Ръководител 

Производството на формулата Логаритъм е пример. Формули и примери за производно на логаритъм

Изглежда ли ви за известно време много време? Това ли е месец? Две? Година? Практиката показва, че ученикът най-добре се справя с изпита в случай, че е започнал да се подготвя предварително. В изпита е много сложни задачикоито стоят по пътя на училището и бъдещия кандидат до най-високите точки. Тези бариери трябва да се научат да преодоляват, освен това е лесно да се направи. Трябва да разберете принципа на работа с различни задачи от билетите. Тогава новите проблеми няма да възникнат.

Логаритмите на пръв поглед изглеждат невероятно сложни, но с подробен анализ, ситуацията е значително опростена. Ако искате да преминете изпита най-висок маркаТрябва да разберете концепцията, която предлагаме в тази статия.

За да започнем, разделяме тези дефиниции. Какво е логаритъм (log)? Това е индикатор за степента, в която трябва да се предприеме базата, за да се получи посоченото число. Ако не е ясно, ние ще анализираме елементарен пример.

В този случай основата в ход трябва да бъде издигната в втора степен, за да получи номер 4.

Сега ще се справим с втората концепция. Деривативната функция във всякаква форма се нарича концепция, характеризираща промяната във функцията в настоящата точка. Въпреки това училищна програмаИ ако имате проблеми с тези концепции поотделно, заслужава да се повтаря темата.

Получени логаритъм

В задачите на EGE По тази тема можете да донесете няколко задачи като пример. Да започнем с най-простото логаритмично производно. Необходимо е да се намери производно на следващата функция.

Трябва да намерим следното производно

Има специална формула.

В този случай, x \u003d u, log3x \u003d v. Заместваме стойностите от нашата функция във формулата.

X производно ще бъде равно на един. С логаритъм малко по-трудно. Но принципът ще разберете дали просто замените стойностите. Припомнете си, че производно на LG X се нарича производно на десетичен логаритъм, а производно на LN X е производно на естествения логерфер (въз основа на Е).

Сега просто замени стойностите във формулата. Опитайте го сами, след това се обърнете към отговора.

Какво може да е проблем за някои тук? Въведохме концепцията за естествен логаритъм. Ще разкажем за него, но в същото време ще разберем как да решим задачите с него. Вие няма да видите нищо сложно, особено когато разбирате принципа на Неговата работа. Трябва да свикнете с него, тъй като често се използва в математиката (по-висока образователни институции особено).

Дериват на естествен логаритъм

По същество това е логаритъм производно въз основа на e (това е ирационален номер, който е приблизително 2.7). Всъщност, LN е много проста, така че често се използва в математиката като цяло. Всъщност решението на проблема с него също няма да бъде проблем. Струва си да се припомни, че производителят на естествения логаритъм на базата Е ще бъде равен на уреда, разделен на x. Най-точното ще бъде решението на следващия пример.

Представете си го като сложна функция, състояща се от две прости.

Достатъчно, за да се трансформира

Търсим производно от u by x

Продължаваме с второто

Използваме метода за решаване на деривата комплексна функцияЗамествайки u \u003d nx.

Какво стана накрая?

И сега нека си спомним, че в този пример означава N? Това е произволен номер, който може да се срещне в естествен логарит преди X. Важно е да разберете, че отговорът не зависи от него. Заменете всичко, отговорът все още ще бъде 1 / x.

Както виждате, нищо сложно тук е достатъчно, за да разберем принципа за бързо и ефективно решаване на проблеми по тази тема. Сега знаете теорията, остава да бъде консолидирана на практика. Влак в решаване на проблеми, за да запомни принципа на тяхното решение за дълго време. Може би няма да използвате това знание след дипломирането си, но на изпита, той ще бъде по-подходящ. Късмет!

Не забравяйте много лесно.

Е, нека не отидем далеч, веднага ще разгледаме обратната функция. Каква функция се завръща индикативна функция? Логаритъм:

В нашия случай основата е номерът:

Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с база) се нарича "естествен", а за него използваме специално наименование: вместо да пишем.

Какво е равно на? Разбира се, .

Производството на естествения логаритъм също е много просто:

Примери:

  1. Намерете функцията за получаване.
  2. Какво е равна на получената функция?

Отговори: Изложител и естествен логаритъм - функциите са уникално прости от гледна точка на деривата. Обменните и логаритмичните функции с всяка друга база ще имат друго производно, което ще анализираме по-късно с вас, след като приемем правилата за диференциация.

Правила за диференциация

Правила какво? Отново новия термин отново?! ...

Диференциация - Това е процесът на намиране на дериват.

Само и всичко. И как иначе да назовем този процес в една дума? Не е производство на ... Диференциалът на математиката се нарича най-увеличаване на функцията. Този термин се случва от латински разлика - разлика. Тук.

Когато показвате всички тези правила, ние ще използваме две функции, например и. Ще се нуждаем и от формули за техните стъпки:

Общо има 5 правила.

Константата е направена от знака на деривата.

Ако - тогава някакъв постоянен номер (постоянен).

Очевидно това правило работи за разлика :.

Доказваме се. Нека или по-лесно.

Примери.

Намерете изпълнени функции:

  1. в точката;
  2. в точката;
  3. в точката;
  4. в точка.

Решения:

  1. (производно е същото във всички точки, както е линейна функция, помня?);

Получена работа

Тук всички: Ние въвеждаме нова функция и намерете неговото увеличение:

Дериватив:

Примери:

  1. Намерете деривати на функции и;
  2. Намерете функционалното производно в точката.

Решения:

Деривативна индикативна функция

Сега вашите знания са достатъчни, за да научите как да намерите производно на всяка индикативна функция, а не само изложители (не забравяйте какво е това?).

Така че, къде е някакъв брой.

Вече знаем деривативната функция, така че нека се опитаме да върнем нашата функция в нова база:

За да направите това, ние използваме просто правило :. Тогава:

Е, се оказа. Сега се опитайте да намерите дериват и не забравяйте, че тази функция е сложна.

Се случи?

Тук проверете себе си:

Формулата се оказа много подобна на производна експозиция: както беше, оставаше, само мултипликатор се появи, което е само число, но не и променлива.

Примери:
Намерете изпълнени функции:

Отговори:

Това е само номер, който не може да бъде преброен без калкулатор, т.е. да не се записва в по-проста форма. Следователно в отговор в тази форма и отпуск.

    Обърнете внимание, че тук съществуват частни две функции, следователно прилагат правилото за подходящо диференциация:

    В този пример продуктът от две функции:

Деривативна логаритмична функция

Ето подобно: вече знаете производа от естествения логаритъм:

Ето защо, да се намери произволно от логаритъм с друга причина, например:

Трябва да донесете този логаритъм в основата. И как да промените основата на логаритъма? Надявам се да помните тази формула:

Само сега ще пишем:

В знаменателя той се оказа само постоянен (постоянен номер, без променлива). Деривата е много проста:

Дериватите на индикативните и логаритмични функции почти не са намерени в изпита, но няма да бъде излишно да ги познаваме.

Деривативна сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм, а не Arcthangence. Тези функции могат да бъдат сложни за разбиране (въпреки че ако логаритъмът ви е трудно, прочетете темата "Логаритми" и всичко ще мине), но от гледна точка на математиката думата "комплекс" не означава "труден".

Представете си малък конвейер: двама души седят и имат някакви действия с някои обекти. Например, първото обвиване на шоколад в обвивката и вторият го подсказва с лента. Оказва се такъв интегрален обект: шоколад, увит и облицован с лента. За да ядете шоколад, трябва да направите обратното действие в обратен ред.

Да създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинус на номера и след това получения номер, който ще бъде издигнат на квадрат. Така че, ние даваме номер (шоколад), намеря косинуса му (обвивка), и след това ще бъдете издигнат от това, което направих, на квадрат (вратовръзка към лентата). Какво стана? Функция. Това е пример за сложна функция: кога да се намерят нейните значения, ние правим първото действие директно с променливата, а след това друго действие с случилото се в резултат на първата.

С други думи, комплексната функция е функция, аргументът, който е друга характеристика.: .

За нашия пример.

Ние можем напълно да направим същите действия и в обратен ред: първо ще бъдете издигнат в квадрат, а след това търся косинус на получения номер :. Лесно е да се отгатне, че резултатът ще бъде почти винаги различен. Важна характеристика на сложни функции: когато процедурата се променя, функцията се променя.

Вторият пример: (същото). .

Действие, което правим последното, ще се обади "Външна" функцияи действието се извършва първо - съответно "Вътрешна" функция (Това са неформални имена, аз ги използвам само за обяснение на материала на прост език).

Опитайте се да определите каква функция е външна и която е вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешните и външните функции е много подобно на подмяната на променливи: например, във функция

  1. Първо ще извършим какви действия? Първо, помислете синус, но само след това се издига в куба. Така че, вътрешната функция и външната.
    И първоначалната функция е техният състав :.
  2. Атрешна:; Външен :.
    Проверете :.
  3. Атрешна:; Външен :.
    Проверете :.
  4. Атрешна:; Външен :.
    Проверете :.
  5. Атрешна:; Външен :.
    Проверете :.

ние произвеждаме подмяна на променливи и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашия шоколадов шоколад - търсене на дериват. Процедурата винаги е обратна: първо търсим външно функционално производно, след това умножаваме резултата на производно на вътрешната функция. Що се отнася до първоначалния пример, той изглежда така:

Друг пример:

Така че най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на деривативна сложна функция:

Изглежда, че всичко е просто, да?

Проверете примерите:

Решения:

1) вътрешен:;

Външен :;

2) вътрешно:;

(Само не мислете сега, за да намалите! От Косинус нищо не се прави, не забравяйте?)

3) вътрешно:;

Външен :;

Веднага е ясно, че тук една трета сложна функция: в края на краищата, това е вече сложната функция, и тя все още отстранява корена от нея, т.е. ние извършваме третото действие (шоколад в обвивката и с в портфейла). Но няма причина да се страхувате: все пак "разопаковайте" тази функция ще бъде в същия ред както обикновено: от края.

Това е, първо използвайте корена, след това косинус и само след това изразяване в скоби. И тогава всичките тези променливи.

В такива случаи тя е удобна за номерирани действия. Това е, представете си, че сме известни. Какъв ред ще изпълняваме действия за изчисляване на стойността на този израз? Ще разгледаме примера:

Колкото по-късно се извършва действието, толкова повече "външното" ще бъде съответната функция. Последователност на действията - както преди:

Тук гнездването обикновено е 4-ниво. Да определим процедурата.

1. принудително изразяване. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. квадрат. .

5. Събираме всичко в група:

Производно. Накратко за най-важното нещо

Функция - съотношението на увеличаването на функцията за увеличаване на аргумента с безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни деривати:

Правила за диференциация:

Константата е направена за знака на деривата:

Получена сума:

Производствена работа:

Частна деривация:

Деривативна сложна функция:

Алгоритъм за намиране на дериват на сложна функция:

  1. Ние определяме "вътрешната" функция, намираме производителя си.
  2. Ние определяме "външната" функция, намираме деривата му.
  3. Умножете резултатите от първия и втория елемент.

Комплексни деривати. Логаритмично производно.
Производно на постепенната индикативна функция

Продължаваме да увеличаваме техниката на диференциране. На този урок ще консолидираме завършения материал, да разгледаме по-сложни деривати, както и да се запознаем с нови техники и трикове за намиране на производно, по-специално с логаритмично производно.

Тези читатели, които имат ниско ниво Подготовка, трябва да се обърнете към статията Как да намерим дериват? Примери за решениякоето ще повиши уменията ви почти от нулата. След това трябва внимателно да научите страницата Деривативна сложна функция, разбирам и прекъсваме всичко Примерите, дадени от мен. Този урок логично трети пореден и след неговото развитие ще разграничите доста сложни функции. Необходимо е да се придържат към позицията "Къде другаде? Да, и достатъчно! ", Тъй като всички примери и техники се вземат от реално тестова работа И често се срещат на практика.

Да започнем с повторението. В урока Деривативна сложна функцияразгледахме редица примери с подробни коментари. По време на изследването на диференциалното смятане и други раздели на математическия анализ е необходимо много често да се прави разлика и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да рисуват примерите в много подробни. Ето защо ние практикуваме в устната основа на дериватите. Най-подходящите "кандидати" за това са деривати на най-простите сложни функции, например:

Според правилото на диференциацията на сложна функция :

При изучаването на други теми на Матан в бъдеще такъв подробна информация най-често не се изисква, се предполага, че ученикът може да намери подобни производни на автопилотската машина. Представете си, че в 3 часа през нощта имаше телефонно обаждане и хубав глас попита: "Какво е допирателното производно на два х?". Трябва да се спазват почти мигновени и любезни отговори. .

Първият пример ще бъде незабавно предназначен за самостоятелност.

Пример 1.

Намерете следните деривати орално, в едно действие, например :. За да изпълните задачата, трябва да използвате само таблица на производни на елементарни функции (Ако все още не е запомнила). Ако е трудно, препоръчвам препрочитане на урока Деривативна сложна функция.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Отговори в края на урока

Комплексни деривати

След предварителна подготовка за изкуство примерите ще бъдат по-малко ужасни, с 3-4-5 прикачени файлове на функции. Може би следващите два примера ще изглеждат някои сложни, но ако ги разберат (някой и пилинг), тогава почти всичко останало в диференциално смятане ще изглежда като детска шега.

Пример 2.

Намерете деривативна функция

Както е отбелязано, когато намирането на деривативна сложна функция, преди всичко, е необходимо дясноРазбиране на инвестиции. В случаите, когато има съмнения, напомням полезно приемане: ние приемаме експерименталното значение на "X", например и опитвам (умствено или в проект), за да заменим тази стойност в "ужасния израз".

1) Първо, трябва да изчислим израза, това означава, че сумата е най-дълбоката инвестиция.

2) Тогава е необходимо да се изчисли логаритъмът:

4) след това косинус да се изгради в куб:

5) В петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е квадратен корен:

Функция за формула за диференциация Формула Тя ще бъде приложена в обратен ред, от самата външна функция до най-вътрешния. Ние решаваме:

Изглежда грешка ....

(1) Вземете дериват от корен квадратен.

(2) Вземете дериват за разликата, използвайки правилото

(3) Производството на тройката е нула. Във втория мандат приемаме производно в степен (Куба).

(4) Вземете косинусно производно.

(5) Вземете дериват на логаритъм.

(6) И накрая, ние приемаме дериват на най-дълбоките инвестиции.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-бруталният пример. Вземете, например, колекцията Кузнецов и ще оцените красотата и простотата на разглобената дериват. Забелязах, че обичам да дам подобно нещо, за да дам на изпита, за да проверя, разбира студент как да намеря дериват на сложна функция или не разбирам.

Следният пример е за независимо решение.

Пример 3.

Намерете деривативна функция

Съвет: Първо прилагайте правилата за линейност и извличане на работата

Пълно решение И отговора в края на урока.

Време е да се преместим в нещо по-компактно и красиво.
Ситуацията не е рядкост, когато примерът е даден продукт от не две, а три функции. Как да намерим производно от работата на трима мултипликатори?

Пример 4.

Намерете деривативна функция

Първо, погледнете и дали е невъзможно да се превърне работата на три функции в работата на две функции? Например, ако имахме два полинома в работата, би било възможно да се разкрият скоби. Но в този пример всички функции са различни: степен, изложител и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователностприлагане на производството на диференциране на правилата два пъти

Фокусът е, че за "y" обозначаваме продукта от две функции: и за "ve" - \u200b\u200bлогаритъм :. Защо може да се направи това? И не - Това не е работа на два мултипликатори и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава вторият път да приложите правилото До скоба:

Все още може да бъде разрешен и да направи нещо зад скобите, но в този случай Отговорът е по-добре да оставите в този формуляр - ще бъде по-лесно да се провери.

Считаният пример може да бъде решен по втория начин:

И двата решения са абсолютно равни.

Пример 5.

Намерете деривативна функция

Това е пример за независимо решение, в извадката той е разрешен в първия начин.

Обмислете подобни примери с фракции.

Пример 6.

Намерете деривативна функция

Тук можете да отидете няколко начина:

Или нещо такова:

Но решението ще бъде написано по-компактно, ако първо използва правилото за частна диференциация , Приемане за целия числител:

По принцип, пример е решен и ако го оставите в този формуляр, той няма да е грешка. Но в присъствието на време винаги е препоръчително да се проверява в проекта и е възможно да се опрости отговора? Даваме израз на числителя на общия знаменател и да се \u200b\u200bотървете от три етажни фракции:

Минусът на допълнителни опростявания е, че съществува риск да се позволи грешка да не е повече, когато производителят вече е основател, но когато са банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често запомнят задачата и искат да "донесат" дериват ".

По-опростен пример за саморешения:

Пример 7.

Намерете деривативна функция

Ние продължаваме да научаваме приеманията на деривата и сега ще разгледаме типичен случай, когато се предлага "страшен" логаритъм за диференциация

Пример 8.

Намерете деривативна функция

Тук можете да отидете дълго, като използвате правилото за диференциация на сложна функция:

Но първата стъпка веднага се превръща в униние - да се вземе неприятно производно на фракционна степен, а след това и от фракцията.

Следователно преди Как да се вземе дериват от "трудния" логаритъм, тя е предварително опростена с помощта на известни училищни имоти:



! Ако ръката ви има тетрадка с практика, пренапишете тези формули точно там. Ако няма тетрадка, преначертайте ги на листовката, тъй като останалите примери за урока ще се въртят около тези формули.

Самото решение може да бъде издадено нещо подобно:

Конвертираме функцията:

Намерете дериват:

Предварителната трансформация на самата функция значително опрости разтвора. Така, когато подобен логаритъм се предлага за диференциация, винаги е препоръчително да се "унищожи".

И сега чифт прости примери за независимо решение:

Пример 9.

Намерете деривативна функция

Пример 10.

Намерете деривативна функция

Всички трансформации и отговори в края на урока.

Логаритмично производно

Ако производно на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът и дали е невъзможно да се организира логаритъм в някои случаи? Мога! И дори нужда.

Пример 11.

Намерете деривативна функция

Свързани примери, които наскоро разгледахме. Какво да правя? Възможно е последователно да се прилага правилото за диференциране, а след това правилото за деривация на продукта. Недостатъкът на метода е, че един огромен триетажен изстрел, с който изобщо не искам да се занимавам.

Но на теория и практика има такова прекрасно нещо като логаритмично производно. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, "навигиране" на двете части:

Забележка : Защото Функцията може да отнеме отрицателни стойности, след това като цяло, трябва да използвате модули: което ще изчезне в резултат на диференциация. Въпреки това, сегашната декорация е разрешена, където по подразбиране се взема предвид. комплекс стойности. Но ако с цялата строгост, тогава в това и в друг случай трябва да направите резервация.

Сега трябва да "разкъсате" логаритъма на дясната страна (формула пред очите ви?). Ще попия този процес много подробно:

Всъщност преминете към диференциация.
Ние сключваме и двете части под баркода:

Деривата на дясната страна е доста проста, няма да го коментирам, защото ако прочетете този текст, трябва да успеете да се справите с него.

Как да бъдем с лявата страна?

В лявата част на нас комплексна функция. Предполагам, че въпросът: "Защо има една Букова" Иварек "под логаритъма?".

Факт е, че този "един BUCCH на играта" - Само по себе си е функция (Ако не е много ясно, вижте изделието, получено от функцията, посочена имплицитно). Следователно логаритъмът е външна функция, а "Igrek" е вътрешна функция. И използваме правилото за диференциация на сложна функция :

В лявата страна, като магическа пръчка, деривата "нарисува" рисувана ". Освен това, според правилото на съотношението, ние хвърляме "Igarek" от знаменателя на лявата страна до върха на дясната страна:

И сега си спомням какви са такива "Igrek" - разсъждавахме се с диференциацията? Разглеждаме състоянието:

Окончателен отговор:

Пример 12.

Намерете деривативна функция

Това е пример за независимо решение. Пример за дизайн на пример от този тип в края на урока.

С помощта на логаритмично производно, всеки от примерите № 4-7 може да бъде решен, друго нещо е, че има по-лесно и може би използването на логаритмично производно не е твърде оправдано.

Производно на постепенната индикативна функция

Все още не сме разглеждали тази функция. Поетапната индикативна функция е функция и степента и основата зависят от "X". Класически пример, който ще бъде даден във всеки учебник или във всяка лекция:

Как да намерим производно от поетапно индикативна функция?

Необходимо е да се използва току-що разгледано от приемането - логаритмичното производно. Поставяне на логаритми на двете части:

По правило в дясната част на логаритъма се прави степен:

В резултат на дясната страна имахме продукт от две функции, които ще бъдат диференцирани по стандартната формула .

Ние намираме дериват, за това сключваме и двете части за докосването:

Следващи стъпки са лесни:

Накрая:

Ако някоя трансформация не е напълно ясна, моля, внимателно прочетете обясненията на пример № 11.

В практически задачи Поетапната индикативна функция винаги ще бъде по-сложна от разглеждания лекционен пример.

Пример 13.

Намерете деривативна функция

Използвайте логаритмичното производно.

В дясната част имаме постоянна и дело на два фактора - "Iksa" и "логаритъм логаритъм" (за логаритъм още един логаритъм). Когато диференцирате постоянна, както си спомняме, по-добре е незабавно да извадите производна знака, така че да не пречи на краката; И, разбира се, прилагаме познато правило :


Доказателство и изход на формулата за производно на естествения логаритъм и логаритъм въз основа на a. Примери за изчисляване на производни от ln 2x, ln 3x и ln nx. Доказателство за формулата на производителя на логаритъма на N-такъв ред по метода на математическата индукция.

Съдържание

Вижте също: Логаритъм - свойства, формули, график
Естествен логаритъм - свойства, формули, график

Изхода на формулите на производни на естествен логаритъм и логаритъм на базата на

Производството на естествения логаритъм от X е равно на единица, разделена на X:
(1) (ln x) '\u003d.

Производството на логаритъма за базата А е равно на единица, разделена на променливата x, умножена по естествен логаритъм от:
(2) (log a x) '\u003d.

Доказателства

Нека има някакво положително число, което не е равно на едно. Помислете за функция в зависимост от променливата x, която е логаритъм въз основа на основата:
.
Тази функция е дефинирана на. Намерете деривата си в променливата x. По дефиниция дериватив е следният лимит:
(3) .

Ние превръщаме този израз, за \u200b\u200bда го намалим до добре познати математически свойства и правила. За да направите това, трябва да знаем следните факти:
НО) Свойства на логаритъм. Нуждаем се от следните формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б) Непрекъснатост на логаритъма и собственост на лимитите за непрекъсната функция:
(7) .
Ето някаква функция, която има ограничение и този лимит е положителен.
В) Стойността на втория забележителен лимит:
(8) .

Използваме тези факти в нашия лимит. Първо трансформираме алгебрично изражение
.
За да направите това, прилагайте свойства (4) и (5).

.

Използваме имота (7) и втората забележителна граница (8):
.

И накрая, ние прилагаме свойство (6):
.
Логаритъм на базата на д. Наречен естествен логаритъм. Той е посочен като:
.
Тогава;
.

По този начин, получихме формула (2) на производното на логаритъма.

Дериват на естествен логаритъм

Още веднъж отблъскват формулата на производно на логаритъма въз основа на:
.
Тази формула има най-лесният изглед за естествения логаритъм, за който. Тогава
(1) .

Поради такава простота естественият логаритъм е много широко използван в математически анализ и в други секции на математиката, свързани с диференциалното смятане. Логаритмичните функции с други основи могат да бъдат изразени чрез естествен логаритъм, използвайки свойство (6):
.

Производството на логаритъма на базата може да бъде намерено от формула (1), ако правим знак за постоянен диференциация:
.

Други начини за доказване на логаритъма

Тук приемаме, че сме известни на изложителите на производителя с формула:
(9) .
След това можем да донесете формулата за производа на естествен логаритъм, като се има предвид, че логаритъм е обратна функция към експоненциалния.

Доказваме формулата на производа на естествен логаритъм, прилагане на дериватна формула за препращане:
.
В нашия случай. Обратна функция На естествен логаритъм е изложител:
.
Неговото производно се определя с формулата (9). Променливите могат да бъдат обозначени с всяко писмо. Във формула (9) сменете променливата x на Y:
.
Оттогава
.
Тогава
.
Формулата е доказана.


Сега доказваме формулата на производителя на естествения логаритъм правила за диференциация на сложната функция. Тъй като функционира и се връщат един към друг,
.
Разграничаване на това уравнение чрез променлива x:
(10) .
Производно на ИКПА е равно на едно:
.
Прилагане на правилото за диференциация на сложна функция:
.
Тук . Заместител в (10):
.
Оттук
.

Пример

Намерете деривати от ln 2x, ln 3x. и ln nx..

Функциите на източника имат подобен вид. Затова ще намерим производно на функцията. y \u003d ln nx . След това заместваме n \u003d 2 и n \u003d 3. И по този начин получаваме формула за деривати от ln 2x. и ln 3x. .

Така че ние търсим получен от функцията
y \u003d ln nx .
Представете си тази функция като сложна функция, състояща се от две функции:
1) Функции в зависимост от променливата:;
2) Функции в зависимост от променливата :.
След това първоначалната функция се състои от функции и:
.

Намерете производно на функцията по променлива x:
.
Намерете производно на функцията чрез променлива:
.
Нанесете формулата на деривативната сложна функция.
.
Тук се установихме.

Така че открихме:
(11) .
Виждаме, че производителят не зависи от n. Този резултат е съвсем естествен, ако конвертирате функцията на източника, като използвате формулата на логаритъма от работата:
.
- Това е постоянно. Неговото производно е нула. След това, според обхвата на диференциацията, имаме:
.

; ; .

Производство на модул Модул

Ще намерим производна на друга много важна функция - естествен логаритъм от X модула:
(12) .

Помислете за случая. Тогава функцията е:
.
Неговото производно се определя с формулата (1):
.

Сега разгледайте случая. Тогава функцията е:
,
където.
Но производно на тази функция, която също намерихме в примера по-горе. Тя не зависи от n и равни
.
Тогава
.

Ние комбинираме тези два случая в една формула:
.

Съответно, за логаритъм въз основа на A, имаме:
.

Деривати на най-високите поръчки на естествения логаритъм

Помислете за функция
.
Открихме произволно произволно производно:
(13) .

Намерете дериват на втори ред:
.
Намерете дериват на трета поръчка:
.
Намерете дериват на четвърт ред:
.

Може да се види, че N-таргонът има формата:
(14) .
Доказваме го с математическа индукция.

Доказателства

Заместител във формула (14) стойността n \u003d 1:
.
След това, когато n \u003d 1 , Формула (14) е валидна.

Да предположим, че формулата (14) се извършва при n \u003d k. Доказваме, че от това следва, че формулата е валидна за n \u003d k + 1 .

Наистина, с n \u003d k имаме:
.
Разграничаване с променлива x:

.
Така че имаме:
.
Тази формула съвпада с формулата (14) при n \u003d k + 1 . По този начин, от предположението, че формулата (14) е валидна за n \u003d k, следва, че формулата (14) е валидна за n \u003d k + 1 .

Следователно формула (14), за производна на N-такъв ред, е валидна за всяка n.

Деривати на най-високите поръчки на логаритъм

За да намерите дериват на n-та поръчка от логаритъм въз основа на a, трябва да я изразите чрез естествен логаритъм:
.
Използвайки формула (14), ние откриваме N-M производно:
.

Вижте също:

Работата на намирането на дериват се нарича диференциация.

В резултат на решаването на проблеми при намирането на деривати от най-простите (и не много прости) функции за определяне на производа като граница на отношението към аргумента, се появиха таблица на дериватите и точно определени правила за диференциация. Isaac Newton (1643-1727) и Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) са първи за сферата на констатациите на дериватите.

Ето защо, в наше време, да се намери производно на всяка функция, не е необходимо да се изчислява горната граница на съотношението на увеличаването на функцията за увеличаване на аргумента и трябва да използвате таблицата на дериватите и правилата за диференциация . За да намерите производа, е подходящ следният алгоритъм.

Да намери деривате необходимо за изразяване под знака на инсулта разглобете компонентите на простите функции и определете какви действия (Работа, сума, частна) Тези функции са свързани. След това дериватите на елементарни функции се намират в таблицата на дериватите и формулите на деривати, суми и частни - в правилата за диференциация. Таблица на дериватите и правилата за диференциация се дават след първите два примера.

Пример 1. Намерете деривативна функция

Решение. От правилата на диференциацията разбрахме, че производителят на функциите на функциите е количеството деривати, т.е.

От таблицата на дериватите откриваме, че производителят на "ICCA" е равен на един, а синусовото производно е косинус. Ние заместваме тези стойности в количеството деривати и откриваме необходимото условие на дериват на задачите:

Пример 2. Намерете деривативна функция

Решение. Разграничаване като дериватна сума, в която може да се постигне втория термин с постоянен фактор с дериватен знак:

Ако все още има въпроси, откъдето е взето, те обикновено се изясняват след запознаване с дериватите на таблицата и най-простите правила за диференциация. Сега отиваме при тях.

Таблица на извлечените прости функции

1. Производителна константа (номера). Всеки номер (1, 2, 5, 200 ...), който е в експресията на функцията. Винаги равен на нула. Много е важно да се помни, тъй като е необходимо много често
2. производно на независима променлива. Най-често "iksa". Винаги равен на един. Също така е важно за дълго време.
3. Получена степен. Степента в решаването на задачи, от които се нуждаете, за да конвертирате некуражените корени.
4. Променливо производно към степен -1
5. Квадратно дериват на корен
6. Синусово производно
7. Косинусно производно
8. Деривативна допирателна
9. Дериват на котяните
10. Дериват на Arksinus.
11. Дериват на Arckosinus.
12. Арктанген производно
13. Арккотангенно производно
14. Дериват на естествен логаритъм
15. Деривативна логаритмична функция
16. Изложба на дериват
17. Деривативна индикативна функция

Правила за диференциация

1. Деривативна сума или разлика
2. Деривативна работа
2а. Производно на израза, умножено по постоянен мултипликатор
3. Частна деривация
4. Деривативна сложна функция

Правило 1. Ако функции

различно в някакъв момент, след това в една и съща точка диференцират и функции

и

тези. Производството на алгебричното количество функции е равно на алгебричното количество производни на тези функции.

Следствие. Ако две диференцирани функции се различават по постоянен срок, техните деривати са равни.

Правило 2.Ако функции

различно в някакъв момент, след това в същата точка по различен начин и тяхната работа

и

тези. Производството на двете функции е равно на количеството на произведенията на всяка от тези функции върху различното производно.

Следствие 1. Постоянен множител може да бъде направен за производна оценка:

Следствие 2. Производството на работата на няколко диференцирани функции е равно на количеството на продуктите на производителя на всеки от факторите на всички други.

Например, за трима мултипликатори:

Правило 3.Ако функции

разлика в някакъв момент и , след това в този момент по различен начин и тяхното личноu / v, и

тези. Производството на частните две функции е равно на фракцията, чиято числителят е разликата в продуктите на знаменателя върху производителя на числителя и числителя на производно на знаменател, а знаменателят е квадратът на предишния числатор .

Където какво да търсите на други страници

При намирането на производно на работата и частните в реални задачи винаги могат да се прилагат няколко правила за диференциация, така че повече примери за тези деривати - в статията"Деривативна работа и частни функции".

Коментар.Не трябва да се бърка от постоянна (т.е. броя) като термин в сумата и като постоянен мултипликатор! В случай на основата, производно е нула, а в случай на постоянен мултипликатор, той се представя за признаците на деривати. то типична грешкакойто отговаря на началния етап на изучаване на дериватите, но тъй като няколко едноетапни примера вече са решени, средният ученик не прави тази грешка.

И ако, с диференциацията на работата или частното, се появи термин улавяне"в. , в който улавяне - номер, например, 2 или 5, т.е. постоянно, производно на този брой ще бъде нула и следователно целият термин ще бъде нула (такъв случай се разглобява в пример 10).

Друг честа грешка - механично решение на деривативната сложна функция като производно на проста функция. Следователно деривативна сложна функция Специална отделна статия. Но първо ще се научим да намираме производни на прости функции.

В курса не се правят без трансформации на изрази. За да направите това, може да се наложи да отворите ползите в новите прозорци. Действия с градуси и корени и Действия с фракции .

Ако търсите решения на деривати с градуси и корени, т.е. когато функцията е като вид , Следвайте професията "производно на фракции с градуси и корени".

Ако имате задача , след това сте на "деривати на прости тригонометрични функции".

Стъпка по стъпка примери - как да се намери производно

Пример 3. Намерете деривативна функция

Решение. Определяме частта от изразяването на функцията: цялото изразяване представлява работата и факторите са суми, през които един от термините съдържа постоянен мултипликатор. Използваме извличане на продукта: производно на работата на две функции е равно на размера на произведенията на всяка от тези функции върху различното производно: \\ t

След това прилагайте размера на размера на диференциацията: производно на алгебричното количество функции е равно на алгебричното количество производни на тези функции. В нашия случай всяка сума е вторият термин с минус знак. Във всяка сума виждаме и независима променлива, чието производно е равно на едно, и константата (номер), производно е нула. Така че "X" се превръщаме в едно и минус 5 - в нула. Във втория израз "X" се умножава по 2, така че двете се умножават по едно и също тяло като производно на "IKSA". Получаваме следните стойности на дериватите:

Ние заменяме установените производни в количеството произведения и получаваме необходимото условие за проблема с производителя на цялата функция:

И можете да проверите решението на производно проблема.

Пример 4. Намерете деривативна функция

Решение. Трябва да намерим частна деривация. Използване на формулата за диференциация на частното: производителят на частните две функции е равен на фракцията, чиято число е разликата на продуктите на знаменателя върху производителя на числителя и числителя на деривата на знаменателя и на деноминатора Знаменателят е квадрата на предишния числатор. Получаваме:

Вече намерихме производно на факторите в Numertel в примера 2. Дори няма да забравя, че работата, която е втората фабрика в цифровия номер в текущия пример, се приема с минус знак:

Ако търсите решения на такива задачи, в които е необходимо да се намери деривативна функция, където твърдите раси на корените и степените, като например, , след това добре дошли в професията "Дериват на фракции с градуси и корени" .

Ако трябва да научите повече за синусовите производни, косинус, допирателни и други тригонометрични функции, т.е. когато функцията изглежда тогава сте на урока "Деривати на прости тригонометрични функции" .

Пример 5. Намерете деривативна функция

Решение. В тази функция виждаме работата, един от факторите, чийто е квадратен корен от независима променлива, с производно, на което сме прочели таблицата на производните. Според деривацията на продукта и таблицата на производството на квадратния корен, получаваме:

Проверете решението на проблема на производа може да бъде включен калкулаторни деривати онлайн .

Пример 6. Намерете деривативна функция

Решение. В тази функция виждаме частни, което е квадратен корен от независима променлива. Според правилото на диференциацията на частното, което повторихме и прилагахме в пример 4, получаваме таблета на площадката на производното на корен:

За да се отървете от фракцията в числителя, умножете цифровия и знаменател.