Решете числено диференциалното уравнение. Решаване на обикновени диференциални уравнения
Основни въпроси, разгледани в лекцията:
1. Постановка на проблема
2. Метод на Ойлер
3. Методи на Рунге-Кута
4. Многоетапни методи
5. Решение на гранична задача за линейно диференциално уравнение от 2-ри ред
6. Числено решаване на частични диференциални уравнения
1. Постановка на проблема
Най-простото обикновено диференциално уравнение (ODE) е уравнение от първи ред, решено по отношение на производната: y " = f (x, y) (1). Основният проблем, свързан с това уравнение, е известен като проблем на Коши: намерете решение на уравнение (1) под формата на функция y (x), удовлетворяваща началното условие: y (x0) = y0 (2).
DE от n-ти ред y (n) = f (x, y, y",:, y(n-1)), за която проблемът на Коши е да се намери решение y = y(x), което удовлетворява началните условия:
y (x0) = y0 , y" (x0) = y"0 , :, y(n-1)(x0) = y(n-1)0 , където y0 , y"0 , :, y(n- 1)0 - дадени числа, могат да бъдат редуцирани до DE система от първи ред.
· Метод на Ойлер
Методът на Ойлер се основава на идеята за графично конструиране на решение на диференциално уравнение, но същият метод предоставя и числена форма на желаната функция. Нека е дадено уравнение (1) с начално условие (2).
Получаването на таблица със стойности на желаната функция y (x) с помощта на метода на Ойлер се състои от циклично прилагане на формулата: , i = 0, 1, :, n. За да построим геометрично начупената линия на Ойлер (вижте фигурата), избираме полюса A(-1,0) и начертаваме сегмента PL=f(x0, y0) върху ординатната ос (точка P е началото на координатите). Очевидно ъгловият коефициент на лъча AL ще бъде равен на f(x0, y0), следователно, за да се получи първата връзка на начупената линия на Ойлер, достатъчно е да се начертае права линия MM1 от точка M, успоредна на лъча AL, докато се пресече с правата x = x1 в някаква точка M1(x1, y1). Вземайки точка M1(x1, y1) за начална, начертаваме отсечката PN = f (x1, y1) върху оста Oy и начертаваме права линия през точка M1 M1M2 | | AN до пресичането в точка M2(x2, y2) с правата x = x2 и т.н. 
Недостатъци на метода: ниска точност, системно натрупване на грешки.
· Методи на Рунге-Кута
Основната идея на метода: вместо да използвате частични производни на функцията f (x, y) в работни формули, използвайте само тази функция, но на всяка стъпка изчислявайте нейните стойности в няколко точки. За да направим това, ще потърсим решение на уравнение (1) във формата: 
Променяйки α, β, r, q, получаваме различни опцииМетоди на Рунге-Кута.
За q=1 получаваме формулата на Ойлер.
При q=2 и r1=r2=½ получаваме, че α, β= 1 и следователно имаме формулата: , която се нарича подобрен метод на Ойлер-Коши.
За q=2 и r1=0, r2=1 получаваме, че α, β = ½ и следователно имаме формулата: - вторият подобрен метод на Ойлер-Коши.
За q=3 и q=4 има и цели семейства формули на Рунге-Кута. На практика те се използват най-често, т.к не увеличавайте грешките.
Нека разгледаме схема за решаване на диференциално уравнение по метода на Рунге-Кута от 4-ти ред на точност. Изчисленията при използване на този метод се извършват по формулите: 
Удобно е да ги включите в следната таблица:
| х | г | y" = f (x,y) | k=h f(x,y) | Δy |
| x0 | y0 | f(x0,y0) | k1(0) | k1(0) |
| x0 + ½ h | y0 + ½ k1(0) | f(x0 + ½ h, y0 + ½ k1(0)) | k2(0) | 2k2(0) |
| x0 + ½ h | y0 + ½ k2(0) | f(x0 + ½ h, y0 + ½ k2(0)) | k3(0) | 2k3(0) |
| x0 + h | y0 + k3(0) | f(x0 + h, y0 + k3(0)) | k4(0) | k4(0) |
| Δy0 = Σ / 6 | ||||
| x1 | y1 = y0 + Δy0 | f(x1,y1) | k1(1) | k1(1) |
| x1 + ½ ч | y1 + ½ k1(1) | f(x1 + ½ h, y1 + ½ k1(1)) | k2(1) | 2k2(1) |
| x1 + ½ ч | y1 + ½ k2(1) | f(x1 + ½ h, y1 + ½ k2(1)) | k3(1) | 2k3(1) |
| x1 + h | y1 + k3(1) | f(x1 + h, y1 + k3(1)) | k4(1) | k4(1) |
| Δy1 = Σ / 6 | ||||
| x2 | y2 = y1 + Δy1 | и т.н. | докато получите всичко необходимо | y стойности |
· Многоетапни методи
Обсъдените по-горе методи са така наречените методи за поетапно интегриране на диференциално уравнение. Те се характеризират с това, че стойността на решението на следващата стъпка се търси чрез решението, получено само на една предходна стъпка. Това са така наречените едноетапни методи.
Основната идея на многоетапните методи е да се използват няколко предишни стойности на разтвора при изчисляване на стойността на разтвора на следващата стъпка. Също така, тези методи се наричат m-стъпкови методи въз основа на числото m, използвано за изчисляване на предишни стойности на решението.
В общия случай, за да се определи приблизителното решение yi+1, m-стъпковите диференциални схеми се записват, както следва (m 1):
Нека разгледаме конкретни формули, които реализират най-простите явни и неявни методи на Адамс.
Явен метод на Адамс от 2-ри ред (изричен метод на Адамс в 2 стъпки)
Имаме a0 = 0, m = 2.
По този начин, това са формулите за изчисление на изричния метод на Адамс от 2-ри ред.
За i = 1 имаме неизвестно y1, което ще намерим с помощта на метода на Runge-Kutta за q = 2 или q = 4.
За i = 2, 3, : всички необходими стойности са известни.
Неявен метод на Адамс от 1-ви ред
Имаме: a0 0, m = 1.
По този начин, това са формулите за изчисление на неявния метод на Адамс от 1-ви ред.
Основният проблем с неявните схеми е следният: yi+1 е включен както в дясната, така и в лявата страна на представеното равенство, така че имаме уравнение за намиране на стойността на yi+1. Това уравнение е нелинейно и е написано във форма, подходяща за итеративно решение, така че ще използваме простия итерационен метод, за да го разрешим:
Ако стъпка h е избрана добре, тогава итеративният процес се сближава бързо.
Този методсъщо не се стартира самостоятелно. Така че, за да изчислите y1, трябва да знаете y1(0). Може да се намери с помощта на метода на Ойлер.
Дефиниция на диференциалното уравнение на Ойлер. Разглеждат се методи за решаването му.
СъдържаниеДиференциалното уравнение на Ойлер е уравнение от вида
а 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ a n- 1 xy′ + a n y = f(x).
В повече общ изгледУравнението на Ойлер има формата:
.
Това уравнение се редуцира чрез заместване t = ax+b до по-проста форма, която ще разгледаме.
Намаляване на диференциалното уравнение на Ойлер до уравнение с постоянни коефициенти.
Разгледайте уравнението на Ойлер:
(1)
.
Свежда се до линейно уравнениес постоянни коефициенти на заместване:
x = e t.
Наистина тогава
;
;
;
;
;
..........................
По този начин множителите, съдържащи x m, се съкращават. Останалите членове са тези с постоянни коефициенти. На практика обаче за решаване на уравненията на Ойлер е възможно да се използват методи за решаване на линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти, без да се използва горното заместване.
Решение на хомогенното уравнение на Ойлер
Нека помислим хомогенно уравнениеОйлер:
(2)
.
Търсим решение на уравнение (2) във формата
.
;
;
........................
.
Заместваме в (2) и намаляваме с x k.
.
Получаваме характеристичното уравнение:
Решаваме го и получаваме n корена, което може да бъде сложно.
.
Нека да разгледаме истинските корени. Нека k i е кратен корен с кратност m. Тези m корена съответстват на m линейно независими решения:Нека разгледаме сложните корени. Те се появяват по двойки заедно със сложни конюгати. Нека k i е кратен корен с кратност m.
.
Да изразим сложен корен k i през реалните и въображаемите части:
;
;
..............................
.
Тези m корена и m комплексно спрегнати корена съответстват на 2 млинейно независими решения:
(3)
.
След като се получат n линейно независими решения, получаваме
общо решение
уравнения (2):
Примери
Решете уравнения:
.
Решение на примери >>>
Първо решаваме хомогенното уравнение (2) и получаваме общото му решение (3). След това разглеждаме константите като функции на променливата x. 1 Диференциране (3) n - 1 веднъж. Получаваме изрази за n - 1 производни на y по отношение на x.
При всяко диференциране членовете, съдържащи производни, се приравняват на нула. Така че получаваме n -
уравнения, свързани с производни.
След това намираме n-тата производна на y.
Заместваме получените производни в (1) и получаваме n-тото уравнение, свързващо производните.
От тези уравнения определяме.
(4)
,
След това, интегрирайки, получаваме общо решение на уравнение (1).
Пример
,
Решете уравнението:
Решение >>>
Нехомогенно уравнение на Ойлер със специална нехомогенна част
Ако нехомогенната част има определена форма, тогава е по-лесно да се получи общо решение чрез намиране на конкретно решение на нехомогенното уравнение. Този клас включва уравнения от вида:
където са полиноми на мощности и съответно.
В този случай е по-лесно да направите замяна
и реши
Катедра по физикохимия SFU (RSU) ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ И ПРОГРАМИРАНЕМатериали за лекционния курс Преподавател – чл. Rev. Щербаков И.Н.РЕШЕНИЕ НА ОБИКНОВЕНИТЕ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ
Постановка на проблемаКогато се решават научни и инженерни проблеми, често е необходимо да се опише математически някаква динамична система. Това се прави най-добре под формата на диференциални уравнения (
DU ) или системи от диференциални уравнения. Най-често този проблем възниква при решаване на проблеми, свързани с кинетичното моделиранехимически реакции
и различни явления на пренос (топлина, маса, импулс) - топлообмен, смесване, изсушаване, адсорбция, когато се описва движението на макро- и микрочастици. Обикновено диференциално уравнение(ODE) от n-ти ред е следното уравнение, което съдържа една или повече производни на желаната функция y(x):
тук y(n)обозначава производната от ред n на някаква функция y(x), x е независимата променлива.
В някои случаи диференциалното уравнение може да се трансформира във форма, в която най-голямата производна е изразена явно. Тази форма на запис се нарича уравнение,разрешен по отношение на най-високата производна
(в този случай най-високата производна отсъства от дясната страна на уравнението):
Решаване на обикновено диференциално уравнениее функция y(x), която за всяко x удовлетворява това уравнение в определен краен или безкраен интервал. Процесът на решаване на диференциално уравнение се нарича чрез интегриране на диференциалното уравнение.
Общо решение на ODE n-тият ред съдържа n произволни константи C 1 , C 2 , …, C n
Това очевидно следва от факта, че неопределеният интеграл е равен на първоизводната на интегранта плюс константата на интегрирането
Тъй като n интеграции са необходими за решаване на диференциални уравнения от n-ти ред, n интеграционни константи се появяват в общото решение.
Частно решение ODE се получава от общия, ако на константите на интегриране са дадени определени стойности чрез дефиниране на някои допълнителни условия, чийто брой ни позволява да изчислим всички несигурни константи на интегриране.
Точно (аналитично) решение (общо или частно) на диференциално уравнение предполага получаване на желаното решение (функция y(x)) под формата на израз от елементарни функции. Това не винаги е възможно дори за уравнения от първи ред.
Числено решение DE (коефициент) се състои в изчисляване на функцията y(x) и нейните производни в някои дадени точки, лежащи на определен сегмент. Това е, всъщност, решението на диференциално уравнение от n-ти ред на формата се получава под формата на следната таблица с числа (колоната със стойности на най-високата производна се изчислява чрез заместване на стойностите в уравнение):
Например за диференциално уравнение от първи ред таблицата с решения ще има две колони - x и y.
Наборът от стойности на абсцисата, в които се определя стойността на функцията, се нарича мрежа, на който е дефинирана функцията y(x). Самите координати се наричат възли на мрежата. Най-често, за удобство, те се използват равномерни решетки, при което разликата между съседни възли е постоянна и се нарича разстояние между решеткитеили стъпка на интеграциядиференциално уравнение
или , аз= 1, …, N
За определяне частно решениетрябва да се настрои допълнителни условия, което ще ви позволи да изчислите интеграционните константи. Освен това трябва да има точно n такива условия. За уравнения от първи ред - едно, за втори - 2 и т.н. В зависимост от начина, по който са зададени при решаване на диференциални уравнения, има три вида задачи:
· Проблем на Коши (първоначален проблем): Трябва да се намери нещо подобно частно решениедиференциално уравнение, което удовлетворява определени начални условия, определени в една точка:
т.е. дадена е определена стойност на независимата променлива (x 0) и стойността на функцията и всички нейни производни до ред (n-1) в тази точка. Тази точка (x 0) се нарича първичен. Например, ако се реши DE от 1-ви ред, тогава начални условияизразено като двойка числа (x 0, y 0)
Този вид проблем възниква при решаването ОДА, които описват например кинетиката на химичните реакции. В този случай са известни концентрациите на веществата в началния момент от време ( t = 0) и е необходимо да се намерят концентрациите на веществата след определен период от време ( t) . Като пример можем да цитираме и проблема за пренос на топлина или маса (дифузия), уравнението на движението материална точкапод влияние на сили и др.
· Проблем с гранични стойности . В този случай стойностите на функцията и (или) нейните производни са известни в повече от една точка, например в началния и крайния момент от време, и е необходимо да се намери конкретно решение на диференциалното уравнение между тези точки. Самите допълнителни условия в този случай се наричат регионален (граничен) условия. Естествено проблемът с граничните стойности може да бъде решен за ODE от поне 2-ри ред. По-долу е даден пример за ODE от втори ред с гранични условия (дадени са стойности на функцията в две различни точки):
· Проблем на Щурм-Лиувил (проблем на собствените стойности). Задачи от този тип са подобни на задачите с гранични стойности. При решаването им е необходимо да се намери при какви стойности на всеки параметър решението ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ И ПРОГРАМИРАНЕудовлетворява гранични условия (собствени стойности) и функции, които са решение на DE за всяка стойност на параметър (собствени функции). Например много задачи квантова механикаса проблеми със собствените стойности.
Числени методирешения на проблема на Коши за ODE от първи ред
Нека разгледаме някои числени методи за решаване Проблеми на Коши(начална задача) обикновени диференциални уравнения от първи ред.
(6.2)
Нека напишем това уравнение в обща форма, разрешено по отношение на производната (дясната страна на уравнението не зависи от първата производна):
Необходимо е да се намерят стойностите на функцията y в дадени точки на мрежата, ако са известни началните стойности, където има стойност на функцията y(x) в началната точка x 0.
Нека преобразуваме уравнението, като умножим по d x
(6.3)
Получихме израз за конструиране на решение в i+1 интеграционния възел чрез стойностите на x и y в i-тия възел на мрежата. Трудността обаче се състои във факта, че интегралът от дясната страна е интеграл от имплицитно дадена функция, която обикновено е невъзможно да се намери в аналитична форма. Числени методи за решаване на ОДУ по различни начиниапроксимирайте (приближете) стойността на този интеграл, за да конструирате формули за числено интегриране на ODE.
От многото методи, разработени за решаване на ODE от първи ред, ние разглеждаме методите , и . Те са доста прости и дават първоначална представа за подходите за решаване на този проблем в рамката числено решение.
Метод на Ойлер
Исторически първият и най по прост начинЧисленото решение на задачата на Коши за ODE от първи ред е методът на Ойлер. Основава се на апроксимацията на производната чрез съотношението на крайните нараствания на зависимия ( г) и независими ( х) променливи между възлите на унифицираната мрежа:
където y i+1 е желаната стойност на функцията в точка x i+1.
Ако сега трансформираме това уравнение и вземем предвид еднородността на интеграционната мрежа, получаваме итеративна формула, чрез която можем да изчислим y i+1, ако y i е известно в точка x i:
Сравнявайки формулата на Ойлер с общ изразполучени по-рано, става ясно, че за приблизителното изчисляване на интеграла в метода на Ойлер се използва най-простата формула за интегриране - формулата на правоъгълници по левия край на сегмента.
Графичната интерпретация на метода на Ойлер също е лесна (вижте фигурата по-долу). Наистина, въз основа на формата на решаваното уравнение (), следва, че стойността е стойността на производната на функцията y(x) в точката x=x i - и следователно е равна на тангенса на ъгълът на допирателната, начертан към графиката на функцията y(x) в точката x =x i .
от правоъгълен триъгълникна снимката можете да намерите
Ето откъде идва формулата на Ойлер. По този начин същността на метода на Ойлер е да замени функцията y(x) на интеграционния сегмент с права линия, допирателна към графиката в точка x=x i. Ако желаната функция се различава значително от линейната на интеграционния сегмент, тогава грешката в изчислението ще бъде значителна. Грешката на метода на Ойлер е право пропорционална на стъпката на интегриране:
Грешка~ч
Процесът на изчисление е структуриран по следния начин. За дадени начални условия х 0и y 0може да се изчисли
По този начин се изгражда таблица с функционални стойности y(x) с определена стъпка ( ч) От хна сегмента. Грешка при определяне на стойносттав този случай, колкото по-малка е избраната дължина на стъпката, толкова по-малка ще бъде тя ч(което се определя от точността на формулата за интегриране).
За големи h методът на Ойлер е много неточен. Той дава все по-точно приближение с намаляването на стъпката на интегриране. Ако сегментът е твърде голям, тогава всеки раздел се разделя на N интеграционни сегмента и формулата на Ойлер се прилага към всеки от тях със стъпка, т.е. стъпката на интегриране h се взема по-малка от стъпката на мрежата, на която решението се определя.
Пример:
Използвайки метода на Ойлер, конструирайте приблизително решение на следната задача на Коши:
На решетка със стъпка 0,1 в интервала (6,5)
Решение:
Това уравнение вече е записано стандартен формуляр, разрешено по отношение на производната на желаната функция.
Следователно за решаваното уравнение имаме
Нека вземем стъпката на интегриране, равна на стъпката на мрежата h = 0,1. В този случай само една стойност ще бъде изчислена за всеки възел на мрежата (N=1). За първите четири възела на мрежата изчисленията ще бъдат както следва:
Пълните резултати (с точност до петия знак след десетичната запетая) са дадени в трета колона - h =0.1 (N =1). За сравнение, втората колона на таблицата показва стойностите, изчислени от аналитичното решение на това уравнение 
.
Втората част на таблицата показва относителната грешка на получените решения. Вижда се, че при h =0.1 грешката е много голяма, достигайки 100% за първия възел x =0.1.
Таблица 1 Решение на уравнението по метода на Ойлер (за колони са посочени стъпката на интегриране и броят на интеграционните сегменти N между възлите на мрежата)
| х | Точен решение | 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,00625 | 0,0015625 | 0,0007813 | 0,0001953 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4 | 16 | 64 | 128 | 512 | ||
| 0 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 |
| 0,1 | 0,004837 | 0,000000 | 0,002500 | 0,003688 | 0,004554 | 0,004767 | 0,004802 | 0,004829 |
| 0,2 | 0,018731 | 0,010000 | 0,014506 | 0,016652 | 0,018217 | 0,018603 | 0,018667 | 0,018715 |
| 0,3 | 0,040818 | 0,029000 | 0,035092 | 0,037998 | 0,040121 | 0,040644 | 0,040731 | 0,040797 |
| 0,4 | 0,070320 | 0,056100 | 0,063420 | 0,066920 | 0,069479 | 0,070110 | 0,070215 | 0,070294 |
| 0,5 | 0,106531 | 0,090490 | 0,098737 | 0,102688 | 0,105580 | 0,106294 | 0,106412 | 0,106501 |
| 0,6 | 0,148812 | 0,131441 | 0,140360 | 0,144642 | 0,147779 | 0,148554 | 0,148683 | 0,148779 |
| 0,7 | 0,196585 | 0,178297 | 0,187675 | 0,192186 | 0,195496 | 0,196314 | 0,196449 | 0,196551 |
| 0,8 | 0,249329 | 0,230467 | 0,240127 | 0,244783 | 0,248202 | 0,249048 | 0,249188 | 0,249294 |
| 0,9 | 0,306570 | 0,287420 | 0,297214 | 0,301945 | 0,305423 | 0,306284 | 0,306427 | 0,306534 |
| 1 | 0,367879 | 0,348678 | 0,358486 | 0,363232 | 0,366727 | 0,367592 | 0,367736 | 0,367844 |
Относителни грешки на изчислените стойности на функцията за различни h |
||||||||
| х | ч | 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,00625 | 0,0015625 | 0,0007813 | 0,0001953 |
| Н | 1 | 2 | 4 | 16 | 64 | 128 | 512 | |
| 0,1 | 100,00% | 48,32% | 23,76% | 5,87% | 1,46% | 0,73% | 0,18% | |
| 0,2 | 46,61% | 22,55% | 11,10% | 2,74% | 0,68% | 0,34% | 0,09% | |
| 0,3 | 28,95% | 14,03% | 6,91% | 1,71% | 0,43% | 0,21% | 0,05% | |
| 0,4 | 20,22% | 9,81% | 4,83% | 1,20% | 0,30% | 0,15% | 0,04% | |
| 0,5 | 15,06% | 7,32% | 3,61% | 0,89% | 0,22% | 0,11% | 0,03% | |
| 0,6 | 11,67% | 5,68% | 2,80% | 0,69% | 0,17% | 0,09% | 0,02% | |
| 0,7 | 9,30% | 4,53% | 2,24% | 0,55% | 0,14% | 0,07% | 0,02% | |
| 0,8 | 7,57% | 3,69% | 1,82% | 0,45% | 0,11% | 0,06% | 0,01% | |
| 0,9 | 6,25% | 3,05% | 1,51% | 0,37% | 0,09% | 0,05% | 0,01% | |
| 1 | 5,22% | 2,55% | 1,26% | 0,31% | 0,08% | 0,04% | 0,01% | |
Нека намалим стъпката на интегриране наполовина, h = 0,05, в този случай за всеки възел на мрежата изчислението ще се извърши на две стъпки (N = 2). И така, за първия възел x =0,1 получаваме:
(6.6)
Тази формуласе оказва имплицитно по отношение на y i+1 (тази стойност е както от лявата, така и от дясната страна на израза), тоест това е уравнение по отношение на y i+1, което може да бъде решено напр. , числено, използвайки някакъв итеративен метод (в тази форма може да се разглежда като итеративна формула на простия итерационен метод). Можете обаче да го направите по различен начин и приблизителноизчисляване на стойността на функция във възел i+1използвайки обичайната формула:
,
който след това може да се използва при изчислението съгласно (6.6).
Това дава метода Гунаили метод на Ойлер с преизчисляване. За всеки интеграционен възел се извършва следната верига от изчисления
(6.7)
Благодарение на по-точната формула за интегриране, грешката на метода на Хюн е пропорционална на квадрата на стъпката на интегриране.
Грешка~ ч 2
Подходът, използван в метода на Гюн, се използва за конструиране на т.нар прогноза и корекция, за което ще стане дума по-късно.
Пример:
Нека направим изчисления за уравнение (), като използваме метода на Хюн.
Със стъпка на интегриране h =0,1 в първия възел на мрежата x 1 получаваме:
Което е много по-точно от стойностите, получени по метода на Ойлер със същата стъпка на интегриране. Таблица 2 по-долу показва сравнителните резултати от изчисленията за h = 0,1 на методите на Ойлер и Гюн.
Таблица 2 Решение на уравнението по методите на Ойлер и Гюн
| х | Точен | Методът на Гюн | Метод на Ойлер | ||
|---|---|---|---|---|---|
| г | отн. грешка | г | отн. грешка | ||
| 0 | 0,000000 | 0,00000 | 0,00000 | ||
| 0,1 | 0,004837 | 0,00500 | 3,36% | 0,00000 | 100,00% |
| 0,2 | 0,018731 | 0,01903 | 1,57% | 0,01000 | 46,61% |
| 0,3 | 0,040818 | 0,04122 | 0,98% | 0,02900 | 28,95% |
| 0,4 | 0,070320 | 0,07080 | 0,69% | 0,05610 | 20,22% |
| 0,5 | 0,106531 | 0,10708 | 0,51% | 0,09049 | 15,06% |
| 0,6 | 0,148812 | 0,14940 | 0,40% | 0,13144 | 11,67% |
| 0,7 | 0,196585 | 0,19721 | 0,32% | 0,17830 | 9,30% |
| 0,8 | 0,249329 | 0,24998 | 0,26% | 0,23047 | 7,57% |
| 0,9 | 0,306570 | 0,30723 | 0,21% | 0,28742 | 6,25% |
| 1 | 0,367879 | 0,36854 | 0,18% | 0,34868 | 5,22% |
Нека отбележим значително увеличение на точността на изчисленията на метода на Хюн в сравнение с метода на Ойлер. Така за възел x =0,1 относителното отклонение на стойността на функцията, определено по метода на Huyn, се оказва 30 (!) пъти по-малко. Същата точност на изчисленията с помощта на формулата на Ойлер се постига, когато броят на интеграционните сегменти N е приблизително 30. Следователно, когато се използва методът на Хюн със същата точност на изчисленията, това ще отнеме приблизително 15 пъти по-малко компютърно време, отколкото когато се използва методът на Ойлер .
Проверка на стабилността на разтвора
Решение на ODE в дадена точка x i се нарича стабилно, ако стойността на функцията, намерена в тази точка y iсе променя малко, тъй като стъпката на интегриране намалява. Следователно, за да се провери стабилността, е необходимо да се извършат две изчисления на стойността ( y i) – със стъпка на интегриране h и с намален (например два) размер на стъпка
Като критерий за стабилност можете да използвате малката относителна промяна в полученото решение, когато стъпката на интегриране е намалена (ε е предварително определена малка стойност)
Тази проверка може да се извърши за всички разтвори в целия диапазон от стойности х. Ако условието не е изпълнено, тогава стъпката отново се разделя наполовина и се намира ново решение и т.н. докато се получи стабилен разтвор.
Методи на Рунге-Кута
Допълнително подобряване на точността на решаване на ODE от първи ред е възможно чрез увеличаване на точността на приблизителното изчисление на интеграла в израза.
Вече видяхме предимството на преминаването от интегриране с помощта на формулата на правоъгълника () към използване на формулата на трапеца () при приближаване на този интеграл.
Използвайки добре доказана формула на Симпсън, можете да получите още по-точна формула за решаване на проблема на Коши за ODE от първи ред - методът на Runge-Kutta, широко използван в компютърната практика.
Предимството на многоетапните методи на Адамс за решаване на ODE е, че във всеки възел се изчислява само една стойност от дясната страна на ODE - функцията F(x,y). Недостатъците включват невъзможността за стартиране на многоетапен метод от една начална точка, тъй като изчисленията, използващи формулата на k-стъпка, изискват познаване на стойността на функцията в k възли. Следователно е необходимо да се получи (k-1) решение в първите възли x 1, x 2, …, x k-1, като се използва някакъв едноетапен метод, например методът
Диференциалните уравнения са уравнения, в които неизвестна функция се появява под знака за производна. Основната задача на теорията на диференциалните уравнения е изучаването на функции, които са решения на такива уравнения.
Диференциалните уравнения могат да бъдат разделени на обикновени диференциални уравнения, в които няма известни функцииса функции на една променлива и към частични диференциални уравнения, в които неизвестните функции са функции на две и повечепроменливи.
Теорията на частичните диференциални уравнения е по-сложна и се покрива в по-изчерпателни или специализирани курсове по математика.
Нека започнем да изучаваме диференциалните уравнения с най-простото уравнение - уравнение от първи ред.
Уравнение на формата
F(x,y,y") = 0,(1)
където x е независима променлива; y - необходимата функция; y" - неговата производна, се нарича диференциално уравнение от първи ред.
Ако уравнение (1) може да бъде разрешено по отношение на y", тогава то приема формата
и се нарича уравнение от първи ред, решено по отношение на производната.
В някои случаи е удобно уравнение (2) да се напише във формата f (x, y) dx - dy = 0, което е частен случай на по-общото уравнение
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=O,(3)
където P(x,y) и Q(x,y) са известни функции. Уравнението в симетрична форма (3) е удобно, защото променливите x и y в него са равни, т.е. всяка от тях може да се разглежда като функция на другата.
Нека дадем две основни дефиниции на общите и частните решения на уравнението.
Общо решение на уравнение (2) в определена област G на равнината Oxy е функция y = μ(x,C), зависеща от x и произволна константа C, ако е решение на уравнение (2) за всяко стойност на константата C и ако за всякакви начални условия y x=x0 =y 0, така че (x 0 ;y 0)=G, има уникална стойност на константата C = C 0, така че функцията y=q( x,C 0) удовлетворява зададените начални условия y=q(x 0 ,C).
Частно решение на уравнение (2) в областта G е функцията y=ts(x,C 0), която се получава от общото решение y=ts(x,C) при определена стойност на константата C=C 0.
Геометрично, общото решение y = μ (x, C) е семейство от интегрални криви в равнината Oxy, зависещи от една произволна константа C, а специалното решение y = μ (x, C 0) е една интегрална крива на тази преминаващо семейство дадена точка(x 0; y 0).
Приближено решение на диференциални уравнения от първи ред по метода на Ойлер. Същността на този метод е, че желаната интегрална крива, която е графика на определено решение, приблизително се заменя с прекъсната линия. Нека е дадено диференциалното уравнение
и начални условия y |x=x0 =y 0 .
Нека намерим приблизително решение на уравнението в интервала [x 0 ,b], което удовлетворява дадените начални условия.
Нека разделим отсечката [x 0 ,b] с точки x 0<х 1 ,<х 2 <...<х n =b на n равных частей. Пусть х 1 --х 0 =х 2 -- x 1 = ... =x n -- x n-1 = ?x. Обозначим через y i приближенные значения искомого решения в точках х i (i=1, 2, ..., n). Проведем через точки разбиения х i - прямые, параллельные оси Оу, и последовательно проделаем следующие однотипные операции.
Нека заместим стойностите x 0 и y 0 в дясната страна на уравнението y"=f(x,y) и изчислим наклона y"=f(x 0 ,y 0) на допирателната към интегралната крива при точката (x 0 ; y 0). За да намерим приблизителната стойност y 1 на желаното решение, заместваме интегралната крива върху сегмента [x 0 , x 1 ,] с сегмент от нейната допирателна в точката (x 0 ; y 0). В този случай получаваме
y 1 - y 0 =f(x 0 ;y 0)(x 1 - x 0),
от където, тъй като x 0, x 1, y 0 са известни, намираме
y1 = y0+f(x0;y0)(x1 - x0).
Замествайки стойностите x 1 и y 1 в дясната страна на уравнението y"=f(x,y), изчисляваме наклона y"=f(x 1,y 1) на допирателната към интегралната крива при точката (x 1; y 1). След това, замествайки интегралната крива на сегмента с допирателен сегмент, намираме приблизителната стойност на решението y 2 в точка x 2:
y 2 = y 1 +f(x 1 ;y 1)(x 2 - x 1)
В това равенство са известни x 1, y 1, x 2 и y 2 се изразява чрез тях.
По същия начин намираме
y 3 = y 2 +f(x 2 ;y 2) ?x, …, y n = y n-1 +f(x n-1 ;y n-1) ?x
По този начин желаната интегрална крива под формата на прекъсната линия беше приблизително конструирана и бяха получени приблизителни стойности y i на желаното решение в точки x i. В този случай стойностите на i се изчисляват по формулата
y i = y i-1 +f(x i-1 ;y i-1) ?x (i=1,2, …, n).
Формулата е основната изчислителна формула на метода на Ойлер. Неговата точност е толкова по-висока, колкото по-малка е разликата?x.
Методът на Ойлер се отнася до числени методи, които предоставят решение под формата на таблица с приблизителни стойности на желаната функция y(x). Той е сравнително груб и се използва главно за приблизителни изчисления. Въпреки това, идеите, залегнали в основата на метода на Ойлер, са отправна точка за редица други методи.
Степента на точност на метода на Ойлер е най-общо казано ниска. Има много по-точни методи за приблизително решаване на диференциални уравнения.
Известно е, че обикновено диференциално уравнение от първи ред има формата: .Решението на това уравнение е диференцируема функция, която, когато се замести в уравнението, го превръща в идентичност. Графиката за решаване на диференциално уравнение (Фигура 1) се нарича интегрална крива.
Производната във всяка точка може да бъде геометрично интерпретирана като тангенс на ъгъла на наклон на допирателната към графиката на решението, минаваща през тази точка, т.е.
Оригиналното уравнение дефинира цяло семейство от решения. За да изберете едно решение, задайте начално състояние: ,където е дадена стойност на аргумента, a– началната стойност на функцията.
Проблем на Коши се състои в намиране на функция, която удовлетворява първоначалното уравнение и началното условие. Обикновено решението на проблема на Коши се определя на сегмента, разположен вдясно от първоначалната стойност, т.е.
Дори за прости диференциални уравнения от първи ред не винаги е възможно да се получи аналитично решение. Поради това числените методи за решаване са от голямо значение. Числените методи позволяват да се определят приблизителните стойности на желаното решение върху избрана мрежа от стойности на аргументи. Точките се наричат възли на мрежата, а стойността е стъпката на мрежата. Често се счита униформа мрежа,за които стъпката е постоянна. В този случай решението се получава под формата на таблица, в която всеки възел на мрежата съответства на приблизителните стойности на функцията в възлите на мрежата.
Числените методи не позволяват да се намери решение в общ вид, но те са приложими към широк клас диференциални уравнения.
Сходимост на числените методи за решаване на проблема на Коши.Нека е решението на проблема на Коши. Да се обадим грешка численият метод е функция, определена в възлите на мрежата. Нека приемем стойността като абсолютна грешка.
Численият метод за решаване на задачата на Коши се нарича конвергентен, ако за него при. Казва се, че даден метод има ред на точност, ако грешката се оценява, както следва: – постоянна,.
Метод на Ойлер
Най-простият метод за решаване на задачата на Коши е методът на Ойлер. Ще решим задачата на Коши
на сегмента. Нека изберем стъпките и изградим мрежа със система от възли. В метода на Ойлер приблизителните стойности на функцията се изчисляват в възлите на мрежата:. Заменяйки производната с крайни разлики на отсечките, получаваме приблизителното равенство:,, което може да се пренапише по следния начин:,.
Тези формули и началното условие са формули за изчисление на метода на Ойлер.
Геометричната интерпретация на една стъпка от метода на Ойлер е, че решението върху сегмента се заменя с допирателната, начертана в точката на интегралната крива, минаваща през тази точка. След завършване на стъпките неизвестната интегрална крива се заменя с начупена линия (прекъсната линия на Ойлер).
Оценка на грешката.За да оценим грешката на метода на Ойлер, използваме следната теорема.
Теорема.Нека функцията удовлетворява условията:
.
Тогава следната оценка на грешката е валидна за метода на Ойлер: 
, където е дължината на отсечката. Виждаме, че методът на Ойлер има първи ред на точност.
Оценяването на грешката на метода на Ойлер често е трудно, тъй като изисква изчисляване на производните на функцията. Дава груба оценка на грешката Правилото на Рунге (правило за двойно броене),който се използва за различни едноетапни методи с -ти ред на точност. Правилото на Рунге е следното. Нека са приближенията, получени със стъпка, и нека са приближенията, получени със стъпка. Тогава е валидно приблизителното равенство:
.
По този начин, за да оцените грешката на метод с една стъпка със стъпка, трябва да намерите същото решение със стъпки и да изчислите стойността вдясно в последната формула, т.е. тъй като методът на Ойлер има първи ред на точност , т.е. приблизителното равенство има вид:.
С помощта на правилото на Рунге е възможно да се конструира процедура за приблизително изчисляване на решението на проблема на Коши с дадена точност . За да направите това, трябва да започнете изчисленията от определена стойност на стъпка и последователно да намалите тази стойност наполовина, като всеки път изчислявате приблизителна стойност, . Изчисленията спират, когато е изпълнено условието: . За метода на Ойлер това условие ще приеме формата:. Приблизително решение биха били стойностите .
Пример 1.Нека намерим решение на сегмент от следната задача на Коши:,. Да направим крачка. Тогава.
Формулата за изчисляване на метода на Ойлер е:
,
.
Нека представим решението под формата на таблица 1:
Таблица 1
Първоначалното уравнение е уравнението на Бернули. Неговото решение може да се намери в ясна форма: .
За да сравним точното и приблизителното решение, представяме точното решение под формата на таблица 2:
Таблица 2
Таблицата показва, че грешката е