto družine neizpolnjevalnih enačb korenin. Ti. Brez korenin.
Odgovor. Brez korenin.
Naloga številka 8.. Rešite enačbo.
Takoj upoštevajte, da lahko naredite skupni dejavnik in to storite:
Enačba se je začela enemu od standardnih obrazcev, ko je proizvod več dejavnikov nič. To že vemo, da je v tem primeru ali eden od njih nič ali drugo, ali tretja. Pišemo ga v obliki niza enačb:
Prvi dve enačbi sta posebni primeri najpreprostejših, pri čemer so take enačbe, ki smo jih že večkrat srečali, tako da boste takoj določili njihove rešitve. Tretja enačba daje eno funkcijo z uporabo dvojnega kota sinusne formule.
Zadnja enačba:
Ta enačba nima korenin, ker Sinusna vrednost ne more preseči 
.
Tako je odločitev le prva prva prva družina korenin, ki jih je mogoče združiti v eno stvar, ki je zlahka prikazana na trigonometričnem krogu:
 |
To je družina vse polovice, tj.
Obrnite se na rešitev trigonometričnih neenakosti. Prvič, analizirali bomo pristop k reševanju zgled brez uporabe formul za splošne rešitve, in s pomočjo trigonometričnega kroga.
Naloga številka 9.. Rešite neenakost.
Prikazal bom na pomožni črti Trigonometric Krog, ki ustreza vrednosti sinusa, ki je enaka, in pokazati interval kotov, ki zadovoljujejo neenakost.
 |
Zelo pomembno je, da natančno razumemo, kako določiti nastalo vrzel vogalov, t.j. Kaj je njegov začetek, in kakšen konec. Začetek vrzeli bo kot, ki ustreza točki, v kateri bomo vstopili na samem začetku vrzeli, če se premikamo v nasprotni smeri urinega kazalca. V našem primeru je to točka, ki se nahaja na levi, ker Premikanje v nasprotni smeri urinega kazalca in mimo desne točke, na nasprotju, odhajamo iz zahtevanega intervala vogalov. Pravica bo zato ustrezala koncu vrzeli.
Zdaj je treba razumeti vrednote kotov od začetka in konca našega intervala rešitev neenakosti. Tipična napaka je, da določite, da prava točka ustreza kotu, levo in odgovori. To ni res! Prosimo, upoštevajte, da smo pravkar poudarili vrzel, ki ustreza zgornji del kroga, čeprav nas zanima dno, z drugimi besedami, smo zmedeni začetek in konec intervala rešitve, ki jo potrebujete.
Tako da se interval začne s kotom desne točke, in se je končal s kotom leve točke, je potrebno, da je prvi podan kot manj kot drugi. Če želite to narediti, bo moral koti prave točke, meriti v negativni referenčni smeri, tj. V smeri urinega kazalca in bo enaka. Nato začnemo gibanje iz nje v pozitivni smeri v smeri urinega kazalca, bomo padli na desno točko po levi točki in dobili kotno vrednost za to. Zdaj je začetek razmike kotov je manj kot konec, in lahko gorijo razmik rešitev, ne da bi upoštevala obdobje:
Glede na to, da bodo takšni intervali ponovili neskončno število krat po celotnem številu zavojev, smo dobili splošno rešitev v zvezi z obdobjem sinusa:
Okrogle oklepaji so posledica dejstva, da je neenakost stroga, in točke na krogu, ki ustrezajo koncem vrzeli, črpamo.
Primerjajte prejeti odziv na Splošno Sklep formulo, ki smo jo predavali.
Odgovor. 
.
Ta metoda je dobra za razumevanje, kje so splošne rešitve najpreprostejših trigrants vzete iz formule. Poleg tega je koristno za tiste, ki so preveč leni, da naučijo vse te kosovne formule. Vendar pa je metoda sama po sebi težka, izbira, kateri pristop k reševanju vas je najbolj primerna.
Za reševanje trigonometričnih neenakosti, je mogoče uporabiti tudi grafe funkcij, na katerih je pomožna linija zgrajena podobno prikazana v metodi z uporabo enega kroga. Če vas zanima, poskusite sami obravnavati ta pristop. V prihodnosti bomo uporabili splošne formule za reševanje najenostavnejših trigonometričnih neenakosti.
Številka opravila 10.. Rešite neenakost.
Uporabljamo Splošno formulo Sklep, ob upoštevanju dejstva, da neenakost ne-hoda:
Dobimo v našem primeru:
Odgovor. 
Številka opravila 11.. Rešite neenakost.
Splošno odločitev uporabljamo za ustrezno strogo neenakost:
Odgovor. 
.
Naloga številka 12.. Rešite neenakosti: a); b).
Pri teh neenakostih ni treba pohiteti uporabiti formul splošnih rešitev ali trigonometričnega kroga, je dovolj, da se spomnite o regiji Sinusa in kosinske vrednosti.
a) Od takrat 
Neenakost nima smisla. Zato ni rešitev.
b) Ker.. Podobno sinus iz vseh argumentov vedno izpolnjuje neenakost, določeno v stanju. Zato vsi izpolnjujejo neenakost veljavni pomen prepir.
Odgovor. a) Ni rešitev; b).
Naloga 13.. Rešite neenakost 
.
Ministrstvo za šolstvo Republike Belorusije
Vzpostavitev izobraževanja
"Gomel State University
imenovan po Francisu Skornyju
Matematična fakulteta
Oddelek za algebro in geometrijo
Dovoljeno za obrambo
Glava Kapedroyshetkov l.a.
Trigonometrične enačbe in neenakosti
Delo tečaja
Izvajalec:
Študentska skupina M-51
Cm. Gorsky.
Znanstveni učitelj.f.- M.N.,
starejši predavatelj
V.G. Safonv.
Gomel 2008.
Uvod
Osnovne metode za reševanje trigonometričnih enačb
Faktorizacija
Reševanje enačb s preoblikovanjem proizvoda trigonometričnih funkcij v višini
Reševanje enačb z uporabo formul trojnega argumenta
Umorting za nekaj trigonometrične funkcije
Nestandardne trigonometrične enačbe
Trigonometrične neenakosti
Izbor korenin
Naloge za samopomoč
Zaključek
Seznam uporabljenih virov
V antiki se je trigonometrija pojavila v zvezi s potrebami astronomije, raziskava o zemljiščih, to je zgolj geometrični značaj in predvsem zastopana<<исчисление хорд>\u003e. Sčasoma so se v to začele nekatere analitične trenutke. V prvi polovici 18. stoletja je potekala oster zlom, po katerem je trigonometrija vzela novo smer in se premaknila proti matematični analizi. V tem času se je trigonometrične odvisnosti začele obravnavati kot funkcije.
Trigonometrične enačbe so ena najtežjih tem v šolskem tečaju matematike. Trigonometrične enačbe se pojavijo pri reševanju problemov v planimetiji, stereometriji, astronomiji, fiziki in drugih področjih. Trigonometrične enačbe in neenakosti iz leta v leto najdemo med nalogami centralnega testiranja.
Najpomembnejša razlika med trigemetričnimi enačbami iz algebraika je, da je v algebrskih enačbah, končno število korenin, in v trigonometrični --- Infinite.To močno otežuje izbor korenin. Druga specifičnost trigonometričnih enačb je nocesija obrazec za beleženje odziva.
Diplomsko delo je namenjeno načinom reševanja trigonometričnih enačb in neenakosti.
Teza je sestavljena iz 6 oddelkov.
Prvi del predstavlja glavne teoretične informacije: opredelitev in lastnosti trigonometričnih in inverznih trigonometričnih funkcij; Tabela vrednot trigonometričnih funkcij za nekatere argumente; Izraz trigonometričnih funkcij z drugimi trigonometričnimi funkcijami, ki je zelo pomembna za pretvorbo trigonometričnih izrazov, zlasti inverznih trigonometričnih funkcij; Poleg glavnih trigonometričnih formul, znanega iz šole, so predstavljene poenostavitvene izraze, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije.
V drugem poglavju so predstavljene glavne metode reševanja trigonometričnih enačb. Raztopina osnovnih trigonometričnih enačb, metoda razgradnje multiplikatorjev, metode informacij trigonometričnih enačb v algebraic se upoštevajo. Glede na dejstvo, da se lahko rešitve trigonometričnih enačb nabirajo na več načinov, in vrsta teh rešitev vam ne omogoča takoj, da takoj ugotovi, ali so te rešitve enake ali drugačne, ki lahko<<сбить с толку>\u003e Pri reševanju testov, obravnavanih splošna shema Rešitve trigonometričnih enačb in podrobno obravnavajo preoblikovanje skupin splošnih rešitev trigonometričnih enačb.
Tretji oddelek obravnava nestandardne trigonometrične enačbe, katerih rešitve, ki temeljijo na funkcionalnem pristopu.
V četrtem poglavju se upoštevajo trigonometrične neenakosti. Metode za reševanje osnovnih trigonometričnih neenakosti, tako na enem krogu in grafični metodi, se podrobno obravnavajo. Opisan je proces reševanja neoblaženih trigonometričnih neenakosti z osnovnimi neenakostmi, metoda intervala pa je že dobro znana šolarstvom.
V petem razdelku je najbolj predstavil kompleksne naloge: Ko je to potrebno, ne samo za reševanje trigonometrične enačbe, ampak tudi od najdenih korenin, da izberete korenine, ki izpolnjujejo nekaj pogoja. Ta razdelek zagotavlja rešitve za tipične naloge izbire korenin. Prednost teoretične informacije. Za izbor korenin: pregrada sklopa celih števil na ne-oddaljenih podskupinih, reševanje enačb v celih števil (Diapanta).
V šestem razdelku predstavlja naloge za self-se odločiteOkrašena v obliki testa. Pri 20 nalogah je preskus dana na najtežje naloge, ki se lahko sestanejo na osrednjem testiranju.
Osnovne trigonometrične enačbe
Osnovne trigonometrične enačbe so enačbe oblike, kjer - ena od trigonometričnih funkcij :,,,,,,,,,,
Osnovne trigonometrične enačbe imajo neskončno veliko korenin. Enačba na primer izpolnjuje naslednje vrednosti :,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Splošna formula Na katerih obstajajo vse korenine enačbe, kjer je to:
Tukaj lahko vsaka celoštevilska vrednosti vzame, vsak od njih ustreza določenemu koren enačbe; V tej formuli (kot tudi v drugih formulah, se rešujejo osnovne trigonometrične enačbe) parameter . Ponavadi je napisana, s tem poudarja, da parameter sprejme vse celoštevilčne vrednosti.
Enačbe rešitev, kjer so na formuli
Enačba je rešena z uporabo formule
in enačba je - po formuli
Opozarjamo zlasti na nekatere posebne primere osnovnih trigonometričnih enačb, ko se raztopina lahko zabeleži brez uporabe splošnih formul:
Pri reševanju trigonometričnih enačb, obdobje trigonometričnih funkcij ima pomembno vlogo. Zato dajemo dva koristna teorema:
Teorem. Če je to glavno obdobje funkcije, je številka glavno obdobje funkcije.
Obdobja funkcij se imenujejo sorazmerne, če obstajajo naravni številki in to.
Teorem. Če so periodične funkcije in, so sorodni in, potem imajo splošno obdobje, ki je obdobje funkcij ,,.
Teorem navaja, da je delovno obdobje, in ni nujno glavno obdobje. Na primer, glavno obdobje funkcij in ---, in glavno obdobje njihovega dela ---.
Uvedba pomožnega argumenta
Standard s pretvorbo tipa izraza 
je naslednji sprejem: pustite -definirano z equivali 
, 
. Za vse in tak kot obstaja. V to smer . Če, ali, v drugih primerih.
Raztopina trigonometričnih enačb
Glavna shema, ki jo bomo vodili z reševanjem trigonometričnih enačb:
raztopina dane enačbe se zmanjša na reševanje osnovnih enačb. Sredstva rešitev - Pretvorba, razgradnja multiplikatorjev, zamenjava neznank. Vodilno načelo ne izgubi korenin. To pomeni, da se pri prehodu na naslednjo enačbo (enačbe) ne bojim videza nepotrebnih (tujih) korenin in skrbimo le, da je vsaka naslednja enačba naše "verige" (ali kombinacijo enačb v primeru razvejanosti ) je posledica prejšnjega. Ena možna metoda izbire korenin je preverjanje. Takoj ugotavljamo, da se v primeru trigonometričnih enačb, težave, povezane z izbiro korenin, z inšpekcijskim pregledom, praviloma, močno povečajo v primerjavi z algebrskimi enačbami. Navsezadnje je treba preveriti serijo, ki jo sestavljajo neskončno število članov.
Posebej bi bilo treba jasno, da je zamenjava trigonometričnih enačb neznana pri reševanju. V večini primerov se po želeni zamenjavi dobi algebraična enačba. Poleg tega ne tako redke enačbe, ki so, čeprav so trigonometrične videz.bistveno, kot ne, ker po prvem koraku --- zamenjava Spremenljivke so - se pretvorijo v algebraično, vrnitev na trigonometrijo pa se pojavi le na stopnji reševanja elementarnih trigonometričnih enačb.
Ponovno spomnite: zamenjava neznanega je treba opraviti ob prvi priložnosti, pridobljena po zamenjavi enačbe je treba rešiti na konec, vključno s stopnjo izbire korena, nato pa se vrnete na prvotno neznano.
Ena od značilnosti trigonometričnih enačb je, da se odgovor v mnogih primerih lahko zabeleži na različne načine. Tudi za reševanje enačbe 
Odgovor se lahko zabeleži na naslednji način:
1) V obliki dveh epizod: 
, , ;
2) v standardni obliki, ki predstavlja kombinacijo zgornje serije:;
3) Od takrat 
Potem je mogoče odgovoriti napisati kot 
. (V prihodnosti prisotnost parametra ali vnos odziva samodejno pomeni, da ta parameter traja vse vrste celih vrednosti. Izjeme bodo pogajale.)
Očitno je, da tri naštete primere ne izčrpajo vseh možnosti za beleženje odziva na obravnavo enačbe (veliko neskončno veliko).
Na primer, z enakostjo 
. Posledično, v prvih dveh primerih, če lahko nadomestimo .
Običajno se odgovor evidentira na podlagi odstavka 2. Uporabno je, da se spomnite naslednje priporočila: če se operacija ne konča pri reševanju enačbe, morate še vedno izvesti študijo, izbor korenin, nato najbolj priročno obliko evidentiranja, določenega v odstavku 1. (Podobno priporočilo je treba dati za enačbo.)
Razmislite o primeru, ki ponazarja.
Primer Rešite enačbo.
Sklep. Najbolj očiten je naslednji način. Ta enačba razpade dva: in. Reševanje vsakega od njih in združevanje prejetih odgovorov bomo našli.
Še en način. Ker, ki nadomestita formule za zmanjšanje stopnje. Po majhnih transformacijah dobimo, od koder 
.
Na prvi pogled ni posebnih prednosti v drugi formuli, ni v primerjavi s prvim. Vendar, če vzamemo, na primer, se izkaže, da, tj. Enačba ima rešitev, medtem ko prva metoda vodi do odgovora 
. "Glej" in dokazuje enakost 
Ni tako enostavno.
Odgovor. .
Transformacija in kombinacija skupin splošnih rešitev trigonometričnih enačb
Prišlo bomo aritmetični napredovanje, neskončno raztezanje v obeh smereh. Člani tega napredka se lahko razdelijo na dve skupini članov, ki se nahajajo desno in levo od določenega člana, ki se imenuje osrednji ali nič član napredovanja.
Popravljanje enega od članov neskončnega napredovanja ničelne številke, bomo morali voditi dvojno oštevilčenje za vse preostale člane: pozitivno, da poslanci, ki se nahajajo desno, in negativno za poslance, ki se na levi strani nič.
Na splošno, če je razlika v napredovanju, ničelnega izraza, formula za kateri koli (-Ne) član neskončnega aritmetičnega napredovanja predstavlja obrazec:
Pretvorba formule za vsakega člana neskončnega aritmetičnega napredovanja
1. Če dodate ničelni element ali naredite razliko v napredovanju, se napredovanje ne bo spremenilo, vendar se ne bo premaknil ničla, tj. Število članov se bo spremenilo.
2. Če se koeficient s spremenljivko pomnoži, se bodo pojavile le prerazporeditev desne in leve skupine članov.
3. Če so uspešni člani neskončnega napredovanja
na primer ,,, ..., da bi osrednji člani napredovanja z enako razliko, enaki:
to napredovanje in več napredovanja izražata iste številke.
Primer Vrstica se lahko nadomesti z naslednjimi tremi vrsticami :,,,,,
4. Če imajo neskončni napredek z enako razliko, so osrednji člani številke, ki tvorijo aritmetično napredovanje z razliko, se lahko te vrstice nadomestijo z enim napredovanjem z razliko in osrednjim članom, ki je enako od osrednjih članov. Podatki o napredovanju, tj če
nato se ta napredek združi v eno:
Primer
, oba združena v eni skupini, od takrat 
.
Za pretvorbo skupin, ki imajo splošne rešitve, v skupinah, splošne rešitve, ki nimajo teh skupin, razgradijo v skupine z splošno obdobjeIn potem si prizadevamo za združevanje nastalih skupin, odpravljanje ponavljanja.
Faktorizacija
Metoda razgradnje na več je naslednja: če
potem vsaka enačba rešitev
je rešitev celota enačb
Nasprotno izjavo, na splošno, nepravilno: ni nobena rešitev agregata, je rešitev enačbe. To je posledica dejstva, da odločitve posameznih enačb ne smejo vnesti funkcije določanja funkcije.
Primer Rešite enačbo.
Sklep. Z uporabo glavne trigonometrične identitete, bo enačba predstavljena kot
Odgovor.
; 
.
Preoblikovanje vsote trigonometričnih funkcij v delo
Primer
Rešite enačbo 
.
Sklep. Uporabi formulo, dobimo enakovredno enačbo
Odgovor. .
Primer Rešite enačbo.
Sklep. V tem primeru je treba pred uporabo formul vsote trigonometričnih funkcij uporabiti kratko formulo. 
. Posledično dobimo enakovredno enačbo
Odgovor.
, 
.
Reševanje enačb s strani produkta trigonometričnih funkcij v višini
Pri reševanju številnih enačb se uporabljajo formule.
Primer Rešite enačbo
Sklep.
Odgovor. , .
Primer Rešite enačbo.
Sklep. Uporaba formule, dobimo enakovredno enačbo:
Odgovor. .
Reševanje enačb z uporabo formule za zmanjšanje stopnje
Pri reševanju široke palete trigonometričnih enačb, ključno vlogo igrajo formule.
Primer Rešite enačbo.
Sklep. Uporaba formule, dobimo enakovredno enačbo.
Odgovor. ; .
Reševanje enačb z uporabo formul trojnega argumenta
Primer Rešite enačbo.
Sklep. Uporabi formulo, dobimo enačbo
Odgovor. ; .
Primer
Rešite enačbo 
.
Sklep. Uporabljene formule za zmanjšanje stopnje: 
. Uporaba:
Odgovor. ; .
Enakost enakih trigonometričnih funkcij
Primer Rešite enačbo.
Sklep.
Odgovor. , .
Primer
Rešite enačbo 
.
Sklep. Preoblikovamo enačbo.
Odgovor. .
Primer Znano je, da enačba izpolnjuje
Poiščite znesek.
Sklep. Iz enačbe to sledi
Odgovor. .
Razmislite o zneskih pogleda
Te zneske se lahko pretvorijo v delo, prevladujejo in jih delijo, potem pa dobimo
Ta tehnika se lahko uporabi pri reševanju nekaterih trigonometričnih enačb, vendar je treba upoštevati, da je to posledica, pojav tujih korenin. Predstavljamo posploševanje teh formul:
Primer Rešite enačbo.
Sklep. Vidimo je, da je set rešitev prvotne enačbe. Zato množenje levo in desno od enačbe ne bo privedlo do pojava nepotrebnih korenin.
So 
.
Odgovor. ; .
Primer Rešite enačbo.
Sklep. Domači levi in \u200b\u200bdesni deli enačbe in nanašanje formule za preoblikovanje produkta trigonometričnih funkcij v količini z odhodom
Ta enačba je enaka celovitvi dveh enačb in od kodaj.
Ker korenine enačbe niso korenine enačbe, potem je treba iz dobljenih sklopov rešitev izključiti. Torej v nizu, ki ga morate izključiti.
Odgovor. in.
Primer
Rešite enačbo 
.
Sklep. Preoblikovamo izraz:
Enačba bo zabeležena v obliki:
Odgovor. .
Zmanjšanje trigonometričnih enačb do algebraične
Spajanje na kvadrat.
Če enačba ima pogled
potem ga zamenja zamenjava na kvadrat, odkar 
() In. \\ T
Če je namesto temelja, bo potrebna zamenjava.
Enačba
prihaja K. kvadratna enačba
predstavitev A. 
. Enostavno je preveriti, da niso korenine enačbe, in z zamenjavo, enačba prihaja na kvadrat.
Primer Rešite enačbo.
Sklep. Prenašamo na levo stran, ga zamenjamo in jo izražamo skozi in.
Po poenostavljenem, smo dobili :. Merjenje razdelimo, naredimo zamenjavo:
Vračanje na, najdemo 
.
Enake enake razmeroma
Razmislite o razgledni enačbi
kje ,,,,,,,,, - - Real. številke. V vsakem obdobju levega dela enačbe je stopnja univerze enaka, t.j. vsota stopenj sinusa in kosina je enaka in enaka. Ta enačba se imenuje uniforma relativno in število se imenuje kazalnik homogenosti .
Jasno je, da, če bo enačba vzela obliko:
rešitve, katerih vrednosti, ki so, i.e. številke ,. Druga enačba, zapisana v oklepajih, je tudi homogena, a stopnja 1 spodaj.
Če te številke niso korenine enačbe.
Ko dobimo :, in levi del enačbe (1) vzame vrednost.
Torej, kdaj in zato lahko oba dela enačbe razdelimo. Kot rezultat, dobimo enačbo:
ki se zamenjava zlahka zmanjša na algebraično:
Enotne enačbe z indikatorjem homogenosti 1. Ko imamo enačbo.
Če je ta enačba enakovredna enačbi, od koder.
Primer Odloča o enačbi.
Sklep. Ta enačba je homogena prva stopnja. Razdelimo oba dela, da dobimo :,,,,,,,,
Odgovor. .
Primer Ko prideš enotna enačba Pogled
Sklep.
Če, potem delimo oba dela enačbe, dobimo enačbo 
ki ga je mogoče zlahka poganjati: 
. Če 
, enačba ima veljavne korenine ,. \\ t Začetna enačba bo imela dve rešitvi :,,,,.
Če 
Enačba nima rešitev.
Primer Odloča o enačbi.
Sklep. Ta enačba je homogena druga stopnja. Razdelimo obe prednosti enačbe, dobimo :. Potem pa, potem, , .
Odgovor.
.
Enačba se zmanjša na enačbo
To storiti, je dovolj, da uporabite identiteto 
Zlasti enačba se zniža na homogeno, če je zamenjana z 
, potem dobimo ekvivalentno enačbo:
Primer Odloča o enačbi.
Sklep. Enačbo spremenimo homogeno:
Oba dela enačbe delimo 
, Dobimo enačbo:
Potem naj pridejo na kvadratno enačbo: 
, , 
, 
, .
Odgovor.
.
Primer Odloča o enačbi.
Sklep. Postavili oba dela enačbe na trgu, saj imajo pozitivne pomene:,
Potem dobimo 
, , .
Odgovor. .
Enačbe, rešene z identitetami 
Koristno je poznati naslednje formule:
Primer Rešite enačbo.
Sklep. S pomočjo
Odgovor.
Nudimo samim formulam, ampak kako jih izpeljati:
zato,
Podobno,.
Primer
Rešite enačbo 
.
Sklep. Preoblikovamo izraz:
Enačba bo zabeležena v obliki:
Pojdi. . Zato
Odgovor. .
Univerzalni trigonometrični substitucija
Enačba Trigonometric View.
kje --- Rational. Funkcija s fomule - in s pomočjo formul - se lahko zmanjša na racionalno enačbo o argumentih ,,, potem pa se lahko enačba zmanjša na algebrsko racionalno enačbo s pomočjo formul univerzalnega trigonometričnega nadomestitev
Opozoriti je treba, da lahko uporaba formul privede do zoženja enačbe vira OTZ, saj ni opredeljena na točkah, zato je v takih primerih treba preveriti, ali so koti korenine prvotne enačbe.
Primer Rešite enačbo.
Sklep. Pod pogojem naloge. Uporaba formule in zamenjavo, dobimo
kje in zato.
Oglejte si enačbe
Enačbe vrste, kjer --- Polynomial.rešujejo z zamenjavo neznanega
Primer Rešite enačbo.
Sklep. Zamenjavo in ob upoštevanju, da bomo dobili
kje,. --- neznanci root, ker. . Enačba korenin 
so.
Z omejenimi funkcijami
V praksi centraliziranega testiranja enačbe, katerih rešitev temelji na omejenih funkcijah in ni tako redko najdena. Na primer:
Primer Rešite enačbo.
Sklep. Ker, potem leva stran ne presega in enaka, če
Da bi našli vrednosti, ki izpolnjujejo obe enačb, nadaljujejo kot sledi. Odločimo se enega izmed njih, potem pa bodo med ugotovljenimi vrednostmi izbrali tiste, ki izpolnjujejo drugo.
Začnimo od drugega :,. Potem 
.
Jasno je, da bo samo za celo tam.
Odgovor. .
Druga ideja se izvaja pri reševanju naslednje enačbe:
Primer
Rešite enačbo 
.
Sklep. Uporabljamo nepremičnino okvirna funkcija: , 
.
Neenakomerno bodo imele te neenakosti:
Zato je levi del te enačbe enaka in le, če se izvedeta dve enakosti:
i.e. lahko povzroči vrednosti, in lahko sprejmejo vrednosti.
Odgovor. , .
Primer
Rešite enačbo 
.
Sklep. . Zato, 
.
Odgovor. .
Primer Rešite enačbo
Sklep. Označuje, nato pa imamo definicijo povratne trigonometrične funkcije 
in 
.
Ker enačba sledi neenakosti, tj. . Od takrat. Zato.
Če in potem. Ker je bilo prej ugotovljeno, potem.
Odgovor. , .
Primer Rešite enačbo
Sklep. Območje dovoljenih vrednosti enačbe.
Sprva pokažemo, da je funkcija
Če lahko kdo vzame samo pozitivne vrednote.
Predstavljajte si funkcijo na naslednji način :.
Od takrat poteka, tj. 
.
Zato je to dokazno neenakost, to je treba pokazati to 
. V ta namen postavite oba dela te neenakosti v kocko, nato pa
Nastala numerična neenakost kaže na to. Če še vedno upošteva, da je levi del enačbe ne-negativna.
Upoštevajte zdaj desno stran enačbe.
Sodišče 
T.
Vendar je to znano, da 
. To sledi, tj. Desna stran enačbe ne presega. Prej je bilo dokazano, da je levi del enačbe ne-negativna, zato je enakost v primeru, da sta oba dela enaka, in to je možno samo na.
Odgovor. .
Primer Rešite enačbo
Sklep. Označi I. 
. Uporaba neenakosti kavchy-Bunyakovsky, dobimo. Zato to sledi 
. Na drugi strani poteka 
. Zato enačba nima korenin.
Odgovor. .
Primer Rešite enačbo:
Sklep. Glejte enačbo v obliki:
Odgovor. .
Funkcionalne metode za reševanje trigonometričnih in kombiniranih enačb
Nič enačb kot posledica transformacij se lahko zmanjša na enačbo za določeno standardni pogledZa katere obstaja specifična metoda rešitev. V takih primerih se izkaže, da uporabi takšne lastnosti funkcij in, kot monotonijo, omejeno, pariteto, frekvenco, itd Torej, če se ena od funkcij zmanjša, in drugo povečanje v intervalu, če obstaja koren na Enačba, ta koren je edini, na primer, na primer, lahko izberete. Če je funkcija omejena od zgoraj, in funkcija je omejena na spodaj, in enačba je enakovredna sistema enačb
Primer Rešite enačbo
Sklep. Začetno enačbo pretvorimo na obliko
in ga rešiti kot kvadrat relativno. Potem dobimo
Izpraznijo prvo enačbo agregata. Upoštevamo omejeno funkcijo, ugotovimo, da ima lahko enačba korenin samo na segmentu. V tem intervalu se funkcija poveča in funkcija 
zmanjšuje. Torej, če ima ta enačba koren, je to edina. Najdemo izbor.
Odgovor. .
Primer Rešite enačbo
Sklep. Naj, jaz. 
, Potem se lahko začetna enačba napisana v obliki funkcionalne enačbe. Ker so funkcije, potem. V tem primeru dobimo enačbo.
Od takrat in monotonne je enačba enakovredna enačbi, t.j. 
ki ima edini koren.
Odgovor. .
Primer
Rešite enačbo 
.
Sklep. Na podlagi izvedenega izreka teorema kompleksna funkcija Jasno je, da je funkcija 
Padajoče (zmanjševanje funkcije, povečanje, zmanjševanje). Od tu je jasno, da je funkcija 
Opredeljeno, zmanjšanje. Zato ta enačba nima več kot enega korena. Sodišče 
T.
Odgovor. .
Primer Rešite enačbo.
Sklep. Upoštevajte enačbo v treh intervalih.
a) Pustite. Nato je na tem nizu začetna enačba enakovredna enačbi. Ki nima rešitev v intervalu, odkar. 
, ampak. V intervalu, začetna enačba tudi nima korenin, odkar. 
, ampak.
b) Pustite. Nato na ta set je začetna enačba enakovredna enačbi
korenine, katerih številke na intervalu ,,,,,,
b) Pustite. Nato na ta set je začetna enačba enakovredna enačbi
Ki nima rešitev, saj, t., A. V intervalu enačba nima rešitev, odkar. , ampak.
Odgovor. , , , .
Metoda simetrije
Metoda simetrije je prikladno uporabljena, ko je zahteva po raztopini enačbe, neenakosti, sistemov itd., Je v besedilu naloge. ali natančno navedbo števila rešitev. To bi moralo zaznati katero koli simetrijo določenih izrazov.
Prav tako je treba upoštevati raznolikost različnih možnih vrst simetrije.
Nič manj pomembno je jasno spoštovanje logičnih stopenj v razmišljanju s simetrijo.
Običajno si simetrija omogoča samo namestitev potrebnih pogojevIn potem morate preveriti njihovo zadostnost.
Primer Poišči vse vrednosti parametrov, v katerih ima enačba enotno rešitev.
Sklep. Upoštevajte, da obstajajo celo funkcije, zato ima levi del enačbe celo funkcijo.
Torej če - - Odločitev Enačbe, to je tudi rešitev enačbe. Če --- edina stvar Reševanje enačbe, potem potrebno , .
Izberite mogoče Vrednote, ki zahtevajo koren enačbe.
Opozarjajte, da druge vrednosti ne morejo izpolnjevati pogoja problema.
Vendar še ni znano, ali vsi izbrani dejansko izpolnjujejo pogoj za nalogo.
Ustreznosti.
1), enačba bo vzela obliko 
.
2), enačba bo v obliki:
Očitno je za vse in 
. Zato je zadnja enačba enakovredna sistemu:
Tako smo dokazali, da ima enačba enotno rešitev.
Odgovor. .
Rešitev z raziskovanjem funkcij
Primer Dokaži, da vse rešitve enačbe
Cele številke.
Sklep. Glavno obdobje začetne enačbe je enako. Zato najprej preiskujemo to enačbo na segmentu.
Enačbo preoblikujemo na obliko:
S pomočjo mikrokalkulatorja dobimo:
Če, potem iz prejšnjih enačb dobimo:
Odločanje pridobljene enačbe, dobimo :.
Izračunane izračune so zmožnost domnevati, da so korenine enačbe, ki spadajo v segment, in.
Neposredni ček potrjuje to hipotezo. Tako je dokazano, da so samo cela števila korenine enačbe.
Primer
Odloča o enačbi 
.
Sklep. Poiščite glavno obdobje enačbe. Funkcija glavnega obdobja je enaka. Glavno obdobje funkcije je enako. Najmanjše skupne večkratne številke je enako. Zato je glavno obdobje enačbe enaka. Naj bo.
Očitno je rešitev enačbe. V intervalu. Funkcija je negativna. Zato je treba druge korenine enačbe videti le v intervalu in. \\ T
Pri luščenju mikrokakladatorjev najprej najdemo približne vrednosti korenin enačbe. Da to storite, naredite tabelo vrednosti funkcij 
v intervalih in; i.e. v intervalih in.
| 0 | 0 | 202,5 | 0,85355342 |
| 3 | -0,00080306 | 207 | 0,6893642 |
| 6 | -0,00119426 | 210 | 0,57635189 |
| 9 | -0,00261932 | 213 | 0,4614465 |
| 12 | -0,00448897 | 216 | 0,34549155 |
| 15 | -0,00667995 | 219 | 0,22934931 |
| 18 | -0,00903692 | 222 | 0,1138931 |
| 21 | -0,01137519 | 225 | 0,00000002 |
| 24 | -0,01312438 | 228 | -0,11145712 |
| 27 | -0,01512438 | 231 | -0,21961736 |
| 30 | -0,01604446 | 234 | -0,32363903 |
| 33 | -0,01597149 | 237 | -0,42270819 |
| 36 | -0,01462203 | 240 | -0,5160445 |
| 39 | -0,01170562 | 243 | -0,60290965 |
| 42 | -0,00692866 | 246 | -0,65261345 |
| 45 | 0,00000002 | 249 | -0,75452006 |
| 48 | 0,00936458 | 252 | -0,81805397 |
| 51 | 0,02143757 | 255 | -0,87270535 |
| 54 | 0,03647455 | 258 | -0,91803444 |
| 57 | 0,0547098 | 261 | -0,95367586 |
| 60 | 0,07635185 | 264 | -0,97934187 |
| 63 | 0,10157893 | 267 | -0,99482505 |
| 66 | 0,1305352 | 270 | -1 |
| 67,5 | 0,14644661 |
Naslednje hipoteze se zlahka vidijo iz tabele: korenine enačbe, ki spadajo v segment, so številke:; ; . Neposredni ček potrjuje to hipotezo.
Odgovor.
; 
; .
Reševanje trigonometričnih neenakosti z uporabo enega kroga
Pri reševanju trigonometričnih neenakosti v obliki, kjer je - ena od trigonometričnih funkcij, je primerna za uporabo trigonometričnega kroga, da bi se najbolj jasno oddala rešitev neenakosti in napišemo odgovor. Glavna metoda reševanja trigonometričnih neenakosti je, da jih zmanjšajo na najpreprostejše neenakosti tipa. Analizirali bomo na primeru, kako rešiti takšne neenakosti.
Primer Odloča o neenakosti.
Sklep. Narišite trigonometrični krog in na njej, za katerega se obarva preseže.
Rešiti to neenakost. Prav tako je jasno, da se bo, če se bo določena številka razlikovala od števila od določenega intervala, ne bo nič manj. Posledično do konca nastalega segmenta rešitve morate samo dodati. Končno bomo dobili, da bodo vse rešitve začetne neenakosti 
.
Odgovor.
.
Za rešitev neenakosti s tangentom in kotagentom je koncept linije tangentov in kokantov koristen. To so ravna in zato (na sliki (1) in (2)) v zvezi s trigonometričnim krogom.
To je enostavno videti, da če zgradite žarek z začetkom na začetku koordinat, ki naredi kota s pozitivno smer osi abscisa, dolžino segmenta od točke do križišča točke tega žarka z Tangentna linija je natančno enaka tangentu kota, ki je ta žarek z osi abscisa. Podobno opazovanje poteka za Kotenco.
Primer Odloča o neenakosti.
Sklep. Označuje, potem bo neenakost pojavila najenostavnejši :. Razmislite o intervalu z dolžino, ki je enako najmanjšemu pozitivnemu obdobju (NPP) tangenta. Na tem segmentu z uporabo Tangent Line, smo to določili. Sedaj se spomnite, da morate dodati, od funkcije NPP. Tako, 
. Vrnitev v spremenljivko, to dobimo.
Odgovor.
.
Neenakosti z inverznimi trigonometričnimi funkcijami so prikladno rešene z uporabo grafov inverznih trigonometričnih funkcij. Pokažimo, kako to storite na primer.
Rešitev trigonometričnih neenakosti z grafično metodo
Upoštevajte, da če. --- periodično Funkcija, nato reševanje neenakosti, je potrebno najti rešitve na segmentu, katerih dolžina je enaka obdobju funkcije. Vse raztopine prvotne neenakosti bodo sestavljene iz ugotovljenih vrednosti, kot tudi vse se razlikujejo od funkcije, ki so na voljo za katero koli celo število.
Razmislite o rešitvi neenakosti ().
Ker, z neenakostjo rešitev nima. Če, potem veliko rešitev neenakosti --- veliko vse veljavne številke.
Naj bo. Funkcija Sinus ima najmanjše pozitivno obdobje, zato se lahko neenakost najprej reši na dolžini dolžine, na primer, na segmentu. Grafe funkcij in (). Določamo neenakosti v obliki: in od koder,
V tem dokumentu so bile obravnavane metode za reševanje trigonometričnih enačb in neenakosti, tako najenostavnejših in olimpijskih ravneh. Glavne metode reševanja trigonometričnih enačb in neenakosti, in, kot specifične --- značilno Samo za trigonometrične enačbe in neenakosti ter splošne funkcionalne metode za reševanje enačb in neenakosti v zvezi s trigonometričnimi enačbami.
Gradacijsko delo zagotavlja osnovne teoretične informacije: opredelitev in lastnosti trigonometričnih in inverznih trigonometričnih funkcij; Izraz trigonometričnih funkcij z drugimi trigonometričnimi funkcijami, ki je zelo pomembna za pretvorbo trigonometričnih izrazov, zlasti inverznih trigonometričnih funkcij; Poleg glavnih trigonometričnih formul, znanega iz šole, so predstavljene poenostavitvene izraze, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije. Raztopina osnovnih trigonometričnih enačb, metoda razgradnje multiplikatorjev, metode informacij trigonometričnih enačb v algebraic se upoštevajo. Zaradi dejstva, da se lahko rešitve trigonometričnih enačb evidentirajo na več načinov, in vrsta teh rešitev ne ugotovi, ali so te rešitve enake ali drugačne, se upošteva splošna shema reševanja trigonometričnih enačb in preoblikovanje skupin Splošne rešitve trigonometričnih enačb se obravnava podrobno. Metode za reševanje osnovnih trigonometričnih neenakosti, tako na enem krogu in grafični metodi, se podrobno obravnavajo. Opisan je proces reševanja neoblaženih trigonometričnih neenakosti z osnovnimi neenakostmi, metoda intervala pa je že dobro znana šolarstvom. Odločitve tipičnih nalog za izbor korenin. Potrebne teoretične informacije za izbor korenin so podane: pregrada sklopa celih števil na neckenskih podskupinih, reševanje enačb v celih števil (Diapanta).
Rezultati diplomskega dela se lahko uporabljajo kot gradivo za usposabljanje pri pripravi dela in diplomsko deloPri sestavljanju izbirnih šol za šolarje se lahko delo uporabi tudi pri pripravi študentov na izpiske in centralizirano testiranje.
Dobičkonosna J.YA., Imenik osnovne matematike. / Donosno y.ya. --- M.: Znanost, 1970.
Igudisman O., matematika ustni izpit/ IZUDISMAN O. - M.: IRIS Pritisnite, ROLF, 2001.
Azarov a.i., enačbe / azarov a.i., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- MN: Trivium, 1994.
Litvinenko V.N., Delavnica o osnovni matematiki / Litvinenko V.N.-- M.: Izobraževanje, 1991.
Sharygin i.f., izbirni tečaj matematike: reševanje nalog / Sharygin i.f., Golubev V.I. --- M.: Razsvetljenje, 1991.
Bardushkin V., trigonometrične enačbe. Izbor koren / c. Bardushkin, A. Prokofija. // matematika, №12, 2005 str. 23-27.
Vasilevsky AB, naloge za izvenšolsko delo v matematiki / Vasilevsky AB --- MN: Folk Asveta. 1988. --- 176С.
SAPUNV P.I., Transformacija in kombinacija skupin splošnih rešitev trigonometričnih enačb / SAPUNV P.I. // matematično razsvetljenje, številka številka 3, 1935.
Borodin P., trigonometrija. Materials. vhodni izpiti v Moskvi State University [Besedilo] /P.BORDENE, V. KHORKIN, V.PALOV, I. \u200b\u200bSERGEEV, V. TARASOV // matematika №1, 2005 36-48.
Samushenko a.v., matematika: Tipične napake Prosilci: Referenčni priročnik / Samushenko av, Kazachenok V.V .-- M.: Osvetljena šola, 1991.
Azarov A.I., Funkcionalne in grafične metode za rešitev preskusnih nalog / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- MN: Averev, 2004.