Различни начини за доказване на питагоровата теорема: примери, описание и рецензии. Различни начини за доказване на питагоровата теорема: примери, описания и прегледи Най-лесният начин за доказване на питагоровата теорема

В едно нещо можете да сте сто процента сигурни, че на въпроса какъв е квадратът на хипотенузата, всеки възрастен ще отговори смело: „Сборът от квадратите на краката“. Тази теорема е здраво засадена в умовете на всеки образован човек, но е достатъчно само да помолите някой да я докаже и тогава могат да възникнат трудности. Затова нека си спомним и разгледаме различни начини за доказване на питагоровата теорема.

Кратък преглед на биографията

Питагоровата теорема е позната на почти всички, но по някаква причина биографията на човека, който я е създал, не е толкова популярна. Ние ще го оправим. Ето защо, преди да изучавате различните начини за доказване на питагоровата теорема, трябва накратко да се запознаете с неговата личност.

Питагор - философ, математик, мислител, родом от Днес е много трудно да се разграничи неговата биография от легендите, които са се развили в памет на този велик човек. Но както следва от писанията на неговите последователи, Питагор от Самос е роден на остров Самос. Баща му е бил обикновен каменорезец, но майка му е от знатно семейство.

Според легендата раждането на Питагор е предсказано от жена на име Пития, в чиято чест е кръстено момчето. Според нейното предсказание, роденото момче трябвало да донесе много ползи и добрини на човечеството. Което всъщност е и направил.

Раждането на теорема

В младостта си Питагор се премества в Египет, за да се срещне с известните египетски мъдреци там. След среща с тях той е приет да учи, където научава всички големи постижения на египетската философия, математика и медицина.

Вероятно именно в Египет Питагор е вдъхновен от величието и красотата на пирамидите и създава великата си теория. Това може да шокира читателите, но съвременните историци смятат, че Питагор не е доказал своята теория. Но той само предал знанията си на своите последователи, които по-късно завършили всички необходими математически изчисления.

Както и да е, днес не е известна една техника за доказване на тази теорема, а няколко наведнъж. Днес можем само да гадаем как точно древните гърци са правили своите изчисления, така че тук ще разгледаме различни начини за доказване на питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Преди да започнете каквито и да е изчисления, трябва да разберете коя теория да докажете. Питагоровата теорема звучи така: „В триъгълник, в който един от ъглите е 90 o, сумата от квадратите на катета е равна на квадрата на хипотенузата“.

Има общо 15 различни начина за доказване на Питагоровата теорема. Това е доста голям брой, така че нека обърнем внимание на най-популярните от тях.

Метод първи

Нека първо дефинираме какво имаме. Тези данни ще се прилагат и за други начини за доказване на питагоровата теорема, така че трябва незабавно да запомните всички налични обозначения.

Да предположим, че е даден правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза, равни на c. Първият начин на доказване се основава на факта, че правоъгълен триъгълниктрябва да нарисувате квадрат.

За да направите това, трябва да начертаете сегмент, равен на крака в дължината на крака a и обратно. Така че трябва да се получат две равни страни на квадрата. Остава само да нарисувате две успоредни линии и квадратът е готов.

Вътре в получената фигура трябва да нарисувате друг квадрат със страна, равна на хипотенузата на оригиналния триъгълник. За да направите това, от върховете ac и s, трябва да нарисувате две паралелен сегментравен с. Така получаваме три страни на квадрата, едната от които е хипотенузата на оригиналния правоъгълен триъгълник. Остава само да нарисуваме четвъртия сегмент.

Въз основа на получената фигура можем да заключим, че площта на външния квадрат е (a + b) 2. Ако погледнете вътре във фигурата, можете да видите, че освен вътрешния квадрат, тя има четири правоъгълни триъгълника. Площта на всеки е 0,5 пр.

Следователно площта е: 4 * 0.5av + s 2 = 2av + s 2

Следователно (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

И следователно с 2 \u003d a 2 + в 2

Теоремата е доказана.

Метод втори: подобни триъгълници

Тази формула за доказателство на питагоровата теорема е получена въз основа на твърдение от раздела по геометрия на подобни триъгълници. Той казва, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална на неговата хипотенуза и отсечката на хипотенузата, произлизаща от върха на ъгъл от 90 o.

Първоначалните данни остават същите, така че нека започнем веднага с доказателството. Нека начертаем отсечка CD, перпендикулярна на страната AB. Въз основа на горното твърдение, краката на триъгълниците са равни:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

За да се отговори на въпроса как да се докаже питагоровата теорема, доказателството трябва да се постави чрез квадратура на двете неравенства.

AC 2 \u003d AB * HELL и SV 2 = AB * DV

Сега трябва да добавим получените неравенства.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), където AD + DV = AB

Оказва се, че:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

И следователно:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Доказателството на питагоровата теорема и различните начини за нейното решаване изискват универсален подход към този проблем. Тази опция обаче е една от най-простите.

Друг метод за изчисление

Описанието на различни начини за доказване на Питагоровата теорема може да не каже нищо, докато не започнете да практикувате сами. Много методи включват не само математически изчисления, но и изграждане на нови фигури от оригиналния триъгълник.

IN този случайе необходимо да завършите още един правоъгълен триъгълник VSD от крака на самолета. По този начин сега има два триъгълника с общ катет BC.

Знаейки, че площите на подобни фигури имат съотношение като квадратите на техните подобни линейни размери, тогава:

S avs * s 2 - S avd * в 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (от 2 до 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

от 2 до 2 = 2

c 2 \u003d a 2 + в 2

Тъй като тази опция едва ли е подходяща от различни методи за доказване на Питагоровата теорема за 8 клас, можете да използвате следната техника.

Най-лесният начин за доказване на питагоровата теорема. Отзиви

Историците смятат, че този метод е използван за първи път за доказване на теорема в древна Гърция. Това е най-простото, тъй като не изисква абсолютно никакви изчисления. Ако нарисувате правилно картина, тогава доказателството на твърдението, че a 2 + b 2 \u003d c 2 ще бъде ясно видимо.

Условия за този методще бъде малко по-различен от предишния. За да докажем теоремата, да предположим, че правоъгълният триъгълник ABC е равнобедрен.

Вземаме хипотенузата AC като страна на квадрата и начертаваме трите му страни. Освен това е необходимо да нарисувате две диагонални линии в получения квадрат. Така че вътре в него получавате четири равнобедрени триъгълника.

Към краката AB и CB също трябва да нарисувате квадрат и да нарисувате по една диагонална линия във всеки от тях. Начертаваме първата линия от връх A, втората - от C.

Сега трябва внимателно да разгледате получената снимка. Тъй като върху хипотенузата AC има четири триъгълника, равни на първоначалния, и два на катета, това показва истинността на тази теорема.

Между другото, благодарение на този метод за доказване на питагоровата теорема, известна фраза: "Питагорейските панталони са равни във всички посоки."

Доказателство от Дж. Гарфийлд

Джеймс Гарфийлд е 20-ият президент на Съединените американски щати. Освен че остави своя отпечатък в историята като владетел на Съединените щати, той беше и надарен самоук.

В началото на кариерата си той е обикновен учител в народно училище, но скоро става директор на едно от висшите образователни институции. Желанието за саморазвитие и му позволи да предложи нова теориядоказателство на питагоровата теорема. Теоремата и пример за нейното решение са както следва.

Първо трябва да нарисувате два правоъгълни триъгълника върху лист хартия, така че кракът на един от тях да е продължение на втория. Върховете на тези триъгълници трябва да бъдат свързани, за да се получи трапец.

Както знаете, площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височина.

S=a+b/2 * (a+b)

Ако разгледаме получения трапец като фигура, състояща се от три триъгълника, тогава неговата площ може да се намери, както следва:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Сега трябва да изравним двата оригинални израза

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + в 2

Може да се напише повече от един том за питагоровата теорема и как да се докаже учебно ръководство. Но има ли смисъл, когато това знание не може да се приложи на практика?

Практическо приложение на Питагоровата теорема

За съжаление в съвременната училищни програмиизползването на тази теорема е предвидено само в геометрични задачи. Завършилите скоро ще напуснат стените на училището, без да знаят как могат да приложат знанията и уменията си на практика.

Всъщност използвайте питагоровата теорема във вашия Ежедневиетовсеки може. И не само в професионална дейностно и в нормалните домакински задължения. Нека разгледаме няколко случая, когато теоремата на Питагор и методите за нейното доказателство могат да бъдат изключително необходими.

Връзка на теоремата и астрономията

Изглежда как звездите и триъгълниците могат да бъдат свързани на хартия. Всъщност астрономията е научна област, в която Питагоровата теорема се използва широко.

Например, помислете за движението на светлинен лъч в пространството. Знаем, че светлината се движи в двете посоки с еднаква скорост. Наричаме траекторията AB, по която се движи светлинният лъч л. И половината от времето, необходимо на светлината да стигне от точка А до точка Б, нека се обадим т. И скоростта на лъча - ° С. Оказва се, че: c*t=l

Ако погледнете същия този лъч от друга равнина, например от космическа обшивка, която се движи със скорост v, тогава при такова наблюдение на телата скоростта им ще се промени. В този случай дори неподвижните елементи ще се движат със скорост v в обратна посока.

Да кажем, че комичният лайнер плава вдясно. Тогава точки A и B, между които лъчът се втурва, ще се преместят наляво. Освен това, когато лъчът се движи от точка A до точка B, точка A има време да се премести и съответно светлината вече ще пристигне в нова точка C. За да намерите половината от разстоянието, което точка A е изместила, трябва да умножите скорост на облицовката с половината от времето на движение на гредата (t ").

И за да разберете колко далеч може да пътува лъч светлина през това време, трябва да обозначите половината път на новия бук и да получите следния израз:

Ако си представим, че точките на светлината C и B, както и пространствената линия, са върховете на равнобедрен триъгълник, тогава отсечката от точка A до линията ще го раздели на два правоъгълни триъгълника. Следователно, благодарение на Питагоровата теорема, можете да намерите разстоянието, което може да измине един лъч светлина.

Този пример, разбира се, не е най-успешният, тъй като само малцина могат да имат късмета да го изпробват на практика. Следователно ние разглеждаме по-обикновени приложения на тази теорема.

Обхват на предаване на мобилен сигнал

Съвременният живот вече не може да се представи без съществуването на смартфони. Но колко биха били полезни, ако не могат да свързват абонати чрез мобилни комуникации?!

Качеството на мобилните комуникации директно зависи от височината, на която се намира антената на мобилния оператор. За да изчислите колко далеч от мобилна кула телефонът може да получи сигнал, можете да приложите питагоровата теорема.

Да кажем, че трябва да намерите приблизителната височина на неподвижна кула, така че да може да разпространява сигнал в радиус от 200 километра.

AB (височина на кулата) = x;

BC (радиус на предаване на сигнала) = 200 km;

OS (радиус Глобусът) = 6380 км;

OB=OA+ABOB=r+x

Прилагайки теоремата на Питагор, установяваме, че минималната височина на кулата трябва да бъде 2,3 километра.

Питагоровата теорема в ежедневието

Колкото и да е странно, питагоровата теорема може да бъде полезна дори в ежедневни въпроси, като например определяне на височината на килера. На пръв поглед няма нужда да използвате такива сложни изчисления, защото можете просто да направите измервания с ролетка. Но мнозина са изненадани защо възникват определени проблеми по време на процеса на сглобяване, ако всички измервания са направени повече от точно.

Факт е, че гардеробът се сглобява в хоризонтално положение и едва след това се издига и се монтира до стената. Следователно страничната стена на шкафа в процеса на повдигане на конструкцията трябва свободно да преминава както по височина, така и по диагонал на стаята.

Да предположим, че има гардероб с дълбочина 800 мм. Разстояние от пода до тавана - 2600 мм. Опитен производител на мебели ще каже, че височината на шкафа трябва да бъде 126 мм по-малка от височината на стаята. Но защо точно 126 мм? Нека да разгледаме един пример.

С идеални размери на шкафа, нека проверим действието на питагоровата теорема:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 = 2600 mm - всичко се сближава.

Да кажем, че височината на шкафа не е 2474 мм, а 2505 мм. Тогава:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 = 2629 mm.

Следователно този шкаф не е подходящ за монтаж в тази стая. Тъй като при повдигането му във вертикално положение може да се причини увреждане на тялото му.

Може би, след като разгледахме различни начини за доказване на питагоровата теорема от различни учени, можем да заключим, че тя е повече от вярна. Сега можете да използвате получената информация в ежедневието си и да сте напълно сигурни, че всички изчисления ще бъдат не само полезни, но и правилни.

Урок на тема: "Питагоровата теорема"

Вид на урока: урок за изучаване на нов материал. (според учебника „Геометрия, 7–9”, учебник за образователни институции; L.S. Атанасян и др. - 12 изд. - М.: Образование, 2009).

Цел:

запознават учениците с питагоровата теорема и историческа информациясвързани с тази теорема; развиват интерес към изучаването на математиката, логическото мислене; внимание.

По време на часовете:

1. Организационен момент.

СЛАЙД 2 Приказка "Къща".

Темата на нашия урок е "Питагоровата теорема". Днес в урока ще се запознаем с биографията на Питагор, ще изучаваме една от най-известните геометрични теореми на древността, наречена Питагорова теорема, една от основните теореми на планиметрията.

2. Актуализация на знанията.(Подготовка за изучаване на нов материал, материалът, който ще е необходим при доказателството на теоремата се повтаря)

1) Въпроси:

Какъв четириъгълник се нарича квадрат?

Как да намерим площта на квадрат?

Кой триъгълник се нарича правоъгълен триъгълник?

Как се наричат страните на правоъгълен триъгълник?

Как да намерим площта на правоъгълен триъгълник?

3. Усвояване на нов материал.

1) Справка по история.

СЛАЙД 3 и 4.

Великият учен Питагор е роден около 570 г. пр.н.е. на остров Самос. Бащата на Питагор е Мнезарх, резбар на скъпоценни камъни. Името на майката на Питагор не е известно. Според много древни свидетелства, роденото момче беше страхотно красиво и скоро показа изключителните си способности. Като всеки баща Мнезарх мечтаеше синът му да продължи делото му – златарския занаят. Животът прецени друго. Бъдещият велик математик и философ още в детството показа големи способности за науките.

На Питагор се приписва изучаването на свойствата на цели числа и пропорции, доказване на питагоровата теорема и т. н. Питагор не е име, а прякор, който философът е получил, защото винаги говори правилно и убедително, като гръцки оракул. (Питагор - "убедителна реч".)

С речите си той придобива 2000 ученици, които заедно със семействата си образуват училище-държава, където са в сила законите и правилата на Питагор. Школата на Питагор, или, както още се нарича, Питагорейският съюз, е била едновременно философска школа, политическа партия и религиозно братство.

Любимата геометрична фигура на питагорейците беше пентаграмът, наричан още питагорейската звезда. Питагорейците са използвали тази фигура, рисувайки я в пясъка, за да се поздравят и разпознаят. Пентаграмата им служи като парола и е символ на здраве и щастие.

Преданието казва, че когато Питагор стигна до теоремата, която носи неговото име, той донесе 100 бика на боговете. През 500 г. пр. н. е. Питагор е убит в уличен бой по време на народно въстание. В момента има около 200 доказателства на Питагоровата теорема.

Изявление на теоремата

2) Доказателство на теоремата.

Нека построим правоъгълник на квадрат със страна a + b.

Децата с помощта на учител доказват теоремата според чертежа, след което записват доказателството в тетрадка.

доказателство:

квадратна площ

- теоремата е доказана.

4. Първично затвърдяване на знанията.

Работа по учебника (Прилагане на Питагоровата теорема при решаване на задачи).

Задачите се решават на дъската и в тетрадките.

Заключение: с помощта на питагоровата теорема можете да решите два вида задачи:

1. Намерете хипотенузата на правоъгълен триъгълник, ако катетите са известни.

2. Намерете катета, ако хипотенузата и другият катет са известни.

5. Направи си сам решениезадачи.

№ 483 (б), 484 (б)

6. Домашна работа: P 54, № 483 (d), 484 (d).

7. Резултатът от урока.

Какво ново научихте на урока днес?

За кои триъгълници се прилага питагоровата теорема?

Завършете урока със стихотворение.

Много хора знаят сонета на Шамисо:

Истината ще остане вечна, колко скоро

Познава я слаб човек!

А сега питагоровата теорема

Верна, както в далечната му епоха.

Жертвата беше изобилна

Богове от Питагор. Сто бика

Той даде на клане и изгаряне

Зад светлината е лъч, дошъл от облаците.

Следователно оттогава

Малко истина се ражда в света,

Биковете реват, усещайки, че я следва.

Те не могат да спрат светлината

И могат само да затворят очите си, за да треперят

От страха, който им е внушил Питагор.

Урок по геометрия 8 клас.

"Питагорова теорема"

Учител: Науменко Н.М.

Образователна цел:запознайте се с биографията на Питагор,изучаване на Питагоровата теорема, нейната роля в геометрията; използване на теоремата при решаване на задачи.
Цел за развитие:
образователна цел:култура на математическата реч.

План на урока:

Организиране на времето.
Актуализация на знанията.
Изучаване на нов материал
Историческа справка за Питагор (презентация)
Първична консолидация на знанията.
Резултати от урока.
Домашна работа.
Весела минута

Оборудване: портрет на Питагор, черна дъска, мултимедийно оборудване (компютър, проектор, екран), презентационен материал, раздатки (според броя на учениците).

По време на часовете:

(Приложение 1 )

I. Организационен момент.

Здравейте момчета, седнете

И не бъдете мързеливи да работите.

Вземете тетрадки и химикалки

Номер в тетрадки 19.11.15. написа мигновено.

Днес имаме гости на урока. И бих искал да си прекарат добре с нас. И зависи от нас. Надявам се, че ще направим всичко възможно гостите да ни оставят с добри впечатления.

Нека започнем урока с преглед на изучавания материал.

II. Актуализиране на основни знания.

слайд 2 - правоъгълен триъгълник.

слайд 3 - равенство на триъгълници на два крака

слайд 4 – площен имот

слайд 5 - намиране на ъгъла

Слайд 6 е задача.

Слайд 7

И за да решим ние

Какво трябва да се научи в класната стая

Устно разгледайте чертежа на дъската,

Намерете площта на всяка фигура.

1. Даден е ∆ABC - правоъгълен, хипотенуза AB = 12 cm, катет CB-3 cm.

Намерете S∆.

2. Каква фигура е показана?

Какво е S на трапеца - ?

Какво не знаем? (височина)

Как да намеря височина?

(проблемът е поставен)

Даден е ∆ABC-правоъгълен, хипотенуза AB=5m., катет CB-3m.

Намерете S∆.

Какво е S ∆ -?

какво знаем ние? (ролки, хипотенуза, ъгъл 90 0 )

В този проблем можем ли да намерим крака AC?

Можем ли или не можем?

За днешния урок не знаем как да го намерим.

И така, каква е нашата задача днес? За да разберете това? (Намерете неизвестната страна на правоъгълен триъгълник).

Че. формулирахме целта на нашия урок: Научете се да намирате неизвестната страна на правоъгълен триъгълник.

III. Изучаване на нов материал.

Студент:

Историите за воала се отварят и

IN древен святведнага получаваме

4 век пр.н.е отива,

А в древна Гърция ученият Питагор нито яде, нито спи, нито пие.

учител:

О, богове, умът ми ви моли да дарите.

Така че истината, която ми е по-скъпа да отворя,

Готов съм да пожертвам 100 бика,

за да докаже тази теорема.

Аз не съм сам? Хората идваха ли тук?

Тогава, приятели, помогнете ми,

Така че открих истината, която е по-скъпа от всичко.

И ако греша, моля поправете ме.

Слайд 8

Всички триъгълници са равни, ще разпределя правоъгълни,

Задавам си и теб един въпрос -

Възможно ли е да ги подредите така, че да се получат квадрат?

Моля, вземете бели листа, 4 триъгълника и се опитайте да направите квадрат от тях върху бял лист. От 4 триъгълника трябва да направите квадрат.

Има ли опции?

Всичко, имаме квадрат,

И много се радвам на това!

На дъската учителят очертава квадрат с помощта на 4 триъгълника и магнити.

Сега погледнете внимателно дъската

И намерете площта на получения квадрат.

Всички начини, които намирате, са добри!

Желая на всички успех от сърце!

Поставете и залепете получения квадрат върху бял лист. Подпишете къде са краката и къде е хипотенузата (катета - a, b, хипотенуза - c), върхове A, B, C, D.

Работим бързо и точно.

Защо тази фигура е квадрат? (определение)

Ъгли 90 0 ;
Страните са равни (a + b);
И така, как намирате S на квадрата ABCD?

S кв. = квадратна страна. Каква е дължината на страната на нашия квадрат?

S ABSD \u003d (a + c) 2 - напишете.

Какъв е квадратът на сбора?Извикайте ученика към дъската.

S ABSD \u003d (a + b) 2 = a 2 + 2av + b 2 (1)

Как иначе можете да намерите Sкв. ? Мислим. От какви фигури се състои тази фигура?

От 4 триъгълника и фигура MNLK (знакови върхове), т.е.

S ABSD = 4 S tr + S MNLK

Какво е S ∆ -? S = ∆ср

Че. S ABSD \u003d 4 av + S MNLK = 2av + S MNLK

Защо MNLK е квадрат?

Страните са равни, но може да бъде и ромб. Как се различава ромбът от квадрата? (ъгли)

Защо ъгълът е 90 0 ? Тъй като сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е 90 0 и триъгълниците са равни в 2 катета.

На какво е равно S MNLK? S MNLK = s 2

Получено, S ABSD \u003d 2av + s 2 (2)

Какво можем да направим с теб сега? Можем ли да приравним равенства (1) и (2)? 2av + s 2 \u003d a 2 + 2av + в 2 Как можем да опростим това равенство? (ученик до черната дъска)

c 2 \u003d a 2 + b 2

ОТ - ? но - ? в - ? (хипотенуза, крак, крак)

Без да назовавате букви, назовете какво имаме за правоъгълен триъгълник.

Квадрат на хипотенузата е равно на суматаквадрати от крака.

Слайд 9

Доказа всичко! Слава на боговете!

Това, което си обещал, трябва да дадеш

И 100 бика всички като жертва за вас,

Нека теоремата се нарича с моето име!

Записваме темата на урока: „Теоремата на Питагор“.

Много хора вярват, че Питагор е мит, че е измислен и че е човек - легенда. Но ние изхождаме от позицията, че реалното е реална личност, велика личност в историята на цялото човечество.

слайд 10. Нека да чуем една история за този математик, на когото е кръстена теоремата (студент). Съобщението ни подготви Дария Орлова.

ПИТАГОР ОТ САМОС (ок. 580 - ок. 500 пр. н. е.)

Малко се знае за живота на Питагор. Той е роден през 580 г. пр.н.е. д. в Древна Гърцияна остров Самос, който се намира в Егейско море край бреговете на Мала Азия, затова се нарича Питагор от Самос.

Питагор е роден в семейството на каменорезбар, който намери слава, а не богатство. Като дете той проявявал необикновени способности, а когато пораснал, неспокойното въображение на младежа се претъпкало на малък остров.

Той отиде в Египет. Пред Питагор се отвори непозната страна. Той разбираше науката на египетските жреци и се прибираше у дома, за да създаде там свое собствено училище. Но жреците не искаха знанията им да се разпространят извън територията на храмовете им и не искаха да го пуснат. С голяма трудност той успя да преодолее това препятствие.

Въпреки това, на път за вкъщи, Питагор е заловен и се озовава във Вавилон. Вавилонците цениха интелигентните хора, затова той намери своето място сред вавилонските мъдреци. Науката за Вавилон беше по-развита, отколкото в Египет. Вавилонците са изобретили и приложили позиционната бройна система при броенето, те са били в състояние да решават линейни, квадратни и някои кубични уравнения.

Питагор живее във Вавилон 10 години и се завръща в родината си. Но на остров Самос той не остава дълго и се установява в една от гръцките колонии в Южна Италия. Там Питагор организира таен младежки съюз.

Слайд 11. Нови членове бяха приети в този съюз с големи церемонии след дълги изпитания. Питагорейците, както ги наричат по-късно, изучават математика, философия, естествени науки. Питагорейците направиха много важни открития в аритметиката и геометрията, включително:

Геометрични решения на квадратни уравнения;

Деление на числата на четни и нечетни, прости и съставни;

Теорема за сбора на ъглите на триъгълник и много други. други

Питагор участва в Олимпийските игри и спечели два юмручни битки.

Ученият посвети около четиридесет години на създаденото от него училище и на осемдесет години, според една версия, Питагор е убит в уличен бой по време на народно въстание.

слайд 12. Доказателството на питагоровата теорема се смяташе за много трудно в средите на учениците от Средновековието и понякога се наричаше Pons Asinorum."магарешки мост" или елефуга - "бягство на бедните"защото някои „окаяни“ ученици, които нямаха сериозен математически опит, избягаха от геометрията.

Слабите ученици, които запаметяваха теореми наизуст, без да разбират и затова наричаха „магарета“, не успяха да преодолеят питагоровата теорема, която им служи като непреодолим мост.

Питагор прави много важни открития, но най-известният учен е доказаната от него теорема, която сега носи неговото име.

Слайд 13. (учител) И така, Питагоровата теорема.

Слайд 14. (ученик). Подготвен от Булгаков

учител:

слайд 15. Смята се, че по времето на Питагор теоремата е звучала различно:

„Площта на квадрат, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сбора от площите на квадратите, построени върху неговите крака.

Вижте и ето „Питагорейските панталони са равни във всички посоки“.

Такива рими са измислени от ученици от Средновековието при изучаване на теоремата; рисува карикатури. Ето, например.слайд 16.

Питагоровата теорема е една от основните теореми на геометрията, защото може да се използва за доказване на много други теореми и решаване на много проблеми.

Ще решим няколко проблема.

слайд 17. Задача номер 483. Нека вземем материал и да разгледаме заедно решението на този проблем.

∆ABC - правоъгълна с хипотенуза AB.

Според Питагоровата теорема AB² = AC² + BC²

C²=a²+b²

С²=6²+8²

С²=36+64

С²=100

С=10

Отговор: 10

Слайд 18. Задача № 483. (самостоятелно)

Слайд 19. Задача номер 484.

слайд 20. Проблем номер 486.

Слайд 21. Задача номер 487.

слайд 22.

Отражение .(2 мин.)

Какво ново научихте на урока днес?(Днес за урока се запознахме с Питагоровата теорема, с малко информация от живота на учен. Решихме няколко прости задачи)
За кои триъгълници се прилага питагоровата теорема?
Какво представлява питагоровата теорема?

Браво момчета. Днес свършихте страхотна работа

слайд 23. Домашна работа.

И така, днес в урока се запознахме с една от основните теореми на геометрията, Питагоровата теорема и нейното доказателство, с малко информация от живота на учения, чието име носи, решихме няколко прости задачи.

Значението на питагоровата теорема се състои във факта, че от нея или с нейна помощ могат да се изведат много геометрични теореми и да се решат много проблеми.

До следващия урок трябва да сте научили питагоровата теорема с доказателство, тъй като ще се научим как да я прилагаме към по-сложни задачи.

С.54, задачи 483 (в), 484 (б, г), 486 (б).

Подгответе съобщението "Египетски триъгълник".

слайд 22. Весела минута (с въпрос за внимателните и наблюдателните - къде е грешката?)– приложение 2 .

Емоционално освобождаване:

намръщен като есенен облак, ядосан човек, зла магьосница
усмихни се като котка на слънце, Пинокио, хитра лисица, дете, което видя чудо
уморен като татко след работа, човек, който вдигна товар, мравка, която влачи голяма муха
отпуснете се като турист, свалил тежка раница, дете, което работи усилено, уморен войн.

Визуализация:

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт за себе си ( сметка) Google и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Питагорова теорема Геометрия 8 клас Науменко Н.М.

Какво е показано? Въпроси Каква е сумата от острите ъгли в правоъгълен триъгълник?  A +  B = 90° Каква е площта на този триъгълник? Какви са имената на страните AC и BC? C A B a b c

B C A C 1 A 1 B 1 Докажете, че триъгълниците са равни.

A B C D E S ABCDE = S ABC + S ADC + S ADE

1 3 2 Намерете  3, ако  1+  2 = 90°.

Решете устно C A B Дано: ∆ ABC,  C=90°, AB=18 cm, BC=9 cm Намерете:  B,  A 1. 18 9 60 12 10

Устно разгледайте чертежа на дъската, намерете площта на фигурата на всеки.

Питагор от Самос Самос

Питагорейците направиха много важни открития в аритметиката и геометрията. Питагор от Самос

„Магарешки мост“ Доказателството на питагоровата теорема се смяташе за много трудно в средите на учениците от Средновековието и понякога се наричаше Pons Asinorum „магарешки мост“ или elefuga – „полет на бедните“, тъй като някои „окаяни“ ученици, които не са имали сериозна математическа подготовка, избягали от геометрията. Слабите ученици, които запаметяваха теореми наизуст, без да разбират и затова наричаха „магарета“, не успяха да преодолеят питагоровата теорема, която им служи като непреодолим мост.

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета. Питагорова теорема с b и c ² = a² + b² Така че, ако ни е даден триъгълник, и освен това с прав ъгъл, тогава квадратът на хипотенузата винаги можем лесно да намерим: Ние квадратираме катетата, намираме сумата на градуси - И по такъв прост начин ще стигнем до резултата. c²=a²+b²

История на питагоровата теорема Питагор от Самос c. 580 - прибл. 500 г. пр.н.е

Смята се, че по времето на Питагор теоремата е звучала по различен начин: „Площта на квадрат, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху неговите крака“.

Заради чертежите, придружаващи питагоровата теорема, учениците я нарекоха по същия начин „ вятърна мелница“, съчинява стихотворения като „Питагорейските панталони са равни от всички страни”, рисува карикатури. Карикатури от учебник от 16 век Ученически анимационен филм от 19 век

№ 483 6 8 ? C A B Дадено: ∆ABC, C=90 º, a=6, b=8 Намерете: p. Решение: ∆ABC - правоъгълна с хипотенуза AB. Според Питагоровата теорема, AB ² = AC ² + BC ² s ² = a ² + b² s ² = 6² + 8² s ² = 36 + 64 s ² = 100 c = 10 Отговор: 10

c ² \u003d a 2 + b 2 8 6 5 10 8 6 c b a a b c C A B № 483 √61 c = √ a 2 + b 2

c ² \u003d a 2 + b 2 abc CAB № 484 2 3b 2b 12 13 5 12 cb a 13 ² = 12 2 + b 2 169 = 144 + b 2 b 2 \u093d 1 \u093d 1 \u093d 1 \u003d 5 4 b ² = 12 2 + b 2 3b ² = 144 b ² = 48 b = √ 48 √ 48 a 2 + b 2 = c ² a 2 = c ²-b² b 2 = c ²-a² a = √ c ² -b² b = √ c ²-a² Нека запишем формулите за намиране на катетите на правоъгълен триъгълник:

c ² \u003d a 2 + b 2 № 48 6 A C B D 5 13 AD ² = AC²-CD² AD = 12

№ 487 Дадени са: ∆ABC, AB=BC=17 cm, AC=16 cm, BD AC Намерете: BD. Решение. 1. AD=DC=AC: 2=8 s m 2. Да разгледаме ∆ADB . BD²=AB²-AD² BD=√289-64 BD=15 (cm) Отговор: 15 cm A C B D

Извършете самооценка учебни дейностиспоред таблицата Активност висока средна ниска тема Научено добре Научено частично Научено лошо Обяснете на приятел мога да го направя сам мога, но ми е трудно да давам намеци

Домашна Стр.54, задачи 483 (в), 484 (б, г), 486 (б). Подгответе съобщението "Египетски триъгълник".

БЛАГОДАРЯ ВИ ЗА УРОКА!!!

Визуализация:

Слайд 13 (ученик). Интересна е историята на питагоровата теорема.

Въпреки че тази теорема е свързана с името на Питагор, тя е била известна много преди него. Във вавилонските текстове тя се среща 1200 години преди Питагор. Очевидно той беше първият, който намери доказателството за това. Запазена е древна легенда, че в чест на своето откритие Питагор е принесъл в жертва на боговете бик, според други свидетелства дори сто бика. Но това противоречи на информацията за моралните и религиозни възгледи на Питагор. Твърди се, че той „забранил дори да убива животни и още повече да се храни с тях, защото животните имат душа като нас“. В това отношение следното вписване може да се счита за по-правдоподобно: „... когато откри, че в правоъгълния триъгълник хипотенузата съответства на краката, той принесе в жертва бик, направен от пшенично тесто.

Визуализация:

Раздаване

c²=a²+b²

№ 483

Решение :

Изход:

№ 484

Решение:

C²=a²+b²	C²=a²+b²	C²=a²+b²	a²+b²=c²
13²=12²+b²			a² = c² - b²

b2 =			b²=c² -a²

Изход:

C²=a²+b² № 486

Дадено: ABCD е правоъгълник,
AB=5 cm, AC=13 cm

Намерете: AD.

Решение:

№ 487

Дадено: ∆ABC, AB=BC=17 cm,
AC=16 см, BD⊥ AC

Намерете: BD.

Решение:

Визуализация:

Извършете самооценка на вашите собствени учебни дейности според таблицата.

Дейност	Високо	средно аритметично	ниско
тема	научи добре	Научен частично	Научено лошо
Обяснете на приятел	мога да го направя сам	Мога, но с намеци	го намират трудно
Дейност	Високо	средно аритметично	ниско
тема Цел за развитие:развитие на логическото мислене, познавателен интерес, творческо търсене. образователна цел:насърчаване на устойчив интерес към темата,култура на математическата реч. Подходящ за урок тематично планиране работна програмапо геометрия от 8 клас, разработена по авторска програма на Л. С. Атанасян. Урокът е тясно свързан с предварително изучения материал, провежда се непосредствено след изучаване на темата „Площ на успоредник, триъгълник и трапец“ и е първият по тази тема, във всеки следващ клас учениците ще прилагат получените знания в 8 клас. Питагоровата теорема е една от важните теореми на геометрията. Питагоровата теорема ви позволява значително да разширите обхвата на проблемите, решавани в хода на геометрията. По-нататъшното изложение на теоретичния курс до голяма степен се основава на него. Видът на урока е изучаване и първично затвърждаване на нови знания. Целта на учителя: Организирайте дейностите на учениците заедно с учителя за извеждане, доказателство и първично затвърждаване на питагоровата теорема Структурата на урока е насочена към създаване на благоприятни условия за изучаване на тази тема. Етап на актуализиранезнанията са организирани под формата на презентация, която позволява на учениците да повторят ярко и образно изучавания материал, което ги подготвя за учене нова тема, ви позволява бързо да започнете работа. На следващия етапСъздавам проблем ситуация, за да се определи целта на урока. На сцената изучаване на нов материал, организирам дейностите на учениците за доказване на Питагоровата теорема (съставяне на модел и обсъждане на доказателството). На етап първиченприлагане на теоремата на Питагор, най-простите проблеми бяха анализирани, върнати към решаването на проблема, който предизвика трудности в началото на урока. Целта на урока, поставена от мен, беше напълно постигната, учениците бяха мотивирани и включени в учебни и познавателни дейности в урока. Взаимодействието в урока беше продуктивно, учениците показаха самостоятелност, интерес и способност за решаване на геометрични задачи. Всички задачи са прегледани и изпълнени. Техниките и методите на обучение бяха приложени в логическа последователност, ясно се вписвайки в структурата на урока. В този урок нямах за цел да решавам по-сложни задачи, т.к. това е първият урок от три в програмата и цялото разнообразие от уроци, в които се използва питагоровата теорема. Рефлексивният етап на урока се проведе под формата на фронтални въпроси:Обяснете на приятел	мога да го направя сам	Мога, но с намеци	го намират трудно

Шаповалова Л.А. (станция Egorlykskaya, MBOU ESOSH № 11)

1. Глейзър Г.И. История на математиката в училище VII - VIII клас, ръководство за учители, - М: Образование, 1982.

2. Демпан И.Я., Виленкин Н.Я. „Зад страниците на учебник по математика“ Помагало за ученици от 5-6 клас. – М.: Просвещение, 1989.

3. Зенкевич И.Г. „Естетика на урока по математика”. – М.: Просвещение, 1981.

4. Лицман В. Питагоровата теорема. - М., 1960 г.

5. Волошинов A.V. "Питагор". - М., 1993 г.

6. Пичурин Л.Ф. „Отвъд страниците на учебника по алгебра“. - М., 1990 г.

7. Земляков A.N. „Геометрия в 10 клас“. - М., 1986.

8. Вестник „Математика” 17/1996г.

9. Вестник „Математика” 3/1997г.

10. Антонов Н.П., Вигодски М.Я., Никитин В.В., Санкин А.И. „Сборник със задачи по елементарна математика”. - М., 1963 г.

11. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. „Наръчник по математика“. - М., 1973 г.

12. Shchetnikov A.I. "Питагоровата доктрина за числото и величината". - Новосибирск, 1997 г.

13. „Реални числа. Ирационални изрази» 8 клас. издателство Томски университет. – Томск, 1997.

14. Атанасян М.С. "Геометрия" 7-9 клас. – М.: Просвещение, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

В това академична годинаЗапознах се с интересна теорема, известна, както се оказа, от древни времена:

"Квадратът, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равен на сбора от квадратите, построени върху катета."

Обикновено откритието на това твърдение се приписва на древногръцкия философ и математик Питагор (VI в. пр. н. е.). Но изследването на древните ръкописи показа, че това твърдение е било известно много преди раждането на Питагор.

Чудех се защо в този случай то се свързва с името на Питагор.

Актуалност на темата: Питагоровата теорема е от голямо значение: тя се използва в геометрията буквално на всяка стъпка. Вярвам, че творбите на Питагор са все още актуални, защото където и да погледнем, навсякъде можем да видим плодовете на неговите велики идеи, въплътени в различни клонове на съвременния живот.

Целта на моето изследване беше: да разбера кой е бил Питагор и какво отношение има той към тази теорема.

Изучавайки историята на теоремата, реших да разбера:

Има ли други доказателства на тази теорема?

Какво е значението на тази теорема в живота на хората?

Каква роля е изиграл Питагор в развитието на математиката?

От биографията на Питагор

Питагор от Самос е велик гръцки учен. Славата му се свързва с името на питагоровата теорема. Въпреки че сега вече знаем, че тази теорема е била известна в древен Вавилон 1200 години преди Питагор, а в Египет 2000 години преди него е бил известен правоъгълен триъгълник със страни 3, 4, 5, ние все още я наричаме с името на този древен учен.

Почти нищо не се знае със сигурност за живота на Питагор, но голям брой легенди са свързани с неговото име.

Питагор е роден през 570 г. пр. н. е. на остров Самос.

Питагор имаше красив външен вид, носеше дълга брада и златна диадема на главата си. Питагор не е име, а прякор, който философът получава, защото винаги говори правилно и убедително, като гръцки оракул. (Питагор - "убедителна реч").

През 550 г. пр. н. е. Питагор взема решение и отива в Египет. И така, пред Питагор се открива непозната страна и непозната култура. Много удивен и изненадан Питагор в тази страна и след някои наблюдения върху живота на египтяните, Питагор разбра, че пътят към знанието, защитен от кастата на жреците, лежи чрез религията.

След единадесет години обучение в Египет, Питагор отива в родината си, където по пътя попада във вавилонски плен. Там той се запознава с вавилонската наука, която е била по-развита от египетската. Вавилонците знаеха как да решават линейни, квадратни и някои видове кубични уравнения. След като избяга от плен, той не можа да остане дълго в родината си поради атмосферата на насилие и тирания, която цареше там. Той решава да се премести в Кротон (гръцка колония в Северна Италия).

Именно в Кротон започва най-славният период от живота на Питагор. Там той създава нещо като религиозно-етично братство или таен монашески орден, чиито членове са длъжни да водят т. нар. питагорейски начин на живот.

Питагор и питагорейците

Питагор организира в гръцка колония в южната част на Апенинския полуостров религиозно и етично братство, като монашески орден, което по-късно ще бъде наречено Питагорейският съюз. Членовете на съюза трябваше да се придържат към определени принципи: първо, да се стремят към красивото и славното, второ, да бъдат полезни, и трето, да се стремят към високо удоволствие.

Системата от морални и етични правила, завещана от Питагор на своите ученици, е съставена в един вид морален кодекс на питагорейците „Златни стихове“, които са били много популярни в епохата на Античността, Средновековието и Ренесанса.

Питагорейската учебна система се състои от три раздела:

Учения за числата - аритметика,

Учения за фигури - геометрия,

Учения за устройството на Вселената - астрономия.

Образователната система, установена от Питагор, е продължила много векове.

Школата на Питагор направи много, за да даде на геометрията характер на наука. Основната характеристика на метода на Питагор беше комбинацията от геометрия с аритметика.

Питагор се занимаваше много с пропорциите и прогресията и вероятно със сходството на фигурите, тъй като на него се приписва решаването на проблема: „Постройте трета, равна по размер на една от данните и подобна на втората, въз основа на дадени две цифри."

Питагор и неговите ученици въвеждат концепцията за многоъгълни, приятелски, съвършени числа и изучават техните свойства. Аритметиката, като практика на изчисление, не е интересувала Питагор и той с гордост заявява, че „поставя аритметиката над интересите на търговеца“.

Членове на Питагорейския съюз са били жители на много градове в Гърция.

Питагорейците също приемат жените в своето общество. Съюзът процъфтява повече от двадесет години, а след това започва преследването на членовете му, много от студентите са убити.

Имаше много различни легенди за смъртта на самия Питагор. Но учението на Питагор и неговите ученици продължили да живеят.

От историята на създаването на питагоровата теорема

Понастоящем е известно, че тази теорема не е открита от Питагор. Някои обаче смятат, че Питагор е този, който пръв е дал пълното си доказателство, докато други му отричат тази заслуга. Някои приписват на Питагор доказателството, което Евклид дава в първата книга на своите Елементи. От друга страна, Прокъл твърди, че доказателството в Елементите се дължи на самия Евклид. Както виждаме, историята на математиката няма почти никакви надеждни конкретни данни за живота на Питагор и неговата математическа дейност.

Нека започнем нашия исторически преглед на питагоровата теорема с древен Китай. Тук математическата книга на Чу-пей привлича специално внимание. Това есе казва това за Питагоровия триъгълник със страни 3, 4 и 5:

„Ако прав ъгъл се разложи на съставните му части, тогава линията, свързваща краищата на страните му, ще бъде 5, когато основата е 3, а височината е 4.

Много е лесно да се възпроизведе техния метод на изграждане. Вземете въже с дължина 12 m и го завържете към него по цветна лента на разстояние 3 m. от единия край и 4 метра от другия. Прав ъгъл ще бъде затворен между страни с дължина 3 и 4 метра.

Геометрията сред индусите е тясно свързана с култа. Много вероятно е теоремата за хипотенузата на квадрат вече да е била известна в Индия около 8-ми век пр.н.е. Наред с чисто ритуалните предписания се срещат произведения от геометрично богословски характер. В тези писания, датиращи от 4 или 5 век пр. н. е., се срещаме с конструкцията прав ъгълизползвайки триъгълник със страни 15, 36, 39.

През Средновековието теоремата на Питагор определя границата, ако не на възможно най-голямото, то поне на доброто математически познания. Характерният чертеж на питагоровата теорема, който сега понякога се превръща от учениците, например, в цилиндър, облечен в роба на професор или мъж, често се използва в онези дни като символ на математиката.

В заключение представяме различни формулировки на Питагоровата теорема, преведени от гръцки, латински и немски.

Теоремата на Евклид гласи (буквален превод):

"В правоъгълен триъгълник квадратът на страната, обхващаща правия ъгъл, е равен на квадратите от страните, които ограждат правия ъгъл."

Както виждаме, в различни страниИ различни езицисъществуват различни опциитвърдения на познатата теорема. Създаден в различно времеи на различни езици те отразяват същността на един математически модел, чието доказателство също има няколко варианта.

Пет начина за доказване на питагоровата теорема

древно китайско доказателство

В древна китайска рисунка четири равни правоъгълни триъгълника с крака a, b и хипотенуза c са подредени така, че външният им контур образува квадрат със страна a + b, а вътрешният образува квадрат със страна c, построен върху хипотенуза

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Доказателство от Дж. Гардфийлд (1882)

Нека подредим два равни правоъгълни триъгълника, така че кракът на единия от тях да е продължение на другия.

Площта на разглеждания трапец се намира като произведение на половината от сбора на основите и височината

От друга страна, площта на трапеца е равна на сумата от площите на получените триъгълници:

Приравнявайки тези изрази, получаваме:

Доказателството е просто

Това доказателство се получава в най-простия случай на равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Вероятно теоремата е започнала с него.

Наистина, човек трябва само да погледне плочките на равнобедрен правоъгълен триъгълник, за да види, че теоремата е вярна.

Например за триъгълника ABC: квадратът, построен върху хипотенузата AC, съдържа 4 начални триъгълника, а квадратите, построени върху катета, съдържат два. Теоремата е доказана.

Доказателство за древните индуси

Квадрат със страна (a + b) може да бъде разделен на части както на фиг. 12. а, или както на фиг. 12б. Ясно е, че части 1, 2, 3, 4 са еднакви и на двете фигури. И ако равните се извадят от равни (площи), тогава равните ще останат, т.е. c2 = a2 + b2.

Доказателство на Евклид

В продължение на две хилядолетия най-разпространеното беше доказателството на питагоровата теорема, изобретена от Евклид. Поместено е в известната му книга "Начало".

Евклид понижи височината BH от върха на правия ъгъл до хипотенузата и доказа, че нейното продължение разделя квадрата, завършен върху хипотенузата, на два правоъгълника, чиито площи са равни на площите на съответните квадрати, построени върху катета.

Чертежът, използван при доказателството на тази теорема, се нарича шеговито "питагорей панталон". Дълго време той е смятан за един от символите на математическата наука.

Приложение на Питагоровата теорема

Значението на питагоровата теорема се крие във факта, че повечето от геометричните теореми могат да бъдат извлечени от нея или с нейна помощ и много проблеми могат да бъдат решени. Освен това, практическа стойносттеоремата на Питагор и нейната обратна теорема е, че с тяхна помощ можете да намерите дължините на отсечките, без да измервате самите отсечки. Това сякаш отваря пътя от права линия към равнина, от равнина към обемно пространство и отвъд. Именно поради тази причина Питагоровата теорема е толкова важна за човечеството, което се стреми да открие повече измерения и да създаде технологии в тези измерения.

Заключение

Питагоровата теорема е толкова известна, че е трудно да си представим човек, който не е чувал за нея. Научих, че има няколко начина за доказване на питагоровата теорема. Проучих редица исторически и математически източници, включително информация в Интернет, и разбрах, че питагоровата теорема е интересна не само за своята история, но и защото заема важно място в живота и науката. Това се доказва от различните интерпретации на текста на тази теорема, дадени от мен в тази статия, и начините за нейното доказване.

И така, Питагоровата теорема е една от основните и, може да се каже, най-важната теорема на геометрията. Неговото значение се крие във факта, че повечето от теоремите на геометрията могат да бъдат изведени от него или с негова помощ. Питагоровата теорема е забележителна и с това, че сама по себе си тя изобщо не е очевидна. Например, свойствата на равнобедрен триъгълник могат да се видят директно на чертежа. Но колкото и да гледате правоъгълен триъгълник, никога няма да видите, че между страните му има проста връзка: c2 = a2 + b2. Следователно визуализацията често се използва за доказване. Заслугата на Питагор беше, че той даде пълно научно доказателство на тази теорема. Интересна е личността на самия учен, чиято памет неслучайно е запазена от тази теорема. Питагор е прекрасен оратор, учител и възпитател, организатор на своето училище, фокусиран върху хармонията на музиката и числата, доброто и справедливостта, знанието и здравословен начин на животживот. Той може да служи за пример за нас, далечни потомци.

Библиографска връзка

Туманова С.В. НЯКОЛКО НАЧИНА ЗА ДОКАЗАНЕ НА ПИТАГОРОВАТА ТЕОРЕМА // Старт в науката. - 2016. - No 2. - С. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (дата на достъп: 10.01.2020 г.).

клас: 8

Цели на урока:

Образователни:постигне усвояване на питагоровата теорема, наложи умения за изчисляване на неизвестната страна на правоъгълен триъгълник с помощта на два известни, научи как да прилага теоремата на Питагор при решаване на прости задачи
Разработване:допринасят за развитието на способността за сравняване, наблюдение, внимание, развитието на способността за аналитично и синтетично мислене, разширяване на кръгозора
Образователни:формиране на потребност от знания, интерес към математиката

Тип урок:урок за представяне на нов материал

Оборудване:компютър, мултимедиен проектор, презентация за урока ( Приложение 1)

План на урока:

Организиране на времето
устни упражнения
Изследвания, излагане на хипотеза и тестване на конкретни случаи
Обяснение на нов материал
а) За Питагор
б) Твърдение и доказателство на теоремата
Консолидиране на горното чрез решаване на проблеми
Домашна работа, обобщаване на урока.

По време на занятията

Слайд 2: Правете упражненията

Разширителни скоби: (3 + x) 2
Изчислете 3 2 + x 2 за x = 1, 2, 3, 4
– Има ли естествено число, чийто квадрат е 10, 13, 18, 25?
Намерете площта на квадрат със страни 11 cm, 50 cm, 7 dm.
Каква е формулата за площта на квадрат?
Как да намерим площта на правоъгълен триъгълник?

Слайд 3: Въпрос отговор

– Ъгъл, чиято мярка е 90°. (направо)

Страната срещу десния ъгъл на триъгълника. (хипотенуза)

- Триъгълник, квадрат, трапец, кръг - това са геометрични ... (форми)

- По-малката страна на правоъгълен триъгълник. (Катет)

- Фигура, образувана от два лъча, излизащи от една точка. (инжекция)

- Отсечка от перпендикуляр, изтеглен от върха на триъгълник към правата, съдържаща противоположната страна. (височина)

- Триъгълник с две равни страни . (равнобедрен)

Слайд 4: Задача

Построете правоъгълен триъгълник със страни 3 см, 4 см и 6 см.

Задачата е разделена на редове.

	1 ред	2 ред	3 ред
крак а	3	3
крак б	4		4
Хипотенуза от		6	6

въпроси:

- Някой получавал ли е триъгълник с дадени страни?

- Какъв може да бъде изводът? (Правоъгълният триъгълник не може да бъде дефиниран произволно. Между страните му има зависимост).

- Измерете получените страни. ( Примерно среден резултатот всеки ред се въвежда в таблицата)

	1 ред	2 ред	3 ред
крак а	3	3	~4,5
крак б	4	~5,2	4
Хипотенуза от	~5	6	6

- Опитайте се да установите връзка между катета и хипотенузата във всеки един от случаите.

(Предлага се да се припомнят устните упражнения и да се провери същата връзка между другите числа).

- Обръща се внимание на факта, че точният резултат няма да работи, т.к. измерванията не могат да се считат за точни.

Учителят пита за предположения (хипотези): учениците формулират.

- Да, наистина има връзка между хипотенузата и катета и първият, който го доказа, беше ученият, чието име ще се наречете. Тази теорема е кръстена на него.

Слайд 5: Дешифрирайте

Слайд 6: Питагор от Самос

Кой ще посочи темата на днешния урок?

Учениците записват в тетрадки темата на урока: „Питагоровата теорема“

Питагоровата теорема е една от основните теореми на геометрията. С негова помощ се доказват много други теореми и се решават задачи от различни области: физика, астрономия, строителство и т. н. То е било известно много преди Питагор да го докаже. Древните египтяни са го използвали при изграждането на правоъгълен триъгълник със страни от 3, 4 и 5 единици с помощта на въже за изграждане на прави ъгли при полагане на сгради, пирамиди. Следователно такъв триъгълник се нарича Египетски триъгълник.

Има над триста начина за доказване на тази теорема. Днес ще разгледаме един от тях.

Слайд 7: Питагорова теорема

теорема: В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета.

дадено:

правоъгълен триъгълник,

а, б - крака, от- хипотенуза

Докажи:

Доказателство.

1. Продължаваме катетите на правоъгълен триъгълник: крак но- за дължина б, крак б- за дължина но.

В каква форма може да се построи триъгълник? Защо до квадрат? Каква ще бъде страната на квадрата?

2. Завършваме триъгълника до квадрат със страна a + b.

Как можете да намерите площта на този квадрат?

3. Площта на квадрата е

- Нека разбием квадрата на части: 4 триъгълника и квадрат със страна c.

Как иначе можете да намерите площта на оригиналния квадрат?

Защо получените правоъгълни триъгълници са равни?

4. От друга страна,

5. Приравнете получените равенства:

Теоремата е доказана.

Има комична формулировка на тази теорема: „Питагорейските панталони са равни във всички посоки“. Вероятно тази формулировка се дължи на факта, че тази теорема първоначално е установена за равнобедрен правоъгълен триъгълник. Освен това звучеше малко по-различно: „Площта на квадрат, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху неговите крака.

Слайд 8: Друга формулировка на Питагоровата теорема

И ще ви дам друга формулировка на тази теорема в стих:

Ако ни е даден триъгълник
И освен това с прав ъгъл,
Това е квадратът на хипотенузата
Винаги можем лесно да намерим:
Изграждаме краката в квадрат,
Намираме сбора от градуси
И то по толкова прост начин
Ще стигнем до резултата.

- И така, днес се запознахте с най-известната теорема на планиметрията - Питагоровата теорема. Как е формулирана питагоровата теорема? Как иначе може да се формулира?

Първично фиксиране на материала

Слайд 9: Решаване на задачи по готови чертежи.

Слайд 10: Решаване на задачи в тетрадка

Трима ученици са извикани на дъската едновременно, за да решават проблеми.

Слайд 11: Задача на индийския математик Бхаскара от 12 век

Обобщаване на урока:

Какво ново научихте на урока днес?

- Формулирайте теоремата на Питагор.

- Какво се научихте да правите в урока?

Домашна работа:

– Научете Питагоровата теорема с доказателство

- Задачи от учебник No 483 в, г; No 484 в, гр

– За по-напреднали ученици: намерете други доказателства на Питагоровата теорема, научете едно от тях.

Оценява се работата на класа като цяло, като се открояват отделни ученици.